误差分析例题
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1,2，…，n ) (6—8)【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为:第一组 —3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、-1″、—4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、—4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1〈m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==(6-10) 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106。
28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m .解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6—29)式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。
实验室误差分析大全
实验室误差分析大全在日常检测工作中，我们虽然有最好的检验方法、有检定合格的仪器设备、有满足检验要求的环境条件和熟悉检验工作的操作人员，但是,得到的检验结果却往往不可能是绝对准确的，即使是同一检测人员对同一检测样品、对同一项目的检测，其结果也不会完全一样，总会产生这样或那样的差别，也就是说，任何物理量的测定，都不可能是绝对准确的，在测得值与真实值之间总是或多或少的存在着差别，这就是误差。
误差是客观存在的，用它可以衡量检测结果的准确度，误差越小，检测结果的准确度越高。
一、误差一、术语和定义L准确度准确度指，检测结果与真实值之间相符合的程度。
（检测结果与真实值之间差别越小，则分析检验结果的准确度越高）。
2.精密度精密度指，在重夏检测中，各次检测结果之间彼此的符合程度。
（各次检测结果之间越接近，则说明分析检测结果的精密度越高）3.重复性重复性指，在相同测量条件下，对同一被测量进行连续、多次测量所得结果之间的一致性。
重复性条件包括：相同的测量程序、相同的测量者、相同的条件下，使用相同的测量仪器设备，在短时间内进行的重夏性测量。
4.再现性（复现性）在改变测量条件下，同一被测量的测定结果之间的一致性。
改变条件包括：测量原理、测量方法、测量人、参考测量标准、测量地点、测量条件以及测量时间等。
如：实验室资质认定现场操作考核的方法之一：样品复测即是样品再现性（复现性）的一种考核、样品复测包括对盲样（即标准样品）的检测，也可以是对检验过的样品、在有效期内的再检测。
或是原检测人员或是重新再安排检测人员。
派通常再现性或复现性好，意味着精密度高。
精密度是保证准确度的先决条件，没有良好的精密度就不可能有高的的准确度，但精密度高准确度不一定高;反之，准确度高，精密度必然好。
二、误差的种类、来源和消除根据误差的来源和性质，误差可以分为以下几种：L系统误差（又称规律误差）1.1系统误差的定义系统误差是指，在偏离检测条件下，按某个规律变化的误差。
误差分析例题
【例1】某电流表测得的电流示值为0.83m Ａ,查该电流表的检定证书，得知该电流表在0。
8m Ａ及其附近的修正值都为 —0。
02m Ａ，那么被测电流的实际值为多少？ 【解】：A x C =+＝0.83m Ａ+（-0。
02m Ａ）＝0。
81m Ａ【例2】某电压表的S=1。
5，计算它在0V~100V 的量限内的最大绝对误差。
【解】：该表的满量程值为Ｙm ＝100V,由式(1-8）得到△ x m ＝m γ×Ｙm ＝±1。
5 %×100＝±1。
5V【例3】检定一个1.5级、满量程值为10mA 的电流表，若在5mA 处的绝对误差最大且为0.13mA （即其他刻度处的绝对误差均小于0。
13mA ），问该表是否合格？ 【解】:根据式（1-7)，可求得该表实际引用误差为：100%m m mx Y γ∆=⨯＝mA mA10130.＝1.3 %因为m γ＝1。
3 ％ 〈1.5 %，所以该表是合格的.根据式（1—6）和式（1—8）可知，S 级仪表在其量限Y m 内的任一示值x 的相对误差为:100%m m m x x Yx xγγ∆⨯==⨯ (1-9）【例4】 某电流表为1.0级，量程100mA ，分别测100mA 、80mA 、20mA 的电流，求测量时的绝对误差和相对误差。
【解】：由前所述，用此表的100mA 量程进行测量时，不管被测量多大，该表的绝对误差不会超过某一个最大值,即△ x m ＝m γ×Ｙm =±1。
0%×100=±1 mA对于不同的被测电流，其相对误差为：111%100m x x γ∆±===±211.25%80m x x γ∆±===±315%20m x x γ∆±===±【例5】某被测电压为10V ，现有量程为150V 、0。
5级和量程为15V 、1。
实验室误差分析大全
第一部分误差理论简介在日常检测工作中，我们虽然有最好的检验方法、有检定合格的仪器设备、有满足检验要求的环境条件和熟悉检验工作的操作人员，但是，得到的检验结果却往往不可能是绝对准确的，即使是同一检测人员对同一检测样品、对同一项目的检测，其结果也不会完全一样，总会产生这样或那样的差别，也就是说，任何物理量的测定，都不可能是绝对准确的，在测得值与真实值之间总是或多或少的存在着差别，这就是误差。
