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数列专题复习之典型例题(含答案)

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

最新高一下数学暑假专题练习精选题(培优)必修五：数列

必修五：数列一．选择题（共20小题）1．在正项等比数列中a3a5+2a5a6+a6a8＝9，则a4+a7＝（）A．1B．2C．3D．42．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A．29B．31C．33D．363．已知数列{a n}前n项的平均数等于2n+1，其中n∈N*，则数列的前2020项和等于（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，若数列的前n项和为4，则n为（）A．81B．80C．64D．635．在等差数列{a n}中，首项a1＝1，且a2是a1与a4的等比中项，S n为{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．10B．55C．10或55D．10或606．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法错误的是（）A．数列{a n}单调递减B．当n＝5，n＝6时，S n同时达到最大值C．＝D．满足不等式S n≥0的n的最大值为107．已知数列{a n}中，a1＝1，，则a2021＝（）A．1B．C．﹣2D．﹣18．已知递增等比数列{a n}中，a2+a5＝18，a3•a4＝32，若a n＝128，则n＝（）A．5B．6C．7D．89．已知数列{a n}中，a1＝1，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．10．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．令数列的前n项和为S n，则S2021＝（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足，S n为{a n}的前n项和，则S20＝（）A．300B．320C．340D．36012．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1，数列{b n}满足b1＝1，b n﹣b n﹣1＝（n≥2），则b8＝（）A．64B．81C．80D．8213．已知数列{a n}中，a1＝，a2＝2，a n＝2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3，n∈N*），则（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝2•3n﹣214．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n 对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1]15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，数列{a n}满足a1＝1，且当n≥2时，有2a n＝a n S n﹣S n2（其中S n为{a n}的前n项和，且S n≠0）．则f（）+f（）＝（）A．3B．﹣2C．﹣3D．216．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＞9（n∈N*），则n的最小值为（）A．98B．99C．100D．10117．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S9＞0，S10＜0，则在中最大的是（）A．B．C．D．18．在数列{a n}中，若a1＝0，a n+1﹣a n＝2n，则++…+的值为（）A．B．C．D．19．设数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+2，则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2•3n﹣1B．a n＝2•3n﹣1﹣1C．a n＝2•3n﹣1+1D．a n＝2•3n+1﹣120．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．473二．多选题（共1小题）（多选）21．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1三．填空题（共8小题）22．已知数列{a n}满足a1a2a3•a n＝n，则数列{a n}的通项公式为．23．在数列{a n}中，a1＝1，（n≥2，n∈N*），则数列的前n项和为．24．设数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n＝（n∈N*），a1＝，a n＝25．已知数列{a n}满足，则{a n}的通项公式．26．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n＝．27．设数列{a n}，若a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝﹣2，则b2017＝．28．已知数列{a n}通项为a n＝n cos（nπ），n∈N*，则a1+a2+a3…+a2016＝．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，且a，b，c成等比数列，则A＝度，C＝度．四．解答题（共31小题）30．已知数列{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．31．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．32．已知数列{a n}满足a1＝2，a n a n+1﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）证明：{}是等差数列；（2）设b n＝a2n+n﹣1，求数列{b n}的前n项和．33．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b＝，求{b n}的前n项和为T n．34．已知{a n}是等差数列，a2，a3是函数f（x）＝x2﹣a4x+a5的两个不同零点．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m，a r，a s，a t都是数列{a n}前51项中的项，a m，a r，a s是公比为q（q∈N*）的等比数列，a r，a s，a t成等差数列．当最大时，求a t．35．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝λa n﹣1+2（λ≠0，n≥2）且{a n+1}为等比数列．（1）求实数λ的值；（2）求数列{a n}的前n项的和S n．36．