01多项式的概念

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一元多项式环的概念及其通用性质

运算规律
1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
定义所有系数在数域K中的一元多项式全
体,称为数域K上的一元多项式环,记作 K[x], P称为K[x]的系数域.
练习：
设 f ( x), g( x),h( x) R[x] (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
设数域K上的多项式
f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
(1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0.
(2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数.
(3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项,
an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数,
常记作degf(x),或 f ( x).
(5) 非零常数是零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
f(x)=2x2+3x-1,
) g(x)=x3+2x2-3x+2
.
2x5+3x4- x3
4x4+6x3-2x2
-6x3-9x2+3x
4x2+6x-2 .
f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
一些性质

多项式课件-新人教版

公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项式因式分解的方法。根据公式，我们可以将多项式表示为几个整式的积的形式。常用的公式包括平方差公式、完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项和常数项拆分成两个数的乘积，然后交叉相乘得到一次项系数，从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次多项式的加减法可以通过系数相加减，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。

多项式的概念及运算

结果：$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 8x - 4$
多项式的除法运算
定义：多项式除以除数与被除数的每一项分别相除，得到商和余数
注意事项：除数不能为0，否则无意义
举例说明：多项式除以单项式的具体运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个单项式通过加减运算得到的代数式。
多项式的次数是所有单项式中次数最高的那一项的次数。
多项式中每一项的系数不能为0。
多项式中单项式的排列顺序不影响多项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)

多项式与多项式相乘说课课件

引导学生进一步探索多项式与多项式相乘的性质和应用，例如在数学分析、物理和工程等领域中的应用。
自主学习
鼓励学生自主探索和学习多项式与多项式相乘的相关知识，培养自主学习和解决问题的能力。
3
实践应用
通过实际问题和项目，让学生将所学知识应用于实际情境中，提高解决实际问题的能力。
感谢您的观看
THANKS
多项式的性质
总结词
多项式具有交换律、结合律和分配律等基本性质。
详细描述
多项式具有交换律，即多项式的加法或减法满足交换律，即顺序可以任意调换。多项式还具有结合律，即加法或减法的结合顺序可以任意改变。此外，多项式还具有分配律，即多项式与单项式相乘时，可以将单项式分别与多项式的各个单项式相乘。
03
多项式与多项式相乘说课ppt课件
目录 CONTENT
• 引言 • 多项式的定义与性质 • 多项式相乘的规则与步骤 • 多项式相乘的应用与实例 • 教学方法与建议 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是基础学科，多项式相乘是数学中的基本运算之一。
多项式相乘在实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
逐项相乘
将两个多项式的每一项分别相乘，得到新的项。
合并同类项
将相同字母和相同字母的指数相同的项进行合并。
举例说明多项式相乘的过程
举例1
$(2x + 3y) times (x - y)$
举例2
$(x^2 + 2x + 1) times (x + 1)$
举例3
$(x^2 - 2x + 1) times (x - 1)$
04
多项式相乘的应用与实例

多项式的概念及意义

（2）多项式3n4 –2n2+1的项 3n4 –2n2, 有：1，多项式的次数是4。 ,
反馈练习
• 判断正误：
× • x2–2xy+y2是六次三项式（）
× • a3 –5a2b2+4a2b –6b3的次数是3（）
• 多项式2x2 –3xy+y2的项有2x2 ， 3xy ， y2三项（）
×
• 注意：
系数是
1 4
；次数是 2
；
﹙6﹚ –
abc 3
系数是 –
1 3
；次数是 3
；
﹙7﹚–
a3b 7
的系数是–
7
；次数是4
.
想一想：这三个图形的面积是多少？
h
a
r
a
a2
πr 2
ah
三个图形的面积总和是多少？
a a2 +
h
r
a
πr2 + ah
多项式 :几个单项式的和。
a2+ πr2
+
1 2
a
h
3x2 +,（ – ）+,（–5）二次三项式 2x
二次项一次项常数项
多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
(1)0x12 y2
02
(4)a 7 6xy+1,
-x,
(
7
m 0) 4
2
7
n
05
2
(1 0 ) x x 2x²-x-52
指出下列各式哪些是单项式,哪些是多项式？
( 3 ) a03 b 3
10,
1 (9 )
• 1、多项式的次数不是所有项的次数之和。