误差是客观存在的，用它可以衡量检测结果的准确度，误差越小，检测结果的准确度越高。
一、术语和定义1准确度准确度指，检测结果与真实值之间相符合的程度。
(检测结果与真实值之间差别越小，则分析检验结果的准确度越高)2精密度精密度指，在重复检测中，各次检测结果之间彼此的符合程度。
(各次检测结果之间越接近，则说明分析检测结果的精密度越高)3重复性重复性指，在相同测量条件下，对同一被测量进行连续、多次测量所得结果之间的一致性。
重复性条件包括：相同的测量程序、相同的测量者、相同的条件下，使用相同的测量仪器设备，在短时间内进行的重复性测量。
4再现性(复现性)在改变测量条件下，同一被测量的测定结果之间的一致性。
改变条件包括：测量原理、测量方法、测量人、参考测量标准、测量地点、测量条件以及测量时间等。
如，实验室资质认定现场操作考核的方法之一：样品复测即是样品再现性(复现性)的一种考核、样品复测包括对盲样(即标准样品)的检测，也可以是对检验过的样品、在有效期内的再检测。
或是原检测人员或是重新再安排检测人员。
※通常再现性或复现性好，意味着精密度高。
精密度是保证准确度的先决条件，没有良好的精密度就不可能有高的的准确度，但精密度高准确度不一定高;反之，准确度高，精密度必然好。
二、误差的种类、来源和消除根据误差的来源和性质，误差可以分为以下几种：1系统误差(又称规律误差)1.1系统误差的定义※系统误差是指，在偏离检测条件下，按某个规律变化的误差。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
“酸碱中和滴定指示剂选择”误差分析案例
如果用0.1mol/L的盐酸溶液滴定已知浓度为0.1mol/L体积为20mL 的氢氧化钠溶液，假如滴定时所用盐酸体积为VmL。
我把整个滴定过程分为四个阶段，请大家共同讨论：第一阶段：为滴定时，溶液的pH值为多少？因为c（OH—）=10—1mol/L 所以c（H+）=10—13mol/L pH= -lg c（H+）= -lg10—13 =13第二阶段：滴定开始至滴定终点前，随着盐酸的加入，溶液中c （OH—）不断减小。
[例题]设滴入盐酸的体积为19.98mL（误差0.001），这时溶液的c（OH—）及pH值为多少？因为c（OH—）=（20.00mL—19.98mL）×0.1mol/L÷39.98 mL =5.00×10—5mol/L所以pOH=4.30 pH=9.7第三阶段；滴定终点时（即恰好完全反应时），此时由于盐酸和氢氧化钠恰好完全反应，V酸=V碱=20mL 溶液为中性pH=7第四阶段：滴定终点后[例题]设滴入盐酸的体积为20.02mL时（误差为0.001），这时溶液的c（H+）及pH值为多少？生：因为c（H+）=（20.02mL—20.00mL）×0.1mol/L÷40.02 mL =5.00×10—5mol/L所以pH=4.3指导学生多取了一些值，画出以下曲线：酚酞和甲基橙指示剂的选择虽然有一定的误差，但是这个误差是非常小的，小到可以忽略不计。
由曲线A可知，从滴定开始到加入19.98mLHCl溶液，即99.9%的NaOH被滴定，溶液的pH值变化较慢，共只有3.3个单位。
但从19.98mL到20.02mL即滴定终点前后，体积仅差±0.1%，pH却从9.7变化到4.3，共5.4个单位。
说明加入量虽有很小变化，但溶液立刻由碱性变为酸性。
滴定终点前后±0.1%相对误差的溶液pH的变化，在分析化学中称为滴定的pH值突跃范围。
定位误差分析计算例题解答
P.157（题3-3）习题（定位误差分析计算）解答：答：本工序铣槽要保证两个加工精度：尺寸014.054-和对称度不大于0.03。
1、采用第一种定位方案（见b 图）时，（1）对于尺寸014.054-的定位误差： )047.0(314.0021.0145sin 121.012sin 12=≤≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-∆=∆αd JB JW DW T 所以能保证尺寸014.054-的加工精度要求。
（2）对于对称度的定位误差：000=+=∆+∆=∆JW JB DW（注：由于V 形块对工件外圆定位时，其定位基准就是过外圆中心的垂直线，即垂直方向的直径，所以定位基准与对称度的设计基准重合，0=∆JB ；又由于V 形块具有自动对中作用，外圆的中心仅在垂直方向上产生位置偏差，不会在水平方向上产生偏移，所以0=∆JW 。
） 所以能保证对称度的加工精度要求。
由此可见，第一种定位方案能同时保证上述两个加工精度要求。
2、采用第二种定位方案（见c 图）时，因定位销轴水平放置，属于单边固定接触。
（1）对于尺寸014.054-的定位误差： ）（047.0314.0085.0)202.003.0()21.0202.0(=≥=+++=∆+∆=∆JW JB DW （注：由于用销轴对工件内孔进行定位，定位基准是工件内孔的中心，而设计基准是工件外圆的下母线，所以基准不重合，另外要注意到根据题目的提示：内孔与外圆还存在着同轴度公差，同轴度公差是指任意直径方向上，所以基准不重合误差既要考虑到工件外圆半径公差，还要考虑到同轴度公差在半径方向上所产生的最大偏差）所以不能保证尺寸014.054-的加工精度要求。