已知数列{a n}满足+++……+＝n2+3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n＝（n+1）a n•22n，求数列{b n}的前n项和S n，当S n≥m2+m+1对一切正整数n恒成立时，求实数m的取值范围．37．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，na n+1＝S n+n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求T n；（3）设b n＝，证明：≤b1+b2+b3+…+b n＜．38．已知数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝a n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．39．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）证明数列{a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅲ）证明：．40．若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，P（，S n+1）点在曲线y＝（x+1）2上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n m﹣1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．41．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1＝1，b n•b n+1＝a n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：≥2n﹣1．42．数列{a n}的前项n和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若（4λ﹣1）a n＞9（n﹣3）对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．43．已知数列{a n}中，a1＝1，且对任意m，n∈N*，有a m+n＝a m+a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知p，k∈N*，且满足a p+a p+1+⋯+a p+k＝39，求p，k；（3）若（其中k＞0）对任意n∈N*恒成立，求k的最大值．44．已知数列{a n}满足，且a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，证明：．45．已知等差数列{a n}的首项a1≠0，前n项和为S n，且S4+a2＝2S3；等比数列{b n}满足b1＝a2，b2＝a4．（1）求证：数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项；（2）若a1＝2，设c n＝，求数列{c n}的前n项的和T n．（3）在（2）的条件下，若有f（n）＝log3T n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．46．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n＝3b n﹣1+a n（n≥2）．（ⅰ）证明：数列为等差数列．（ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．47．数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n．（1）设b n＝，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意实数λ都有λ2≥a n成立，求n的最大值．48．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{2n﹣1•a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且S n+a n＝λ（λ为常数，n∈N*）．令c n＝b2n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，正整数t满足t2﹣3t＞9T n恒成立，求t的最小值．49．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．50．若数列{a n}满足．（1）求a1，a2，a3及{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和S n．①求S n；②对于任意n∈N+，均有恒成立，求m的取值范围．51．记S n为数列{a n}的前n项和．已知+n＝2a n+1．（1）证明：{a n}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求S n的最小值．52．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．53．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．54．如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，P A＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面P AC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，P A＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．55．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．56．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．57．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．58．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）证明：BD⊥P A；（2）求PD与平面P AB所成的角的正弦值．59．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．60．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．（1）证明：BF⊥DE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？参考答案一．选择题（共20小题）1．C；2．B；3．B；4．B；5．C；6．D；7．B；8．D；9．A；10．D；11．C；12．A；13．D；14．C；15．A；16．C；17．C；18．A；19．B；20．B；二．多选题（共1小题）21．CD；三．填空题（共8小题）22．；23．；24．；25．；26．2n﹣1（n∈N*）；27．1；28．1008；29．60；60；。

