27.2.1相似三角形判定(第一课时)
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
27.2.1相似三角形的判定(SSS和SAS)
网格中的相似 如何判断网格中的三角形是？ 三角形相似的两个判定： 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
网格中的相似
如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC， ②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK， 在②～⑥中，与三角形①相似的是(B )
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
网格中的相似
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格 点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三 角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
∴△ABC~△A'B'C'.
判定的应用
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE.
判定的应用 提示：先把线段乘积转化为比例
判定的应用
如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（C ）
相似三角形的判定（SSS和SAS）
教学目标 理解三边成比例的两个三角形相似． 理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教学重点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
教学难点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
知识回顾
1．对应角_相___等___，对应边成___比__例__的两个三角形， 叫做相似三角形． 2．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例．
27.2.1相似三角形的判定(SAS)
课题：27.2.1相似三角形的判定（SAS）【教学目标】1．掌握相似三角形判定定理(SAS) ，能初步运用定理解决相关问题2．通过相似三角形判定定理(SAS)的探究归纳过程，体会类比的数学思想．【教学重点】相似三角形判定定理(SAS)的理解与应用．【教学难点】相似三角形判定定理(SAS)的证明．【教学过程】一、复习引入1．证明两个三角形全等的方法都有哪些？(SAS、ASA、AAS，SSS)2．到目前为止，我们学习过的证明两个三角形相似的方法有哪些？(定义、预备定理、SSS)【白板操作】第2页点击“心形”右边，出现已学的三种方法．二、探究相似三角形判定方法（SAS）思考：类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过两边及其夹角来判断两个三角形相似．【白板操作】第3页1．探究3（课本P44）．学生自主画图，小组讨论验证【白板操作】第4页2．学生自己写出猜想，再根据猜想的的条件和结论分别写出已知、求证、尝试自己证明。
已知：在△ABC和△A’B’C’，''''A B A CAB AC=，∠A=∠A’。
求证：△ABC∽△A’B’C’【白板操作】第5页点击图形相应位置，互相辅助线；点击“心形”右边，出现辅助线的作法；其余证明过程师生板书．3．得出定理，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．符号：在△ABC和△A’B’C’中∵''''A B A CAB AC=,∠A=∠A’简写为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．【白板操作】第6页点击“心形”右边，分别出现上述内容．三、例题例1.根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’是否相似，并说明理由．AB=7，AC=14，∠A＝60°A’B’＝6，A’C’＝3，∠A’＝60°例2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1．试判断△ADE 与△ABC 是否会相似？【白板操作】第7-8页 师生在白板上书写解答过程．四、辨析：提出问题：是否有SSA 呢？反例：''''A B A C AB AC=，∠B=∠B ’，但△ABC 与△A ’B ’D ’不相似. 【白板操作】第9页 点击“心形”右边，出现反例图形等．第10页 这里设置了屏幕遮盖．五、课堂练习1．能判定△ABC ∽△A’B’C’的条件是( ) (A)''''AB A B AC A C =,且∠A=∠A’ (B)''''AB AC A B A C = (C)''''AB AC A B A C =，且∠B=∠B’ (D)''''AB AC A B A C =，且∠C=∠C’ 2．已知△ABC 和 △A’B’C’,根据下列条件，判断它们是否相似.（1）∠A=120°，AB=7cm ，AC=14cm,∠A`=120°，A`B`=3cm ，A`C`=6cm;(2) ∠A ＝45°，AB=12cm ， AC=15cm∠A’＝45°，A’B’＝16cm ，A’C’＝20cm六、本节小结：1. 到目前为止我们所学习过的相似三角形的判定方法(定义、预备定理、SSS 、SAS)2. 证明方法小结① 化归到预备定理、构造平行、全等三角形② 类比思想【白板操作】第11页 点击“心形”右边，出现相关内容．【教学反思】。
《相似三角形的判定》完整版PPT1
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
27.2.1___相似三角形的判定____(第1课时)
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
如图,DE//BC,写出图中所有的比例式.
“A”型
A
（图1）D
AD AE DE AB AC BC
AD AB DE BC AD AE BD EC BD CE AB AC AD BD AB AE EC AC
等等
A
E
C
当D不是边AB的中点时，如图,DE//BC, △ADE与△ABC还相似吗? 说明理由.
