小波变换和多分辨率处理

人物 Fourier
Harr Gabor
Morlet Meyer,Daubecies Meyer
Mallat
Daubecies
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为 现实。
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。
小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的 小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。
多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起 ，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性 在另一种分辨率下将很容易被发现。
本章将从多分辨率的角度解释小波变换。
主要内容
背景 多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析 具有很好的局部性，但空间(时间)域上没有局部化 功能。
与傅里叶变换相比，小波变换是空间(时间)和频率 的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行 多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频 率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可 聚焦到信号的任意细节。
小波函数必须满足以下两个条件：
(1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。如：
图1 小波例1
图2 小波例2
小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学 显微镜”。
小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从 数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分 析、函数空间等）。
提出规范正交基。
Gabor变换(STFT)，窗函数的大小和形状与时间和 频率无关而保持固定不变。不构成正交基。
提出连续小波变换。
提出离散小波变换。
Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性 的正交小波基，证明了小波的自正交性。
统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算 法。
Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。
1.背景
从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变 化的区域局部直方图统计特性不同。
无法对整个图象定义一个简单的统计模型。
一幅自然图像 及其直方图的 局部变化
(1) 图像金字塔
以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像 的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的 图像集合。
➢ （美）多布著，李建平译，小波十讲，国防 工业出版社 ，2011
➢ 孙延奎著，小波变换与图像、图形处理技术， 清华大学出版社，2012
➢ 朱希安，曹林编著，小波分析及其在数字图 像处理中的应用，电子工业出版社，2012
什么是小波？
时间A
时间B
“小波”（wavelet)就是一种“尺度”很小的波动，并 具有时间和频率特性。
少的分辨率近似值——j-1级近似值，生成子抽 样金字塔。 3. 对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤 ，生成与输入图像等分辨率的预测图像。 4. 计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测 残差金字塔。 5. 重复2、3、4步骤。
(1) 图像金字塔
图象的高斯近似值金字塔，分 辨率分别为：512×512， 256×256，128×128， 64×64。 金字塔的分辨率越低，伴随的 细节越少; 低分辨率图像用于分析大的结 构或图像的整体内容，高分辨 率图像用于分析单个物体的特 性。 相应拉普拉斯预测残差金字塔， 分辨率分别为：512×512， 256×256，128×128， 64×64。 从低级开始通过内插和滤波获 得高级高斯金字塔的预测残差 图象。
主要内容
背景 图象金字塔 子带编码 哈尔变换
多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用 较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨 率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合 用不同的分辨率对其进行研究。
➢ J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原 始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；
➢ J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测 残差金字塔都通过迭代计算获得。
金字塔方框图
(1) 图像金字塔迭代算法
1. 初始化，原始图象大小2J×2J，j＝J 2. j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减
在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变 换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构 的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的 应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息 处理等。
傅里叶变换与小波变换
➢傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 ➢小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。
基础级J的大小为N×N （J=log2N） 顶点级0的大小为1×1 第j级的大小为2j×2j （0j J） 共有J+1级，但是通常我们截 短到P＋1级，其中1 PJ
(1) 图像金字塔
第七章 小波变换和多分辨率处理
张萍 电子科技大学 光电信息学院 E-mail: pingzh@uestc.edu.cn
参考资料
教材：
Rafael C. Gonzalez, etc，Digital Image Processing (Third Edition)，电子工业出版社， 2010
参考书籍：
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图 像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体 力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值 计算等已有重大突破。
小波分析发展简史
时间 1822
1910 1946
1984 1985 1986
1987
1988
标志性事件
Fourier变换，在频域ห้องสมุดไป่ตู้定位最准确，无任何时域 定位能力。如：δ函数，时域定位完全准确，频域 无任何定位能力。