（2）对于对称度的定位误差： ）（01.0303.002.0002.0=≥=+=∆+∆=∆JW JB DW （注：由于销轴对工件内孔定位时，其定位基准就是内孔中心，而对称度的设计基准是外圆的中心，即垂直方向的直径，当外圆的中心与内孔的中心在水平方向上产生最大的同轴度误差时，定位基准与对称度的设计基准不重合，02.0=∆JB ；又由于水平放置的销轴也具有自动对中作用，内孔的中心仅在垂直方向上产生位置偏差，不会在水平方向上产生偏移，所以0=∆JW 。
绝对误差和相对误差计算公式例题
绝对误差和相对误差计算公式例题在我们的学习和生活中，误差这个概念可是经常会出现的。
比如说，你测量一个桌子的长度，得到的结果和实际长度之间的差异，这就是误差。
而误差又分为绝对误差和相对误差，今天咱们就来好好聊聊这两个家伙的计算公式，再通过一些例题来加深理解。
先来说说绝对误差。
绝对误差呢，就是测量值与真实值之间的差值。
计算公式就是：绝对误差 = |测量值 - 真实值| 。
举个例子哈，比如说你测量一个杯子的高度，测量出来是 15 厘米，但实际上这个杯子的真实高度是 14.5 厘米。
那这时候的绝对误差就是 |15 - 14.5| = 0.5 厘米。
相对误差呢，它是绝对误差与真实值的比值，再乘以 100% 。
计算公式是：相对误差 = （|测量值 - 真实值| / 真实值）× 100% 。
还拿刚才那个杯子举例，相对误差就是（|15 - 14.5| / 14.5）× 100% ≈ 3.45% 。
下面咱们通过几个具体的例题来实战一下。
有一次，我和朋友一起做蛋糕。
我们需要称出 200 克的面粉，结果称出来是 205 克。
这时候，绝对误差就是 |205 - 200| = 5 克，相对误差就是（|205 - 200| / 200）× 100% = 2.5% 。
你看，这一点点的误差，可能就会影响到蛋糕的口感和质量呢。
再比如，在物理实验中，测量一个电阻的阻值。
实验测量得到的值是 10.2 欧姆，但实际上这个电阻的真实阻值是 10 欧姆。
那绝对误差就是 |10.2 - 10| = 0.2 欧姆，相对误差就是（|10.2 - 10| / 10）× 100% = 2% 。
在化学实验里也常常会用到这两个误差的计算。
比如说配制一定浓度的溶液，需要称取 5 克的溶质，结果称取了 5.1 克。
绝对误差就是0.1 克，相对误差就是（0.1 / 5）× 100% = 2% 。
从这些例题可以看出，绝对误差和相对误差在我们的科学实验、日常生活中的测量等等方面都有着很重要的作用。
工程测量误差测量理论例题和习题
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1，2，…，n ） （6-8）【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10） 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S = m ，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D 及其中误差。
解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m][2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。
则最终平距可表示为：D=± m 。
第二章 误差和分析数据处理例题及解答
A．对照试验B．空白试验
C．仪器校正D．增加平行试验的次数
6．对 试样进行多次平行测定得到的平均含量为25.14%，其中某个测定值25.10%与此平均值的相对偏差为（）
A．0.16% B．0.04%
C．0.08% D．0.14%
7．下列各数中，有效数字位数为四位的是（）
2．由滴定管放出24.06mlNaOH标准溶液，其读数的绝对误差是。
3．已知某物体的真实重量是2.3281g，现称量的结果是2.3280g，则它的相对误差为
。
4．当测量次数趋近于无限多次时，偶源自误差的分布趋向。其规律为正负误差出现的概率，小误差出现的；大误差出现的。
5．下列各数的有效数字是几位？
0.0060；5.0281024；10.000；
第二章误差和分析数据处理
练习题
一、选择题
1．在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（）
A．精密度高，准确度必然高B．准确度高，精密度也就高
C．精密度是保证准确度的前提D．准确度是保证精密度的前提
2．下列各项定义中不正确的是（）
A．绝对误差是测定值与真值之差
B．相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率
C．偏差是指测定值与平均值之差
D．总体平均值就是真值
3．以下关于偶然误差的叙述正确的是（）
A．大小误差出现的几率相等B．正负误差出现的几率相等
C．正误差出现的几率大于负误差D．负误差出现的几率大于正误差
4．可用下列何种方法减免分析测试中的系统误差（）
A．进行仪器校正B．增加测定次数
C．认真细心操作D．测定时保持环境的湿度一致
1.010-5；pH=8.00；lgK=12.3。
高考物理实验常见误差总结
高考物理实验常见误差总结在进行高考物理实验时，误差是难以避免的。
