三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 一、知识点：

（一）公式回顾：

二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是

3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的

含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

（二）公式的变式

辅助角（合一）公式：

二典例剖析：

基础题型 ()）（简记：βαβαβαβα±=±C .sin sin cos cos cos ()）（简记：βαβαβαβα±±=±S .sin cos cos sin sin ()βαβαβαβα±±=±T 简记：,tan tan tan tan )tan( 1αααππαππαααααααααα222222242122222T k k C S 简记）且简记，简记

,(tan tan tan ,sin cos cos cos sin sin +≠+≠-=-==α

αααα222221122sin cos sin cos cos -=-=-=2)cos (sin 2sin 1ααα±=±αααα22sin 22cos 1cos 22cos 1=-=+22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα-=+=2cos 12sin 2cos 12cos αααα-±=+±=αααααcos 1cos 12cos 2sin 2tan +-±==.2所在的象限，注意讨论号，取决于公式前的α±αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=a b x b a x b a b x b a a b a x b x a =++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=+ϕϕtan )sin(cos sin cos sin 22222222其中

题型一：公式的简单运用

例1:

题型二：公式的逆向运用

例2:

题型三：升降幂功能与平方功能的应用

例3.

提高题型：

题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）

例1

方法：角不同的时候，能合一变换吗？

.cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(;

sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式：

πθ

θθθθθθθα

α<<=+--+-++-+-︒+-︒+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2

4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα︒︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---︒-︒-︒︒︒72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212

cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角︒++︒+=-++-x x y θθθππ

方法：

1.转化为与圆有关的最值

2.合一变换+有界性

3.万能公式换元为二次分式

题型2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示

例2

方法：1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。

证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.

（2）互余与互补

题型3：非特殊角求值

例3: .cos 22sin 23.6.)(1)3(,cos sin )(.5.)55cos(2)10sin(2.4的值域求函数的取值范围时，求的最小值为且当的值时的及取得最大值和最小值的最大值和最小值，以求函数x x y k k x f f x b x a x f x x x y +-==+=︒++︒+=π.2cos ,20,2,322sin ,912cos ][.2cos ,13

12)cos(,53)sin(,432.2.cos ,3

1)tan(,54cos ,,][.cos ,29

21)cos(,178sin ,.1βαπβπαπβαβαββαβαπαβπββααβαββααβα+<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=+<<<-=-==-=求且已知类似题的值求已知的值求为锐角类似题的值求为锐角，已知.2tan 5)22tan(2),sin(3sin 7][).tan(3tan ,sin 2)2sin(.4).sin(,13543sin 534cos 4,043,4][).sin(,43,4,4,0,131245sin ,534cos .3ββαβααβααββαβαβπαππβππαβαππαπββπαπ=++=+=-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-求证：已知类似题求证：已知求，，，已知类似题求且x x x x x x x x m x tan 1sin 22sin 47127,534cos 4.2sin ,534sin .33cot 316tan 3.2.______42sin ,cos .12-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求且已知求已知化简：则已知ππππαπαππx x x 2,4,4-+ππ 方法： 善于发现补角和余角解题，关注 三者关系

︒+︒-----︒-︒︒

︒-︒︒︒+︒-----︒︒-︒50cos 350sin 1][;10cos 310sin 1.2 sin8sin15cos7sin8cos15sin7]

[;20cos 20sin 10cos 2.1类似题类似题