第一章多项式(教案)

高等代数北大三版第一章多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。

2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。

3．了解多项式与对称多项式的概念。

教学重点与难点：1．整除理论。

2．有理数域上的因式分解。

§1．数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。

另一说法：如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。

例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一．一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。

称为系数在数域P 中的一元多项式。

（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。

③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。

《多项式概念》课件

根的性质
多项式的根可以是实数、复数或分数，取决于多项式的系数和指数。
根的求法
通过代入法或因式分解法等数学方法，可以求出多项式的根。
多项式的因式分解
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。
因式分解的方法
包括提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
因式分解的意义
因式分解有助于理解和分析多项式的结构，简化计算和证明。
。
一次多项式的根（即解）是直线与$x$轴的交点，解的个数为1
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或2。
二次多项式
01
二次多项式是只包含一个变量最高次幂为2的多项式，形如 $ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
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二次多项式在平面坐标系中表示一个抛物线。
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二次多项式的根的个数最多为2个，且一定是一对共轭复数。
多项式的最大公因式
定义
最大公因式是指两个或多个多项式中共同的因式中次数最高的一个。
最大公因式的求法
通过辗转相除法或分组法等数学方法，可以求出多项式的最大公因式。
最大公因式的应用
最大公因式在简化多项式、解方程和证明等领域有广泛应用。
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多项式的根表示与坐标轴的交点，即曲线与坐标轴的交点。
微积分性质
多项式函数的积分也是多项式函数。
多项式函数的导数仍然是多项式函数。
多项式函数是可微的，即其导数存在。
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CATALOGUE
多项式的运算
多项式的运算
• 多项式是数学中一个基本概念，通常表示为有限个单项式的代数和。每个单项式由一个系数和一个变量幂次相乘得到。例如，多项式 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) 包含四个单项式。

人教版七年级数学上册第四章整式的加减知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

第四章整式的加减知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、单项式1.单项式的概念：如22xy ，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【要点提示】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。