北师大版必修5《an与Sn的关系及裂项求和法》习题精选有答案-(高一数学)

第2课时a n与S n的关系及裂项求和法课后篇巩固探究A组1.已知数列{a n}的前n项和S n=,则a5的值等于()A. B.- C. D.-解析:a5=S5-S4==-.答案:B2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析:∵S5==15,∴a1=1,∴d==1,∴a n=1+(n-1)×1=n,∴.设的前n项和为T n,则T100=+…+=1-+…+=1-.答案:A3.设{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,又d=a7-a6<0,故A正确;由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0.而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确.故选C.答案:C4.数列的前n项和S n为()A.B.C.D.解析:,于是S n=.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:∵f(n+1)=f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=.∴f(2)-f(1)=,f(3)-f(2)=,……f(20)-f(19)=,∴f(20)-f(1)==95.又f(1)=2,∴f(20)=97.答案:B6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=.解析:a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以a n=2n-10.令5<2k-10<8,解得<k<9.又k∈N+,所以k=8.答案:87.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=,且a4=54,则a1=.解析:因为a4=S4-S3==27a1,所以27a1=54,解得a1=2.答案:28.数列1,,…,,…的前n项和S n=.解析:因为==2,所以S n=1++…+=2=2.答案:9.正项数列{a n}满足-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0,即a n=2n或a n=-1,由于{a n}是正项数列,故a n=2n.(2)由(1)知a n=2n,所以b n=,故T n=.10.导学号33194014已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求a n;(2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|,求T5的值和T n的表达式.解(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.∴a n=2n-7.(2)当n≥4时,a n=2n-7>0;当n≤3时,a n=2n-7<0,∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.当1≤n≤3时,T n=-(a1+a2+…+a n)=-n2+6n;当n≥4时,T n=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a n=n2-6n+18.综上所述,T n=B组1.若等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,则由b n=所确定的数列{b n}的前n项之和是()A.n(n+2)B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+6)解析:由题意知a1+a2+…+a n==n(n+2),∴b n==n+2.于是数列{b n}的前n项和S n=n(n+5).答案:C2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.28解析:设该等差数列为{a n},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,又a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3,∴4(a1+a n)=21+67=88,∴a1+a n=22.∴S n==11n=286,∴n=26.答案:B3.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2),则a7=()A.53B.54C.55D.109解析:∵a n=a n-1+2n,∴a n-a n-1=2n.∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n(n≥2).∴a n=1+4+6+…+2n=1+=n2+n-1.∴a7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列{a n}为,…,+…+,…,如果b n=,那么数列{b n}的前n项和S n为()A. B. C. D.解析:∵a n=,∴b n==4,∴S n=4=4.答案:B5.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n+1,则a n=.解析:当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时,当n=1时,2n=2≠3.所以a n=答案:6.导学号33194015设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S6=36,S n=324,若S n-6=144(n>6),则数列的项数n为.解析:由题意可知由①+②,得(a1+a n)+(a2+a n-1)+…+(a6+a n-5)=216,∴6(a1+a n)=216,∴a1+a n=36.∴S n==18n=324,∴n=18.答案:187.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=+2(n-1)(n∈N+).(1)求证:数列{a n}为等差数列,并求a n与S n;(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由. (1)证明由a n=+2(n-1),得S n=na n-2n(n-1)(n∈N+).当n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即a n-a n-1=4,故数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,a n=4n-3,S n==2n2-n.(2)解存在自然数n使得S1++…+-(n-1)2=2 019成立.理由如下:由(1),得=2n-1(n∈N+),所以S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n为1 010.8.导学号33194016数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N+).(1)求证{a n}是等差数列;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和.(1)证明a n=S n-S n-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n(n≥2).∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{a n}的通项公式为a n=101-2n(n∈N+).又a n+1-a n=-2为常数,∴数列{a n}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令a n=101-2n≥0,得n≤50.5.∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).①当1≤n≤50时a n>0,此时b n=|a n|=a n,∴{b n}的前n项和S n'=100n-n2;②当n≥51时a n<0,此时b n=|a n|=-a n,由b51+b52+…+b n=-(a51+a52+…+a n)=-(S n-S50)=S50-S n,得数列{b n}的前n项和为S n'=S50+(S50-S n)=2S50-S n=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.由①②得数列{b n}的前n项和为S n'=。

高一数学教材习题变式训练(数列)

数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第20页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第17页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+> 变式题1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ 4、由前几项猜想通项：（北师大版第8页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，（1）（4）（7）（）（）则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-= 变式题2、（北师大版第9页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

苏教版高一数学必修5等比数列测试题及答案

等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 ..提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于。

6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。

7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。

提示：公比为a q 2=，当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。

等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2.4等比数列测试题知识点一：等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。

