直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练
直线与平面平行的判定及其性质 测试题(答案)
直线与平面平行的判定和性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共26题，题分合计130分)1.直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是A.n //αB.n //α或n ⊂αC.n ⊂α或n 不平行于αD.n ⊂α3.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =4.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b6.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能8.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β9.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交11.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交12.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交13.下列命题中正确的是①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行 A.① B.③ C.①③ D.①②③14.a、b为平面M外的两条直线，在a∥M的前提下，a∥b是b∥M的A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.以上情况都不15.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l,m是α平面内的直线,且l∥β,m∥βD.l､m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β16.在空间中，下述命题正确的A.若直线a∥平面M，直线b⊥直线a，则直线b⊥平面MB.若平面M∥平面N，则平面M内任意一条直线a∥平面NC.若平面M与平面N的交线为a，平面M内的直线b⊥直线a，则直线b⊥平面ND.若平面N内的两条直线都平行于平面M，则平面N∥平面M17.设直线a在平面M内，则直线M平行于平面N是直线a平行于平面N的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件18.设a、b是平面α外的任意两条直线，则"a、b长相等"是"a、b在平面α内的射影长相等"的A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件19.如果平面α和直线l满足l和α内两条平行直线垂直,则A.l αB.l∥αC.l与α相交D.以上都不对20.如果一条直线和一个平面平行，为了使夹在它们之间的两条线段的长相等，以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行21.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有22.若直线m平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件23.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面24.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.125.如果一条直线和一个平面平行,为了使夹在它们之间的两条线段的长相等,以下结论正确的是A.其充分条件是这两条线段平行B.其必要条件是这两条线段平行C.其充要条件是这两条线段平行D.其必要条件是这两条线段平行26.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交二、填空题(共6题，题分合计25分)1.如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.2.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.4.几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为A 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝31a ，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝___________.5.如果两条直线a 与b 互相平行，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是 ．6.直线a ∥平面α，直线b 、c 都在α 内且a ∥b ∥c ，若a 到b ， c 的距离分别为d 1、d 2，且d 1＞d 2，则直线a 到α 的距离d 的取值范围是___________.三、解答题(共12题，题分合计112分)1.求证:若直线l与平面α有一个公共点,且l平行于α内的一条直线,则l α..2.如图，P是△ABC所在平面外一点，M∈PB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据Array3.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段,且直线AB、CD为异面直线,М、P分别为AB、CD的中点,求证:MP ∥α.4.ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，(1)画出过A、C、B1的平面与下底面的交线l；(2)求l与直线AC的距离.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.6.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面.7.设a、b是异面直线，自AB的中点O作平面α与a、ｂ分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点.8.求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.9.α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a,若直线a∥直线b,你能得到什么结论?10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.12.如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大.直线与平面平行的判定和性质答案一、选择题(共26题，合计130分)1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：C12.答案：D13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：B17.答案：A18.答案：A19.答案：D20.答案：A21.答案：B22.答案：A23.答案：D24.答案：A25.答案：A26.答案：C二、填空题(共6题，合计25分)1.答案：8 cm2.答案：90°3.答案：BD1∥平面AEC4.答案：a2 325.答案：b∥α或b α6.答案：) ,0(2 d三、解答题(共12题，合计112分)1.答案：见注释2.答案：见注释3.答案：见注释4.答案：. 26 a5.答案：见注释6.答案：见注释7.答案：见注释8.答案：见注释9.答案：见注释10.答案：见注释11.答案：见注释12.答案：（1）见注释（2）E为BD的中点时。
高中数学直线和平面平行与平面和平面平行专项练习
高中数学直线和平面平行与平面和平面平行专项练习【基础知识必备】一、必记知识精选1.直线和平面的位置关系.直线和平面位置关系有三种：线在面内，直线与平面平行，直线与平面相交.相交与平行又称为线在面外.2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线也和这个平面平行.可简记为：线线平行，线面平行.3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.可简记为：线面平行，线线平行.4.平面平行的定义.5.平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.简言之：线面平行，面面平行.6.平面平行的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行.简言之：线线平行，面面平行.7.平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.简言之：面面平行，线线平行.8.平面平行的传递性：如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ.二、重点难点突破(一)重点平行线的传递性,直线与平面平行的判定与性质定理，平面与平面平行的判定与性质定理.对于这部分知识的学习要注意记清条件与结论.如直线与平面平行的判定定理要求直线是平面外的直线.(二)难点直线与平面,平面与平面平行的判定定理及性质定理的应用是本节的难点.在解题时要注意与平面几何知识多联系.如在证明线面平行时，一般与公理4以及三角形的中位线、平行四边形的对边多有联系.三、易错点和易忽略点导析1.忽略定理的条件而解题错误.【例1】判断：如果一个平面内两条直线与另一平面平行，则这两个平面平行（）错解:√正确答案：×错解分析：利用平面与平面平行的判定定理判断时，忽略了平面内两条直线相交的位置关系.2.对空间中特殊的位置关系考虑不全面.【例2】已知M是两条异面直线a、b外一点，则过M且与a、b都平行的平面有几个？错解：设平面α过点M，且与a、b都平行，则直线a及其外一点M确定的平面与α的交线a′必与a平行.同理存在b′⊂α，且b′∥b，则α为a′与b′确定的平面，由于过M且与a平行的直线a′是惟一的,b′也是惟一的，因而由a′、b′确定的平面α也是惟一的.综上所述，过M且与a、b都平行的平面只有一个.正确解法：过M作直线a′∥a，过M作直线b′∥b，则a′、b′确定平面α，当a、b都不在由a′、b′确定的平面α内时，过M且与a、b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过M且与a、b 都平行的平面不存在.错解分析：错解没有注意到a⊂α或b⊂α的特殊情况，解的结果是不完整的.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面.求证：另一条也平行于这个平面.思维入门指导：作出图形如图9-3-1.欲证b∥α，想到直线和平面平行的判定定理只须在平面α内找到一条直线c，使c∥b即可，由已知条件a∥α，想到直线与平面平行的性质定理，只须过直线a作平面β与平面α相交.交线即为所成直线c，因此本题可证.已知：如图9-3-1，直线a∥b，a∥平面α，且b在平面α外.求证：b∥α.证明：过α作平面β，使它与平面α相交，设交线为c.∵a∥α，∴a∥c.∵a∥b，∴b∥c.∴b∥α.点拨：解此题易出现的错误是在找c时，直接在平面M内作直线c∥直线a，这种作法不能保证平行且无理论依据.二、应用思维点拨【例2】如图9-3-2所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）过点P所画的线和面AC是什么位置关系？思维入门指导：要过P和棱BC将木料锯开，就是要画图中BE、EF和CF各线，其中画EF 是关键，显然EF是截面与面A′C′的交线，由已知BC∥面A′C′可知EF∥BC.由于受木料形状及点P的限制，可以通过画出点P与B′C′的平行线来确定EF.解:（1）在面A′C′内，过点P画直线EF，使EF∥B′C′，EF交棱A′B′、C′D′于点E、F，连结BE、CF，则EF、BE、CF就是应画的线.BC∥面A′C′ BC∥B′C′(2) BC⊂面BC′ ⇒⇒EF∥BC面BC′ 面A′C′=B′C′ EF∥B′C′ EF⊄面AC ⇒EF∥面AC.BC⊂面AC点拨：本题的关键在于线面平行与线线平行的关系，将线面平行转化为线线平行，实现由空间向平面的转化.三、创新思维点拨【例3】已知平面α，BC∥α，D∈BC，A∉α，直线AB、AD、AC分别交α于E、F、G，且BC=α，AD=b，DF=c，求EG的长度.思维入门指导：本题涉及的主要是点、直线BC、面α,可根据其位置分情况讨论:若AB、AD 、AC 延长线分别交α于E 、F 、G ；若AB 、AD 、AC 的反向延长线分别交α于E 、F 、G;若A 与直线BC 位于α的两侧.BC ∥α,CGAC DF AD =, 解:(1)如图9-3-3(1),∵BC ⊂面ABC, ⇒BC ∥EF ⇒面ABC∩面α=EF,EG BC AG AC =, ∵c b CG AC =,c b b CG AC AC +=+,即c b b AG AC +=, ∴c b b EG BC +=,则EG=b c b a )(+.(2)如图9-3-3(2),同理EF ∥BC,则AD AF AB AE BC EG ==. ∵AF=DF-DA=c-b,∴EG=bb c a AD BC AF )(-=•. (3)如图9-3-3(3),同理EF ∥BC,则AD AF AB AE BC EG ==. ∴AF=AD-DF=b-c.∴EG=bc b a AD BC AF )(-=•. 点拨：利用点A 与线段BC 之间不同的位置关系，以及点A 、线段BC 与平面α之间的不同位置关系，进行逻辑划分.分类讨论思想是高中数学的一种重要的思想.在分类讨论时要做到理清逻辑关系，分类时做到不重不漏，即不重复讨论，也不遗漏情况.四、高考思维点拨【例4】 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.思维入门指导：证明直线与平面平行，可以利用直线与平面平行的判定定理.即由线线平行，得线面平行.在寻找线线平行的条件时，可以有多种方法.证法一：如图9-3-4（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ DC QN =.∴DCQN AB PM =. ∴PM ∥QN.即四边形PMNQ 为平行四边形.∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ，∴PQ ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK.∵AD ∥BC,∴QKAQ QB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAP QK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE.∴PQ ∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.五、经典类型题思维点拨【例5】 经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.已知：点A 在平面α外.求证：经过点A 有一个平面且只有一个平面和α平行.思维入门指导：有且只有中“有”是存在性，“只有”是惟一性.对于此类问题的证明要从存在性和惟一性两方面进行.证明：（存在性）如图9-3-5，在平面α内任意作两条相交直线a′、b′，过A在A与a′确定的平面内作直线a∥a′,同理过A作直线b∥b′,则a∥α,b∥α,且a、b为相交直线，那么经过a、b 的平面β∥α,所以经过点A有一个平面β和平面α平行.（惟一性）设平面β′经过A，且β′∥α,则A和a′确定的平面γ必与β′相交.设γ∩β′=l,A∈l且a′∥l,因为经过直线a′外一点A只有一条直线和a′平行,所以l与a重合,即平面β′过a;同理平面β′过直线b,所以平面β′是由a、b确定的平面,故β′与β重合.因此经过点A只有一个平面β∥α,所以经过A有且只有一个平面和α平行.点拨:证明平面与平面平行关键是找到一个面内的两条相交直线与另一个面平行或与另一面内的两条相交直线平行.六、探究性学习点拨【例6】尝试用多种方法证明命题：如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.已知：如图9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α2.求证：a∥b.思维入门指导：证明几何问题的一般思路是由求证想判定，即由题的“终结”回想证明它有什么样的方法;由已知想性质,即由题设条件,想到由题设能推出什么样的性质.本题中,要证明a∥b,因为直线b是平面α1和平面α2的交线,所以首先应将a平移到平面α1和α2内,使其与直线b 发生联系.证法一：过直线a作两个平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.∴c∥d.∵d⊂面α2,c⊄面α2.∴c∥面α2.又∵c⊂面α1，面α1∩面α2=b，∴c∥b.∴a∥b.证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.∵a∥面α1，a∥面α2,∴a∥k，a∥l，则k∥l∥a.∵三个平面α1、α2、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α1相交于l1，和平面α2相交于直线l2.∵a∥面α1,a∥面α2,∴a∥l1,a∥l2.∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1⊂面α1，l2⊂面α2，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b⊂面α,且a∩b=○,则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；a⊂β,α∩β=b,则a∥b.