为了提高实验结果的准确性，了解和分析实验中常见的误差来源是非常重要的。
本文将对高考物理实验中常见的误差进行总结和分析，以供参考。
一、系统误差系统误差是由于实验装置、实验方法或实验者的主观因素等导致的误差，具有稳定性、可重复性和规律性。
系统误差对实验结果的影响是一致的，因此可以通过校正或改进实验方法来减小其影响。
1. 实验装置的误差实验装置的误差主要包括仪器设备的制造缺陷、使用过程中的磨损和老化等。
例如，温度计的刻度不准确、电流表的内阻不稳定等，都会导致实验结果的偏差。
2. 实验方法的限制实验方法的限制主要包括实验原理的不完善、实验条件的控制不精确等。
例如，在测量重力加速度时，由于空气阻力的影响，实际测量值可能与理论值存在偏差。
3. 实验者的主观因素实验者的主观因素包括实验者的操作技能、观测能力以及对实验数据的认识等。
例如，实验者在读取测量数据时，可能会由于视觉误差而导致读数不准确。
二、偶然误差偶然误差是由于实验条件的不稳定、实验者的操作失误或其他不可预知的因素导致的误差，具有随机性、不确定性和不可重复性。
偶然误差对实验结果的影响是没有规律的，因此难以通过校正或改进实验方法来减小其影响。
1. 实验条件的不稳定实验条件的不稳定包括环境因素（如温度、湿度、噪音等）和实验设备的工作状态（如电源电压的波动、仪器的响应时间等）。
这些因素会导致实验过程中测量值的变化，从而影响实验结果的准确性。
2. 实验者的操作失误实验者的操作失误主要包括对实验设备的操作不当、读取测量数据的失误等。
例如，实验者在进行测量时，可能会忘记调零仪器、读数时没有保持视线与刻度垂直等，从而导致实验结果的误差。
3. 其他不可预知的因素其他不可预知的因素包括实验过程中的意外事件（如仪器故障、突然停电等）和实验数据处理过程中的失误。
这些因素往往难以预测和控制，对实验结果的影响具有不确定性。
定位误差计算例题
定位误差计算例题：
2．如图钻φ12孔,试分析
3．如图铣平面保证h,已知两圆 的同轴度φ ,其它已知条件见图,试分析工序尺寸h 的定位误差;
4．图示钻孔,已知条件和加工要求见图示,试分析a 、b 、c 三种定位方案中,工序尺寸L 的定位误差
5．如图车外圆,要求外圆对内孔有同轴度要求,已知心轴直径为0.009
0.02530φ--,计算工件内外圆的同轴度的定位误差△dw;
6．钻直径为φ 10的孔,采用a 、b 两种定位方案,试分别计算定位误差;
7．如图在工件上铣台阶面,保证工序尺寸A,采用V形块定位,试进行定位误差分析; 8．钻孔O,a为工序图,b~f为不同定位方案,试分别计算各种方案的定位误差;
9．如图同时钻四个φ12孔,请从左至右分别分析1、2、3、4孔的定位误差; 10．如图钻孔,保证A,采用a～d四种方案,试分别进行定位误差分析;
11．如图钻d孔,保证同轴度要求,采用a～d 四种定位方式,试分别进行定位误差分析; 12．如图铣槽,保证对称度、m或n,采用a～c三种定位方案,试分别进行定位误差分析; 13．如图在圆柱体上铣台阶面,采用b～h定位方案,试分别进行定位误差分析;。
容量瓶误差分析例题
容量瓶配置溶液误差分析例题一．用“偏大”“偏小”或“无影响”填空(1)配制450 mL 0.1 mol·L－1的NaOH溶液，用托盘天平称取NaOH固体 1.8 g________。
(2)配制500 mL 0.1 mol·L－1的硫酸铜溶液，用托盘天平称取胆矾8.0 g________。
(3)用Na2CO3·10H2O晶体配制Na2CO3溶液，Na2CO3晶体已部分失去结晶水。
用该晶体所配Na2CO3溶液的物质的量浓度________。
(4)配制NaOH溶液时，NaOH固体中含有Na2O杂质______。
(5)配制NaOH溶液时，天平的两个托盘上放两张质量相等的纸片，其他操作均正确________。
(6)配制NaOH溶液时，NaOH固体放在烧杯中称量时间过长________。
(7)天平砝码有锈蚀，其他均正确________。
(8)配制一定物质的量浓度的NaOH溶液，需称量溶质4.4 g，称量时物码放置颠倒________。
(9)配制一定物质的量浓度的硫酸溶液时，用不干燥的量筒量取浓硫酸________。
(10)用量筒量取浓硫酸倒入小烧杯后，用蒸馏水洗涤量筒并将洗涤液转移至小烧杯中________。
(11)用量筒量取浓硫酸时，仰视读数________。
(12)配制NaOH溶液时，将称量好的NaOH固体放入小烧杯中溶解，未经冷却立即转移到容量瓶中并定容________。
(13)转移到容量瓶的过程中，有少量的溶液溅出________。
(14)转移后，未洗涤小烧杯和玻璃棒，或者未将洗涤液一并转移至容量瓶中________。
(15)定容时，加水超过刻度线，用胶头滴管吸取多余的液体至刻度线________。
(16)定容摇匀后，发现液面下降，继续加水至刻度线_________________________。
(17)定容时仰视刻度线________。
(18)称量溶质的小烧杯没有干燥________。
假设检验的误差类型例题和知识点总结
假设检验的误差类型例题和知识点总结在统计学中，假设检验是一种非常重要的推断方法，用于判断关于总体的某个假设是否成立。
然而，在进行假设检验时，可能会出现两种类型的误差：第一类误差（Type I Error）和第二类误差（Type II Error）。
下面我们通过一些例题来深入理解这两种误差类型，并对相关知识点进行总结。
