高等数学课件D82多元函数的偏导数
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《偏导数与高阶导数》PPT课件
fz(x,y,z) lz i 0f m (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z )
第二节 偏导数与高阶偏导数
注意！
全导数
dy f(x) dx
dy f(x)dx
偏导数的符号
z , x
z y
是一个整体记号,
不能像一元函数那样将z , z 看成是
x y
z 与 x, y的商.
2.偏导数的计算
实质上是
df(x,y0) dx
xx0
2.偏导数的计算
2.偏导数的计算
多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西.
方法: 求偏导数时,只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量, 其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进展计算即可 .
2.偏导数的计算
例1 求函数 zxy(x0) 的偏导数.
z f(x x ,y ) f(x ,y )
l i m
x x 0
x
可以看出: 定义 z 时, 变量 y 是不变的, 实际上, x
是对函数 f(x, y), 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元
函数导数的定义进展的：
x z(x 0 ,y 0 ) lx i 0fm (x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z yxy1.
x
(xa)axa1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z xylnx. (ax)axln a y
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
2.偏导数的计算
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
解
z x
ex2y2(x2y2)x 2xex2y2.
高等数学课件D82多元函数讲义的偏导数
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
23.02.2021
多元函数
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
23.02.2021
多元函数
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定理. 若 fx y (x)和 ,y fy x (x)都 ,y (x 在 0 ,y 0 )连 点 ,则 续
lim
x0
x x
1
不 等
23.02.2021
多元函数
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2yy0
x
y0
y
是曲线 斜率.
23.02.2021
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
多元函数
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
大学数学偏导数PPT课件
例6 设u eax cosby,求u的二阶偏导数 .
解 u aeax cosby, x
u beax sin by, y
2u x2
a2eax
cos by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
定理 若z f ( x, y)的混合偏导数 2z 和 2z 在D内连续, xy yx
f x( x0 , y0 ).
记作 :
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
f x ( x0 , y0 ),
f x( x0 , y0 ).
同理z f ( x, y)在( x0 , y0 )处对y的偏导数定义为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x r y r z r
x2 y2 z2
r2 r.
x y z r r r r
◆有关偏导数的两点说明： １、偏导数 z 是一个整体记号 ,不能拆分; x ２、 求分界点处的偏导数要用定义求. 例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
y y0
z () y x x0
y y0
z x x x0
y y0
z () , x x x0
y y0
高数多元函数的偏导数与全微分
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 多元函数极限与连续性 2 偏导数与全微分 3 抽象符合函数的偏导数与全微分 4 高阶偏导数，求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 多元函数极限与连续性 2 偏导数与全微分 3 抽象符合函数的偏导数与全微分 4 高阶偏导数，求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
8-2多元函数的偏导数
f x ( x0 , y0 )
d f ( x0 , y) tan f y ( x0 , y0 ) y y0 dy
是曲线
z f ( x, y) x x0
z
M 0Ty
z f ( x, y) x x0
M0
y
在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率. o
偏导数定义为
x x
xxf y ( x, Nhomakorabeay, z ) ?
f z ( x, y, z ) ?
(请自己写出)
3º 可(偏)导
若 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处的两个偏导数
f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )均存在，则称f ( x , y )
例2 证明 : 函数z
x 2 y 2 在( 0,0)点连续,
但两个偏导数均不存在 .