解：相似，理由如下： 在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC AD AE ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AB AC 过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF AC BC ∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF B
,等
平行线分线段成比例定理：三条 平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等。
推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段的比相等。
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 解：△ADE∽△ABC，理由如下：
相似多边形的性质是什么？相似多边形的判定是什么？ 在相似多边形中最简单的是相似三角形,如图,△ABC 与△A’B’C’相似,它们的对应边和对应角有什么关系?
如何判断两个三角形相似呢?
相似三角形及其表示
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’ k就是它们的相似比.
A
D
D F
E
27.2.1相似三角形判定(20141219 SSS、SAS)
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB BC AC = = , 例2.如图已知, AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A D B E C
1.图中的两个三角形是否相似?
2如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠A′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '
27.2.1相似三角形的判定(第1课时)教学设计
课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时）一、教学目标知识技能1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.过程与方法1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
情感态度价值观1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
二、教学重点和难点1.重点：相似三角形的三个判定定理.2.难点：得出相似三角形的三个判定定理.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：全等三角形的四个判定定理：(1)如果两个三角形三对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS）.(2)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或）.(3)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或）.(4)如果两个三角形两对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或）. （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）（二）创设情境，导入新课师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形.师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形. （师出示下图）师：譬如△ABC和△A ′B ′C ′，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′（边讲边板书：如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′），ABBC CA A B B C C A （边讲边板书：AB BC CA A B B C C A），我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似（边讲边板书：就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似），记作△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边板书：记作△ABC ∽△A ′B ′C ′）. 师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）（三）尝试指导，讲授新课师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS 、SAS 、ASA 、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想.（生思考，要给学生充足的思考时间）师：好了，下面我们一起来考虑这个问题.师：全等三角形判定定理SSS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果ABBC CA A BB C C A ，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边作如下板书）. AB BC CA A B B C C A△ABC ∽△A ′B ′C ′师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理. 师：全等三角形判定定理SAS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形A /B /BC A /C两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结，夹角∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′论的意思是说，如果AB ACA B A CB′C′（边讲边作如下板书）.AB AC，∠A=∠A′A B A C△ABC∽△A′B′C′师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理.师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC～△A′B′C′（边讲边作如下板书）.∠A=∠A′，∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理. （师出示例题）例根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)∠A=120°，AB=7，AC=14，∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6；(2)AB=4，BC=6，AC=8，A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21；(3)∠A=70°，∠B=60°，∠A ′=70°，∠C ′=50°.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下）(3)∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.∵∠A=∠A ′=70°，∠C=∠C ′=50°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（四）试探练习，回授调节2.根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似.(1)∠B=100°，∠C=30°，∠A ′=50°，∠B ′=100°；(2)∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A=40°，A ′B ′=16，A ′C ′=20；(3)AB=4，BC=2，CA=3，A ′B ′=6，B ′C ′=3，C ′A ′=4.5.（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解这三个定理，并记住它们.（作业：P 54习题2） ////BC CA B C C A 就说△ABC 和△A ′B 记作△ABC ∽△A ′B。
27.2.1相似三角形的判定(1)(共52张)
样的关系?
第10页，共52页。
1. 对应角__相__等_, 对应边的—比—相—等—的两个(liǎnɡ ɡè)
三角形, 叫做相似三角形 2.相似三角形的—对——应—角——相—等,各对应边的——比——相等
A
如果△ ABC∽ △DEF, 那么 B
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
D
∴ AE= AC+CE=9+ 1—2 =11—2