【同步达纲训练】A卷:教材跟踪练习题(60分45分钟)一、选择题（每小题5分，共30分）1.若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论中正确的是( )A.α内的所有直线与m异面B.α内不存在与m平行的直线C.α内存在惟一的直线与m平行D.α内的直线与m相交2.两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能3.已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b（）A.a∥α,b∥αB.a⊥c，b⊥cC.a、b与c成等角D.a∥c，b∥c4.具备下列哪个条件时，两个平面一定平行（）A.一个平面内有两条直线平行于另一个平面B.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面C.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面D.一个平面内有两条直线平行于另一个平面内的两条直线5.如果平面α平行于平面β，那么（）A.平面α内任意直线都平行于平面βB.平面α内仅有两条相交直线平行于平面βC.平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线D.平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直6.经过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（）A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个二、填空题（每小题4分，共16分）7.a、b是异面直线，α、β是平面，a⊂α，b⊂β.甲：α∥β,b∥α,则甲是乙的条件.8.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是a，过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= . 上底面棱AD上的一点,AP=39.过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个.10.给出条件：①α内有两条相交直线分别平行于β；②α内有无数条直线平行于β；③α内有两条直线分别平行于β内的两直线.其中能成为α∥β的必要不充分条件的是.三、解答题（每小题7分，共14分）11.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.12.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.B卷:综合应用创新练习题（85分60分钟）一、学科内综合题（每小题5分,共10分）1.三条直线a、b、c两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行、则a与b所成角的度数为.2.空间四边形ABCD中,AC=2cm,BD=4cm,AC与BD成45°角,M、N、P、Q分别是四边中点,则四边形MNPQ的面积是.二、应用题（每小题1O分，共20分）3.教室内，日光灯管所示直线与地面平行，若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线平行，该怎样作出？4.桌面β与水平面α平行,在桌面上有一块三角形钢板ABC,AB=24cm,BC=32cm,AC=40cm.在β与α之间有一点P,如图9-3-7所示,直线AP、BP、CP分别交α于点A′、B′、C′,且PA′:PA=2:3，求△A′B′C′所占地面的面积.三、创新题（45分）（一）教材变型题(10分)5.（P16例1变型）如图9-3-8，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH.（二）一题多解(10分)6.正方体AC1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN.求证：MN∥面AA1B1B.（三）一题多变(10分)7.已知直线a⊂α，则b∥a是b∥α的条件.(1)一变：已知直线a⊂α，b⊄α,则b∥a是b∥α的条件.（四）新情境题(15分)8.如图9-3-9，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）A1B1C1C2D2A2中，每相邻两边互相垂直，边长均为a,并且A2A1∥C2C1.求证：面A2B1C2∥面A1C1D2.四、高考题(10分)9.（2000，上海）设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若α∥γ，β∥γ，则α∥β.其中正确的个数是（）A.OB.1C.2D.3加试题：竞赛趣味题(15分)证明：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积.【课外阅读】数学证明与解释1.数学证明数学证明是数学中根据某些命题的真实性，来推断另一个命题的真假的一种思维过程，通常推断命题为真，叫做证明为真，也称为证明；而推断命题为假，叫做证明为假，也称为反驳.关于证明应注意两点：(1)命题的“真假”总是相对于某个数学理论来说的，因为“真假”在数学中具有相对性.在整数集中，无倍数关系的两个数的除法就已无意义,即是“假”的；在实数范围内负数不能开偶次方；在初等数学看来,高等数学的一些命题是不真的.实际上，证明也总是在一定的数学理论体系内进行的.(2)证明是一种逻辑推理过程，要求具有一定的逻辑性和严谨性，即数学推理的严格性，重要的是推理要有依据（公理和已证定理）和要严格遵守逻辑规则.注意，这些逻辑规则是假定先于数学而存在的.数学证明所应遵守的一般逻辑规则是：(1)可以在一个证明的任何地方引入一个前提（依据）.(2)如果一个证明中有一些先引入的前提，这些前提的合取可以逻辑地推出一个命题P，那么就可以在这一证明中引入这个命题P.(3)如果能从一个命题R和一个前提集合推导出命题S，那么就可以从这个前提集合本身推导出命题R→S.2.解释对于一个理论系统∑，若有一组具体事物M，其性质是已知的，在规定∑中每一基本概念指M中某一具体事物后，可验证∑的每个公理在M中都成立，则称M为理论系统∑的一个解释，或一个模型、一种应用.解释的方法在数学中也是很常用的.例如中学立体几何课程的若干直观教具(正方体等模型),就是中学几何中提供的三维欧氏空间理论的一个解释.在证明一个公理系统自身所必须满足的某些性质如无矛盾性、独立性和完全性等方面时，解释的方法是惟一有效的.现代数学的形式系统中，所处理的只是各种符号和符号序列及其变形，它们的数学意义是靠解释来给定的.参考答案A卷一、1.B 点拨：直线m不平行于α，且m α，则m必与α相交.2.D3.D 点拨：由平行公理可知选项D正确.A、B、C中直线a、b的位置关系可以为平行，异面或相交.4.C 点拨：按照直线与平面平行的定义，注意区分“无数”与“任何”.5.A 点拨：由平面与平面平行的性质定理知A正确;C中直线也可以是异面;D中两直线可以异面垂直.6.C 点拨：若两点在平面两侧测过两点不可能作平面与已知平面平行；若两点在平面同侧且连线平行于平面，则可有一个平面过直线已平行于已知平面；若两点在同侧且连线与平面相交,则不存在符合要求的平面.二、7.充分且必要条件 点拨:过a 作平面 交平面β于直线a′,则a′与b 相交，且a′∥β，又b ∥β故由判定定理知α∥β.反之，α∥β，由性质定理知必有a ∥β,b ∥α. 8.332 a 点拨：如答图9-3-1.∵M 、N 为A 1B 1、B 1C 1的中点,∴MN ∥面AC ，则过点P 、M 、N 的平面与上底面的交线平行于MN.连结AC ，过P 作PQ ∥AC 交DC 于点Q.则PQ 为面MNP 与面AC 的交线.∵AC ＝2a ，AP ＝3a ，∴PQ ＝322 a. 9.无数个 点拨：门扇绕一边门框转动时，门扇所在平面与另一门框所在直线始终是平行的.10.②③ 点拨：若α∥β则α内任何直线与平面β都平行，但α与β相交时α内也有无数条直线与β平行，所以选②；要判断两平面平行依据必须是相交的两直线.三、11.证明：如答图9-3-2，连结AC 交BD 于点O .∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内，且O Q 是△APC 的中位线，∴PC ∥O Q.∵PC 在平面BDQ 外，∴PC ∥平面BDQ.12.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如答图9-3-3，则由正方体性质得B 1D 1∥BD.∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点，∴EF ∥21B 1D 1. ∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD.∴MN ∥面EFBD.∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形.∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ，∴平面AMN ∥平面EFBD.B 卷一、1.60° 点拨：由题中条件知经平移三条异面直线可以平移到同一个面内转化为三条相交直线，且夹角相等，故所成角为60°.2.2cm 2 点拨:如答图9-3-4，M 、N 、P 对分别为四边中点，MN ∥21AC ，MQ ∥21BD.∴四边形MNPQ 为平行四边形，且∠MNP=45°或∠QMN=45°.∴S □MNPQ =2S △QMN =2×21·MQ·MN·sin45°=2(cm 2). 二、3.解：过日光灯管的两端向平面引垂线，连结两垂足的直线与日光灯管所示直线平行.4.解:∵α∥β,且β∩面ABA′B′=AB,面α∩面ABA′B′=A′B′,∴AB ∥A′B′.又∵PA′:PA=2:3,∴A′B′:AB=2:3.同理A′C′:AC=2:3,B′C′:BC=2:3.则A′B′=16,B′C′=364,A′C′=380. ∴A′B′2+B′C′2=A′C′2,∴S △A′B′C′=21·A′B′·B′C′=17032cm 2.故△A′B′C′所占地面的面积为17032cm 2. 三、(一)5.证明:∵HG ∥FF.EF ⊂面ABC ，HG ⊄面ABC ，∴HG ∥面ABC.∵HG ⊂面ABD ，面ABD∩面ABC=AB ，∴HG ∥AB.又HG ⊂面EFGH ，AB ⊄面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH.同理可证CD ∥平面EFGH.（二）6.证法一：作ME ∥BC ，NF ∥AD 分别交BB 1和AB 于E 、F ，连结EF.如答图9-3-5.由BC ME =CB M B 11与AD NF =BD BN , 又由已知CM=DN ，可证得ME ∥NF.∴MNFE 是平行四边形.∴MN ∥EF.又MN ⊄平面ABB 1A 1，EF ⊂平面ABB 1A 1，∴MN ∥平面ABB 1A 1.证法二：连接CN 设交AB 于H ，连接HB 1.∵DC ∥BH ，∴CH CN =DBDN . 又CM=DN ，DB=CB 1，∴CH CN =1CB CM , ∴NM ∥HB 1.又MN ⊄平面ABB 1A 1，B 1H ⊂平面ABB 1A 1，∴MN ∥平面ABB 1A 1.（三）7.既不充分也不必要 点拨：b ∥a ，则b 可能在α内;b ∥α，则b 与a 可能异面.(1)充分不必要.（四）8.证明：如答图9-3-6，构造正方体A 1C 2，易证面A 2B 1C 2∥面A 1C 1D 2.四、9.B 点拨：命题①中a 、b 可以平行、相交或异面；命题②中α,β可以相交；命题③依据平面平行的传递性知其正确.加试题：证明：设正方体的棱长为a.易知截面为四边形或六边形.若为四边形，那么它与正方体一相对侧面不相交，且截面在这两个侧面上的射影为整个侧面，从而命题成立.若截面为六边形，考察侧面展开图可知截面周长P≥32a ，从而S ＞21·P·2a ≥423a 2＞1.06a 2＞a 2，所以命题得证.。
直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练
直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练1、、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。
2、如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF 有一条公共边CD ,M 为FC 的中点 , 证明: AF3、如图6-9，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心.求证：面A B C '''∥ABC 面.A 1ED 1C 1B 1DCBAM ABCDEFv1.0 可编辑可修改4、 在长方体ABCD —A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的 截面，并说明理由.（2）设E ，F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线EF5、、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨABCC 1DA 1B 1D 1∥ＦＧ．求证：EH∥BD. (12分)6、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//PC平面BDQ．（自己作图）HG FEDBACv1.0 可编辑可修改7、如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．8、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．。
点线面关系知识总结和练习题
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
直线、平面平行的判定及其性质_测试题有详解
直线、平面平行的判定及其性质 测试题〔有详解〕A一、选择题1．以下条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是〔 〕A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则以下结论成立的是〔 〕A ．α的所有直线与m 异面B ．α不存在与m 平行的直线C ．α存在唯一的直线与m 平行D ．α的直线与m 都相交5．以下命题中，假命题的个数是〔 〕① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则以下判断正确的选项是〔 〕A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如以下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：〔1〕MN //B 1D 1；〔2〕AC 1//平面EB 1D 1；〔3〕平面EB 1D 1//平面BDG . B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在以下条件下，可判定α∥β的是〔 〕A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是〔 〕A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的选项是〔 〕A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线假设同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是〔 〕A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.以下四个命题中，正确的选项是〔 〕①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则以下结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：其中正确的命题是________________.〔将正确的序号都填上〕8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，假设AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如以下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC . C1.平面两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；〔2〕假设AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE "假设存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.参考答案A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8.