咸阳市2021年高三数学(理)一模答案
高三数学一模试题 理含解析 试题
武功县2021届高三数学一模试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.集合{}1A x R x =∈≤，{}24B x R x =∈≤，A B ＝〔 〕A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. 〔－∞，2] 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质先求出集合B ，再由交集定义求出A B ．【详解】解：∵集合{}1A x R x =∈≤，{}{}2422B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{|21}[2,1]A B x x ∴⋂=-≤≤=-．应选A ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．2.假设(12)5i z i -=〔i 是虚数单位〕，那么z 的值是〔 〕A. 3B. 5【答案】D 【解析】直接利用复数的模的求法的运算法那么求解即可. 【详解】() 125i z i -=〔i 是虚数单位〕 可得()125i z i -= 解得5z = 此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的模的运算法那么的应用，复数的模的求法，考察计算才能.()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-.假设λ为实数且()a b c λ+⊥，那么λ=〔 〕A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：1+2a b λλ+=（，），因为()a b c λ+⊥，那么()1=41+-6=0=2a b c λλλ+⋅（），，选B ；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，那么新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为〔〕A. 0.25B. 0.3C. 0.4D. 0.45【解析】 【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是频率组距，所以结合组距为300可得频率． 【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=．应选B ．【点睛】解决此类问题的关键是纯熟掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义． 5.命题:12p x -<<，2:log 1q x <，那么p 是q 成立的〔 〕条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式得到命题q 中x 的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义断定即可得到结论．【详解】由2log 1x <，得02x <<． ∵()0,2 ()1,2-，∴p 是q 成立的必要不充分条件． 应选B ．【点睛】充分、必要条件的判断方法〔1〕利用定义判断：直接判断“假设p ，那么q 〞、“假设q ，那么p 〞的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．〔2〕从集合的角度判断：利用集合中包含思想断定．抓住“以小推大〞的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．〔3〕利用等价转化法：条件和结论带有否认性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设420S =，510a =，那么16a =〔 〕 A. 32- B. 12C. 16D. 32【答案】D 【解析】()14414420,20,10,2a a S a a +=∴=∴+= 又510a =.可得14511,,2a a a a d a d +==∴==，那么()162161232.a =+-⨯=应选D.7.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的选项是〔 〕A. //BD 平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D【解析】【详解】在正方体中与11B D 平行，因此有与平面平行，A 正确；在平面 内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．应选D ．8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔 〕A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D.③④②① 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值是正数， 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 应选A ．【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 9.tan 2θ=，那么22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔 〕 A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】 试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－考点：同角间三角函数关系 【此处有视频，请去附件查看】10.直线l 过点〔0，2〕，被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是〔 〕A. 423y x =+ B. 123y x =-+C. 2y =D. y=423x +或者y=2 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得圆心到直线间隔 ,再设直线方程点斜式,利用点到直线间隔 公式求斜率,即得结果.【详解】因为直线l 被圆C ：224690x y x y +--+=，22(2)(3)4-+-=x y 截得的弦长为1=，设直线l 的方程为2y kx =+，〔斜率不存在时不满足题意〕那么10k =∴=或者43k =，即直线l 的方程是423y x =+或者2y =,选D. 【点睛】此题考察垂径定理，考察根本转化求解才能，属根底题.11.椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，那么该椭圆的HY 方程为〔〕A.22198x yB. 2219x y +=C. 2213632x y += D. 22136x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，3a =，且12223c a ==，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的HY 方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且3a =由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==1c =，b =故所求的椭圆方程为：22198x y应选A ．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，b 的值．3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 〔 〕A. 0a >B. 0a ≥C. 0a <D. 0a ≤【答案】C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x=+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C ． 第二卷二、填空题13.某校邀请6位学生的父母一共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，假如这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种. 【答案】240 【解析】 【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，那么先从6对夫妇中选一对，有16C 6=种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有215122C 40C C =种结果， 根据分步计数原理得到结果是6×40＝240， 故答案为240．【点睛】此题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原那么．{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，那么7a = ．【答案】64 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，根据题意可得23122a a q a a +==+，所以111.31a a q a +=⇒=，所以6671264a a q =⨯==考点：等比数列性质15. 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是___________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题中定义“正交线面对〞的含义，找出正方体中“正交线面对〞的组数，即可得出结果. 【详解】假如一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下列图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线〔如11A C ，那么11A C ⊥平面11BB D D 〕，均有一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对〞一共有36个. 故答案为36.16.