深圳育才中学高一数学必修5《数列》单元测试卷

深圳育才中学高一数学五（必修）《数列》单元测试卷时间:100分钟满分:100分一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将每题答案写在下面的表格中） 1. 在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55，…中，x 等于A ．11B ．12C ．13D ．14 2. 在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值为A ．49B ．50C ．51D ．523. 已知数列11110，21110，31110，…，1110n ，…，使数列前n 项的乘积不超过510的最大正整数n 是A ．9B ．10C ．11D ．124. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为A ．513B ．512C ．510D ．82255. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9等于A ．66B ．99C ．144D ．297 6. 已知命题甲：“任意两个数a ，b 必有唯一的等差中项”，命题乙：“任意两个数a ，b必有两个等比中项”.则A ．甲是真命题，乙是真命题B ．甲是真命题，乙是假命题C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲是假命题，乙是假命题 7. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．218. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A ．9B ．12C ．16D ．17 9. 数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =an+b (a ≠0，a 、b ∈R)，b n =q n-1(q>1)，则数列{a n }、{b n }中，使a n =b n 的n 值的个数是A 、2B 、1C 、0D 、可能为0，可能为1，可能为210. 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=Ａ．2-Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．2二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则74a a ⋅=___________. 12. 等差数列110，116，122，128，…在[400，600]内的共有________项. 13. 已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________。

高一数学数列部分习题及答案

.数列一．数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

高一数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》

高二数学（《解三角形》与《数列》）(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）A 12-=n a nB )21()1(n a nn --= C )12()1(--=n a nn D )12()1(+-=n a nn 2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（）A ．21-B ．2-C ．2D ．213．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（）A. 14-B.14C. 23-D.234．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A ．1B ．2C ．2±D ．45．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（） (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)86．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=60C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507．在数列{}n a 中，12a =， 11ln (1)n n a a n+=++，则n a =（）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 8．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（） AB3C3Dm10．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n n T S nn ，则55b a （）A 32 B 149 C 3120 D9711．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根，则20072008a a +的值是（）A 18B 19C 20D 2112．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（）A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21n n + D.2(1)n n +二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 14. 已知数列｛a n ｝的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项a n =__15．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C =16．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b =三、解答题：（本大题分6小题共74分） 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c18．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中， 72=S ，916=S ，求4S ．19. （本小题满分12分）在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若A B C △，求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求A B C △的面积．20．（12分）已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==（1）求{}n a 的通项;（2）求n a a a a ++++ 321的值。

苏教版高一数学必修5等差与等比数列求和习题及答案

差与等比数列求和习题1.设{a n }是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…)，则n a =________. 2.数列{a n }中，a 1 =1，当n ≥2时，n 2= a 1 a 2 a n 恒成立，则=n a .3.数列{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) ,则=n a .4.已知数列{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+…+(－1)n +1(4n －3)，则S 15+S 22－S 31= .5.已知数列{a n }中，11++=n n a n，则S n = . 6.=++++++++)1(2113211211n .7.设函数f (x )满足2f (n +1)=2f (n )+n ，f (1)=2则f (20)= .8.已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = .9.在等差数列{a n }中，若S 4=21,a n －3+a n －2+a n －1+a n =67, S n =286,则n = .10.已知数列{a n }，（1）若11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，则=n a ；（2）若11=a ，n n a n n a 11+=+，则=n a ；（3）若11=a ，)2(121≥+=-n a a n n ，则=n a ；（4）若前n 项和S n =3n 2+n +1，则=n a ；（5）若211=a ，n n a n S 2=，则=n a ； 11.设a 1=2,a 2=4，b n =a n +1－a n ，b n +1=2b n +2，（1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.12．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n （1）求证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；（2）求n a .13.设数列{a n }满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（1）求数列{a n }的通项；（2）设a n b n =n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．14.正数数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ，求：（1）数列{a n }的通项公式；（2）设11+=n n na ab ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：2B n <115.数列{a n }中，a 1=8,a 4=2,，满足a n +2－2a n +1+a n =0,n=1,2, …（1）数列{a n }的通项公式；（2）设n n n n b b b S N n a n b ++=∈-=21*),()12(1，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有32m S n >总成立，若存在求出m ，若不存在说明理由.参考答案1、n 12、⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2,11,12n n n n a n 3、3n +3 4、－76 5、11-+n 6、2+n n 7、97 8、1或21- 9、26 10（1）n 2 （2）n 1 （3）2n －1 （4）⎩⎨⎧≥-=2,2615n n n ，（5）)1(1+n n 11、证明：222)22(221=+++=+++n n n n b b b b ，又421=+b ∴数列{b n +2}是公比为2的等比数列。