①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：〔1〕 M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1〔2〕〔法1〕连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1〔法2〕作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1 〔3〕因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，假设a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，假设A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，假设a∥b，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】假设直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图〔1〕，由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68. 如图〔2〕，由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.〔1〕证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC.ME ⊄α，∴ME ∥α.同理可证，NE ∥BD.又α∥β，设CB 与DC 确定的平面BCD 与平面α交于直线CF ，则CF ∥BD ，∴NE ∥CF. 而NE ⊄平面α，CF ⊂α，∴NE ∥α.O F A B CD P E又ME ∩NE=E ，∴平面MNE ∥α，而MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面α.一、选择题1．以下条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是〔 〕A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则以下结论成立的是〔 〕A ．α的所有直线与m 异面B ．α不存在与m 平行的直线C ．α存在唯一的直线与m 平行D ．α的直线与m 都相交5．以下命题中，假命题的个数是〔 〕① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则以下判断正确的选项是〔 〕A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如以下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：〔1〕MN //B 1D 1；〔2〕AC 1//平面EB 1D 1；〔3〕平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在以下条件下，可判定α∥β的是〔 〕A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是〔 〕A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的选项是〔 〕A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线假设同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是〔 〕A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.以下四个命题中，正确的选项是〔 〕①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则以下结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：其中正确的命题是________________.〔将正确的序号都填上〕8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，假设AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如以下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NP DN，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；〔2〕假设AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE "假设存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.参考答案A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8.①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：〔1〕 M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1〔2〕〔法1〕连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1〔法2〕作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1 〔3〕因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，假设a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，假设A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，假设a∥b，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】假设直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图〔1〕，由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68. 如图〔2〕，由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.〔1〕证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC.ME ⊄α，∴ME ∥α.同理可证，NE ∥BD.又α∥β，设CB 与DC 确定的平面BCD 与平面α交于直线CF ，则CF ∥BD ，∴NE ∥CF. 而NE ⊄平面α，CF ⊂α，∴NE ∥α.O F A B CD P E又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.。
专题08 空间直线与平面的平行问题-高中数学专项训练测试卷(解析版)
专题08空间直线与平面的平行问题知识点1直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.3、图形语言：知识点2直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.3、图形语言：知识点3平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．知识点4平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.3、图形：4、平面与平面平行其他常用性质推论（1）平行于同一个平面的两个平面平行.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.知识点5三种平行关系的转化考点1平行关系的判定【例1】（2023春·全国·高一专题练习）已知a ，b ，c 为三条不同的直线,,αβγ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若//αβ，//a α，则//a βD ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c【答案】D【解析】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，故A 选项错误；若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ或α与β相交，故B 选项错误．若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂，故C 选项错误；若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c ，正确，证明如下：//a b ，a γ⊄，b γ⊂，//a γ∴，又a α⊂，且c αγ⋂=，//a c ∴，则//b c ，故D 选项正确；故选：D ．【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知直线a ，b ，c ，平面α.下述命题中，真命题的个数是（）（1）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 是异面直线；（2）若a b ，b c P ，则a c P ；（3）若a b ，b α⊂，则a αP ；（4）若a αP ，b αP ，则a b ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】（1）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题错误；（2）由线线平行关系的传递性可知，命题正确；（3）由线面平行的判断定理可得a αP 或者a α⊂，命题错误；（4）由线面平行的概念可知，a 与b 相交，或者平行或者a 与b 异面，故命题错误.综上所述，真命题的个数是1.故选：A.【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a //c ，b //c ⇒a //b ；②a //β，b //β⇒a //b ；③a //c ，c //α⇒a //α；④a //β，a //α⇒α//β；⑤a ⊄α，b ⊂α，a //b ⇒a //α.其中正确的命题是（）A ．①⑤B ．①②C ．②④D ．③⑤【答案】A【解析】对于①，由平行的传递性公理，则正确；对于②，由//a β，b β//，则,a b 共面或异面，故错误；对于③，由//a c ，//c α，则//a α或a α⊂，故错误；对于④，由//a β，//a α，则,αβ平行或相交，故错误；对于⑤，由a α⊄，b α⊂，//a b ，根据线面平行判定定理，可得//a α，故正确.故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中真命题为（）A ．若,m n αα⊂∥,则m n∥B ．若,m m αβ∥∥,则αβ∥C ．若,m αββ⊂∥,则m αD ．若,m αβα∥∥,则m β【答案】C【解析】由题知,不妨将,m n ,,αβ放在长方体中可知,关于选项A,如图所示可知A 错误,关于选项B,如图所示可知B 错误,关于选项D,如图所示可知D 错误,根据面面平行的性质定理可知,选项C 正确.故选:C【变式1-4】（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①a α⊂、b β⊂，a β∥，b αP ；②αγ∥，βγ∥；③αγ⊥，βγ⊥；④a α⊥，b β⊥，a b ．则αβ∥的充分条件可以是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】因为a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①a α⊂、b β⊂，a β∥，b αP ，则α与β平行或相交，故①错误；②αγ∥，βγ∥，则αβ∥，故②正确；③αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故③错误；④a α⊥，b β⊥，a b ，则αβ∥，故④正确；综上②④正确，故选：D【变式1-5】（2023·全国·高一专题练习）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A ，由正方体的性质可得////MN EF AC ，可得直线//MN 平面ABC ，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN AD，可得直线//MN平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BDMN，可得直线//MN平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：D.考点2线线平行的证明中，底面ABCD为矩【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD形，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F．求证：//AD EF.【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD 为矩形，所以，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以，//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面ADE ，平面ADE 平面PBC EF =，所以，//AD EF .【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，已知2AB =，3PA =，E ，G 分别为PB ，PD 的中点，平面AEG 平面ABCD l =．求证：//EG l ；【答案】证明见解析【解析】证明：连接BD ，∵E ，G 分别为PB ，PD 的中点，即EG 是三角形ABD 的中位线，∴//EG BD又∵EG ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴//EG 平面ABCD ，又∵EG ⊂平面AGE ，平面AGE 平面ABCD l =，∴//EG l【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点．设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点.【答案】证明见解析【解析】如下图所示：因为四边形ABCD 为矩形，则//CD AB ，因为CD ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，所以，//CD 平面ABE ，因为CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABE EF =，所以，//EF CD ，又因为E 为PC 的中点，所以，点F 为PD 的中点.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，其中侧面11B BCC 为平行四边形，,E F 分别为11,BC B C 的中点，P 在线段AE 上，且满足:1:2AP PE =，过11B C 和点P 的平面交AB 于G ，交DC 于H .证明：11//B C GH ；【答案】证明见解析【解析】由题意四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面ABCD //平面1111D C B A ，因为过11B C 和点P 的平面交AB 于G ，交DC 于H ，则,G H ∈平面ABCD ，设过11B C 和P 的平面为α，则平面ABCD GH α= ，平面111111A B C D B C α= ，11B C ∴//GH .【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC【答案】证明见解析【解析】由题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∴平面//BCF 平面ADE ，而平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE 平面ABCD BC =，∴//AD BC .考点3线面平行的证明【例3】（2023·全国·高一专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，15AA AB ==，D 是AB 的中点．（1）求三棱锥1D BCB -的体积；（2）求证：1//AC 平面1CDB ；【答案】（1）5；（2）证明见解析【解析】（1）因为3AC =，4BC =，15AA AB ==，所以222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又D 是AB 的中点，所以111111134522325D BCB B DBC ABC B V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=；（2）设1B C 与1BC 相交于点E ，连接ED ，在1C AB △中，D 为AB 的中点，E 为1C B 的中点，所以1//AC DE ，因为1AC ⊄平面1CDB ，DE ⊂平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ；【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，2AD BD ==，π3BDC ∠=，3BC =PD ⊥平面ABCD ，2FC PF =.