如图，,A B 是函数2()log (16)f x x =图象上的两点，C 是函数2()log g x x =图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，假设ABC ∆是等腰直角三角形〔其中A 为直角顶点〕，那么点A 的横坐标为__________．【答案】23【解析】【详解】设()020,l g ,C x o x 因为()2020l g 164l g o x o x =+ ，所以()020,4l g ,4B x o x BC += ，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以可得()0202,2l g A x o x -+ ，又因为在()0202,2l g A x o x -+函数()()2log 16f x x =图象上，所以()()202020l g 1622l g l g 4o x o x o x -=+=，解得08,3x =点A 的横坐标为82233-= ，故答案为23.三、解答题〔本大题一一共70分解容许写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22 23题为选考题，考生根据要求作等〕 〔一〕必考题17.在ABC ∆中，0120,,21,3ABC A c b a S ∆=>==求,b c 的值. 【答案】【解析】【详解】由2221sin ,{22cos ABC S bc A a b c bc A ==+-即22133,22{12122bc b c bc=⨯⨯=++⨯⨯，解得：〔因为c b >舍去〕或者.18.如下图,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；〔2〕155.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角的平面角.在中,,在中,,15cos 5ADB ∴∠=即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打〔12个〕乒乓球，其中9个新的，3的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求ξ的分布列. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2的1个新的，1的2个新的或者全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可． 【详解】解：ξ的可能取值为3，4，5，6333121(3)220CPCξ===，129331227(4)220C CPCξ⋅===，219331227(5)55C CPCξ⋅===，3931221(6)55CPCξ===.∴此时旧球个数ξ的概率分布列为【点睛】此题考察排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件的概率．20.双曲线的中心在原点，焦点12,F F在坐标轴上，一条渐近线方程为y x=，且过点(4,．〔Ⅰ〕求双曲线方程；〔Ⅱ〕假设点()3,M m在此双曲线上，求12MF MF⋅．【答案】〔Ⅰ〕226x y-=〔Ⅱ〕0【解析】【详解】试题分析：〔1〕设双曲线方程为22(0)x yλλ-=≠，由双曲线过点(4,，能求出双曲线方程；〔2〕由点()3,M m在此双曲线上，得m=由此能求出12MF MF⋅的值试题解析：〔Ⅰ〕由题意，设双曲线方程为22(0)x yλλ-=≠将点(4,代入双曲线方程，得(224λ-=，即6λ=所以，所求的双曲线方程为226x y -=〔Ⅱ〕由〔1〕知()()12,F F -因为()3,M m ，所以()()12233,,233,MF m MF m =---=-又()3,M m 在双曲线226x y -=上，那么23m =()()2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=考点：双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，〔2〕a >01a ≤<. 【解析】试题分析：〔1〕利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <，即a >01a <<. 解：〔1〕因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <， 14分即a >01a <<. 16分 考点：利用导数研究函数性质 【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题〔一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，按所做的第一题计分〕22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0 【解析】 【分析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，②联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为()0,0．【点睛】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属根底题． 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2x a -<〔*a N ∈〕的解集为A ，且32A ∈，12A ∉.〔1〕求a 的值；〔2〕求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】〔1〕1a = 〔2〕()f x 的最小值为3 【解析】 试题分析：利用31,22A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；〔2〕利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值根本不等式求出12x x +++的最小值. 试题解析：〔1〕因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤， 又因为*a N ∈， 所以1a =.〔2〕因为12x x ++-≥ ()()123x x +--= 当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时获得等号， 所以()f x 的最小值为3.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021年陕西省咸阳市如意中学高三数学理模拟试卷含解析
2021年陕西省咸阳市如意中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略2. 设a =，b = lg4, c =，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c参考答案：A3. 已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件参考答案：A由得，即，所以或，即或，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.4. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D5. 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D6. 在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】设=n，利用向量的线性运算，结合=m+，可求实数m的值．【解答】解：由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．7. 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式，当时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式( )的值．A. B.C. D.参考答案：A模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．8. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A．B．C．D．参考答案：D【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数， C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D9. 已知等差数列{}的前项和为，且，则( )A． B． C．D.参考答案：A10. 若直线与曲线有交点，则（）A.有最大值，最小值B.有最大值，最小值C.有最大值0，最小值D.有最大值0，最小值参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与平行，则的值是.参考答案：12. 如图，在三棱锥A ﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用等腰三角形的性质可得AO⊥BD，再利用面面垂直的性质可得AO⊥平面BCD，利用三角形的面积计算公式可得S△OCQ=，利用V三棱锥P﹣OCQ=，及其基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设AP=x，∵O为BD中点，AD=AB=，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO==1．∴OP=1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．∴S△OCQ===．∴V三棱锥P﹣OCQ====．当且仅当x=时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.下列五个命题：①分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线②函数是奇函数③直线是函数的图象的一条对称轴④若，则的最大值为⑤函数的最小正周期为其中不正确的命题的序号是______________（把你认为不正确的命题序号全填上） 参考答案： 答案：①④⑤14. 设函数，则“为奇函数”是“”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）参考答案：略15. 如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为 ．参考答案：16. 在区间上任取一个数，使得不等式成立的概率为 .参考答案：17. 已知A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则= 。