但若分母中含有字母，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．【要点提示】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【要点提示】“几个”是指两个或两个以上．2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．【要点提示】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．【要点提示】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．三、整式单项式与多项式统称为整式．【要点提示】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．四、同类项用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.【要点提示】1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．五、合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．【要点提示】合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.六、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．【要点提示】(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．七、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．【要点提示】(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+- 添括号去括号，()a b c a b c -+-- 添括号去括号八、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．【要点提示】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．03题型归纳题型一单项式、多项式、整式的判断例题：（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：222123,,,7,9,335n p a b m n x a m -----．单项式：{…}；多项式：{…}整式：{…}．巩固训练1.（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）在式子23x y +，2a，0.5，2x -，23a b ，b 22+中，单项式的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子13ab ，2a b +，12x y +，23x x +-中，多项式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：a -，23abc ，x y -，3x ，22872x x -+，整式有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类．2131,3,,,,,0,,3,4,3.141,23325b xy ab n x m a b d xy a b++->-=+．单项式：（）；多项式：（）；整式：（）．题型二同类项的判断例题：（23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与325x y 是同类项的是（）A ．53xB ．232x y C ．3213x y-D ．512y -巩固训练1．（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是()A ．23x y 与22yx -B ．22ab 与2ba -C ．3xy与5xy D ．23a 与32a2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是（）A ．3xy 和4xyB ．2x y -和25xy C ．234x y 和232x y D ．35xy 和3y x3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是（）A ．232x y 与233x y -B ．3210a b c 与2310a b c C ．5xy 与yxD ．13-与12题型三单项式的系数、次数例题：（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）单项式35x y-的系数是，次数是．巩固训练1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）π3xyz -的系数是，次数是．2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）单项式2223xy z π-的系数是，次数是．3．（23-24七年级上·四川内江·期末）单项式325x y zπ-的系数是，次数是；题型四多项式的项、项数或次数例题：（23-24七年级上·上海·单元测试）多项式2233241x y xy x y -+-+是次项式，其中最高次项的系数是．巩固训练1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式3224534x x y xy --+是次项式，常数项是．2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）多项式2323217x y xy --的次数最高项的系数是，常数项是．3．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式33248715a b ab a b -+-的二次项系数是，三次项系数是，常数项是，次数最高项的系数是．题型五写出满足某些特征的单项式、多项式例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）写出一个含有字母x 、y 的五次单项式：．巩固训练1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为1-，含有字母x ，y 的三次单项式．2．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）请你写出一个关于x 的二次三项式，使得它的二次项系数为21-，则这个二次三项式是．3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母m 的二次三项式，它的常数项是1-，请写出一个满足条件的多项式．题型六将多项式按某个字母升幂（降幂）排列例题：（23-24七年级上·上海·阶段练习）把多项式235632x x y x --+按字母x 的降幂排列：．巩固训练1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）把多项式332223a b ab a b +--按a 的降幂排列为．2．（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习）将多项式323274x x y y xy --+-按y 的降幂重新排列为：．3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式322525m n mn n m --+按字母m 升幂排序：．题型七整式的加减运算例题：（2024七年级上·全国·专题练习）化简：(1)2222(542)(322)a ab b a ab b -++--；(2)222(456)3(256)x x x x ----+．巩固训练1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子：(1)2253215m m m m -+--+；(2)()2222523433x xy y x xy y ⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．2．（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简：(1)()()22225327a a b ab b ab ---(2)222963()3x x x x +--3．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算：(1)()()5273310x y x y ---；(2)22223355a b ab a b a b⎛⎫-+- ⎪⎝⎭4．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简：(1)()()193213y y -++；(2)221123422⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ．题型七整式加减运算中先化简再求值例题：（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）先化简，再求值：()22122332x x x y x y ⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭，其中2x =-，3y =．巩固训练1．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()22243521a b ab a b ab ba -+-+---，其中2a =，12b =.2．（23-24七年级下·河南濮阳·开学考试）先化简，再求值：()()222234a b ab a b ab a b +---，其中1a =，1b =-．3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：()()2222232xy x y xy x y xy xy --+--，其中1x =、1y =-4．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）先化简后求值：226(3)3(2)20a b a b a a b a -+-++，其中3a =-，12b =-．5．（23-24七年级下·重庆·开学考试）化简求值：()22222222a b ab a b ab ab ⎡⎤----⎣⎦，其中130a b -++=．(1)求a ，b 的值(2)化简并求出()22222222a b ab a b ab ab ⎡⎤----⎣⎦的值．题型八整式的加减运算中错解复原问题例题：（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）小明化简22(426)2(225)a a a a -----的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程：解：22(426)2(225)a a a a -----22426445a a a a =---++①2(44)(24)(65)a a =-+-++-+②21a =-③(1)他化简过程中出错的是第________步（填序号）；(2)请写出正确的解答过程巩固训练1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．()22231223ab a b a b ab ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭()()2232324ab a b a b ab =++--第一步2232324ab a b a b ab=++--第二步3ab=-第三步任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步的依据是________；②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；任务二：请直接写出该整式化简后的正确结果________．2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下面是小林同学化简的一道题，其解答过程如下：化简：()()22332x x y x y -++-+⎡⎤⎣⎦，解：原式()22632x x y x y =-+-+第一步22632x x y x y =--++第二步34x y =-第三步(1)小林同学开始出现错误是在第______步，错误的原因是__________．(2)请给出正确的解答过程．3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下面是马小虎同学做的一道题：化简：22113122323x x y x y ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解：原式22113122323x x y x y =---+………………第一步22131122233x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………第二步4x =-………………………………………………………第三步(1)上面的解题过程中最早出现错误的步骤是第步；(2)请写出正确的解题过程．4．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下面是小帆同学进行整式化简的过程，认真阅读并完成相应的问题．()211142824x x x ⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭2111822x x x ⎛⎫=-++-+- ⎪⎝⎭…………第一步2111822x x x =-+-+-………………第二步27x =--………………………………第三步(1)以上化简步骤中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________；(2)请写出正确的化简过程，并计算当12x =-时该整式的值．第四章整式的加减知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、单项式1.单项式的概念：如22xy ，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【要点提示】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。