证明：//AP 平面BDF ；【答案】证明见解析【解析】证明：//AB CD Q ，π3DBA BDC ∴∠=∠=，AD BD = ，DAB ∴ 为等边三角形，2AB DB ∴==，在BDC 中，2DB =，π3BDC ∠=，23BC =由余弦定理得2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即2221(23)2222CD CD =+-⨯⨯⨯，4CD ∴=，如图，连接AC 交BD 于点E ，连接EF ，//AB CD Q ，ABE CDE ∴△∽△，::1:2AE EC AB CD ∴==，:1:2PF FC = ，//EF AP ∴，又AP ⊂/平面BDF ，EF ⊂平面BDF ，//AP ∴平面BDF 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；【答案】证明见解析【解析】设G 为11B C 的中点，连接FG ，GC ，因为点E ，F ，G 分别为AC ，11A B ，11B C 的中点，所以11FG A C ∥且1112FG A C =，11EC A C ∥，111122EC AC A C ==，所以EC FG ∥，且EC FG =，所以四边形ECGF 是平行四边形，所以EF CG ∥，又因为CG ⊂平面11BCC B ，EF ⊄平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面11BDD B ；（2）H 为线段1DD 上一点，且13DD DH =，求证：BH ∥平面EFG【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接SB ，在三角形SBC 中，G 是SC 的中点，E 是BC 的中点，所以EG SB ∥，EG ⊄平面11BDD B ，SB ⊂平面11BDD B ，所以EG ∥平面11BDD B （2）连接SD ，F ，G 分别是DC ，SC 的中点，FG SD∴∥又FG ⊄ 平面11BDD B ，SD ⊂平面11BDD B ，FG ∴∥平面11BDD B 由（1）得EG ∥平面11BDD B ，FG ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，EG FG G= ∴平面EFG ∥平面11BDD B 又BH ⊂ 平面11BDD B ，BH ∴∥平面EFG ．【变式3-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1112224AB BC CD DD D C ====，P 为棱1CC 的中点，证明：//AC 平面1B DP .【答案】证明见解析【解析】在四棱台1111ABCD A B C D -中，在BB 1上取点Q ，使1113B Q BB =，连BD 交AC 于点O ，连接OQ ，如图，延长CC 1，BB 1交于点V ，由111112B C D C BC DC ==，则1113VB B B B Q ==，11122VC C C C P CP ===，则113VB VP PC B Q ==，即1//B P QC ，又QC ⊄平面1B DP ，1B P ⊂平面1B DP ，于是得//QC 平面1B DP ，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，则112B QDO CD OB AB QB ===，于是得1//OQ DB ，又OQ ⊄平面1B DP ，1DB ⊂平面1B DP ，则//OQ 平面1B DP ，又OQ QC Q ⋂=，,OQ QC ⊂平面OQC ，因此得平面1//B DP 平面OQC ，又AC ⊂平面OQC ，所以//AC 平面1B DP .考点4面面平行的证明【例4】（2023·高一课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2AB AD ==，E ，F ，Q 分别为1,,AD AA BC 的中点，求证：平面//BEF 平面1A DQ ．【答案】证明见解析【解析】因为E 是AD 的中点，Q 是BC 的中点，所以,ED BQ ED BQ =∥，所以四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE DQ ∥．又因为BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE ∥平面1A DQ ．又因为F 是1A A 的中点，所以1EF A D ∥，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF P 平面1A DQ ．因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ∥平面1A DQ ．【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1D 、D 分别为11B C ，BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D .【答案】证明见解析【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 、11A ACC 为平行四边形，又1D 、D 分别为11B C ，BC 的中点，所以11//D C BD 且11D C BD =，所以四边形11D C DB 为平行四边形，所以11//D B DC ，因为1D B ⊄平面1AC D ，1DC ⊂平面1AC D ，所以1//D B 平面1AC D ，连接1AC 、1A C ，11A C AC M = ，再连接DM ，由四边形11A ACC 为平行四边形，所以M 为1A C 的中点，所以1//DM A B ，因为1A B ⊄平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D ，又11B A D B B = ，11,A B D B ⊂平面11BD A ，所以平面11//A BD 平面1AC D .【变式4-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H ，G 分别是棱''A B ，''A D ，''C D ，B C ''的中点.求证：平面//AEF 平面HGBD .【答案】证明见解析【解析】连接B D ''，因为E ，F ，G ，H 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，所以//EF B D ''，//HG B D ''，所以//EF HG ，又EF ⊂平面AEF ，HG ⊂平面AEF ，所以//HG 平面AEF ，连接AC BD O = ，连接A C ''交EF 于M ，交GH 于N ，交B D ''于O '，则12A M C N AO '''==，所以12C MN A ''=，又12AO AC =，AC A C =''，//AC A C ''，所以四边形AONM 是平行四边形，所以//AM ON ，又AM ⊂平面AEF ，ON ⊂/平面AEF ，所以//ON 平面AEF ，又ON ⊂平面BGHD ，HG ⊂平面BGHD ，HG ON N ⋂=，所以平面//AEF 平面BGHD .【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD为正方形，O 为BD 的中点，124A A AB ==，求证：平面1A BD ∥平面11CD B 【答案】证明见解析【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，所以11A B ∥AB ，11A B AB =，AB ∥CD ，AB CD =，所以11A B ∥CD ，11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1A D ∥1B C ．又1A D ⊄平面11CD B ，1B C ⊂平面11CD B ，所以1A D ∥平面11CD B ，同理可证：1A B ∥平面11CD B ．又111A D A B A ⋂=，1A D ⊂平面1A BD ,1A B ⊂平面1A BD所以平面1A BD ∥平面11CD B ．考点5平行关系的探索性问题【例5】（2023·全国·高一专题练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．【答案】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC =【解析】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SE EC=．理由如下：取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ．在BDQ △中，有//BQ PO ，PO ⊂ 平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，//BQ ∴平面PAC ，由于2SQ QP =，∴2SE SQ EC QP ==．又由于//QE PC ，PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，//QE ∴平面PAC ，BQ QE Q ⋂= ，∴平面//BEQ 平面PAC ，又BE ⊂平面BEQ ，//BE ∴平面PAC ，【变式5-1】（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1CC ，AD 的中点.（1）求异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值；（2）棱CD 上是否存在点T ，使得//AT 平面1B EF ？若存在，求出DT DC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）25；（2）存在，14DT DC =.【解析】（1）取11A D 中点M ，连接1MB ，ME ，GE ，MG .因为1111ABCD A B C D -是正方体，M ，G 分别为11A D ，AD 的中点，所以1//BG B M ，所以1MB E ∠（或补角）为异面直线1B E 与BG 所成角.设正方体的棱长为2，则115MB B E ==6ME =所以12cos 5255MB E ∠==⨯⨯，即异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（2）存在，且14DT DC =，证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连接EH 交DC 于K ，因为11//CC BB ，F 是1CC 的中点，所以C 为BH 中点.因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==，当14DT DC =时，//TK AE ，且TK AE =，即四边形AKET 为平行四边形，所以//AT EK ，即//AT EH ，又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊄平面1B EF ，所以//AT 平面1B EF .【变式5-2】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，M 、N 、Q 分别为BC 、PA 、PB 的中点.（1）证明：平面//MNQ 平面PCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点E ，使得//MN 平面ACE ？若存在，求出PE PD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，12PE PD =.【解析】（1）∵ABCD 是平行四边形，M 、N 、Q 分别为BC 、PA 、PB 的中点，∴////NQ AB CD ，//MQ PC ，又NQ ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，MQ ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∴//NQ 平面PCD ，//MQ 平面PCD ，∵NQ MQ Q = ，且NQ 、MQ Ì平面MNQ ，∴平面//MNQ 平面PCD .（2）存在点E 是线段PD 的中点，使得//MN 平面ACE ，且12PE PD =.证明如下：取PD 中点E ，连接NE 、CE ，∵N 、E 、M 分别是AP 、PD 、BC 的中点，∴11//,=22NE AD NE AD ，且//,=BC AD BC AD ，即11//,=22MC AD MC AD ，∴//,=NE MC NE MC ，∴四边形MCEN 是平行四边形，∴//MN CE ，∵MN ⊄平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，∴//MN 平面ACE ，且12PE PD =.【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】存在，点F 是PB 的中点，证明见解析【解析】当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图连接BD 与AC 交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∴OF ∥PD .又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ，∴OF ∥平面PMD .又MA ∥PB 且PB ＝2MA .∴PF ∥MA 且PF ＝MA ，∴四边形AFPM 是平行四边形，∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ，∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ∥平面PMD .【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由【答案】存在，证明见解析．【解析】存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1A AF ∕∕平面1ECC ，证明：连接1,A F AF ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∕∕，11AD B C ∕∕．又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊂平面1ECC ，所以1AA ∕∕平面1ECC ，又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1AE FC ∕∕，且1AE FC =．故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1AF EC ∕∕，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以AF ∕∕平面1ECC ，又因为1AF AA A = ，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1A AF ∕∕平面1ECC ．考点6利用平行关系求解截面问题【例6】（2022春·辽宁沈阳·高一校联考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B 的截面与AC 交于点D ，与BC 交于点E ，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CD AC =（）A ．13B ．12C ．232D ．312【答案】D【解析】由题可知平面11A B ED 与棱柱上，下底面分别交于11A B ，ED ，则11A B ∥ED ，ED AB ∥，显然111CDE C A B -是三棱台，设ABC 的面积为1，CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ，111(123h h S S ∴⋅⋅=+312S -=由CDE CAB ∽△△，可得3121CD S AC -==.故选：D.【变式6-1】（2022·高一课时练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，过C 、M 、1D 作正方体的截面，则截面的面积是_________．【答案】92【解析】连接1A B ，设截面交棱AB 于点N ，连接MN 、CN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC 且11A D BC =，则四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面1CMD 平面11AA B B MN =，平面1CMD 平面111CC D D CD =，所以，1//MN CD ，则1//MN A B ，M 为1AA 的中点，则N 为AB 的中点，由勾股定理可得222MN AM AN =+=15D M CN ==12CD =所以，四边形1CD MN 为等腰梯形，过点M 、N 分别在平面1CD MN 内作1ME CD ⊥、1NF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，由等腰梯形的性质可得1NCF MD E ∠=∠，1CN D M =，又因为190CFN D EM ∠=∠= ，所以，1CFN D EM △≌△，所以，1CF D E =，因为//MN EF ，ME EF ⊥，NF EF ⊥，则四边形MNFE 为矩形，所以，2EF MN =，所以，11222CD MN CF D E -===，则22322NF CN CF =-=，因此，截面面积为()1922EF CD NF+⋅=.