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测(一)数学(文)试题(解析版)
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测（一）数学（文）试题一、单选题1．若集合{}2230{0,1,2,3,4}A xx x B =--<=∣，，则A B =（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{3,4}D ．{0,2,3}【答案】B【分析】先求集合B ，再求AB .【详解】2230x x --<，解得：13x，{}13A x x ∴=-<<，{}0,1,2,3,4B =， {}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B 2．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米【答案】A【分析】由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69108526÷⨯【详解】解：由题意可知所求高度为17.6910852686.2÷⨯≈，所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【答案】B【分析】求出底面圆的半径，再利用圆锥侧面积的公式求解.【详解】由题得底面圆的半径为2，所以圆锥的侧面积为1224=82ππ⨯⋅⨯.故选：B5．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（）A ．35B ．25C ．45D ．15【答案】A【分析】分析从从五种书体中任意选两种和不选草书体的基本事件的种数，再利用古典概型代入计算概率.【详解】从五种书体中任意选两种进行研习，共有2510C =种，则不选草书体共有246C =种，则不选草书体的概率为63105P ==. 故选：A.6．设13202012,log ,22021a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【分析】利用对数函数和指数函数和性质分别比较与0，1的大小即可 【详解】解：因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，且12e <<，所以ln12ln e <<，即021<，所以01a <<， 因为2020log y x =在(0,)+∞上单调递增，且112021<， 所以202020201log log 102021<=，即0b <， 因为2xy =在R 上为增函数，且103>，所以103221>=，即1c >，所以c a b >>， 故选：D7．已知向量a b ，满足||4(3,6)a b ==，，且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】先求出||3b =，再根据a b 求a 与b 的夹角. 【详解】(3,6)||3b b =∴=，.22(2)(3),3620a b a b a a b a b b +⊥-∴-⋅+⋅-=，2234543cos 230θ∴⨯+⨯⨯-⨯=， 1cos 2θ∴=-[]20,,3πθπθ∈∴=即向量a 与向量b 的夹角是23π. 故选：C【点睛】知识点睛：求向量夹角通常用夹角公式：cos ,||||a ba b a b =⨯，还要注意角的范围[],0,a b π∈. 8．函数ln ||||x y x =的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】可得函数为偶函数，当x →+∞时，0y →，或取特值验证再结合选项分析可得答案.【详解】由题意可得函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，设()ln ||||x y f x x ==， ∴()()ln ||ln ||||||x x f x f x x x --===-，即函数()ln ||||x f x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B 、C 选项， 当x →+∞时，有0y →，故排除A 选项.（取210100123,,x e x e x e ===，则2122ln 2e y e e ==，1021010ln 10e y e e ==，1003100100ln 100e y e e==，因210100123x e x e x e =<=<=，而123y y y >>，故A 选项不符合题意）.综上所得D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题.9．已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x -+=截得的弦长为3，则O的方程为（ ） A ．221x y += B ．222x y +=C ．223x y +=D ．224x y +=【答案】C【分析】首先计算圆心到直线的距离d ，利用几何法求弦长的公式代入求解2r .【详解】由题意，圆心到直线的距离2==d ，由几何法可知，3==l ，代入数据可得23944-=r ，所以23r =，所以圆的标准方程为223x y +=.故选：C.10．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】求出函数()f x 的减区间，再与0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求交集妈阿中得．【详解】由已知()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 2223k x k ππππ≤-≤+，2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：D ．11．已知双曲线221222:1(0,0)x y C a b F F a b-=>>，，分别是双曲线C 的左右焦点，且122F F =．过点2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若2OPF 的面积取最大值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 BC ．2D【答案】D【分析】先求焦点到渐近线的距离，再表示2OPF 的面积212OPF Sab =，再利用基本不等式求最值，以及最值取得的条件，同时求双曲线的离心率. 【详解】设其中一条渐近线方程by x a=，焦点()2,0F c到渐近线的距离d b ==，2OPF 是直角三角形，且2OF c =，2PF b =，OP a ∴==，212OPF Sab ∴=，122F F =，1c ∴=，即221a b +=，22122a b ab +=≤，当a b =时等号成立，ab ∴的最大值是12，即2OPF 的面积的最大值是14，此时a b=，双曲线是等轴双曲线，离心率e =故选：D【点睛】关键点点睛：本题的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离d b =，小题时，可以直接用这个条件.12．已知函数2,0()0x x f x x +<⎧⎪=，若函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，等价于()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，画出函数的图像，而(1)y m x =+的图像恒过点(1,0)-，所以只要直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥有2 个交点即可，求出直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥相切时的m 的值，即可得到结果【详解】解：函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，等价于()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，两函数的图像如图所示，因为(1)y m x =+的图像恒过点(1,0)-， 所以要有3个交点，即左边1个，右边2个， 设直线(1)y m x =+与()(0)f x x x =≥相切于点00(,)x y ，'()2f x x=，则000(1)2m x x m x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得0112x m =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当102m <<时，两函数图像有3 个交点，所以实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是将函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，转化为()f x 的图像与(1)y m x =+的图像有3个交点，然后画出函数的图像，利用图像求解即可，属于中档题二、填空题13．若,x y 满足约束条件20202.x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________．【答案】14【分析】由线性约束条件作出可行域，作直线由3z x y =+可得133zy x =-+，作直线01:3l y x =-沿可行域方向平移，由z 的几何意义即可求解. 【详解】由线性约束条件作出可行域如图，由3z x y =+可得133z y x =-+，作直线01:3l y x =-，沿可行域的方向平移可知过点A时，3z x y =+取得最大值，由202x y x -+=⎧⎨=⎩可得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4A ，所以max 23414z =+⨯=， 故答案为：14.【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.14．若偶函数()f x 满足(4)()(1)1f x f x f +=-=-，，则(2021)f =____________． 