证 ε 0, 取δ ε ,
则当 ( x 0) ( y 0)
2 2
x 2 y 2 δ时,
便有
x 2 y 2 02 02
x2 y2 δ ε ,
故函数在点 0,0)处连续. (
四、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y) , f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同,
有下列四个二阶偏导数:
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y) ( ) 2 f x x ( x , y ); y x x y x x x
多元函数偏导数
z ∴ x z y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ,
x z 1 z + = 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , = x
z y = x ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y x ln x + = yx + ln x y x ln x y y
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续 , 能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在? 的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 不能 例如, 例如
f ( x, y) =
x +y ,
2 2
处连续, 在( 0,0)处连续
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y ) = x + y 2 , 求f x ( 0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0
3,偏导数存在与连续的关系 连续, 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续,
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
Φ = ( x, y + y ) ( x, y ); ( x, y ) = f ( x + x) f ( x, y )
u 验证函数2 ( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 2u u + 2 = 0. 斯方程 2 x y
《D82偏导数》课件
偏导数的几何意义：偏导数表示函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
偏导数的物理意义：偏导数在物理中常用于描述函数在某一点处的变化率，如温度、压力等。
偏导数的计算步骤
确定偏导数 的定义域
确定偏导数 的函数形式
计算偏导数 的值
验证偏导数 的结果
偏导数的计算实例
计算方法：使用偏导数公式进行计算 实例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数 实例2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(2,2)处的偏导数 实例3：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(3,3)处的偏导数
数值方法包括有限差分法、有限元法等
计算精度与初始条件有关
计算精度与网格划分有关
初始条件越接近真实值，计算精度越高
偏导数的误差分析
偏导数的定义：偏导 数是函数在某一点处 沿某一方向的导数
偏导数的计算方法： 使用偏导数公式进行 计算
偏导数的误差来源： 数值计算、近似计算、 计算精度等
偏导数的误差分析方法： 使用误差分析方法进行 误差分析，如误差传播 定律、误差分析公式等
在经济学中的应用
需求曲线：D82偏导数用 于计算需求曲线的斜率
供给曲线：D82偏导数用 于计算供给曲线的斜率
消费者剩余：D82偏导数 用于计算消费者剩余
生产者剩余：D82偏导数 用于计算生产者剩余
市场均衡：D82偏导数用 于计算市场均衡点
价格弹性：D82偏导数用 于计算价格弹性
在其他领域的应用
化学领域：用于描述化学反 应速率和反应平衡
生物领域：在生物学、医学等领域有广泛应用
社会领域：在社会学、心理学等领域有广泛应用
偏导数计算技术的发展方向
偏导数的物理意义：偏导数在物理中常用于描述函数在某一点处的变化率，如温度、压力等。
偏导数的计算步骤
确定偏导数 的定义域
确定偏导数 的函数形式
计算偏导数 的值
验证偏导数 的结果
偏导数的计算实例
计算方法：使用偏导数公式进行计算 实例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的偏导数 实例2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(2,2)处的偏导数 实例3：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在点(3,3)处的偏导数
数值方法包括有限差分法、有限元法等
计算精度与初始条件有关
计算精度与网格划分有关
初始条件越接近真实值，计算精度越高
偏导数的误差分析
偏导数的定义：偏导 数是函数在某一点处 沿某一方向的导数
偏导数的计算方法： 使用偏导数公式进行 计算
偏导数的误差来源： 数值计算、近似计算、 计算精度等
偏导数的误差分析方法： 使用误差分析方法进行 误差分析，如误差传播 定律、误差分析公式等
在经济学中的应用
需求曲线：D82偏导数用 于计算需求曲线的斜率
供给曲线：D82偏导数用 于计算供给曲线的斜率
消费者剩余：D82偏导数 用于计算消费者剩余
生产者剩余：D82偏导数 用于计算生产者剩余
市场均衡：D82偏导数用 于计算市场均衡点
价格弹性：D82偏导数用 于计算价格弹性
在其他领域的应用
化学领域：用于描述化学反 应速率和反应平衡
生物领域：在生物学、医学等领域有广泛应用
社会领域：在社会学、心理学等领域有广泛应用
偏导数计算技术的发展方向
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故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例 验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 .
例 求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)
大学微积分多元函数的偏导数
解
z yx y1,
x
的偏导数. z x y ln x. y
z x z ay
例3 求 z x2 3xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数.
解 z 2x 3y, z 3x 2 y.
x
y
z 8, x x1
y2
z 7.
y x1
y2
微积分（二） calculus
例4 已知 f (x, y) x ( y 1) arcsin x y
视 x 为常量， 对 y 求导.
说明
对二元函数求关于某一个自变量的 偏导数时,只需视其它变量为常量,根据 一元函数的求导公式和求导法则,求导 即可。同理可定义多元函数的偏导数
微积分（二） calculus
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如三元函数u f ( x, y, z)在( x, y, z)处的偏 导数：
f
x
(
x,
y, z)
lim
x0
f
(x x,
y, z) x
f
(x, y, z) ,
f y(x, y, z)
lim
y 0
f
(x, y y, z) y
f
(x, y, z) ,
f
z(
x,
y,
z)
lim
z 0
f (x, y, z z) z
f
(x, y, z) .