5
5
第26页，共52页。
A
C E
练习 二: (liànxí)
(A组)
1、如图: 已知 DE∥BC,
AB = 14, AC = 18 ，
D
AE = 10，
求：AD的长。
B
(B组)
A
2、如图: 已知AB⊥BD，
C
ED⊥BD，垂足分别为 B
B、D。
求证：—AECC— ＝ —BDCC—
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长 线），所得的对应线段的比相等
第24页，共52页。
练习一:
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB ( ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC( )B
如图所示的两个五边形相似，求未知边 a、b、c、d的长度。
a=3 b=4.5 c=4
d=6
第6页，共52页。
3、 题 海 精 选
已知：如图，矩形草坪长20m,宽10m,沿 草坪四周有1m宽的环形小路,
《相似三角形判定》第一课时》教案 (省一等奖) 新人教版
第27章?相似三角形判定?第一课时教案教学目标：1、了解相似三角形形的概念。
2、使学生掌握平行线分线段成比例定理以及平行于三角形一边的直线的性质定理。
3、掌握判断两个三角形相似的方法〔预备定理〕4、让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，开展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
教学重点：平行线分线段成比例定理和判断两个三角形相似的预备定理。
教学难点：平行线分线段成比例定理和判断两个三角形相似的预备定理过程。
教学方法：讲授法教具：黑板、多媒体、三角板、量角器教学过程设计：一 复习回忆问题1：什么是相似图形？问题2：相似的图形有什么性质呢？又怎样判断其相似呢？〔用几何语言写出〕二、探索新知问题1：如图，321//// l l l 假设，AB=BC ，请同学们猜测DE 与EF的大小关系，并通过实际测量验证。
〔相等〕问题2：你能证明吗？请试一试！用面积法。
连接AE 、CE ，由于AB=BC ，那么BE 是△ACE 的中线，所以BEC ABE S S ∆∆=(同底等高的两个三角形面积相等)连接DB 、FB ，又321//// l l l ，, BEC BEF ABE D BE S S S S ∆∆∆∆==那么 BEF DBE S S ∆∆=，又△BDE 和△BEF 的高相等 根据面积公式知DE=EF问题2：321//// l l l ，猜测：假设AB=5BC ，DE 与EF 的大小关系如何？假设AB=nBC 呢？ 教师讲解：假设AB=nBC ，那么DE=nEF ，我们可以换成比的形式，即把AB=nBC 和DE=nEF 都写成n n BC AB ==EF DE , ，我们自然而然就会发现EFDE =BC AB 问题3：哪一位同学用符号语言表述一下我们的发现？假设321//// l l l ，那么EF DE =BC AB 问题4：结合问题3，你还能猜得出哪些结果？ 假设321//// l l l ，那么DF EF AC BC EF DF BC AC DE DF AB AC DF DE AC AB BC AB =====,, , , EF DE 问题5：谁能用文字语言对以上的综合发现进行表述？结果：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等顺势揭题：为了研究这节课，需要我们先来研究这个问题，它探求的就是平行线分线段的一些关系。
九年级数学《相似三角形的判定(1)》教案
《27.2相似三角形（1）》教学设计教学流程安排活动2 问题诱导探究新知1、 (教材P40页探究1)如图27.2-1,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2相交的平行线l3 , l4,l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗? 教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题：AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”教师引导归纳，并板书：平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
学生在教师的指导下通过实践操作，探索和他人合作交流各自的所得结论等活动，积累数学活动经验。
学生通过亲自动手度量，操作，计算的活动经历，感受探索的过程。
2、实践操作 再探新知思考：1、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、 思考：如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？你能否加以证明。
4、你现在能用什么方法可以说明两个三角形相似？5、如果平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所教师引导学生继续探究把图1中的直线l 1 , l 2变到相交，交点A 刚好落到l 3或l 4上，所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答，同伴交流，归纳总结。
初中人教版数学九年级下册27.2.1核心素养【教学设计】《相似三角形的判定》
《27.2.1相似三角形的判定（1）》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。
教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。
课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。
设计思路说明：“相似三角形的判定”是在学习了相似图形之后，有了相似图形、相似多边形的基础，学生不难理解相似三角形的基本性质及相似比的有关规定。
教学中结合相似多边形也不难知道相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应注意把表示对应顶点的字母写在对应位置，以便相对容易找出对应角和对应边。
全等是相似的特殊情形（相似比为1），这一点有必要让学生明白。
判断两个三角形相似的三个定理之间有内在的关联。
于是我们用测量的方法来直接归纳出结论，为了达到比较好的效果，我们设计了几道题目进行巩固。
随后利用平行线分线段成比例定理引出其推论，进而得到三角形相似的预备定理。
我们把重点放在证明预备定理上，因为其方法是非常重要的。
最后，再总结结论，拓展练习，以巩固知识的掌握程度。
教材分析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“图形与几何”，相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似三角形的判定定理。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
在讲授新知环节，教师应注重知识的逻辑性和系统性，让学生逐步掌握相似三角形的判定方法。
1.讲解平行线分线段成比例定理：从定义、性质、应用等方面进行详细讲解，让学生理解并掌握该定理。
2.演示相似三角形的判定方法：结合具体实例，通过画图、计算等方式，向学生展示如何运用比例关系判断相似三角形。
1.基础练习：针对本节课的基本概念和定理，设计一些简单题目，让学生迅速巩固知识。
2.提高练习：设计一些综合性较强的题目，让学生在解决问题的过程中，提高自己的思维能力和解题技巧。
3.个性化练习：针对学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在练习中得到提升。
4.反馈评价：教师对学生的练习情况进行及时反馈，鼓励学生优点，指出不足，并提出改进建议。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已具备了一定的数学基础和思维能力。在本节课之前，学生已经学习了三角形的性质、全等三角形的判定以及平行线的性质等内容，这为学习相似三角形的判定奠定了基础。然而，由于相似三角形的判定涉及抽象的逻辑推理和空间想象能力，部分学生对这部分内容的理解和掌握可能会存在困难。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时，通过本节课的学习，学生应当掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行线分线段成比例定理，能够准确运用该定理分析解决实际问题。
2.学会运用比例关系证明相似三角形，掌握相似三角形的判定方法。
3.能够运用相似三角形的性质，解决与相似三角形有关的问题。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维能力：
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一) 三边成比例的两个三角形相似 课件
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm.