【答案】-1【分析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值. 【详解】()()4f x f x +=，()f x ∴是周期函数，周期4T=，且函数是偶函数，()()()()202150541111f f f f =⨯+==-=-，故答案为：1-15．已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中,αβ均为锐角，则sin =4παβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭_____________．【答案】1【分析】先求出51025310sin αβαβ====2sin()αβ+=4παβ+=，进而可求出sin 4παβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值【详解】解：由图可知51025310sin ,sin ,cos 510510αβαβ====， 因为51sin ,sin ,05622ππαα==<< 所以6πα<，因为βα<，所以6πβ<，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+3502502==，因为6πα<，6πβ<，所以3παβ+<，所以4παβ+=，所以42ππαβ++=，所以sin()14παβ++=故答案为：116．已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线．有下列命题：①如果//,m n n α⊂，那么//m α； ②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ； ③如果//,m αβα⊂，那么//m β； ④如果,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，那么m β⊥． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【分析】利用线面平行的判断定理，性质定理，以及面面平行和面面垂直的性质定理判断.【详解】①如果//,m n n α⊂，那么//m α或m α⊂，故①不正确；②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；③如果//,m αβα⊂，那么//m β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；④缺少m α⊂这个条件，故④不正确. 故答案为：②③三、解答题17．设数列{}n a 是等差数列，已知133,9a a ==． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求122021b b b +++．【答案】（I ）3n a n =；（Ⅱ）20216066. 【分析】（1）利用等差数列通项公式求公差，再求通项公式；（2）由（1）可知3133(1)3(1)n b n n n n ==⋅+⋅+，再利用裂项相消法求和.【详解】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意有312a a d =+，3132a a d -==， 33(1)3n a n n ∴=+-=．（Ⅱ）3111133(1)3(1)31n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+⋅++⎝⎭123202111111111202111322320212022320226066b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．18．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,,,2,4,ABC PC AC BC AC AC PC CB M ⊥⊥===是PA 的中点．（1）求证：PA ⊥平面MBC ；（2）设点N 是PB 的中点，求三棱锥N MBC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）由平面PAC ⊥平面ABC ，可得BC ⊥平面PAC ，从而得BC PA ⊥，再由等腰三角形三线合一的性质可得CM PA ⊥，则由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可得N 到平面MBC 的距离是1222442PA ==，再求出MBC △的面积，可求出三棱锥N MBC -的体积【详解】（1）∵平面PAC ⊥平面,ABC BC AC ⊥，BC ∴⊥平面PAC ，PA 平面PAC ，,BC PA AC PC M ∴⊥=，是PA 的中点，CM PA CM BC C ∴⊥⋂=，，PA ∴⊥平面MBC（2）由（1）知PA ⊥平面MBC ，N 是PB 的中点，N ∴到平面MBC 的距离是1442PA ==， ,,BC AC BC PC BC ⊥⊥∴⊥平面,PAC BC MC ∴⊥，12MC PA ==111124343223N MBC MBCV SPA -∴=⨯⨯=⨯⨯=． 19．随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为60%，“非青年人”使用智能手机占比为40%；日均使用时长情况如下表：将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有34是“青年人”． 现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据． （Ⅰ）补全下列22⨯列联表；（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．以参考数据：独立性检验界值表0K【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有99%的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．【分析】（Ⅰ）根据已知条件可计算青年人数、非青年人数、出频繁使用人数，中青年人频繁使用人数，将22⨯列联表补充完整即可； （Ⅱ）利用公式计算2K 的观测值与临界值比较即可求解.【详解】（Ⅰ）200人中青年人有2000.6120⨯=人，非青年人有2000.480⨯=人， 频繁使用人群有2000.6120⨯=人，频繁使用人群中青年人有3120904⨯=人， 22⨯列联表为：（Ⅱ）22200(90503030)28.125 6.6351208012080K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．20．设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于,P Q 两个点． （1）求证：OP OQ ⊥； （2）求OPQ △面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）16.【分析】（1）设直线:4PQ x ny =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，证明0OP OQ →→⋅=即得证；（2）当直线PQ 存在斜率时，设:(4)PQ y k x =-，代入24y x =，得到韦达定理，求出16OPQS=>，当k 不存在时，16OPQS =，即得解.【详解】（1）设直线:4PQ x ny =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立244x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，24160y ny --=，12124,16y y n y y ∴+==-．22212121212(16)16,04416y y x x x x y y -∴=⋅==∴+=，12120OP OQ x x y y →→∴⋅=+=，即OP OQ ⊥．（2）设:(4)PQ y k x =-，代入24y x =，得22(4)4k x x -=，化简得()222284160k x k x k -++=，2122128416k x x k x x ⎧++=⎪∴⎨⎪=⎩，2||PQ k ∴====，又O 到直线PQ的距离为：d =，2118162||OPQSk k ∴==⋅=>， 当k 不存在时，直线:4PQ x =，则易知(4,4)P ，184162OPQS∴=⋅⋅=． 综上可知，OPQS的最小值为16．【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值范围问题常用的解法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 21．设函数2()()e ,()xx f x f x x g x x -=⋅=， （I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设对于任意12,[1,e]x x ∈，且12x x <，都有()()121212g x g x mx x x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（I ）()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-，单调递增区间是(1,)-+∞；（Ⅱ）[1,)-+∞．【分析】（I ）对函数()f x 求导，然后计算()0f x '>与()0f x '<，即可得单调区间；（Ⅱ）将()()121212g x g x mx x x x -<-转化为()()1212m m g x g x x x +>+，然后根据题意，设()()ϕ=+mx g x x，可知函数()ϕx 在[1,]e 上单调递减，即得()0x ϕ'≤成立，然后参变分离求解.【详解】（I ）易知()f x 的定义域为R ，()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0,()f x f x '>∴在(1,)-+∞上单调递增，当1x <-时，()0,()f x f x '<∴在(,1)-∞-上单调递减．()f x ∴的单调递减区间是(,1)-∞-，单调递增区间是(1,)-+∞．