利用三角函数求解最值问题

利用三角函数求解最值问题

一、教学目标

1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半

圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面

积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。

2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文

字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化

归能力。同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用

意识和创新意识。

个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感

4、教材分析：

（1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数

的图象、三角函数的性质为必要基础。属于人教版高中《数学》第

四册（必修B）第一、三章内容。

（2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种

三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及

较少。而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能

多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联

系，感受数学的应用价值。本课为此联系生活实际提出问题，设

计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的

特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所

在。

（3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）——

自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获

得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学

模式。本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子—

锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究，

给学生提供了观察、操作、表达等机会。同时帮助学生对所学内容

进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运

用不断加深对知识本质的认识。培养了学生勇于探索、深入研究的

优秀学习品质。

(4)教学过程与方法：在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程，培养学生探

究学习、合作学习的习惯。让学生充分体会由特殊到一般的认识规律，

培养学生学会观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的方法。

5、学情与学法指导

学情分析：一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已经具备一定的观察能力，分析能力

和解题能力；另一方面师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可

适当加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生观察，归纳能

力的培养，而且要通过问题的设计激发学生自主探索的欲望。

学法指导：通过对圆、半圆、四分之一圆的内接矩形面积最大值的探索，让学生学会多角度、多方法去观察问题、分析问题、研究问题，增强化归意识。通过对

问题的不断发掘，培养学生积极参与乐于研究的良好学风。

二、教学重点、难点

重点：利用三角函数将实际问题化归

难点：寻找恰当自变量，建立函数关系式

关键：准确把握常量和变量之间的密切关系

三、教学过程与教学设计

四、学生的思维过程设计

1.设置情境,引入探究问题

师：大家都知道我们国家的森林资源非常短缺，面对这种，我们只能更充分地利用有效的资源，让它获得最大的使用效率。今天我们也从节约木材的角度出发，来探讨以下问题，大家请看大屏幕。（大屏幕出现一批圆木，然后出现一根圆木的截面）

师：这是一根圆木的截面，根据生产需求，要把它锯成横截面为矩形的木材，那么怎样锯法使得矩形面积最大？(大屏幕展示下图)

师：像这样在截面内画矩形，它的面积最大吗？ 生：不是

师：若想使面积最大，矩形还需满足什么条件？ 生：这个矩形要内接于圆。(大屏幕展示下图)

师：圆的内接矩形不止一个，究竟哪一个面积最大？

生：我们可以设这个内接矩形为ABCD ，它的对角线BD 就是圆的直径,我猜想矩形ABCD 是圆的内接正方形时，面积能达到最大。(大屏幕展示下图)

师：这是个很好的想法，能不能证明这个猜想呢？

（同学们开始动笔证起来,一会儿就有学生举手） 生：

此时四边形ABCD 是正方形。

（他的话音刚落，另一名同学又举手，她有另一种解法）

生：我的自变量设的是矩形的边CD,已知ABCD 横截面圆的半径为R ，则BD=2R 设CD=x ， 则 于是

所以当 即

，S 矩形ABCD 最大值为2R2 此时四边形ABCD 是正方形

师：这两种证法都很好，一种方法是设角，引进三角函数；一种方法是设边，转化为二次函数的最值问题，都能解出矩形面积的最大值，它们的结果还验证了刚才那位同学的猜想。结合这两种解法，我们来比较哪一种更简洁。

生：设角的方法

师：对，恰当地设角，引进三角函数可以简化问题的解决过程。这正是三角函数的魅力所在。这个问题还要我们的具体操作，你现在知道怎样来锯这根圆木了吗？

生：过圆心做两条互相垂直的直径，连接直径与圆的四交点，就是我们要求得内接正方形，沿着正方形的边来锯木料。（大屏幕显示下图）

2. 自主探索、展开讨论

师：很好。今天，我们继续从节约木材的角度出发，再来探求几个问题 探究1：若把上述问题中的圆木改换成半圆木，怎样截法得到面积最大的矩形？ 生：矩形应当是半圆的内接矩形（大屏幕显示下图），我们来求内接矩形的最大值。

,2

0）（设πθθ<<=∠DBC θ

θsin 2,cos 2R CD R BC ==则θ

θθ2sin 2cos sin 422ABCD R R S ==∴矩形。最大值为时，Ｓ４＝，即当矩形2212sin R ABCD π

θθ=2R)x 0422<<-=，（x R BC 时R x 2=()

4

2

2

242222ABCD 4244R R x x x R x R x CD BC S +--=-=-=⋅=矩形222R x =