解： AB 4 1 A'B' 12 3
BC B'C '
6 18
1 3
AC A'C '
8 21
AB A' B '
BC B'C '
AC A'C '
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的 判断?
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
A
B
C D
E
例3 如图，在△ABC和△ADE中，AB BC AC .
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
C
A′
B′
C′
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的
中点，求证：△ABC∽△EFD．
人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师要善于运用启发式教学，引导学生主动发现、总结相似三角形的判定方法，提高他们的数学素养。通过本章节的学习，使学生掌握相似三角形的判定方法，为后续几何学习打下坚实基础。
（2）结合数学学科特点，探讨相似三角形在艺术、建筑等领域的应用，撰写一篇小论文。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保解题过程的正确性和答案的准确性。
2.注重作业书写的规范性和整洁性，体现良好的学习态度。
3.鼓励学生积极参与小组合作作业，提高团队协作能力。
4.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时给予评价和指导。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似三角形的判定方法及其应用。
2.难点：相似三角形的判定过程中，学生对于比例关系的理解和运用；以及在解决实际问题时，相似变换的灵活运用。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
利用生活中常见的相似图形，如照片放大、缩小等，引导学生观察、思考相似三角形的性质。通过实际案例，激发学生探究相似三角形判定的兴趣。
1.帮助学生巩固几何基础知识，特别是全等三角形的判定方法，为学习相似三角形打下坚实基础。
2.注重培养学生的观察能力和空间想象力，提高他们发现相似三角形判定方法的能力。
3.针对学生个体差异，设计不同难度的问题，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。
4.加强对学生合作学习的引导，培养他们沟通交流、共同解决问题的能力。
（2）鼓励学生积极参与拓展性学习，提高他们的数学素养。
（3）充分挖掘学生的潜能，激发他们的创新意识。
27.2.1相似三角形的判定(第1课时)课件九年级数学人教版下册
10．(2019·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上， DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N， 则( C ) A.AADN＝AANE B.MBDN＝MCEN
C.BDMN＝MNEC D.MDNC＝BNME
11．(2019·凉山州)如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2， O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( B) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
A1 B1
a
B1 A1
A2 ( ) A3
B2 b B3 c
A2(B2)
A3
B3
m
n
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
中的相似三角形共有( C ) A.3对 B.5对
D
C
E
GF
C.6对 D.8对
A
B
解析：△AEG ∽△ADC ∽△CFG ∽△CBA.
(1)求证：△DBE是等腰三角形；
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
理解相似三角形的概念。
相似三角形的判定第一课时教案,
1.相似多边形的主要特征是什么？
2.在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且 ．我们就说△ABC与△A′B′C′，记作，它们的相似比为,△ 与△ABC的相似比为．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有,且．
3.如图,（1）在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，
课题27．2．1相似三角形的判定
（第一课时）
鹤城中学 初三年级组（潘立新）
【教学目标】
1．知识技能:(1)会用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC ∽△ ;
(2)知道当△ABC与△ 的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
2．解决问题:运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
4.用几何语言描述上述三个定理
〖设计说明〗1.通过预习作业检查和师生共同探讨，培养学生自学能力，以防差生出现
2.使学生加深对平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理的理解
2、 展示探究
例1如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
〖设计说明〗通过对相似三角形定义的回顾和特殊情况三角形的中位线出发观察讨论两三角形对应线段的比的关系，两三角形形状关系，从而引伸出平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
【教学设计】
1．预习交流
1.检查学生的预习作业，师生共同探讨预习作业的第2,3题
2.如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.