（Ⅱ）当12,[1,e]x x ∈，12x x <时，()()121212g x g x mx x x x -<-恒成立，即()()1212m m g x g x x x +>+恒成立，设11()()x x m e m m e x g x x x x xϕ-+-=+=+=，由题意可知，()ϕx 在[1,]e 上单调递减，即22(1)(1)(1)()0ϕ⎡⎤-⋅-+---+⎣⎦'==≤x xx e x m e x e m x x x在[1,]e 上恒成立； (1)(1)0,1(1)∴--+≤∴+≥-x x x e m m x e ，设()(1)xh x x e =-，则()e 0,()xh x x h x '=-<∴在[1,]e 上单调递减，max ()(1)0,10∴==∴+≥h x h m ，即1m ≥-【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22．直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线； （2）设,M N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值．【答案】（1）:4l x y +=，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；（2）【分析】（1）消参得到直线l 的普通方程和曲线C 的方程，即得解；（2）设(3cos ,sin )N αα，求出||MN =.【详解】（1）由题得直线:4l x y +=，曲线22:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2219x y +=， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．（2）设(3cos ,sin )N αα，则||MN 就是点N 到直线l 的距离，||MN ==ϕ的终边在第一象限且tan 3ϕ=）当sin()1αϕ+=时，min ||MN ==． 【点睛】方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解.23．已知函数()|2||1|,f x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()2f x 的解集；（Ⅱ）若()f x kx =有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{1x x ∣或13x -}；（Ⅱ）23k <<．【分析】（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，利用数形结合，求实数k 的取值范围.【详解】（I ）31,0()1,0131,1x x f x x x x x -+⎧⎪=+<<⎨⎪-⎩，312x x ≤⎧⎨-+≥⎩或0112x x <<⎧⎨+≥⎩ 或1312x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得：{1x x ≥或1}3x ≤-()2f x 的解集是{1x x ≥或1}3x ≤-（Ⅱ）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，由图易知：202,310OA OB AC k k k -====-， A o OB k k k ∴<<，即23k <<．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021年陕西省咸阳市市秦都中学高三数学理模拟试卷含解析
2021年陕西省咸阳市市秦都中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则tan2α的值为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：二倍角的正切；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由题意可得tanα=，代入二倍角公式tan2α=可求解答：解：由题意可得tanα=∴tan2α===故选C点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行的条件及二倍角正切公式的应用，计算虽简单，但应用的知识较多2. 已知函数的图象与y轴的交点为(0,1)，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数m的取值范围为（）A. B. [1,2] C. D.参考答案：B3. 已知集合，，，则中元素个数是（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知向量则的值为（）A. 0B. 2C. 4 或－4D. 2或－2参考答案：D5. 已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想．6. 设全( )A. B. C. D.参考答案：D7. 已知命题p:则A. B.C. D.参考答案：C略8. 复数z=2+ai（a∈R）的共轭复数为，若z?=5，则a=（）A. ±1B. ±3C. 1或3D. －1或－3参考答案：A【分析】由已知结合列式求解．【详解】∵z=2+ai，即a=±1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9. 在Rt△ABC中，点D为斜边BC的中点，，，，则（）A．－14 B. －9 C. 9 D. 14参考答案：C10. 若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在平面BCD上的射影，则异面直线BM与OA所成角的余弦值为_______．参考答案：【分析】设点在平面上的射影为，得、、三点共线，且是的中点，得异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.在中求解即可【详解】设点在平面上的射影为，则、、三点共线，且是的中点，则异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.设正四面体的棱长为2，则，，，所以中，.故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题12. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则c的取值范围是．参考答案：（，）【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件求得即＜A＜，再根据正弦定理求得c==4cosA﹣，显然c在（，）上是减函数，由此求得c的范围．【解答】解：锐角△ABC中，∵B=2A＜，∴A＜．再根据C=π﹣3A＜，可得A＞，即＜A＜，再根据正弦定理可得===，求得c====4cosA﹣在（，）上是减函数，故c∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 已知四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，∴d=，R2=，球O的表面积为s=．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD 的外接球的半径是关键．14. 若则5.参考答案：15. 已知x 、y 满足约束条件，使取得最小的最优解有无数个，则a的值为________.参考答案：116.在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：参考答案：为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且略14、设，，则的值是____________。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理联考试卷含解析
2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是幂函数，且满足，则=（）A. B. C.2 D. 4参考答案：B略2. 某三棱锥的三视图如图所示，其中三个三角形都是直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2π B． C. 6π D．参考答案：C由已知得到几何体为三棱锥，如图所示：三棱锥的对应几何体为长方体，长为2，宽为1，高为1，其体对角线.∴外接球表面积为故选C.3.函数的反函数是（）A． B．C． D．参考答案：答案：D4. 过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）A． B． C. D．[KS5UKS5U]参考答案：D5. 在递增等比数列{a n}中，，则公比＝A．-1 B．1 C．2 D．参考答案：C略6. 已知集合则（）{3}= B.{2,3} C.{－1,3} D.{1,2,3}参考答案：C因为所以故选C.7. 等差数列的前n项和为Sn，且，则的最小值是A．7 B． C．8 D．参考答案：D略8. 将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B9. 设，若在方向上投影为，在方向上的投影为，则与的夹角等于（）A、 B、 C、D、或参考答案：A10. 若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A．［0，5］ B．［1，8］ C．［0，8］ D．［1，+∞）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是。
参考答案：12. 已知向量，设向，则▲。
参考答案：-13. 已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为参考答案：【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】解析：因为,故所以在上的投影为.【思路点拨】因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求。
2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理模拟试题含解析