【变式6-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG //平面11BDD B ；（2）若正方体棱长为1，过A ，E ，1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】（1）证明见解析；（262【解析】（1）证明：如下图所示，连接SB ，由EG 为△CSB 的中位线，可得//EG SB ，由EG ⊄平面11BDD B ，SB ⊂平面11BDD B ，可得EG //平面11BDD B ；由EF 为△CDB 的中位线，可得//EF DB ，由EF ⊄平面11BDD B ，DB ⊂平面11BDD B ，可得//EF 平面11BDD B ，又EF EG E = ，,EF EG ⊂面EFG ，可得平面//EFG 平面11BDD B ；（2）取11B C 的中点N ，连接1A N ，NE ，显然1111////,NE BB AA NE BB AA ==，所以1AENA 为平行四边形，可得1//AE A N ，1AE A N =，取11A D 的中点M ，连接1MC ，AM ，显然1111//,MA C N MA C N =，所以11A NC M 为平行四边形，可得11MC A N =，11//MC A N ，综上，截面1AEC M 为平行四边形，又1151421AE EC AM MC ====+，所以截面1AEC M 为菱形，截面的面积为1111632222AC ME ⨯⨯==．【变式6-3】（2022春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）一块三棱锥形木块如图所示，点G 是SAC 的重心，过点G 将木块锯开，使截面平行于侧面SBC .（1）画出截面与木块表面的交线，并说明理由；（2）若ABC为等边三角形，32SA SB SC ====，求夹在截面与平面SBC 之间的几何体的体积.【答案】（1）答案见解析；（2）196【解析】（1）过点G 作//EF SC 交,SA AC 于,E F 点，过点F 作//EH BS 交AB 于H ，则平面//SBC 平面EFH ，EFH △边所在直线即为所画线.理由如下：因为//EF SC ，EF ⊄平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，所以//EF 平面SBC ，因为//EH BS ，EH ⊄平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以//EH 平面SBC ，因为,,EF EH E EF EH =⊂ 平面EFH ，所以平面//SBC 平面EFH.（2）因为ABC为等边三角形，3SA SB SC ====，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以点S 在平面ABC 内的射影为ABC 的中心O ，则SO ⊥平面ABC ，如图2连接AO ，由ABC 为等边三角形，ABC 的中心为O，AB =所以223AO ==所以三棱锥S ABC -=所以三棱锥S ABC -的体积为21193342S ABC ABC V S h -==⨯= ，连接AG 并延长，交SC 于点M ，因为点G 是SAC 的重心，所以23AG AM =，所以249EFH SBC S AG S AM ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以328()327A EFH A SBCV V --==，所以，8889427272723A EFH A SBC S ABC V V V---⨯====，所以，截面与平面SBC 之间的几何体的体积为9419236S ABC A EFH V V ---=-=【变式6-4】（2022·高一单元测试）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.（1）求证：CF //平面A 1EC 1；（2）过点D 作正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6【解析】（1）取1CC 中点M ，连接ME由1MC FB //，可得四边形1MCFB 为平行四边形，则1FC MB //由11ME AB //，可得四边形11M EAB 为平行四边形，则11A E MB //则1//A E FC ，又1A E ⊂平面11A EC ，CF ⊄平面11A EC ，则//FC 平面11A EC ；（2）取AA 1，CC 1中点G ，H ，连接DG ，CB 1，B 1H ，HD ，因为四边形ADHF 为平行四边形，所以AF //DH因为四边形AFB 1G 为平行四边形，所以GB 1//AF ，所以GB 1//DH所以GDHB 1即为过点D 长方体截面，∵DG //A 1E ，1A E ⊂平面AEC 1，DG ⊄平面AEC 1，∴DG //平面AEC 1∵DH //C 1E ，1C E ⊂平面AEC 1，DH ⊄平面AEC 1，∴DH //平面AEC 1又∵DH DG D = ，∴平面DHB 1G //平面AEC 1.112223262GDHB S =⨯⨯=1．（2021春·吉林长春·高一长春市第二十九中学校考期末）下列命题中，正确的是（）A ．若//,,a b b α⊂则//a αB ．若//a α，b α⊂则//a bC ．若//,//a b αα，则//a bD ．若//,//a b b α,a α⊄则//a α【答案】D【解析】A .若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，所以该选项错误；B .若//a α，b α⊂，则//a b 或,a b 异面，所以该选项错误；C .若//a α，//b α，则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以该选项错误；D .若//,//a b b α,a α⊄，由b //α，过b 作平面γ，使α∩γ=m ,则b //m ,又∵a //b ,∴a //m ,∵,a m ⊄⊂αα，∴//a α，所以该选项正确.故选：D2．（2022春·云南昆明·高一昆明市第三中学校考期中）已知直线l ，m 和平面α、β，下列命题正确的是（）A ．//m l ，////l m αα⇒B ．l //β，//m β，l ⊂α，//m ααβ⊂⇒C ．//l m ，l ⊂α，//m βαβ⊂⇒D ．l //β，//m β，l ⊂α，m α⊂，//l m M αβ⋂=⇒【答案】D【解析】A ：//m l ，//l α，则//m α或m α⊂，错误；B ：若//m l 时，//αβ或,αβ相交；若,m l 相交时，//αβ，错误；C ：//l m ，l ⊂α，m β⊂，则,αβ平行、相交、重合都有可能，错误；D ：,l m α⊂，l m M = 且l //β，//m β，根据面面平行的判定知：//αβ，正确.故选：D3．（2022春·广东茂名·高一统考期中）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ；③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．（2023春·全国·高一专题练习）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA AB =，点E 是PD 的中点，点F 是棱PC 上的点且2PF FC =，则平面BEF 截四棱锥P ABCD -所得的截面图形是（）A ．斜三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．两组对边均不平行的四边形【答案】D【解析】如图，延长EF 和DC ，设其交点为G ，连接BG ，延长DA 并与直线BG 交于点H ，连接HE 交PA 于点K ，连接KB ，得四边形EFBK ，假设//KE BF ，BF ⊄平面PAD ，KE ⊂平面PAD ，得//BF 平面P AD ，（线面平行的判定定理的应用）因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，//BC 平面PAD ，且BC BF B = ,,BC BF ⊂平面PBC ，所以平面//PBC 平面P AD ，（面面平行的判定定理的应用）与平面PBC 与平面P AD 有公共点P 矛盾，故假设不成立，因此KE 与BF 不平行，同理可证KB 与EF 不平行，因此四边形EFBK 的两组对边均不平行.故选：D5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知12,,AB BC BB AB BC D ===⊥为AB 的中点.求证：1BC ∥平面1A CD .【答案】证明见解析【解析】连接1AC 与1A C 交于点O ，则O 是1A C 的中点，连接OD ，如图，因为D 是AB 的中点，所以1∥OD BC ，OD ⊂ 平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1BC ∴∥平面1A CD .6．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H .证明：//GH EF .【答案】证明见解析【解析】证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ，又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ，所以//GH EF .7．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AD BC =，点E 为PC 上一点，F 为PB 的中点，且//AF 平面BDE .（1）若平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）求证：//AF DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵//BC AD ，AD ⊂平面,PAD BC ⊄平面PAD ，∴//BC 平面PAD .∵BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PAD l =，∴//BC l .∵BC ⊂平面,ABCD l ⊄平面ABCD ，∴//l 平面ABCD .（2）连接,AC FC ，设AC BD O = ，FC BE M ⋂=，连接OM ，∵//AF 平面,BDE AF ⊂平面AFC ，平面AFC 平面BDE OM =，∴//AF OM，∵//AD BC，12AD BC=，所以12AO ADOC BC==，∴12 FM AOMC OC==，∴点M是PBC的重心，∴点E是PC的中点，∴12EM DOMB OB==，∴//OM DE，∴//AF DE.8．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在正四面体S ABC-中，4AB=，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，点Q为平面SBC内一点（1）求证：平面MNR 平面AEF（2）若RQ 平面AEF，求线段RQ的最小值，【答案】（1）证明见解析；（2112【解析】（1）∵M，N分别为SE，SF的中点，∴MN EF，又∵MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN 平面AEF，∵R，M分别为SA，SE的中点，∴RM AE，又∵RM⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴RM 平面AEF，又∵MN RM M⋂=，MN⊂平面MNR，RM⊂平面MNR，∴平面MNR 平面AEF.（2）由（1）知，平面MNR 平面AEF，∴若平面SBC内存在一点Q，使RQ 平面AEF，则Q在线段MN上，∴线段RQ的最小值为R到直线MN的距离，即MNR在边MN上的高，∵E ，F 分别为SB ，SC 的中点，M ，N 分别为SE ，SF 的中点，∴11124MN EF BC ===，又∵4AS AB ==，2SE BE ==∴AE SB ⊥，2223AE AB BE =-=又∵R ，M 分别为SA ，SE 的中点，∴132RM AE ==3RN =∴当Q 为MN 中点时，RQ MN ⊥，此时MNR 在边MN 上的高，RQ 取最小值，∴线段RQ 的最小值()2222min 111322RQ RM MQ ⎛⎫--= ⎪⎝⎭.9．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.（1）求证：平面1A BD //平面11CB D ；（2）求证：EF //平面11DCC D ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由正方体的性质可得11111111////,A D B C BC A D B C BC ==，∴四边形11A D CB 为平行四边形，∴11//A B CD ，1⊄A B 平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，∴1//A B 平面11B D C ，同理可得//BD 平面11B D C ，又11,A B BD B A B BD =⊂ ，平面1A BD ，∴平面1A BD //平面11CB D ；（2）因为,E F 分别是1,A D BD 的中点，所以1//EF A B ，又11//A B CD ，∴1//EF CD ，又EF ⊄平面11DCC D ，1CD ⊂平面11DCC D ，∴//EF 平面11DCC D .10．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别为对角线BD 、1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==.作出平面PQC 和平面11AA D D 的交线（保留作图痕迹），并求证：//PQ 平面11A D DA；【答案】作图见解析，证明见解析【解析】连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，则平面PQC 和平面11AA D D 的交线为1D M ，证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD，故PBC PDM ，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD .又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA .11．（2022春·河北唐山·高一统考期中）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为菱形，∠A 1AC ＝60°，AC ＝2，侧面CBB 1C 1为正方形，平面ACC 1A 1⊥平面AB C ．点M 为A 1C 的中点，点N 为AB 的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）求三棱锥A1－ABC1的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）233【解析】（1）证明：连接AC1，BC1，因为四边形ACC1A1为菱形，点M为A1C的中点，所以AC1∩A1C＝M，点M为A1C的中点，又点N为AB中点，所以MN∥BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）∵侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC＝60°，∴△AA1C为等边三角形，AA1＝A1C＝AC＝2.取AC的中点H，连接A1H，则A1H⊥A C.又∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1H⊂平面ACC1A1，∴A1H⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1H⊥B C.而四边形CBB1C1为正方形，∴BC⊥CC1.又AA1∥CC1，∴BC⊥AA1，又AA1∩A1H＝A1，AA1和A1H在平面ACC1A1上，∴BC⊥平面ACC1A1，×2×2×sin120°3又△AA1C1的面积S＝12∴11A ABC V -＝11B A AC V -＝132323312．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD 中，,,6,24AB AD AD BC AD BC AB ⊥===∥，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF AB ∥，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使BE EC ⊥．（1）若3BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出AP PD的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥A CDF -的体积的最大值，并求出此时点F 到平面ACD 的距离．【答案】（1）存在，12AP PD =；（2）最大值为3，此时点F 到平面ACD 3【解析】（1）AD 上存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ，此时12AP PD =，理由如下：当12AP PD =时，13AP AD =，如图，过点P 作PM FD ∥交AF 于点M ，连接ME ，则13MP AP FD AD ==，∵3BE =，∴3FD =，∴1MP =，又1EC =，MP FD EC ∥∥，∴MP EC ∥，故四边形MPCE 为平行四边形，∴CP ME ∥，又CP Ë平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴//CP 平面ABEF .综上，存在点P ，使得//CP 平面ABEF ，12AP PD =.