如何判别一个多项式不可约

探索不可约多项式的应用
除了在数学理论研究中的应用外，不可约多项式在实际应用中也有着广泛的应用前景。例如，在计算机科学、信息编码等领域中，不可约多项式可以用于构造一些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项式的方法
目前我们判别不可约多项式的方法主要适用于有限域上的多项式，对于其他情况是否适用还需要进一步的研究和探索。因此，推广判别不可约多项式的方法也是未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的不可约元，即它不能被其他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是不可约元，因此它在整环中是不可约的。
不可约多项式是素数，即它没有除了1和自身以外的因数。
不可约多项式在整环中是不可约的，因此它在整环中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域具有重要研究价值，有助于深入理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的判别方法可以用于设计高效的算法，例如在符号计算、数值分析等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握多项式不可约的判别方法有助于提高数学素养和解题能力。

多项式课件

高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描述的函数关系比一次和二次多项式更为复杂，可以表示各种不同的数学关系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本组成部分，用于表示和解决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续函数，有助于理解函数的性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近似复杂函数的积分和导数。

整式辅导资料(含答案).

整式学习本节先复习单项式的系数和次数、多项式的项等概念，为学习同类项的概念及合并同类项法则做好准备.主要包括单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数.一单项式、多项式的概念及它们各自对应的系数，项这是本节的重点；【典例引路】中例2，【当堂检测】中第2题，【课时作业】中第3题。

二.正确的判断所给代数式的系数或项这是本节的难点;【典例引路】中例2，【当堂检测】中第3题，【课时作业】中第10题。

三．易错题目单项式的次数,多项式的次数是同学们易错的地方. 【典例引路】中例2，【基础练习】中第2题,【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。

知识点击一:单项式的概念及其次数与系数（1）单项式的定义：像 1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．注：①单独一个数与一个字母也是单项式．②形如21＋x 形式的代数式不是单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．知识点击二:多项式的概念及其项数与次数（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．②多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．知识点击三:整式的概念单项式和多项式统称为整式．区别是否整式：关键：分母中是否含有字母.针对性练习:一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）【解答】1．∨ 2．× 3．× 4．∨类型之一:应用创新型例1.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍多b棵，这两个班一共种了多少棵树？【解答】(2a+b+a) 棵, 是整式.类型之二:明辨是非型例2 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；（1）单项式的系数是，次数是2次．（）（2）单项式的次数是1次．（）（3）任何两个单项式的和是多项式．（）（4）是单项式．（）（5）不是单项式．（）（6）的系数是，次数是1次．（）（7）没有系数．（）（8）多项式是一次二项式．（）（9）是二次三项式．解：（1）错．的系数是－，次数是3次．（2）错．单项式的次数是3次．（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；（4）错．是多项式．（5）错．是单项式．（6）对（7）错．的系数是1．（8）错．多项式是三次二项式．（9）对说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为，而为单项式．可写成，因此多项式是二次三项式．1.下列代数式分别有几项？每一项的系数分别是多少？2x －3y 4a 2－4ab +b 2 －31x 2y +2y －x 【解答】 2x －3y 有2项，每一项的系数分别是2，－3；4a 2－4ab +b 2有3项，每一项的系数分别是：4,－4,1. －31x 2y +2y －x 有3项，每一项的系数分别是－31，2，－1. 2．若－2a m ＋2b 4是7次单项式，则m ＝_______；【解析】:m+2+4=7,m=1;3．多项式x 2－3x －4共有_____项，次数是________．【解析】3,2;4．x 2yz 的系数是________，次数是________．【解析】1, 4.5．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n=________．【解析】3.6．写出系数为5，含有x 、y 、z •三个字母且次数为4•的所有单项式，•它们分别是_______．【解析】5xy 3，5x 2y 2，5x 3y1.代数式ab －mn －81πn 2+1是哪几项的和？每项的系数分别是什么？【解析】式子中数与字母的积为一项，如ab ，－mn ，每一项应包含它前面的符号.单独一个数或一个字母也是一项，字母前的数字因数是它的系数，如ab 的系数是1，－mn 的系数是－1，－81πn 2的系数是－81π，因为π是常数. 【解答】ab －mn －81πn 2+1分别是ab ，－mn ，－81πn 2，1四项的和，每项的系数分别是1，－1，－81π，1. 2.下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，2y x －，12－x x 【解析】整式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，2y x －; 单项式: －5; 多项式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，2y x －; 3.求下列各单项式的系数及次数：73xy ，－ab 2c 【解析】73xy 的系数及次数:73,2; －ab 2c 的系数及次数:－1,4; 4.说出下列多项式为几次几项式？－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 【解析】－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．①ab 两数的积除以ab 两数的和；②ab 两数的积的一半的平方；【解析】:①ab÷(a+b)=b a ab +;（2）(ab 21)2=2241b a ;例1、将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。