2021-2022学年陕西省咸阳市大乙私立学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合P={m|－3<m<1，Q={m∈R|(m-1)x2+(m-1)x－1＜0对任意实数x恒成立则下列关系中成立的是A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=Q参考答案：A略2. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A．4，8 B．4，C．4（+1），D．8，8参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其表面积和体积可求．解答：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥表面积S=4+4××2×=4（），体积V==．故选C．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．3. 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，则（）A．3 B．C．5 D．参考答案：A4. ( )A． B． C． D．参考答案：C略5. 设,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（）A．B． C.D．参考答案：A由图象知，,函数的最小正周期，则，又图象过点，代入得，，.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象.故选A.7. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【专题】规律型．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．8. 已知函数，给出以下四个命题，其中为真命题的是A、若，则B、在区间上是增函数C、直线是函数图象的一条对称轴D、函数的图象可由的图象向右平移个单位得到参考答案：C9. “x≥1”是“lgx≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】lgx≥1，解得x≥10．即可判断出．【解答】解：lgx≥1，解得x≥10．∴“x≥1”是“lgx≥1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f（x）和g（x）的导函数，然后由f（0）=g（0），f′（0）=g′（0）联立方程组求解a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数对任意实数满足：，且，则下列结论正确的是_____________．①是周期函数；②是奇函数；③关于点对称；④关于直线对称．参考答案：①②③略12. 若，，，则的值为_______________.参考答案：略13. 在锐角△ABC中，已知AB=，BC=3，其面积S△ABC=，则AC=．参考答案：3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用余弦定理可求AC的值．【解答】解：∵AB=2，BC=3，面积S△ABC=AB?BC?sinB=2×3×sinB=3，∴解得：sinB=，∵由题意，B为锐角，可得：cosB==，∴由余弦定理可得：AC===3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14. 已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f （x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；分析法；简易逻辑．【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0；②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地当x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，从而f（x）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，∴若（a，b）?（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．【点评】考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．15. 已知则下列函数的图象错误的是（）参考答案：D略16. 已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为 .参考答案：17. 甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为．参考答案：36三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷(理科)(一)
2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x−3<0}，B={0,1，2，3，4}，则A∩B=()A. {0,2}B. {0,1，2}C. {3,4}D. {0,2，3}2.设复数z=1−i1+i，那么在复平面内复数3z−1对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶(各台阶高度相同)和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多象征意义.比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，……，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”.现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为()A. 86.2米B. 83.6米C. 84.8米D. 85.8米4.已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为()A. 2√33π B. 4√33π C. 8√33π D. 2√3π5.已知函数f(x)=22x+1−1，且f(4x−1)>f(3)，则实数x的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (1,+∞)D. (−∞,1)6.中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字.汉字是书法艺术的精髓.汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为()A. 425B. 825C. 925D. 18257.已知⊙M经过坐标原点，半径r=√2，且与直线y=x+2相切，则⊙M的方程为()A. (x+1)2+(y+1)2=2或(x−1)2+(y−1)2=2B. (x+1)2+(y−1)2=2或(x−1)2+(y+1)2=2C. (x−1)2+(y+1)2=2或(x+√2)2+y2=2D. (x−1)2+(y+1)2=2或(x−√2)2+y2=28.若将函数y=3sin2x的图像向右平移π6个单位长度，平移后图像的一条对称轴为()A. x=5π6B. x=5π12C. x=π3D. x=2π39.渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头A出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/ℎ，水流速度的大小为|v2|=6km/ℎ.设速度v1与速度v2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应()A. 在A′东侧B. 在A′西侧C. 恰好与A′重合D. 无法确定10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点A，B关于直线y=x−6对称，且线段AB的中点坐标为M(2,−4)，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=π2，若该直三棱柱的外接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为()A. 4B. 3C. 4√2D. 2√212.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数f(x)=xe x+2，若关于x的函数F(x)=[f(x)]2+(a−2)f(x)−2a恰有2个零点，则实数a的取值范围为()A. (−∞,1e −2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−2,1e −2)∪(2−1e ,2)D. (1e −2,2−1e ) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y +2≥0x ≤2，则z =x +3y 的最大值为______ ．14. (3−2x )(1+x)5的展开式中常数项为______ ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3bcosC =3a −c ，且A =C ，则sinA = ______ ．16. 已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，现有以下命题：①f(x)是偶函数；②f(x)是以2π为周期的周期函数；③f(x)的图像关于x =π2对称；④f(x)的最大值为√2．其中真命题有______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC ⊥AC ，BC ⊥AC ，AC =PC =2，CB =4，M 是PA 的中点．(Ⅰ)求证：PA ⊥平面MBC ；(Ⅱ)设点N 是PB 的中点，求二面角N −MC −B 的余弦值．18. 设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知a 1=3，a 22=a 4+24． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n }满足b n ={sina n π(n 为奇数)cosa n π(n 为偶数)，求b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 2021．19.某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试.受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C至少有一项过关才能进入面试.