（2）设BE x =，则(04),6AF x x FD x =<≤=-，故21112(6)(3)3323A CDF V x x x -=⨯⨯⨯-⨯=--+，∴当3x =时，A CDF V -有最大值，且最大值为3，∴此时1EC =，3AF =，3FD =，22DC =，∴2232AD AF FD =+=22214AC EF EC AF =++=在ACD 中，由余弦定理得1cos 223222ADC ∠==⨯⨯，3sin 2ADC ∠=，1sin 332ACD S DC AD ADC =⋅⋅⋅∠= 设F 到平面ACD 的距离为h ，A CDF F ACD V V --=，13,33ACD S h h ⋅⋅==△综上，三棱锥A CDF -的最大值为3，此时点F 到平面ACD 的距离313．（2023·全国·高一专题练习）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 与BD 的交点．（1）求证：1A O ∥平面11B CD ；（2）求证：平面1A BD ∥平面11B CD ；（3）设平面11B CD 与底面ABCD 的交线为l ，求证：BD l ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，∵1111ABCD A B C D -是四棱柱，∴11A O OC ∥，∴四边形11A OCO 为平行四边形，∴11A O O C ∥，又1O C ⊂平面111,B CD AO ⊄平面11B CD ，∴1AO ∥平面11B CD ．（2）∵111BB AA DD ∥∥，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∵BD ⊄平面1111,B CD B D ⊂平面11B CD ，∴BD ∥平面11B CD ，由（1）得1AO ∥平面11B CD 且1BD AO O = ，1BD A O ⊂、平面1A BD ，∴平面1A BD ∥平面11B CD ．（3）由（2）得：BD ∥平面11B CD ，又BD ⊂平面ABCD ，平面11B CD ⋂平面ABCD l =，∴BD l ∥．14．（2023·高一课时练习）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB．（1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）点G 不存在，理由见解析【解析】（1）证明：取AB 的中点M ，∵AF =14AB ，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D =BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ，∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．（2）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=，∵111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AE V V AB AC CAB AA --⨯⋅∠⋅=⋅∠⋅111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅∴112416AG AC ⋅=，∴32AG AC =，∴AG =32AC >AC ．所以符合要求的点G 不存在．15．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,,D E F 分别为11,,BC AC A C 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）平面//ABF 平面1DEC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1） 在三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,BC AC 的中点，1111/////,,/DE AB AB A B DE A B ∴∴，DE ⊂ 平面111,DEC A B ⊄平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．（2）//,AB DE AB ⊄ 平面1DEC ，DE ⊄平面1DEC ，//AB ∴平面1DEC ．,F E 分别为11,A C AC 的中点，11//A C AC ，1//FC AE ∴，且1FC AE =．∴四边形1FC EA 是平行四边形．1//AF EC ∴．又1EC ⊂平面1,DEC AF ⊄平面1DEC ，//AF ∴平面1DEC ．又,AB AF ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=，∴平面//ABF 平面1DEC ．16．（2023·全国·高一专题练习）P 为正方形ABCD 所在平面外一点，E ，F ，G 分别为PD ，AB ，DC 的中点，如图．求证：。
直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练
直线和平面平行与平面与平面平行证明题专题训练1、、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。
2、如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF 有一条公共边CD ,M 为FC 的中点 , 证明: AF // 平面MBD.3、如图6-9，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心.求证：面A 1ED 1C 1B 1DCBAMABCDEFA B C '''∥ABC 面.4、 在长方体ABCD —A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的 截面，并说明理由.（2）设E ，F 分别是A1B 和B1C 的中点， 求证直线EF//平面ABCD.5、、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．ABCC 1DA 1B 1D 1求证：EH∥BD. (12分)6、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//PC平面BDQ．（自己作图）HG FEDBAC7、如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．8、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。
高考专题练习： 直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；(2)忽略线面平行、面面平行的条件．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是()①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A．①③B．②③C．①②③D．②③④【解析】(1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D 选项，选B．线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM ∥＝FC 1， 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE ∥＝D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．角度二 线面平行性质定理的应用如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，过BC的平面交棱FD 于点P ，交棱F A 于点Q .证明：PQ ∥平面ABCD .【证明】 因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ，⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF ＝PQ ⇒BC ∥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是P A ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .证明：方法一：如图，连接AF ，并延长交BC 于点G ，连接PG ，因为BC ∥AD ，所以FG F A ＝FBFD ， 又因为PE EA ＝BFFD ，所以PE EA ＝GFF A ，所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC .方法二：如图，过点F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接EM ，因为FM ∥AD ，AD ∥BC ，所以FM ∥BC ，又因为FM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA ＝BFFD ，又因为PE EA ＝BF FD ，所以PE EA ＝BMMA ，所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ，EM ⊄平面PBC ， 所以EM ∥平面PBC ，因为EM ∩FM ＝M ，EM ，FM ⊂平面EFM ，所以平面EFM∥平面PBC，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN，因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65B．75C．85D．95解析：选C．由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF.即AC AE ＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.2．(一题多解)如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD.证明：平面ABF∥平面DCE.证明：方法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE，CD⊂平面DCE，所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.方法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.方法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．(2021·合肥模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D．若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A．对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 27．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为12×(2＋22)×（5）2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝92.答案：9 28.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD ＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝3，所以三棱锥P-ABM的体积V＝V MP AB＝V CP AB＝V PABC＝13×12×1×3×2＝33.10.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .[B 级 综合练]11．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形， 所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确； 由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确； 由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN 与DN 关系不确定，PN ＝MN ， 所以BD 与AC 关系不确定．B 错误．故选B ．12．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点13．(2021·烟台模拟)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，则A 1T ＝1－x ，由面面平行的性质得，PO ∥SR ，TO ∥QR ，TS ∥PQ ， 所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP ＝OD ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12， 所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1RC 1Q ，即1x ＝32C 1Q ，故C 1Q ＝3x2.由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1TA 1S ，即1－3x 21＝1－x 32，解得x ＝25.答案：2514．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积．解：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.[C 级 提升练]15．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝2AD ＝4，侧面P AB 是等腰直角三角形，P A ＝PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ，F 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F -DCE 的体积．解：(1)因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面ABCD ＝CE ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点．因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面P AB ＝EF ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，所以EF ∥P A ，又点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点．综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(2)连接PE ，由题意及(1)知P A ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V F DEC ＝12V P DEC ＝16S △DEC ×PE ＝16×12×2×2×2＝23.。
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标]1。
理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用。
3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题。
知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平错误!⇒a∥α行，则该直线与此平面平行思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平错误!⇒α∥β面平行，则这两个平面平行思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内。
题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：(1)EH∥平面BCD;（2)BD∥平面EFGH。
证明（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD。
∵EH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2）∵BD∥EH,BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH,∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证:MN∥平面ADC。
证明如图所示，连接BM,BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点,连接PQ。
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。
所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC。
题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1。
直线与平面平行典型例题
.M
B
.N
C
E
D
3. 如图，P是平行四边形ABCD外一点，Q为PA的 中点， P
求证：PC∥BDQ
Q D A E
B
C
4. 如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB， 点E、M分别为A1B、C1C的中点。 求证：EM∥平面A1B1C1D1；
A1 A
E D C A B D1 C1 F
的判定定理，往往需要作辅助线（面）.