多项式复习01

用字母表示数的一些要求 1．省略上的要求字母和数，字母和字母相乘时，可不写 “×”号，用“×”表示，也可以什么符号都不写，直接把数或字母写在一起。例如，a×b×c可写成a· b· c或abc； 7×x×y可写成7· x· y或7xy。字母和1相乘时，可不写1。例如，1×a就写成a，1×x就写成x。 2．顺序上的要求字母和数相乘时，省略乘号，必须把数写在字母的前面。例如，a×5要写成5· a或5a，不能写成5a。字母和字母相乘时，习惯上按英文字母顺序写（不是必须这样写）。例如x×a一般写成ax，3×b×a一般写成3ab。 3．写法上的要求相同的字母相乘，要写成乘方的形式。例如，a× a写成 2 a，x×x×x写成3 x， (a-b)×(a-b)写 2 2 a b 。成 4.带分数与字母相乘，省略乘号后，要将带分数化为假分数。
2
（2）ab πr 2 100
000 400 π
课堂
小结
这节课的学习中，你有什么新的收获和体会？
1. 多项式有关定义：
几个单项式的和叫做多项式.
多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项叫做常数项. 多项式里，次数最高的项的次数叫做多项式的次数. 2. 单项式和多项式统称为整式.
布置
作业
1．必做题：教科书58~59页练习第1、2题. 59页习题2.1第2、3题. 2. 选做题：教科书第60页第5、6题.
巩固与拓展
• 例1：判断： • ①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、 b3，次数为12；（） • ②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。（） • 例2：指出下列多项式的项和次数： • (1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。 • 例3：指出下列多项式是几次几项式。 • (1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。 • 例4：已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。

单项式与多项式ppt

多项式
多项式是数学中的一个概念，它是一个由若干个单项式组成的等式。例如，2x² + 3x + 4y²是一个二次多项式，因为它包含两个变量的最高幂为2的单项式。
单项式与多项式的应用场景
代数
在代数中，单项式和多项式经常被用于表示和解决数学问题。例如，多项式可以用来解决方程，而单项式可以用来表示一Βιβλιοθήκη 简单的数学关系。单项式与多项式
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 单项式与多项式的定义及符号 • 单项式与多项式的运算 • 单项式与多项式的应用 • 单项式与多项式的关系 • 如何学习单项式与多项式
01
引言
定义与概念
单项式
在数学中，一个单项式是一个表示数量的简单形式，由一个系数和一个变量的幂组成。例如，2x，3xy和4y²都是单项式。
拓展数学视野
了解数学的历史、文化和发展动态，拓展自己的数学视野，增加数学素养和人文素养。
THANKS
谢谢您的观看
些概念是数学中的基础。
02
解决问题
单项式和多项式可以帮助我们解决各种问题，从简单的代数问题到复
杂的科学问题。
03
发展思维
学习单项式和多项式可以发展我们的抽象思维和逻辑思维，这对我们
的学习和生活都有很大的帮助。
02
单项式与多项式的定义及符号
单项式的定义及符号
定义
单项式是只由数字和字母乘积组成的代数式，其中数字因数叫做单项式的系数，字母因数叫做单项式的次数。
降幂排列
将多项式按照次数从高到低的顺序排列，叫做降幂排列。例如，$a^3 + 2a^2b + 3ab^2 + b^3$ 可以写成 $a^3 + 3ab^2 + 2a^2b + b^3$。

