上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案

一. 填空题
1. 若=-n (2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
2. 直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P x y (,)满足⋅=OP OA 4，则点P 的轨迹方 程是
3. 已知圆--+=x x y 44022的圆心是点P ，则点P 到直线--=x y 10的距离是
4. 若向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，且a 与b 的夹角为π3，则+=a b ||
5. 三阶行列式---k
112
35442第2行第1列元素的代数余子式为-10，则=k
6. 点P (3,4)关于直线-=x y 1的对称点的坐标是
7. 己知两点A (3,4)，-B (1,5)，直线l ：=-y kx 1与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围
8. 已知点-A (10,2)，B (5,7)，若在x 轴上存在一点P ，使-PA PB ||||最小，则点P 的坐 标为
9. 若圆（+=>x y R R 0)222和曲线+=x y 34
1||||恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题
①⎩+=⎨⎧+=a x b y c a x b y c 222111；②⎩++=⎪⎨++=⎪⎧++=a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 333322221111；③⎩++=⎨⎧++=a x b y c z d a x b y c z d 22221111；④⎩+=⎪⎨+=⎪⎧+=a x b y c a x b y c a x b y c 3
33222111. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；
（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为
11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆
Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），
P 是圆Q 上及其内部动点，设R =+∈BP mBC nBA m n (,)，
则+m n 的取值范围是
12. 若实数x 1、x 2、y 1、y 2，满足+=x y 11122，+=x y 12222，+=x x y y 11212
，则
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1122
的最大值为
二. 选择题
13. 下列等式中不恒成立的是（ ）
A. a b b a ⋅=⋅
B. ()a b a b λλ⋅=⋅
C. 222()a b a b ⋅=⋅
D. 22||||()()a b a b a b -=+⋅-
14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）
A. 关于x 轴对称
B. 关于y 轴对称
C. 关于y x =轴对称
D. 关于原点对称
15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1
y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）
A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解
B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解
C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解
D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解
16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，
则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，
||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）
A. 15
B. 12
C. 10
D. 9
三. 解答题
17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .
（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；
（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.
18. 已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44
ππθ∈-
. （1）求2||a b +的最大值；
（2）设与的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.
19. 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义122()||a b a a b b ⋅=-
⋅.
（1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ； （2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.
20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.
（1）求曲线E 的轨迹方程；
（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；
（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以 原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.
（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；
（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12
OM ON ⋅=-
，求t 的值； （3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. arctan 2
2. 24x y +=
3. 2
4.
5. 14-
6. (5,2)
7. [,arctan 6]4
π
π- 8. (12,0)
9. 3 10. （1）（4） 11. [1 12. 2
二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.
18.（1）3+；（2）]2
π. 19.（1）(2,1)a =；（2）证明略.
20.（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.
21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）2
t =±；（3）11(,)22Q --，λ=。