一、第一类误差（Type I Error）第一类误差，也称为α错误，是指当原假设（H₀）为真时，却错误地拒绝了原假设。
通俗地说，就是“冤枉好人”。
假设我们要检验一种新药是否有效。
原假设 H₀：新药无效；备择假设 H₁：新药有效。
如果实际上新药确实无效，但我们的检验结果却表明新药有效，这就犯了第一类错误。
例如，设定显著性水平α ＝ 005，这意味着我们愿意在 5%的概率下犯第一类错误。
假设我们进行了一项临床试验，得到的样本数据使得我们拒绝了原假设，认为新药有效。
但如果实际上新药在整个总体中是无效的，那么我们就犯了第一类错误。
第一类错误的概率就是我们设定的显著性水平α。
α越小，犯第一类错误的概率就越低，但同时也可能增加犯第二类错误的概率。
二、第二类误差（Type II Error）第二类误差，也称为β错误，是指当原假设（H₀）为假时，却错误地接受了原假设。
换句话说，就是“放过坏人”。
还是以新药为例，原假设 H₀：新药无效；备择假设 H₁：新药有效。
如果新药实际上是有效的，但我们的检验结果却没有拒绝原假设，认为新药无效，这就犯了第二类错误。
例如，由于样本量较小或者检验方法不够灵敏，导致我们没有检测出新药的有效性，从而错误地接受了新药无效的原假设。
第二类错误的概率β受到多种因素的影响，如样本量、效应大小、显著性水平等。
一般来说，增大样本量可以降低β错误的概率。
三、控制误差的方法为了在假设检验中尽量减少误差，我们可以采取以下方法：1、合理选择显著性水平α：α的值需要在控制第一类错误和实际需求之间进行权衡。
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1，2，…，n ） （6-8）【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10） 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106.28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。
解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS Dn m][由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D=±5 cm 。
酸碱中和滴定的误差分析
即可将管中的气泡排除。
2．(重庆市诊断题)取相同体积(0.025 L)的两份0.01 mol· L－ 1
的体积(mL)
1 2
待测盐酸的体积(mL)
0.10 0.10 22.62 22.72 20.00 20.00
3
0.10
22.80
20.00
①滴定达到终点的标志是 后一滴NaOH溶液加入，溶液由无
色变成浅红色且半分钟内红色不褪去 _____________________________________________ 。
解析：①锥形瓶不能用待测液润洗，否则结果偏高。③石蕊 不作酸碱中和滴定的指示剂，因颜色变化不明显。⑤酸式滴 定管必须润洗后再注入标准酸溶液。⑦滴定过程中眼睛注视 锥形瓶内溶液颜色的变化。 答案：D
1．(2008· 全国理综Ⅱ)实验室现有3种酸碱指示剂，其pH变色范 围如下： 甲基橙：3.1～4.4 石蕊：5.0～8.0 酚酞：8.2～10.0
等质量的Na2CO3消耗盐酸比NaOH少，所以使滴定结果偏低。
B选项盛标准盐酸的滴定管用碱液润洗，实际使盐酸浓度变稀， 需要盐酸溶液的体积变大，所以使 c(NaOH)偏高。C选项是正确 操作，无误差。D选项固体NaOH中含KOH杂质，因为等质量的 KOH消耗盐酸比NaOH少，所以使滴定结果偏低。 标准答案：B
烧杯 (或表面皿) _、________ 码、镊子)、 ___________ 药匙 。 (2)取20.00 mL待测盐酸放入锥形瓶中，并滴加2～3滴酚酞作指 示剂，用自己配制的NaOH标准溶液进行滴定。重复上述滴定操 作2～3次，记录数据如下。
【2017年整理】误差（绝对误差,相对误差等具体分析）
测量：专门设备方法----------------被测对象收集信息取得数量概念测量方式：直接测量、间接测量、联立测量 测量方法：偏差式测量法：用仪表指针的位移表示被测量（指针式仪表）零位法：指零仪表的零位来检测测量系统是否处于平衡（天平）微差法：用指示仪表测量标准量和被测量的差值（不平衡电桥）误差真值：被测量具有的真正值 三角形180等精度测量：同一条件下重复 非等精度：条件变化误差：测量值与真值的不一致1表现形式：1） 绝对误差△X ：绝对误差 X ：被测量的真值，常用约定真值代替X 0：测得值特点：① 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。
单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
② 绝对误差不能完全说明测量的准确度。
例：用某电压表测量电压，电压表的示值为226V ，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V ，被测电压的修正值为－5V ，则修正后的测量结果为226+(－5V )=221V 。