27.2.1相似三角形的判定定理(教案)
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。
27、2相似三角形的判定导学案
27.2.1相似三角形的判定（一）【学习内容】教材P40-42【学习目标】1、 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''';知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ．2、 理解掌握平行线分线段成比例定理3、三角形相似的预备定理：【学习重点】1、理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．2、三角形相似的预备定理【学习难点】1、掌握平行线分线段成比例定理应用．2、三角形相似的预备定理应用。
【学习过程】一、学生回顾，教师导学：1、相似多边形的主要特征是什么？2、相似三角形有什么性质？3、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 4、问题：（1）如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？（2）当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为___二、学生探究，教师引领[活动1] (教材P40页 探究1)(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?(2)问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_______截两条直线，所得的________线段的比________。
27.2.1相似三角形的判定(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。它在几何学中有着重要的地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常活跃。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对相似三角形判定方法的理解，还提高了合作解决问题的能力。我观察到，在小组讨论中，学生们能够相互启发，共同克服难题，这让我感到很欣慰。
不过，我也发现了一些需要改进的地方。在小组讨论中，有些学生显得不够主动，可能是因为他们对主题还不够自信。为了鼓励这些学生更多地参与进来，我可以在下一次课中采取一些策略，比如提供更多的引导问题，或者给予他们更多的时间来准备分享。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调AA、SSS、SAS这三个判定方法。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相似三角形的基本原理。
-难点二：在实际问题中运用相似三角形的判定方法。
-学生可能难以从复杂的实际问题中抽象出相似三角形的模型，需要通过案例分析和反复练习，提高学生的几何建模能力。
-举例：在解决实际问题中，指导学生如何从给定的信息中识别出相似三角形的特征，例如在测量物体高度时，如何利用相似三角形的性质来计算。
-难点三：理解相似三角形的判定方法之间的内在联系。
2.教学难点
-难点一：理解“对应角”和“对应边”的概念，以及它们在相似三角形中的应用。
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DF AC
∴
3
3
2
6 AC
B
3
F2 C
∴ AC=10 ∴AE=AC-CE=10-6=4
巩固练习： A
如图：在△ABC中，点M是BC上
D
E
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
若
BD AB
=
2 5
，求
EC AC
的值。
B 2份 M 3份 C
解：∵MD∥AC，
5份
∴△BDM∽△BAC
∴
BD BA=
BBMC=
C
l
D
l1
E
l2
F
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的对应线段成比例.
AMD
A (D)
B
E
平移
BE
平移
C
F
CF
DA
BE
C
F
D
A
平移
(E) B
CF
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的
比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
如图，在△ABC中, DE∥BC交AC于点E交AB 于点D,则△ADE与△ABC 相似吗?
A
D
E
B
C
F
相似三角形判定的预备定理：
2， 5
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
CM = 3 CB 5
反馈练习：
1、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
BE:AD=_3_:_5__，BF:FD=_3_:_5__。
A
D
F
B
EC
2、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB
B
于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若
l3
a1,a2,a3平行于l1,与l 的交
点分别为Q1,Q2,Q3.
这时你想到了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段
则： AB DE 2 . BC EF 3
我们们已经得到
若l1//l2 //l3,
AB BC
2， 3
则 DE 2 即： AB DE
EF 3
BC EF
l A B
C
BC 4
EF 4
l
D
l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
考察 AB 2 BC 3
设线段AB的中点为P1，线 段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l A
P1
B
P2 P3
C
l
D
Q1
E
l1 a1
Q2
l2 a1
Q3
F
a3
分别过点P1,P2, P3作直线
平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似。
若点D是BA延长线上的一点,过点D E
D
作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，
△ADE与△ABC相似吗?
A
∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC
G
F
B
C
相似三角形判定的预备定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形 相似。
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一 条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分 之比是2:3?
A
则 AB 2 BC 3
B C
平行线等分线段的条件 相邻的两条平行线间的距离相等
l
三条距离不相等的平行线
A
截两条直线会有什么结果?
B
猜 想 ：
若 若
AB 2 ,那么，DE ？2
BC 3
EF 3
AB 3 ， 那么, DE ？ 3
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
1、相似三角形的判定
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 角形是相似三角形.
A
B
C B′
A′∵ A A,B B,C C
AB AB
BC BC
CA CA
.
=
k
∴△ABC
C′
∽
△A´B´C´
AD:DB=3:2，则EC:BC=_3_:_5___。
D
A
EC
巩固提高：
变式3：若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE
的长度吗？
A
解：∵DE∥BC,DF∥AC
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6 ∵DF∥AC
D
E
2
பைடு நூலகம்
6
6
∴△BDF∽△BAC
∴BBCF