现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否过关相互独立．(Ⅰ)求甲应聘者能进入面试的概率；(Ⅱ)用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX．20.设O为坐标原点，抛物线C：y2=4x与过点T(4,0)的直线相交于P，Q两个点．(Ⅰ)求证：OP⊥OQ；(Ⅱ)试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称.若存在，求出点M的坐标.若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=lnx −a(2x−1)x+1(a ∈R)有两个极值点x 1和x 2．(Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)把x 22x 1+x 12x 2表示为关于a 的函数g(a)，求g(a)的值域．22. 直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1−ty =3+t (t 为参数)．(Ⅰ)求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；(Ⅱ)设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求|MN|的最小值．23. 已知函数f(x)=|2x|+|x −1|，x ∈R ．(Ⅰ)求f(x)≥2的解集；(Ⅱ)若f(x)=kx 有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，那么在复平面内复数3z−1=−1−3i对应的点(−1,−3)位于第三象限，故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可知所求的高度为17.69÷108×526≈86.2，所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，故选：A．由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69÷108×526．本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力以及对题干的理解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO=√32×4=2√3，圆锥的底面半径r=12×4=2，因此，该圆锥的体积V=13πr2⋅AO=13π×22×2√3=8√3π3．故选：C ．根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x 增大时，2x +1增大，22x +1减小，∴f(x)是R 上的减函数，且f(4x −1)>f(3)，∴4x −1<3，解得x <1，∴x 的取值范围是(−∞,1)．故选：D ．可看出f(x)是R 上的减函数，从而可根据f(4x −1)>f(3)可得出4x −1<3，然后解出x 的范围即可． 本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：甲选两种书体共有5×4=20种，乙选两种书体共有5×4=20种，一共有400种选法， 甲不选隶书体有4×3=12种，乙不选草书体有4×3=12种，共有12×12=144种选法，共有12×12=144种选法，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为P =144400=925．故选：C ．甲选两种书体共有5×4=20种，乙选两种书体共有5×4=20种，一共有400种选法，然后求出甲不选隶书体，乙不选草书体的选法，结合古典概率公式可求．本题主要考查了古典概率公式，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：由已知设圆的方程为：(x −a)2+(y −b)2=r 2，由已知得{a 2+b 2=r 2r =√22=√2，解得a =b =1，或a =b =−1．故圆的方程为：(x +1)2+(y +1)2=2或(x −1)2+(y −1)2=2．故选：A ．设出圆的方程的标准式，然后根据条件列出a ，b ，r 的方程组求解即可．本题考查利用待定系数法求圆的方程，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将函数y =3sin2x 的图像向右平移π6个单位长度，可得y =3sin(2x −π3)的图象， 令2x −π3=kπ+π2，k ∈Z ，可得x =kπ2+5π12，k ∈Z ， 故平移后图像的一条对称轴为x =5π12， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，的出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 9.【答案】A【解析】解：如图建立直角坐标系，θ=120°时，水流速度为v 2⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，轮船的速度v 1⃗⃗⃗⃗ =(−5,5√3)，∴v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ =(1,5√3)，这说明船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，故该游船航行到达北岸的位置应在A′的东方，故选：A ．建立坐标系，根据向量的几何意义即可求出．本题考查了向量在几何中的应用，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减，得y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)，∵A，B关于直线y=x−6对称，且线段AB的中点坐标为M(2,−4)，∴直线AB的斜率k AB=y1−y2x1−x2=−1，x1+x2=4，y1+y2=−8，∴−1=4b2−8a2，即b2=2a2，∴离心率e=√a2+b2a2=√1+b2a2=√3．故选：B．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由点差法可得y1−y2x1−x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)，结合点关于直线的对称问题和中点坐标公式，可推出b2=2a2，再由e=√1+b2a2，得解．本题考查双曲线的方程与几何性质，熟练运用点差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：在直三棱锥ABC−A1B1C1中，∵∠ABC=π2，∴AB⊥BC，又AB=BC=2，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC−A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D，D1分别为AC，A1C1的中点，则DD1的中点O为球心，设直三棱柱的高为h，则球的半径R=√(√2)2+(ℎ2)2=√2+ℎ24，故表面积为S=4πR2=4π(2+ℎ24)=16π，解得ℎ=2√2．故选：D．由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为h，把正四棱柱外接球的半径用含有h的代数式表示，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】C【解析】解：F(x)=[f(x)−2][f(x)+a]=0，f(x)=2或f(x)=−a ，x <0时，f(x)=xe x +2<2，f′(x)=(x +1)e x ，x <−1时，f′(x)<0，f(x)递减，−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)的极小值是f(−1)=2−1e ，又f(x)<2，故f(x)=2无解，此时f(x)=−a 要有2个解，则2−1e <−a <2，又f(x)是奇函数，故x >0时，f(x)=2仍然无解，f(x)=−a 要有2个解，则−2<−a <1e −2，综上：a 的取值范围是(−2,1e −2)∪(2−1e ,2)，故选：C ．由F(x)=0，得f(x)=2或f(x)=−a ，而x <0时，f(x)=2无解，需满足f(x)=−a 有2个解，利用导数求得f(x)在x <0时的性质，由奇函数得x >0的性质，确定a 在取值范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是中档题． 13.【答案】14【解析】解：由约束条件作差可行域如图，联立{x =2x −y +2=0，解得A(2,4)， 由z =x +3y ，得y =−13x +z 3，由图可知，当直线y =−13x +z3过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为14．故答案为：14．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】−7【解析】解：(3−2x )(1+x)5=3×(1+x)5−2x×(1+x)5，所以常数项为：3C50−2x×C51x=3−10=−7，故答案为：−7．由二项式定理展开式直接展开即可解决．本题考查了二项式定理，二项展开式，属于基础题．15.【答案】√63【解析】解：因为3bcosC=3a−c，且A=C，可得a=c，3b⋅a2+b2−c22ab =3a−c，整理解得a=c=√32b，所以cosA=b2+c2−a22bc=22b⋅√32b=√33，可得sinA=√1−cos2A=√63．故答案为：√63．由题意利用余弦定理可求a=c=√32b，进而可求cos A的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解sin A的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：函数f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)，对于①：由于f(−x)=f(x)，且x∈R，故函数为偶函数，故①正确；对于②：函数f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(cosx)+cos(cosx)=f(x)，故②正确；对于③：由于f(0)=sin1+cos1，f(π)=sin(−1)+cos1，故f(0)≠f(π)，所以③错误；对于④：f(x)=sin(cosx)+cos(cosx)=√2sin(cosx+π4)，当cosx=π4时，f(x)的最大值为√2，故④正确；故答案为：①②④．