226V ：测量值 220V ：真值 －5V ：绝对误差2） 相对误差示值相对误差r ：相对误差△X ：绝对误差X 0：被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值X 来代替X 0特点：①相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示。
②相对误差常用来衡量测量的相对准确程度。
例题：用1μm 测长仪测量0.01m 长的工件，其绝对误差=0.0006m ，但用来测量1m 长的工件，其绝对误差为0.0105m 。
前者的相对误差为 后者的相对误差为 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。
引用相对误差（该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为满度误差） r m ：引用误差△Xm ：仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差Xm ：该标称范围（或量程）上限例：某被测电压为100V 左右，现有0.5级、量程为300v 和1.0级、量程为150v 两块电压表，问选用哪一块合适？当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 当用1.0级、量程为100伏的电表测量时，有如果量程选择适当，用1.0级电压表进行测量与用0.5级一样准确。
误差理论与数据处理习题(上)
第一章基本概念例题例1 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：L = 50mm δ= 0.001mm 故L0= L ±δ = 50.000 ± 0.001mm例2 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm；50.003mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：因对相同的被测量，可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。
绝对误差小者，其测量精度高。
第一种方法的绝对误差为：δ1 = (50.005 −50.000)mm = 0.005mm第二种方法的绝对误差为：δ2 = (50.003−50.000 )mm = 0.003mm∵δ2<δ1故第二种方法的测量精度高。
例3若某一量值Q 用乘积ab 表示，而a 与b 是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：式中a0、b0分别为a、b的真值。
则因此，Q 的相对误差约为f a+ f b。
例4若某一测量值Q用a与b的商a / b表示，而a与b 是各自具有相对误差f a和f b 的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：则因此，Q 的相对误差约为f a +f b。
例5通过电阻R 的电流I 产生热量（单位J）Q = I2Rt 式中的t 为通过电流的持续时间，已知I 与R 测量的相对误差为1%，t 测量的相对误差为5%，试求Q 的相对误差。
解：例6某一正态分布的随机误差δ的标准差为σ＝0.002mm，求误差值落在±0.O05mm以外的概率。
解:误差落入[—0.O05，O.O05]范围内的概率为而δ落在±0.O05mm以外的概率则为例7某一随机误差δ服从正态分布，其标准差为σ＝0.06N，给定∣δ∣≤a 的概率为0.9，试确定a的值。
解: 由对称区间概率计算公式可得由概率积分表可查得则习题1-1研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？1-2什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量的真值？为什么？1-3误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？1-4测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
误差分析
例题：用标准盐酸滴定未知浓度的氢氧化钠溶液（氢氧化钠放于锥形瓶中）下列操作（其它操作均正确），对氢氧化钠溶液浓度有什么影响？一、酸式滴定管1、未用标准液(HCl)润洗酸式滴定管2、滴定管内壁不干净，滴定后，酸式滴定管内壁挂水珠3、滴定管尖嘴处有气泡，滴定后气泡消失4、滴定操作时，有少量盐酸滴于锥形瓶外5、滴定前仰视刻度，滴定后俯视刻度二、锥形瓶6、锥形瓶内用蒸馏水洗涤后，再用待测氢氧化钠润洗2-3次，将润洗液倒掉，再装NaOH溶液7、锥形瓶用蒸馏水洗后未倒尽即装NaOH溶液8、滴定过程中摇动锥形瓶，不慎将瓶内的溶液溅出一部分。
9、指示剂滴加过多。
三、碱式滴定管10、碱式滴定管用水洗后，未用待测液润洗11、取待测液时，未将盛待测液的碱式滴定管尖嘴的气泡排除。
取液后滴定管尖嘴充满溶液四、含杂质12、在配制待测氢氧化钠溶液过程中，称取一定质量的氢氧化钠时，内含少量的氢氧化钾，用标准盐酸溶液进行滴定。
