初中数学竞赛《容斥原理》练习题及答案 (33)

初中数学竞赛《容斥原理》练习题

1.初三（1）班语文、英语、数学三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三

门课中，至少有一门优秀的共有22名，那么三门课全是优秀的最多有7名，最少有0名．

【分析】语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名，里面都含有一门、两门或三门优秀的和不优秀的人数，至少有一门优秀的共有22名，也包含有一门、两门或三门优秀的人数，因此按最糟情况优秀的最少0人，按最好情况考虑由容斥原理解答即可．【解答】解：语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名三个数相加，相当于把三门优秀的数了3次，至少有一门优秀的共有22名，把三门优秀的数了1次，由容斥原理得，

（15+12+9）﹣22＝14，14÷2＝7名；

如图，

由图直接看出三门课全是优秀的最多有7名，最少有0名．

故答案为7、0．

【点评】此题主要利用容斥原理，以及文氏图法两者有机结合，使问题较容易解决．