高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

22. (2014?成都模拟)等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a i +3a 2=1 , (I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n )设 b n =log 3a 1+log 3a 2+ ••+Iog 3a n ,求数列｛——｝的前 n 项和.解：(I )设数列｛a n ｝的公比为 q ，由 a 32=9a 2a 6有 a 32=9a 42,- q 2—.由条件可知各项均为正数，故 q=二.1 37. (2013?江西)正项数列｛a n ｝满足 a ^-( 2n - 1) a n - 2n=0.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式a n ；解：(1)由正项数列｛a n ｝满足：①-(2n - 1) a n - 2n=0 , 可有(a n - 2n ) (an+1) =0二 a n =2n .2n (n+1)丄丄)2 n n+1，数列｛b n ｝的前n 项和T n 为 n 2n+2a 3 =9a 2a 6,由 2a i +3a 2=1 有 2a i +3a i q=1，二 a i = 故数列｛a n ｝的通项式为a n = 3Ka 3.E a /… 、 n (n+1)片□吋 + ■' + lag 331 =-(1+2+ ・・+n )= -- ---------- 22 n (n+1) 1 + • -+ 1 =则-+ 数列｛ ~ ｝的前n 项和为-(1 - 丄)+(「+ 2 nH求数列｛b n ｝的前n 项和T n .(2)T a n =2n , b n = (n+1)b n =(n+1)(n ) b n = 2 ( -2[ (2)令 b n =6. （2013?山东）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2, a 2n =2a n +1 .（I ）求数列｛a n ｝的通项公式； — bi b > b(n )设数列｛b n ｝满足_!■+_£+♦・+_ 日 I a z a解有 a 1=1, d=2 .*• a n =2n — 1, n €N . 由(I )知，a n =2n - 1, n€N *.28. （2010?山东）已知等差数列｛a n ｝满足：a 3=7, a 5+a 7=26 . ｛a n ｝的前n 项和为S n .解：（I ）设等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d ,由S 4=4S 2, a 2n =2a n +1 有: 站严 <匸8aj44d 屮?2n- 1) d 二 2幻+2 (n- 1) d+1 ' 1 +■ +・ •+… =1 - 亠a 2 2n （n ）由已知 ,n €N *，有:b i 1a i2 当n=1时， =1 -—,n €N ，求｛b n ｝的前n 项和T n . • 「_ -a, n€N *1 3 5 +2 22'23' 2n 1 ,| 3 .2n-3 +…一 22 2n两式相减有: 丄T n 丄 2 2 —一) 7T 2J 2n211"1 ,• , n=1时符合.2n-l/• b n = 2 ,n €N又T n = ・・+(I) 求 a n 及 S n ;1 *（n ）令b 玖一扌—— （n €N ）,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解：(I )设等差数列｛a n ｝的公差为d ,■/ a 3=7, a 5+a 7=26,•••有•，2a t +Wd-25解有 a i =3, d=2 ,• a n =3+2 (n - 1) =2n+1 ;c n(n-l) 2c Sn = 3n ---------- --------- X 2=n +2n ；(n )由(I )知 a n =2 n+1 ,即数列｛b n ｝的前n 项和T n =『九、. 4 （n+1）1 1 1 1=-. rl 1— 1 (2n+l ) 2 _ 1 心（Ml ） 4 n n+1• •b n =1 • 口=于（1讨谆-知叱-禽丿丄门-4 (n+1) P25. (2008?四川)在数列｛a n ｝中,a i =1 ,S n ; （川）求数列｛a n ｝的前n 项和T n . 解：（I ）由条件有_'"_l - "：\又n=1时，—-- （口+门 2 2 n 2n 2 故数列.构成首项为1，公式为卅等比数列. 