13、同上情况，若氢氧化钠部分潮解，结果如何14、同上情况，若氢氧化钠中含有少量的Na2CO3（NaHCO3），结果如何15、同上情况，若氢氧化钠中含有少量的Na2O，结果如何注：消耗1molHCl所需质量与40g比较例题：用标准盐酸滴定未知浓度的氢氧化钠溶液（氢氧化钠放于锥形瓶中）下列操作（其它操作均正确），对氢氧化钠溶液浓度有什么影响？一、酸式滴定管1、未用标准液(HCl)润洗酸式滴定管2、滴定管内壁不干净，滴定后，酸式滴定管内壁挂水珠3、滴定管尖嘴处有气泡，滴定后气泡消失4、滴定操作时，有少量盐酸滴于锥形瓶外5、滴定前仰视刻度，滴定后俯视刻度二、锥形瓶6、锥形瓶内用蒸馏水洗涤后，再用待测氢氧化钠润洗2-3次，将润洗液倒掉，再装NaOH溶液7、锥形瓶用蒸馏水洗后未倒尽即装NaOH溶液8、滴定过程中摇动锥形瓶，不慎将瓶内的溶液溅出一部分。
9、指示剂滴加过多。
三、碱式滴定管10、碱式滴定管用水洗后，未用待测液润洗11、取待测液时，未将盛待测液的碱式滴定管尖嘴的气泡排除。
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【例1】某电流表测得的电流示值为0.83m Ａ，查该电流表的检定证书，得知该电流表在0.8m Ａ及其附近的修正值都为 -0.02m Ａ，那么被测电流的实际值为多少？ 【解】：A x C =+＝0.83m Ａ+（-0.02m Ａ）＝0.81m Ａ【例2】某电压表的S=1.5，计算它在0V~100V 的量限内的最大绝对误差。
【解】：该表的满量程值为Ｙm ＝100V ，由式（1-8）得到△ x m ＝m γ×Ｙm ＝±1.5 %×100＝±1.5V【例3】检定一个1.5级、满量程值为10mA 的电流表，若在5mA 处的绝对误差最大且为0.13mA （即其他刻度处的绝对误差均小于0.13mA ），问该表是否合格？ 【解】：根据式（1-7），可求得该表实际引用误差为：100%m m mx Y γ∆=⨯＝mA mA10130.＝1.3 %因为m γ＝1.3 % <1.5 %，所以该表是合格的。
根据式（1-6）和式（1-8）可知，S 级仪表在其量限Y m 内的任一示值x 的相对误差为：100%m m mx x Y x xγγ∆⨯==⨯（1-9） 【例4】 某电流表为1.0级，量程100mA ，分别测100mA 、80mA 、20mA 的电流，求测量时的绝对误差和相对误差。
【解】：由前所述，用此表的100mA 量程进行测量时，不管被测量多大，该表的绝对误差不会超过某一个最大值，即△ x m ＝m γ×Ｙm =±1.0%×100=±1 mA 对于不同的被测电流，其相对误差为：111%100m x x γ∆±===± 211.25%80m x x γ∆±===±315%20m x x γ∆±===±【例5】某被测电压为10V ，现有量程为150V 、0.5级和量程为15V 、1.5级两块电压表，问选用哪块表更为合适？ 【解】：使用150V 电压表，最大绝对误差为：△ x m =±0.5%×150V=±0.75V则测量10V 电压所带来的相对误差为：γ1=(±0.75/10) ×100%=±7.5% 使用15V 电压表，最大绝对误差为：△ x m =±1.5%×15V=±0.225V则测量10V 电压所带来的相对误差为：γ2=(±0.225/10) ×100%=±2.25% 可见，γ2 ＜γ1，所以应该选用15V 、1.5级的电压表。
【例6】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表），求测量值的平均值及其标准偏差。
【解】：（1）计算平均值：111(528531529527531533529530532530531)11n i i x x n ===++++++++++∑=530.1℃（2）求残余误差：i i v x x =-()x σ=1.767℃（4）计算算术平均值标准偏差：0.53=℃ 【例7】已知随机误差服从正态分布，分别求出误差落在区间［-σ，σ］、［-2σ，2σ］、［-3σ，3σ］内的置信概率。
【解】：由题中所知置信因数K 分别为1、2、3，经查表得：K =1时，P =68 % K =2时，P =95.4 % K =3时，P =99.73%【例8】检查例6中的测量数据有无粗大误差，设置信概率为95%。
【解】：（1）计算得530.1x =℃ ，() 1.767x σ=℃残差中4v =3.1最大，是可疑数据。
（2）用莱特准则检验3σ =3×1.767=5.301＞4v ，故可判断测量数据中没有粗大误差。
（3）用格拉布斯准则检验n=11，P=0.95，经查表得G=2.23，G σ=2.23×1.767=3.94041＞4v ，故可判断测量数据中没有粗大误差。
【例9】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。
要求给n x x )()(σσ=【解】：(1) 求算术平均值： 1205.3016i i x x ===∑(2) 计算i i v x x =-并列入表中，验证1610ii v==∑(3) 标准偏差的估计值： ()0.04434x σ= (4) 按莱特准则检查有无粗大误差，3σ=1.330，查表5v ＞3σ，所以第5个测量数据含有粗大误差，为坏值，应剔除（5）对剩余的15个数据重新计算，205.21x =，重新计算残余误差'i v 并列入表中，验证15'10ii v ==∑，重新计算'0.27σ==，再按莱特准则检查有无粗大误差，3σ=0.81，各'i v 均小于3σ，剩余的15个数据无粗大误差（6）对'i v 作图，判断有无变值系统误差，如图1-9所示，从图中可见无明显累进性周期性系统误差图1-9 残差图（7）计算算术平均值的标准偏差 0.27()0.0715x σ===（8）写出最后结果的表达式'()205.20.2x x K x σ=±⋅=±V【例10】用用两种方法测量某电压，第一种方法测量6次，其算术平均值U 1=10.3V ，标准偏差1()0.2U V σ=；第二种方法测量8次，其算术平均值U 2=10.1V ，标准偏差2()0.1U V σ=。