微积分（二） calculus
2.二元函数偏导数的几何意义:
解
在原点处的偏导数.
f
x(0,
0)
lim
x0
f
(x,
fy(0, 0)
lim
y0
f
(0,
《高数偏导数》课件
高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导 数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时 能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数 问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方 程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求 法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导 数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该 点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等 于函数在该点的值，即函数在该点处 具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的 切线存在，且切线的斜率等于该点处 的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该 点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积 。
高等数学-偏导数
高等数学-偏导数偏导数是多元函数微积分的重要概念，它是一个函数在某个点沿着某个方向的变化率。
通过偏导数可以研究多元函数的性质，求得最值点和方向导数等重要结果。
一、定义1.1 对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处，对x求偏导数定义为：可以理解为将y看做常数，对x进行求导。
二、求解方法偏导数的求解和一元函数的求导有些不同，需要注意以下几点：2.1 偏导数的计算只与所求变量有关，其它变量作为常数处理。
例如对于二元函数f(x,y)=xy+sin(x)其关于x的偏导数为：2.2 求偏导数时需要计算相应的极限，因此需要满足极限的存在。
例如对于二元函数f(x,y)=x^2y，f在(0,0)处的偏导数f‘ x和f ‘y均为0。
2.3 当函数存在二阶及以上的导数时，须注意求偏导数的顺序。
偏导数的计算顺序应当与求导阶数的顺序一致。
例如对于二元函数f(x,y)=xe^y+cosx，它的二阶偏导数f'' xy可以通过以下步骤求解：三、应用3.1 最值点在多元函数的优化问题中，最值点是非常重要的概念，偏导数可以帮助求解。
设f(x1,x2,...,xn)为多元函数，当它在点(x1 0,x2 0,..., xn 0)处取最大值或最小值时，称点(x1 0,x2 0,..., xn 0)为f的最值点。
最值点的判定定理为：例如对于二元函数f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3，在点(1,2)处有f‘x=2(x-1)=0，f‘y=2(y-2)=0，因此点(1,2)为可能的最值点。
通过计算可以得到：f‘‘xx=2,f‘‘yy=2,f‘‘xy=0，从而确定点(1,2)为f的最小值点。
3.2 方向导数方向导数是多元函数微积分的重要概念，它表示函数在某一方向上的变化率。
在三维空间中，每一点存在无数个方向，因此方向导数具有方向性。
设f(x,y,z)为三元函数，点P(x0,y0,z0)处的单位向量为l，其方向导数定义为：3.3 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以将一个函数在某点处的导数展开成一系列项的和，进而研究函数的性质。
高等数学偏导数PPT课件-精选文档
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
0 0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
f ( x h , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) lim x h 0 h
y
将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z y 1 yx x
z y x lnx y
a 1 ( x) a x a
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
x ( a ) aln a x
例
解
求 u e
偏导数，记为
z f x x f ( x , y ) z ， ， 或 . 0 x 0 0 x y y x x x x 0 0 0 x x y y y y
0 0
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 y 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
大学数学多元函数与偏导数
大学数学多元函数与偏导数在大学数学的学习过程中，我们会接触到许多不同的数学概念与方法。
在本篇文章中，我将为大家介绍多元函数与偏导数这一重要的数学概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、多元函数多元函数是指输入的自变量有两个或更多的函数。
一元函数是最简单的函数形式，例如 f(x)=3x+2；而多元函数则具有更复杂的形式，例如 f(x,y)=3x^2+2xy-y^2。
在多元函数中，我们可以看到自变量不再只是一个变量，而是两个或多个变量，因而需要使用更多的数学方法来处理。
在多元函数中，我们需要关注一些重要的概念，如定义域、值域和图像。
定义域是指多元函数所有自变量可能的取值范围，而值域则是指多元函数所有可能的函数值。
图像可以通过绘制多元函数在平面上的曲线或曲面来展示函数的特性。
二、偏导数偏导数是研究多元函数的关键工具之一。
它用于描述多元函数在某一个特定自变量上的变化率。
而在求解偏导数时，我们需要将其他自变量视为常数进行计算。
对于二元函数 f(x,y)，偏导数可以分为两种，即对 x 的偏导数∂f/∂x 和对 y 的偏导数∂f/∂y。
在计算偏导数时，我们按照一元函数求导的规则进行操作，将非关注的自变量视为常数，而关注的自变量则作为唯一的变量进行求导。
偏导数的求解结果可以告诉我们函数在某个自变量上的变化趋势，这对于研究函数的极值点和变化趋势非常有用。
在实际问题中，偏导数可以帮助我们优化函数模型，解决最大化或最小化的问题。
三、多元函数与偏导数的应用举例在实际生活中，多元函数与偏导数有许多应用。
以下是其中几个常见的例子：1. 优化问题：假设我们想要在规定的预算下购买食材制作一道美味的蛋糕。
我们可以将成本、原料数量和口感等因素建模为一个多元函数，并利用偏导数来确定最佳配方，使得在满足预算的情况下获得最佳的口感和成本效益。
2. 经济学：在经济学中，我们经常使用多元函数和偏导数来研究供需关系、边际效益和最优决策等问题。
例如，偏导数可以告诉我们某个产品的价格对销量的影响程度，从而帮助企业确定最佳的定价策略。
多元函数求偏导数
0.