务1 即u2 口门n — , 即 a n ~ 1 n 22 （n ）由皤两式相减，有: 伽 1) ‘ _ n 2 2nH-l 2n 2n 2n 占5口諾+2 (占+吉十■、十弋) 2 11 2 尸尸 2R斗(aj+a £+ " + a n )有T 5）由片二（陀+兀+…+盼［有― 2n±l 1.A Z g 2 23 2n 2n - 1 12rr+l 2n 戶n - a f +a irt-L __2T n =S（计2） n（I ）求｛a n ｝的通项公式; （n ）令求数列｛b n ｝的前n 项和十•普扣(I )求数列｛a n ｝的通项公式； --T n =2Si+2a 1 — 2a n+1 = - ■— 9n +4n+6 3. （2010?四川）已知等差数列｛a n ｝的前3项和为6，前8项和为-4.(H)设 b n = (4- a n ) q (q 旳,n €N ),求数列｛b n ｝的前 n 项和 S n . 解：(1)设｛a n ｝的公差为d , 由已知有*8 aj+28^- 4解有 a i =3, d= - 1故 a n =3+ (n - 1) (- 1) =4 - n ;(2) 由(1)的解答有，b n =n?q n- j 于是0 1 2 n -1S n =1?q 0+2?q '+3?q 2+ ・・+n?q n '.若q 詞，将上式两边同乘以 q ，有12 3 nqS n =1?q +2?q +3?q +・・+n?q .上面两式相减，有(q - 1) S n = nq n -( 1+q+q 2+ ••+q n 1)n=nq -- -- ------- q - 1-f-H . |-t r r I 1 L I 1+ ] J右 q=1，贝卩 S n =1+2+3+ ・・+n= _4. (2010?四川)已知数列｛a n ｝满足 a 1=0 , a 2=2，且对任意 m 、n €N 都有 a 2m -1+a 2n -1=2a m+n -1+2 (m - n )••• , Si(2) 设 b n =a 2n+1 - a 2n T ( n €N ),证明：｛b n ｝是等差数列；(3) 设 C n = ( a n+1 - a n ) q n -1 (q 电 n€N *),求数列｛c n ｝的前 n 项和 S n . 解：(1)由题意，令 m=2 , n=1，可有 S 3=2a 2 - a 1+2=6再令 m=3，n=1，可有 a 5=2a 3 - a 1+8=20(2) 当n€N *时，由已知(以 n+2代替m )可有a 2n+3+a 2n -仁2a 2n+1+8于是[a 2 (n+1) +1 - a 2 (n+1)- 1] -( a 2n+1 — a 2n -1) =8即 b n+1 — b n =8••• ｛b n ｝是公差为8的等差数列(3) 由(1) (2)解答可知｛b n ｝是首项为b 仁a 3 — a 1=6，公差为8的等差数列贝U b n =8n — 2，即 a 2n+1 — a 2n -1=8n — 2n - 1于疋 c n =2nq •当 q=〔时，S n =2+4+6++2 n=n ( n+1)当 q 詞时，S n =2?q 0+4?q 1+6?q 2+-+2n?q n — 1 两边同乘以q ,可有12 3 nqS n =2?q +4?q +6?q +・・+2n?q .上述两式相减，有(1 — q ) S n =2 (1+q+q 2+ --+q n 1)— 2nq n16. （2009?湖北）已知数列｛a n ｝是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a 3a 6=55, a 2+a 7=16综上所述, S n = S (卄1〕 (q=l )口口田一(廿1) f+1(q-1) 22- 另由已知（令m=1）可有••• 4 '--(q-L) 2匕 b la *(2)数列｛a n｝和数列｛b n｝满足等式a n=」4」+」*“・(n €N*),求数列｛b n｝的前n项和S n. 2护232R解：(1)设等差数列｛a n｝的公差为d,则依题意可知d> 0由a2+a7=16,有，2a i+7d=16 ①由a3a6=55，有(a i+2d) ( a i+5d) =55②由①②联立方程求，有9 Ad=2, a i=1/d= - 2, a i= (排除)二a n=i+ (n- i) ?2=2n - i人b(2) 令C n=，则有a n=c i+c2+ ••+c na n+i=C i+C2+・・+C n+i两式相减，有a n+i - a n=c n+i，由(i) 有a i=i, a n+i - a n=2• c n+i =2，即C n=2 ( n =^2),即当n^2时，b n=2n+i,又当n=i 时，b仁2a仁2(E)•- bn=J jh > (n>2)3 4 n+i n+2于是S n=b i+b2+b3+—+b n=2+2 +2 +・・2 =2 - 6, n老(2词严_6宀.。