初中数学中的二项式定理与多项式

性
二项式定理展开的实例
展开式：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n 实例1：(2+3)^3 = 8^3 = 512 实例2：(2-3)^3 = (-1)^3 = -1 实例3：(2+3)^4 = 8^4 = 4096
04
多项式的概念
06
多项式与二项式定理的关系
二项式定理在多项式中的应用
二项式定理的定义和性质
二项式定理在多项式中的展开式
二项式定理在多项式乘法中的应用
二项式定理在多项式除法中的应用
多项式中的二项式定理实例
二项式定理的定义：一个多项式与另一个多项式的乘积，其中每个多项式的次数不超过2
二项式定理的应用：在多项式中寻找规律，简化计算
多项式的次数和项数
多项式的次数：多项式中最高次项的次数
例如：多项式x^3+2x^2-3x+1 的次数为3，项数为4
添加标题
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添加标题
添加标题
多项式的项数：多项式中单项式的个数
多项式的次数和项数是判断多项式类型的重要依据
05
多项式的运算
多项式的加减法
定义：多项式相加或相减，合并同类项法则：合并同类项，系数相加，字母和指数不变例子：(x^2+2x-3) + (x^2-x+1) = 2x^2+x-2 注意事项：合并同类项时，要注意系数的符号，以及字母和指数的匹配
C(3,3)*b^3
整理展开后的多项式：将计算得到的各项按照一定的顺序排列，如按指数从大到
小的顺序排列
二项式定理展开的注意事项

《多项式》教学设计-01

《多项式》教学设计教学目标1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感．2．在具体情景中理解多项式概念及其多项式项数和次数的确定．教学重、难点重点：多项式概念的理解和多项式项数和次数的确定．难点：多项式的次数与多项式的项的次数的区分．教学过程一、创设问题情境1．(出示投影l)一种窗户的下半部分是宽为x ，高为y 的长方形，上半部分是直径为x 的半圆，这种窗户的面积足多少?学生活动：学生独立完成上述问题，并将结果与同伴交流．教师活动：指定学生回答，并对其结果进行订正，并指出这个代数式不是单项式．2．(出示投影2) 下列代数式：yab a x x 2,,21,54,42--中，是单项式的，请说出它的系数和次数．学生活动：学生相互讨论，互相交流．教师活动：指定学生回答，并对其结果进行订正．二、议一议，多项式的项、次数的概念1．教师提出以上问题中的代数式：54,812-+x x xy π 引导学生观察分析：这几个代数式与单项式不同，它们含有加减运算，可以把它们看作是几个单项式的和．2．师生共同归纳得出多项式概念．多项式的定义，几个单项式的代数和叫作多项式．其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式中不含字母的项叫作常数项，多项式里次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，如多项式281x xy π+称为二次二项式．单项式和多项式统称为整式．三、做一做、巩固新知(出示投影3)说出下列多项式的次数．学生活动：学生独立完成上述三个问题，并将结果与同伴交流．教师活动：引导学生按照多项式相关概念解决．指定学生同答并给出其正确答案．32)1(-x 的次数是l ；47)2(2-+x x 的次数是2；96453)3(22-+-+-y x y xy x 的次数是2．四、随堂练习课本P68第2、3题．五、小结1．几个单项式的和叫作多项式，这个“和”指的是代数和，多项式比单项式多了加减运算。