证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证 3. 明这条线与平面内的某条直线平行.
二. 概念落实
一. 判断对错
1、如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行.
2、如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直 线和平面平行. 3、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数 条直线平行. 4、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有 直线平行.
B1
7. 如图，三棱柱ABC－ A1B1C1中，M、 N分别是BC和 A1B1的中点，求证:MN∥平面 AA1C1C A
E
B
M
C
A1
N B1
D
C1
大图
8. 如图，已知在三棱柱ABC——A1B1C1 中，D是AC的中点。
求证：AB1//平面DBCA1 1
B1
C1
P
D A C
B
9. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中 点. 求证：AC1//平面CDB1；
C E F
B
D
2. 已知正四棱锥P—ABCD，M、N分别是PA、BD上的点，
且PM∶MA=BN∶ND.
求证：直线MN∥平面PBC；
P 知道比例式，提示我们用平行线分比例定理 M 辅助线方法：连接AN并延长交BC与点E D
直线与平面平行及垂直的判断及性质习题及答案
1直线、平面平行的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.02.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A.若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB.若m∥α，m∥n，则n∥αC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β3.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC.若α⊥β，m⊥β，则m∥αD.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面5.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2二、填空题(每小题6分，共24分)6.过长方体ABCD—A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有条.7.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P 的直线n与α、β分别交于B、D且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为.8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过 P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ .9.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共41分)10.(13分)如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，求证：AE ∥平面DCF .11.(14分)如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点.求证：直线EE 1∥平面FCC 1.答案1.C2.D3.D4.D5.B6. 127. 24或2458.223a 9. M ∈线段HF10. 证明 方法一 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF .方法二 如图所示，过点E 作直线EG ∥BC 交CF 于点G ，连接DG ，由于BE ∥CF ，故四边形BEGC 为平行四边形，从而EG 綊BC .又四边形ABCD 为矩形，故AD 綊BC .所以AD 綊EG .所以四边形AEGD 为平行四边形，所以AE ∥DG .由线面平行的判定定理，得AE ∥平面DCF .11. 证明 方法一 如图①取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连接PE 、QF 、EF ，∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 、B 1B 的中点，∴PE 綊12A 1B 1. 同理QF 綊12AB . 又A 1B 1綊AB ，∴PE 綊QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形.∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.方法二 如图②，连接AB 1，B 1C ，∵△AB 1C 中，P 、Q 分别是AB 1、AC 的中点，∴PQ ∥B 1C .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.12. 证明在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形FCC1F1是平行四边形.因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以CD綊A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又为EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.2直线、平面垂直的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（）A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β2.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.A.0个B.1个C.2个D.3个其中正确的命题有()3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是()A.m∥β，α∥βB.m⊥β，α⊥βC.m⊥n，n⊥α，m⊄αD.m上有不同的两个点到α的距离相等4.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是()A.①④B.②③C.②④D.①③5.设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD.若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b二、填空题(每小题6分，共24分)6.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是.7.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为(写出所有真命题的序号).8．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．9．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．三、解答题(共41分)10.(13分)若P为△ABC所在平面外一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.11．(14分)(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．12.(14分)(2010·南京二模)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.答案1.A2.C3.C4.B5.C6.②③7. ①②8.①②③9.②⑤.10. 证明∵平面P AC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，则BC⊥AD，又P A⊥平面ABC，则BC⊥P A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC.11. (1)证明∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．∵BC⊥平面PCD，∴EF⊥BC.又EF⊥PC，BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离．又∵AE∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCE为平行四边形．∴CE＝AB＝2.PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，∠PCD＝45°.∴EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.12. 证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.。
直线与平面平行的判定与性质试题及答案
直线与平面平行的判定与性质一、选择题1．已知直线a ∥平面α，直线b α，则a 与b 的关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面2．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b 的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行3．给出下列四个命题：①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面；②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的直线不是平行就是异面， ③如果直线a ∥α，b ∥α，则a ∥b④如果平面α∩平面β＝a ，若b ∥α，b ∥β，则a ∥b其中为真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________6．P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N分别在P A 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________．7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________．三、解答题8．如图，两个全等正方形ABCD 与ABEF 所在平面相交于AB ，ME ∈AC ，NE ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE ．9．求证：如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线互相平行．10．已知E ，F ，G ，M 分别是四面体的棱AD ，CD ，BD ，BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG ．11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证；EF ∥平面BB 1D 1D ．12．空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°的角，且AD ＝BC ＝a ，平行于AD 与BC 的截面分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E 、F 、G 、H ．（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）E 在AB 的何处时截面EFGH 的面积最大?最大面积是多少?参考答案一、选择题1．D 2．D 3．B 4．D二、填空题 5．3392；6．19；7．两两平行或相交于一点．三、解答题8．证明：过M 在平面AC 内作直线AB 的平行线交于BC 于G ，过N 在平面AE 内作直线AB 的平行线交BE 于H ，连GH ，只要证明GH ∥MN 即可，事实上，∵MG ∥AB ，NH ∥AB ，∴MG ∥NH ． 又∵AB MG ＝AC MC ，FE NH ＝BF BN，且ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，AM ＝FN ，∴AC ＝BF ，MC ＝BN ，从而有AB MG ＝FE NH，∴MG ＝NH ，∴四边形MGHN 为平行四边形．∴MN ∥GH ．又∵GH ⊂平面BCE ，MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE ．9．证明：∵a ∥b ，b ⊂β，∴a ∥β．又∵a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ．又∵a ∥b ，b ∥l ，∴a ∥b ∥l ．10．证明：连MD 交GF 于N ，连EN ．∵GF 为△BCD 的中位线，∴N 为MD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴EN 为△AMD 的中位线，∴EN ∥AM ．∵AM ⊄平面EFG ，EN ⊂平面EFG ，∴AM ∥平面EFG ．11．证明：取D 1B 1的中点O ，连OF ，OB ．∵OF ∥＝21B 1C 1，BE ∥＝21B 1C 1， ∵OF ∥＝BE ，则OFEB 为平行四边形． ∴EF ∥BO ．∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．12．证明：（1）∵BC ∥平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ， ∴BC ∥EF ，同理BC ∥HC ，∴EF ∥HG ．同理可证EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．解：（2）∵AD 与BC 成角为60°，∴∠HEF ＝60°（或120°），设AB AE＝x ， ∵BC EF ＝AB AE＝x ，BC ＝a ，∴EF ＝ax ，由AD EH ＝BA BE ＝11x－，得EH ＝（1－x ）a ．∴S 四边形EFGH ＝EF ·EH ·sin60°＝ax ·a （1－x ）·23＝223a ·x （1－x ）≤223a ·221）－＋（x x ＝283a ．当且仅当x ＝1－x ，即x ＝21时等号成立，即E 为AB 的中点时，截面EFGH 的面积最大为283a ．。
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量4空间直线平面的平行练习含解析
空间直线、平面的平行考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行错误!⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行错误!⇒a∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行错误!⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行错误!⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)教材改编题1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案 D解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，PD 的中点，求证：(1)PB ∥平面ACF ；(2)EF ∥平面PAB .证明 (1)如图，连接BD 交AC 于O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，又∵F 是PD 的中点，∴OF ∥PB ， 又∵OF ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ， ∴PB ∥平面ACF .(2)取PA 的中点G ，连接GF ，BG . ∵F 是PD 的中点， ∴GF 是△PAD 的中位线， ∴GF 綉12AD ，∵底面ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点， ∴BE 綉12AD ，∴GF 綉BE ，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF ∥BG ，又∵EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .命题点2 直线与平面平行的性质例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教师备选如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.延伸探究在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．解如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 所以DC AD＝1，即AD DC＝1. 教师备选如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．(1)求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ；(2)若平面A 1C 1G ∩BC ＝H ，求证：H 为BC 的中点． 证明 (1)∵E ，F 分别为B 1C 1，A 1B 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1C 1G ，EF ⊄平面A 1C 1G ， ∴EF ∥平面A 1C 1G ，又F ，G 分别为A 1B 1，AB 的中点， ∴A 1F ＝BG ， 又A 1F ∥BG ，∴四边形A 1GBF 为平行四边形， 则BF ∥A 1G ，∵A 1G ⊂平面A 1C 1G ，BF ⊄平面A 1C 1G ， ∴BF ∥平面A 1C 1G ，又EF ∩BF ＝F ，EF ，BF ⊂平面BEF ， ∴平面A 1C 1G ∥平面BEF .(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B 1D 1∥BD ，所以B 1D 1∥l .题型三 平行关系的综合应用例4 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23.(1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ；(2)若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明． (1)证明 连接CP 并延长，与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD 1，因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AD ，故△PBC ∽△PDM ， 所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23， 所以CQ QD 1＝CP PM ＝23， 所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ， 故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解 当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明如下：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23， 故BR RA ＝BP PD. 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ， 所以PR ∥平面A 1D 1DA ，又PQ ∥平面A 1D 1DA ，PQ ∩PR ＝P ，PQ ，PR ⊂平面PQR ， 所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA . 教师备选如图，四边形ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .思维升华 证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . 又∵EF ⊂平面ABC ， 平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . (2)解 设EF ＝x (0<x <4)， 由(1)知EF ∥AB ， ∴CF CB ＝EF AB ＝x4， 与(1)同理可得CD ∥FG ， ∴FG CD ＝BF BC， 则FG 6＝BF BC＝BC －CF BC ＝1－x4， ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长L ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x .又∵0<x <4，∴8<L <12，故四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．课时精练1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．(2022·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；对于D，如图，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，因为a∥β，所以a∥a′，又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.3．