高中习题数学5-2

第5模块第2节[知能演练]一、选择题1．若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别为d 1和d 2，则d 2d 1等于 ( )A.23B.32C.34D.43解析：d 1＝y －x 4－1＝y －x 3，d 2＝y －x 5－1＝y －x4. ∴d 2d 1＝34. 答案：C2．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：本题考查等差数列的运算．S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)2＝10(a 20－a 10)＝100d ，又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4，∴S 20－2S 10＝400. 答案：C3．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝3(a 1＋a 20)＝54， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20×542×3＝180.答案：B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：由a 5a 3＝a 1＋a 92a 1＋a 52＝[12(a 1＋a 9)×9]×5[12(a 1＋a 5)×5]×9＝S 9S 5×59⇒5S 99S 5＝59⇒S9S 5＝1.答案：A 二、填空题5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：由S 9＝－9，得a 1＋a 92＝a 5＝－1，又a 12＝－8，所以a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9. 故S 16＝(a 1＋a 16)×162＝－72.答案：－726．等差数列的前n 项和为S n ，若S 7－S 3＝8，则S 10＝________；一般地，若S n －S m ＝a (n >m )，则S n ＋m ＝________.解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 7－S 3S 10＝4a 1＋18d 10a 1＋45d ＝25＝8S 10⇒S 10＝20；同理S n －S m S n ＋m ＝(n －m )·(a 1＋n ＋m －12d )(n ＋m )a 1＋(n ＋m )(n ＋m －1)2d＝n －m n ＋m ＝aS n ＋m ⇒S n ＋m ＝n ＋m n －m·a . 答案：20n ＋mn －m·a 三、解答题7．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.8．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)，(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求2S n ＋8n 的最小值．(1)证明：b n ＝1a n －112－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1，而b n －1＝1a n －1－1，∴b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ∈N *)．∴数列{b n }是首项为b 1＝1a 1－1＝－521的等差数列．(2)解：∵b n ＝n －72，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n －6)2则2S n ＋8n ＝(n ＋8)(n ＋2)n ＝(n ＋16n)＋10. 由基本不等式，知(n ＋16n)＋10≥216＋10＝18. 当且仅当n ＝4时取等号，即n ＝4时，2S n ＋8n取最小值18.[高考·模拟·预测]1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：等差数列中由S 10>0，S 11＝0得， S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6，故选C.答案：C2．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9解析：由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a 2m ，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m－1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1得(2m －1)a m ＝38，故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.答案：C3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33， ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n >0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 答案：B4．已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.解析：由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n (n －1)22＝n 2，当n <m 时，S (n ＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.答案：－2n －15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)，又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2得2S 2＝2a 22＋a 1－1，又S 2＝1＋a 2，得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)，∴a 2＝32；令n ＝3得2S 3＝2a 23＋a 3－1，又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2.(2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)，故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．[备选精题]6．已知f (x )＝4＋1x 2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (a n ，1a n ＋1)(n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }的首项b 1＝1，前n 项和为T n ，且T n ＋1a 2n ＝Tn a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，求数列{b n }的通项公式b n .解：(1)由题意知1a n ＋1＝4＋1a 2n. ∴1a 2n ＋1＝4＋1a 2n . ∴1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，即{1a 2n }是等差数列． ∴1a 2n ＝1a 21＋4(n －1)＝1＋4n －4＝4n －3. ∴a 2n ＝14n －3. 又∵a n >0， ∴a n ＝14n －3. (2)由题意知(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n ＋1)(4n －3)． ∴T n ＋14n ＋1－Tn 4n －3＝1.设T n4n－3＝c n，则上式变为c n＋1－c n＝1.∴{c n}是等差数列．∴c n＝c1＋n－1＝T11＋n－1＝b1＋n－1＝n.∴T n4n－3＝n，即T n＝n(4n－3)＝4n2－3n.∴当n＝1时，b n＝T1＝1；当n≥2时，b n＝T n－T n－1＝4n2－3n－4(n－1)2＋3(n－1)＝8n－7. 经验证n＝1时也适合上式．∴b n＝8n－7(n∈N*)．。