证毕．
三、小结
偏导数的定义 （偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义
高阶偏导数
纯偏导 混合偏导（相等的条件）
思考题
若 函 数f(x,y)在 点P0(x0,y0)连 续 ， 能 否 断 定f(x,y)在 点 P0(x0,y0)
的 偏 导 数 必 定 存 在 ？
思考题解答
不能. 例如, f(x,y) x2y2,
x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobsy,
2u abaexsinby, 2u abaexsinby.
xy
yx
问题： 混合偏导数都相等吗？
例8
x3y 设f(x,y)x2y2
0
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
求f(x,y)的二阶混合. 偏导数
五 、 设 z x ln( xy ) ,求 3 z 和 3 z . x 2y xy 2
Hale Waihona Puke 六、验证:1、 z
11 ( )
e x y ,满足 x 2
z
y2
z
2z；
x y
2、r x 2 y2 z 2 满足
2r 2r 2r z. x 2 y 2 z 2 r
七、设
f
( x,
y)
x
2
arctan
解 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)3x2y(x(2x 2 y2y )2 )2 2xx3yx32x2yy2(x22x4yy2)2,
x3
2x3y2
fy(x,y)x2y2(x2y2)2,
当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
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M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
ddyf(x0,y)
yy0
x
y0
y
是曲线 斜率.
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在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
6
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
z y
3x2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y 2 x26x4
z x (1, 2)
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z x1 13yy2
z y (1, 2)
8
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例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证 xz 1 z2z yx lnxy
证:
xz 1 z
2z
yx lnxy
注意f:(x0f)x(x0lxim,y00)f ( x 0lx i0 xxm f)(x0 f ( x 0x ),y 0 ddx )xyxf(x0 x,0y0)
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同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0,y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
第二节 偏导数
第八章
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0,t) u(x, t )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
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z , f , y y
zy ,
fy(x,y), f2 (x,y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
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例5. 解:
求函数 zex2y的二阶偏导数及
z ex2y x
z y
2ex2y
3 y
z x
2
.
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
x2y20 x 2 y 2 0
fxy(0,0)lyi m 0fx(0,y )yfx(0,0)
lim
y0
y y
1
二 者
fyx(0,0) lx i0m fy( x,0 ) xfy(0,0)
lim
x0
x x
1
不 等
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
例3. 求 解: r
x 2
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的偏导数 . (P14 例4)
2x
x
x2 y2 z2 r
r z z r
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例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x3y, x
z x (1, 2)
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例如, f(x,y)
xyxx22 yy22, x2y20
0 ,
x2 y2 0
fx(x,y) yx4(x4 2x2y y2 2) 2y4, x2y20
0 ,
x 2 y 2 0
fy(x,y)
xx4( x4 2x2y y2 2) 2y4, 0 ,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证：
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
x2u2 y2u2 z2u2 r333(x2ry52z2)0
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定理. 若 fx y (x)和 ,y fy x (x)都 ,y (x 在 0 ,y 0 )连 点 ,则 续
o x0
x
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定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
x0x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
f1(x0,y0).
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
xx
x
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0