(2022·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案 D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶25答案 D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值 答案 AD解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A 正确；由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B 错误；因为A 1C 1∥AC ，AC ⊂平面ABCD ，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故C 错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH －BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故D 正确．7．考查①②两个命题，①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为__________． 答案 l ⊄α解析 ①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②由线面平行的判定定理知l ⊄α.8.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 解析 连接HN ，FH ，FN (图略)， 则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ， 则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明 如图．(1)取B 1B 的中点M ，连接HM ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ， ∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，OD 1， 则OE 綉12DC .又D 1G 綉12DC ，∴OE 綉D 1G .∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴EG ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，由题意易证B 1D 1∥BD .又B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)如图，连接EC ， 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE ，BC ＝AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点， 所以FO ∥AP ， 因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点， 所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， 所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， 所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ， 所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ， 所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH ⊂平面OHF ， 所以GH ∥平面PAD .11．(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线．下列命题正确的是( )A．如果m∥n，n⊂α，那么m∥αB．如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥nC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β答案BC解析如果m∥n，n⊂α，那么m∥α或m⊂α，故A不正确；如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B正确；如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；缺少m⊂α这个条件，故D不正确．12．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案 B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．13．(多选)(2022·临沂模拟)如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将△ABE 沿AE 翻折，使得二面角B －AE －D 为直二面角，得到图2所示的四棱锥B －AECD ，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B －AECD 中，下列说法正确的有( )图1 图2A ．B ，E ，C ，F 四点不共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAE C ．三棱锥B －ADC 的体积为定值D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直 答案 AB解析 对于A ，假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以E 在平面BCF 上， 又因为E 在折前线段BC 上，BC ∩平面BCF ＝C ，所以E 与C 重合，与E 异于C 矛盾， 所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上，即B ，E ，C ，F 四点不共面，故A 正确； 对于B ，如图，当点F 为线段BD 的中点，EC ＝12AD 时，直线CF ∥平面BAE ，证明如下：取AB 的中点G ，连接GE ，GF ， 则EC ∥FG 且EC ＝FG ，所以四边形ECFG 为平行四边形， 所以FC ∥EG ，又因为EG ⊂平面BAE ， 则直线CF 与平面BAE 平行，故B 正确；对于C ，在三棱锥B －ADC 中，因为点E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离发生变化，所以三棱锥B －ADC 的体积不是定值，故C 不正确；对于D ，过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ∩平面AECD ＝AE ，所以DH ⊥平面BAE ，所以DH ⊥BE ，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，且DC ⊂平面AECD ，DH ∩DC ＝D ，所以BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE ，与△ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 不正确．14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线D 1P ∥平面EFG ，则线段D 1P 长度的最小值是________．答案72解析 如图，连接D 1A ，AC ，D 1C .因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，C 1D 1的中点， 所以AC ∥EF ，又EF ⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1， 则EF ∥平面ACD 1.同理可得EG ∥平面ACD 1，又EF ∩EG ＝E ，EF ，EG ⊂平面EFG ，所以平面ACD 1∥平面EFG . 因为直线D 1P ∥平面EFG ， 所以点P 在直线AC 上．在△ACD 1中，易得AD 1＝2，AC ＝2，CD 1＝2， 所以1AD C S △＝12×2×22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝72， 故当D 1P ⊥AC 时，线段D 1P 的长度最小，最小值为7212×2＝72.15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32答案 B解析 取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ， 取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动， 且PA 1∥平面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22，∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值A 1O ， A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，当P 与E (或F )重合时，PA 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52.∴PA 1的长度范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为AB 1，A 1C 1上的点，A 1N ＝AM .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)求MN 的最小值．(1)证明 如图，作NE ∥A 1B 1交B 1C 1于点E ，作MF ∥AB 交BB 1于点F ，连接EF ， 则NE ∥MF .∵NE ∥A 1B 1，∴NEA 1B 1＝C 1NA 1C 1.又MF ∥AB ，∴MF AB ＝B 1MAB 1，∵A 1C 1＝AB 1，A 1N ＝AM ，∴C 1N ＝B 1M .∴NE A 1B 1＝MF AB，又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF .∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN ∥EF ， 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，EF ⊂平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 设B 1E ＝x ，∵NE ∥A 1B 1， ∴B 1E B 1C 1＝A 1NA 1C 1.又∵MF ∥AB ，∴B 1F BB 1＝B 1M AB 1，∵A 1N ＝AM ，A 1C 1＝AB 1＝2a ，B 1C 1＝BB 1＝a ，B 1E ＝x ，∴B 1E B 1C 1＋B 1F BB 1＝A 1N A 1C 1＋B 1MAB 1，∴x a ＋B 1F a ＝1，∴B 1F ＝a －x ，从而MN ＝EF ＝B 1E 2＋B 1F 2 ＝x 2＋a －x2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴当x ＝a 2时，MN 的最小值为22a .。
直线与平面平行经典题目1
9.2 直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β2.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定4.(06重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线5.已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .●典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .C F【例2】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.C（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.【例3】如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，（I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1； （III ）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．●闯关训练夯实基础1. （07福建理）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB. α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC. m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D . n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α 2.（06福建卷）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n D.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的 中点 作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( ) A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条1CBD4.(06重庆卷)若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是A.过P 只能作一条直线与平面α相交B.过P 可作无数条直线与平面α垂直C.过P 只能作一条直线与平面α平行D.过P 可作无数条直线与平面α平行 5.如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分 别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的 重心. 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ， 使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF 平行，则P 为 （ ）A ．KB ．HC ．GD ．B ′6.已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）AB17.已知Rt △ABC 的直角顶点C在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α 成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.8、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°，AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3。
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32 .又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由.解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA .又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝12 EC.又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，∴BM∥平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.∵PM是△ACE的中位线，∴PM∥AE.∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.面面平行的判定例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )个或2个个或1个个个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.一、选择题1.下列说法正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )对对对对4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m ⊂α⇒α∥β∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β二、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.2.答案D解析 对于A 项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A 错误；对于B 项，当a 平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D 正确. 3.答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行. 4.答案 B解析 如图，直线B 1C 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平面ABCD 内平行于BC 的所有直线均与B 1C 1平行.但AB与B 1C 1不平行.5.答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG∥BD，且HG＝12BD.综上可知，EF∥HG，EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
直线、平面平行的判定及其性质 习题(含答案)
(1)（理科生做）证明： ；
（文科生做）证明： ；
(2)（理科生做）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值．
（文科生做）求点 到平面 的距离.
21．如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形，平面 平面 ，点 为 的中点，点 为 的中点.
直线、平面平行的判定及其性质习题（含答案）
一、单选题
1．已知直线 和不同的平面 ，下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
2．已知直线 与 关于直线 对称， 与 垂直，则 （ ）
A． B． C．-2D．2
3．已知 ， 是两个不同的平面， ， 是异面直线且 ，则下列条件能推出 的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．经过三点确定 一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为2的正方形， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．直三棱柱 中， ， ，则直线 与 所成角的大小为
A．30°B．60°C．90°D．120°
设 ．易得 ，
三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．
9．B
【解析】
【分析】
由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。
5．C
【解析】
【分析】
在棱长为2的正方体 中， 的中点是 ，过点 作与截面 平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案
(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）。
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。
其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件。
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。
充要 D 。
不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。
b a b a //，，αα⊂⊄ B 。
b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。
b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。
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直线与平面平行与平面与平面平行证明题
专题训练
1、、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 就是1AA 的中点,求证:1//A C 平面
BDE 。
2、如图: 平行四边形 ABCD 与平行四边形 CDEF 有一条公共边
CD ,
M 为FC 的中点 , 证明: AF // 平面MBD 、
3、如图6-9,A '、B '、C '分别就是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心、求证:
面A B C '''∥ABC 面、
4、 在长方体ABCD —A1B1C1D1中、 (1)作出过直线AC 且与直线BD1平行的 截面,并说明理由、
(2)设E,F 分别就是A1B 与B1C 的中点, 求证直线EF//平面ABCD 、
5、、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且
A
B
C
C 1
D
A 1
B 1
D 1
A 1
E
D 1
C 1
B 1
D
C
B
A
M
A
B C
D
E
F
ＥＨ∥ＦＧ.
求证:EH ∥BD 、 (12分)
6、
P 就是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 就是PA 的中点,
求证://PC 平面BDQ .(自己作图) 7、
如图,α//a ,A 就是α的另一侧的点,a D C B ∈,,,线段AB ,AC ,AD 交α于
E ,
F ,
G ,若4=BD ,4=CF ,5=AF ,则EG
=___________.
8、求证:如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线与它们的交线平行.
H G F
E
D B
A
C。