2．次数最高项的次数叫作多项式的次数，这是对多项式的各项次数进行比较后作出的选择．六、作业1．课本P69习题2．3A 组第4题，8组第2题．2．选用课时作业设计．七、教后反思第二课时作业设计一、选择题．1.222R Rh ππ+是( )．A ．一次二项式B ．二次二项式C ．三次二项式D ．四次二项式2．下列说法正确的是( )．A ．代数式35,421y x y x ++都是多项式 323523+-⋅m m B 是三次三项式C ．多项式2232b ab a -+-的各项分别是223,2,b ab a 324237.p p p D -++-是三次四项式二、填空题．1．代数式754+-ac c ab 有项，它们的系数分别是．2．一个关于y 的四次三项式不含二次项和三次项，最高项系数为,21一次项系数是-1，常数项为2的3次幂的相反数，则这个多项式是 .三、填表．。

《单项式与多项式》课件

二次方程的解法
03
二次方程是代数方程的一种，单项式和多项式在求解二次方程时也起到重要作用。通过配方、因式分解等操作，可以将二次方程化简为一元二次方程，从而求解。
函数图像的绘制
在函数的学习中，单项式和多项式常常作为函数的表达式出现。通过将函数的表达式代入坐标系中，可以绘制出函数的图像，从而直观地了解函数的性质和变化规律。
单项式乘法是指将两个单项式相乘，根据分配律，将它们的系数相乘，并将相同的字母因子相加。例如，$2x^2y times 3xy = 6x^3y^2$。
详细描述
总结词
总结词
单项式相除的规则是将被除数的系数除以除数的系数，并将相同的字母因子相减。
详细描述
单项式除法是指将一个单项式除以另一个单项式，根据除法的定义，将被除数的系数除以除数的系数，并将相同的字母因子相减。例如，$frac{4x^2y}{2x} = 2xy$。
解析几何中的代数表达
解析几何是数学的一个重要分支，它通过代数方法来研究几何问题。在这个领域中，单项式和多项式是描述几何图形的基本工具。例如，直线的方程可以用一次多项式来表示，而圆的方程则可以用二次多项式来表示。
练习题与答案
对于进阶练习题中的第一题，根据多项式的定义，多项式是由一个或多个单项式组成的代数式，所以多项式的常数项就是多项式中不含字母的项，即$5$。
详细描述
单项式与多项式的应用
代数方程的解法
01
单项式和多项式在代数方程的解法中有着广泛的应用。通过合并同类项、移项、合并常数项等操作，可以简化方程，使其更容易求解。
线性方程的解法
02
线性方程是代数方程的一种，单项式和多项式在求解线性方程时起到关键作用。通过移项、合并同类项等操作，可以将线性方程化简为一元一次方程，从而求解。

人教版初中数学同步讲义七年级上册第01讲整式(解析版)

D．4 个
【解答】解：代数式，2x3y，，，﹣2，a，7x2+6x﹣2 中，单项式有：2x3y，﹣2，a 共 3 个．
故选：C．
【即学即练 2】
9．单项式﹣2x2y 的系数和次数分别是（）
A．3，4
B．﹣2，2
C．3，﹣2
【解答】解：﹣2x2y 的系数为﹣2，次数为 2+1＝3．
故选：D．
4. 多项式的名词：
根据多项式的次数与项数把多项式命名为几次几项式。题型考点：①多项式的判断。
②多项式各项的判断。 ③多项式的次数以及命名。【即学即练 1】
（5）
书写正确；
（6）m﹣3℃前面的代数和应加括号，故原式书写错误；
符合代数式书写要求的有 3 个．
故选：C．
【即学即练 3】
3．“m 与 n 差的 3 倍”用代数式可以表示成（）
A．3m﹣n
B．m﹣3n
C．3（n﹣m）
D．3（m﹣n）
【解答】解：“m 与 n 差的 3 倍”用代数式可以表示为：3（m﹣n）．
第 01 讲整式
课程标准
①代数式及其书写要求 ②整式的概念 ③单项式 ④多项式 ⑤升幂与降幂排列
学习目标 1. 掌握代数式的概念及其书写要求，能够列简单的代数式。 2. 掌握整式的概念并判断整式。 3. 掌握单项式及其单项式的系数与次数。 4. 掌握多项式、多项式的项、多项式的次数。 5. 能够对多项式进行升幂或降幂排列。
1. 整式的概念：单项式和多项式统称为整式。简单理解：即分母中不含
题型考点：整式的判断。
字母
的式子叫做整式。
【即学即练 1】
7．下列各式：﹣ mn，m，8，，x2+2x+6，