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴BC ⊥PA ，∵AC =PC ，M 是PA 的中点，∴CM ⊥PA ，∵CM ∩BC =C ，BC ⊂平面MBC.CM ⊂平面MBC ．∴PA ⊥平面MBC ．(Ⅱ)解：∵PC ⊥AC ，平面PAC ⊥平面ABC ，∴PC ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BC ，建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0，0)，B(0,4，0)，C(0,0，0)，P(0,0，2)，M(1,0，1)，N(0,2，1)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 由(Ⅰ)知PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)是平面MBC 的一个法向量， 设n⃗ =(x,y,z)是平面MNC 的法向量， 则有{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +z =0CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2y +z =0，令y =1，则z =−2，x =2， ∴n ⃗ =(2,1,−2)，设二面角N −MC −B 所成角为θ，则cosθ=|cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|√8⋅√9|=2√23．【解析】(Ⅰ)证明BC ⊥平面PAC ，推出BC ⊥PA ，结合CM ⊥PA ，证明PA ⊥平面MBC ．(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面MBC 的一个法向量，平面MNC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，学生的数学素养，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意有(a 1+d)2=(a 1+3d)+24，解得d =−6或d =3， ∵d >0，∴d =3，∴a n =3+3(n −1)=3n ．(Ⅱ)当n 为奇数时，b n =sin3nπ=sinπ=0，当n 为偶数时，b n =cos3nπ=cos0=1，故{b n }是以2为周期的周期数列，且b 1+b 2=1，∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 2021=1010(b 1+b 2)+b 1=1010+0=1010.，【解析】(Ⅰ)根据等差数列的通项公式即可求出；(Ⅱ)分别求出b n ，再根据数列的周期性即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和数列的求和，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立， 则甲应聘者能进入面试的概率为：P(ABC −)+P(AB −C)+P(ABC)=23⋅12⋅12+23⋅12⋅12+23⋅12⋅12=12．(Ⅱ)由题知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3,12)．P(X =0)=C 30(12)3=18； P(X =1)=C 31(12)(12)2=38； P(X =2)=C 32(12)2(12)=38； P(X =3)=C 33(12)3(12)0=18， 分布列为：∵X ～B(3,12)，EX =3⋅12=32．【解析】(Ⅰ)甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，然后求解甲应聘者能进入面试的概率．(Ⅱ)X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3,12).求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题． 20.【答案】(Ⅰ)证明：设直线PQ ：x =ny +4，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{x =ny +4y 2=4x，消去x 得y 2−4ny −16=0， ∴y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16．∴x 1x 2=y 124⋅y 224=(−16)216=16，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，即OP ⊥OQ ． (Ⅱ)解：假设存在这样的点M ，设M(t,0)，由(Ⅰ)知，y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16，由PM 和QM 关于x 轴对称知，k MP +k MQ =0，即k MP +k MQ =y 1x 1−t +y 2x 2−t =y 1ny 1+4−t +y2ny 2+4−t =y 1(ny 2+4−t)+y 2(ny 1+4−t)(ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =2ny 2y 2+(4−t)(y 1+y 2)(ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =−32n +(4−t)⋅4n (ny 1+4−t)(ny 2+4−t) =−16n−4nt (ny 1+4−t)(ny 2+4−t)=0．∴t =−4，即存在这样的点M(−4,0)．【解析】(Ⅰ)设直线PQ ：x =ny +4，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，利用向量的数量积化简求解即可．(Ⅱ)假设存在这样的点M ，设M(t,0)，结合(Ⅰ)知，y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−16，通过求解直线的斜率k MP +k MQ =0，求解t ，得到M 的坐标．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，考查学生分析问题解决问题的核心素养，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x 2+(2−3a)x+1x(x+1)2，设ℎ(x)=x 2+(2−3a)x +1，其中△=9a 2−12a ，当△>0时，即a >43或a <0．此时ℎ(x)=0有两个根，则有{x 1+x 2=3a −2x 1x 2=1，∴x 1，x 2同号， ∵f(x)的定义域为(0,+∞)，∴x 1>0，x 2>0，∴x 1+x 2=3a −2>0，∴a >23，∴a >43，∴x 1,2=(3a−2)±√△2(x 1<x 2)，∴f(x)在(0,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，在(x 2,+∞)上单调递增．综上可知，f(x)有两个极值点，∴实数a 的取值范围为(43,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a >43时，f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，且{x 1+x 2=3a −2x 1x 2=1， 则x 22x 1+x 12x 2=x 13+x 23=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]=(3a −2)[(3a −2)2−3]=27a 3−54a 2+27a −2(a >43) 设g(a)=27a 3−54a 2+27a −2(a >43)，则g′(a)=81a 2−108a +27=27(3a 2−4a +1)=27(3a −1)(a −1)>0，∴g(a)在(43,+∞)上是单调递增的，∴g(a)>g(43)=2，∴g(a)∈(2,+∞)，即g(a)的值域为(2,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，得到函数的极值点的个数，确定a 的范围即可；(Ⅱ)求出x 22x 1+x 12x 2的解析式，设g(a)=27a 3−54a 2+27a −2(a >43)，求出函数的单调性，求出函数的值域即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题． 22.【答案】解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =1−ty =3+t (t 为参数).转换为直角坐标方程为：x +y =4；曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．(Ⅱ)设N(3cosα,sinα)，则|MN|就是点N 到直线l 的距离，|MN|=√2=√10sin(α+φ)−4|√2，(φ由tanφ=3决定)． 当sin(α+φ)=1时，|MN|min =4−√10√2=2√2−√5．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(I)f(x)=|2x|+|x −1|={−3x +1,x ≤0x +1,0<x <13x −1,x ≥1，由−3x +1≥2，解得：x ≤−13，由x +1≥2，解得：x ≥1，无解，由3x −1≥2，解得：x ≥1，故f(x)≥2的解集是{x|x ≥1或x ≤−13}.(Ⅱ)由图易知：k OA =2−01−0=2,k OB =k AC =3，∴k o A <k <k OB ，即2<k <3，即k 的取值范围是(2,3)．【解析】(Ⅰ)求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；(Ⅱ)结合函数的图像，求出k 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合以及转化思想，是中档题．。