高等数学课件D82多元函数的偏导数

x2y20 x 2 y 2 0
fxy(0,0)lyi m 0fx(0,y )yfx(0,0)
lim
y0
y y
1
二 者
fyx(0,0) lx i0m fy( x,0 ) xfy(0,0)
lim
x0
x x
1
不 等
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
ddyf(x0,y)
yy0
x
y0
y
是曲线 斜率.
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在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
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例5. 解:
求函数 zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
Hale Waihona Puke Baidu
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
o x0
x
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定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
x0x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
f1(x0,y0).
例3. 求 解: r
x 2
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的偏导数 . (P14 例4)
2x
x
x2 y2 z2 r
r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
第二节 偏导数
第八章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0,t) u(x, t )
例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x3y, x
z x (1, 2)
注意f:(x0f)x(x0lxim,y00)f ( x 0lx i0 xxm f)(x0 f ( x 0x ),y 0 ddx )xyxf(x0 x,0y0)
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同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0,y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
xx
x
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
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z y
3x2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y 2 x26x4
z x (1, 2)
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z x1 13yy2
z y (1, 2)
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例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证 xz 1 z2z yx lnxy
证:
xz 1 z
2z
yx lnxy
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
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例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x,y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, 0 ,
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
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z , f , y y
zy ,
fy(x,y), f2 (x,y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
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定理. 若 fx y (x)和 ,y fy x (x)都 ,y (x 在 0 ,y 0 )连 点 ,则 续