求电压的估计值和标准偏差，并写出测量结果。
【解】：计算两种测量方法的权：1221()0.2W U λλσ==， 2222()0.1W U λλσ==令λ=1，则110.04W =，210.01W = 电压的估计值为： 1122121110.310.010.040.0110.14110.040.01WU W U U V W W ⨯+⨯+===++电压估计值的标准偏差为：()0.089U V σ==测量结果为：U =10.14±3×0.089=10.14±0.027V【例11】电阻R 1=2KΩ、R 2=3KΩ，相对误差均为±5%，求串联后总的相对误差。
【解】：串联后的总电阻为：12R R R =+12R R R ∆=∆+∆12(5%5%)R R R R R R γ±+∆===125%()R R R±+ =±5%【例12】用间接法测量电阻上消耗的功率。
利用公式P=IU 测量，已知γI 、 γU ，问功率的相对误差是多大？【解】：利用公式【例13】有四个500Ω电阻串联，各电阻的系统误差分别为：ε1=4Ω、ε2=2Ω、ε3=5Ω、ε4=3Ω，求串联后总电阻的系统误差？【解】：1234R R R R R εεεεε=+++=4+2+5+3=14Ω【例14】用某一型号的晶体管毫伏表3V 量程测一个100KHz 、1.5V 的电压，已知该表的固有误差为±5%（1KHz 时），频率附加误差为±3%（20Hz ～1MHz ），分压器附加误差为±10%，求测量总的相对误差。
【解】：（1）求示值相对误差：mx x xγ∆=5%30.15m m m x y V γ∆==±⨯=±0.1510%1.5x γ±==± （2）用绝对值和法计算测量的相对误差：()(10%3%10%)23%ym x f R γγγγ=±++=±++=±UI P ni i i UU I I IU U I I U P P UI I U UU PI I P x x f P γγγ+=∆+∆=∆+∆=∆=∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=∆∂∂=∆∑= 1（3）用方和根法计算测量的相对误差：14.5%ym γ==±【例15】当利用公式2P I Rt =测量直流电能量时,要求测量电能的总误差不于±1.2%，误差怎样分配?【解】：(2)P I R t γγγγ=±++若按等准确度分配,()1 1.2%0.3%4I R t γγγ===⨯±=±。
【例16】一整流电路，在滤波电容两端并联一泄放电阻，欲测量其消耗功率，要求功率的测量误差不大于±5%，初测电阻上的电压为10V ，电流80mA ，问选用哪一等级的电压表和电流表测量？【解】： 1080800R R R P U I m W ==⨯=()8005%40P mW ε≤⨯±=±，即总误差不超过40mW ，P U I p PU Iεεε∂∂=+∂∂ U I I U εε=+，按照等作用分配方法，12U P I εε≤，400.25280U V ε±≤=±⨯测量电压应选用1.5级、10V 或1.5级15V 电压表。
同理，402210I mA ε±≤=±⨯，测量电压应选用1.5级100m 电流表。
【例17】测量电阻消耗的功率时，可间接测量电阻两端的电压、流过的电流，采用不同的方案计算得到。
设电阻、电流、电压测量的相对误差为±1%、±2.5%和±2%，问采用哪种测量方案好。
【解】：方案1： P U I = (2% 2.5%) 4.5%P U I γγγ=+=±+=±方案2： 2P I R = 2(2 2.5%1%)6%P I R γγγ=+=±⨯+=± 方案3： 2P U R = 2(22%1%)5%P U R γγγ=-=±⨯+=±【例18】某标准电阻R S 的校准证书说明：标准电阻的标称值为10Ω，在23℃时，电阻大小为10.000742±0.000129，其不确定度区间的置信概率为99%。
求电阻的标准不确定度。
【解】：由校准证书的信息已知置信区间的半宽为α=129μΩ，P=0.99假设概率分布为正态分布，查表得K =2.576 电阻的标准不确定度为：()B S U R =129μΩ/2.576=50μΩ【例19】一台数字电压表出厂时的技术规范说明：“在仪器检定后的一年内，1V 的不确定度是读数的14×10-6倍加量程的2×10-6倍”。
在仪器检定后10个月，在1V 量程上测量电压，得到一组独立重复条件下测量列的算术平均值为0.928571V ，已知其A 类不确定度为14μV ，假设概率分布为均匀分布，计算数字电压表在1V 量程上的合成不确定度。
【解】：计算B 类不确定度：区间半宽α=14×10-6×0.928571+2×10-6×1=15μV概率分布为均匀分布，K()8.7B U U Kα==μV合成标准不确定度为15C U =μV例21】用一套测量系统测电流，其不确定度≤±1%，现等精密度测量11次，得到下表数据，求测量结果。