01-矩阵多项式

矩阵多项式定义设)=+++ϕ(x ) = a 0+ a 1 x + … + a m x m是一个复数域上的多项式，则称ϕ(A ) =a 0E + a 1 A + … + a m A m为矩阵多项式．Hamilton-Cayley定理设A 是一个n 阶矩阵，f (λ)是A 的特征多项式，则f (A )=0.例如设13⎛⎞则213λ−−==01A =⎜⎟−⎝⎠，则()101f I A λλλλ=−−+2131310A ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜1010⎛()010101f A E =−−⎜⎟⎜⎟⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠显然有=0101⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0000⎛⎞=⎜⎟⎝⎠定理若λ 是A 的一个特征值，ϕ(x ) = a 0+ a 1 x + … + a m x m 是一个多项式则是个多项式，则ϕ(λ)是矩阵多项式ϕ(A ) = a 0E + a 1 A + … + a m A m 的特征值的特征值．3232:22++++λλ所对应的特征值为如E A A ExAx x A x E A A 32)32(22++=++∵22x x x x )32(32++=++=λλλλ证明因为λ为A的特征值, 即∃α≠0使Aα=λα, 所以(A k)α= λkα,即λk也是A k的特征值.因此，对于ϕ(λ) = a0+ a1 λ+ … + a m λm,ϕ()01mAα= aα+a Aα+…+a m A mα= a0α+a1λα+…+a mλmαϕ (λ)α,=,从而∃α≠0 使ϕ (A)α=ϕ (λ)α.例设3 阶方阵A 的特征值为1, −1, 2，求A * +3A −2E 的特征值．解A * +3A −2E = |A | A −1 +3A −2E = −2A −1 +3A −2E = ϕ(A ) 其中|A | = 1×(−1) ×2 = −2 ．A 的一个特征值，设λ 是A 的个特征值，p 是对应的特征向量．令2()32ϕλλλ=−+−则()A ϕ22⎛⎞例设3阶矩阵A的特征值为1,−1,2,求|A*+3A−2E|.因为A的特征值全不为0,知A可逆,故A*=|A|A−1.解而|A|=λ1λ2λ3=−2,所以=−2A−1+3A−2E.A*+3A−2E把上式记作ϕ(A),有ϕ(λ)=−2λ−1+3λ−2,故ϕ(A)的特征值为ϕ(1)=−1,ϕ(−1)=−3,ϕ(2)=3,=9.=(−1)(−3)⋅3|A*+3A−2E|于是小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：d t ();det .1E A A λ−的特征多项式计算(),,0det .2 21的全部根求特征方程E A λλλ=−;,,的全部特征值就是A n λ , .3 求齐次方程组对于特征值i λ().0 i x E A λλ=−,的特征向量就是对应于的非零解i思考题(),0A 3E det :4 的一个特征值满足条件阶方阵设∗==+A T .,0det ,2的个特征值求<A A EAA思考题解答det 0,. det(3)0A A A E <+=因为故可逆由知1解,3的一个特征值是A −1.3−−从而是A 的一个特征值即得又由,16)2det()det(2 ===E A A E A A T T det ,0det ,4det ,16(det 2<±==A A A 因此但于是,4)(−=A .34有一个特征值为故A∗。