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等差数列的前n项和公式的性质及应用》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等差数列的前n 项和公式的性质及应用》一、选择题1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．112.数列{a n }为等差数列，若a 1=1，d=2，S k ＋2-S k =24，则k=( )A ．8B ．7C ．6D ．53.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ． 484.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．565.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．2206.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m-1＋a m ＋1-a 2m =0，S 2m-1=38，则m=( )A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题8.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．9.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5=105，a 2＋a 4＋a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．10.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．11.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n =2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=________.12.数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________．三、解答题13.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．14.已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值．15.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？16.已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n =18(a n ＋2)2. (1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n =12a n -30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．答案解析1.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.2.答案为：D ；解析：∵S k ＋2-S k =a k ＋1＋a k ＋2=a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d =2a 1＋(2k ＋1)d=2×1＋(2k ＋1)×2=4k＋4=24，∴k=5.3.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ， ∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.5.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18.又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54.∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.6.答案为：A ；解析：∵a 1＋a 2＋a 3=34，① a n ＋a n-1＋a n-2=146，②又∵a 1＋a n =a 2＋a n-1=a 3＋a n-2，∴①＋②得3(a 1＋a n )=180，∴a 1＋a n =60.③ S n =a 1＋a n ·n 2=390.④ 将③代入④中得n=13.7.答案为：C ；解析：由等差数列的性质，得a m-1＋a m ＋1=2a m ，∴2a m =a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m =2.又S 2m-1=2m －1a 1＋a 2m －12=2a m 2m －12=2(2m-1)=38，∴m=10.8.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.9.答案为：20；解析：由已知得3a 3=105,3a 4=99，∴a 3=35，a 4=33，∴d=-2，a n =a 4＋(n-4)(-2)=41-2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n=20.10.答案为：3；解析：S 奇=a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9=15，S 偶=a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10=30，∴S 偶-S 奇=5d=15，∴d=3.11.答案为：32；解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=3a 1＋12d 13b 1＋12d 2=a 5b 5=a 1＋a 92b 1＋b 92=9×a 1＋a 929×b 1＋b 92=A 9B 9=2×99＋3=32.12.答案为：1 008；解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8=2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4=2，k ∈N ，故S 2 016=504×2=1 008.13.解：由题意知，S n =a n ＋12，得：S n =a n ＋124， ∴a 1=S 1=1，又∵a n ＋1=S n ＋1-S n =14[(a n ＋1＋1)2-(a n ＋1)2]， ∴(a n ＋1-1)2-(a n ＋1)2=0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1-a n -2)=0，∵a n ＞0，∴a n ＋1-a n =2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n =2n-1.14.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2.从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2. 进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果．15.解：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n =1 550×2=3 100，d=50×3×2=300，S n =17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋n －1×300＝3 100， ①na 1＋n n －12×300＝17 500. ②由①得a 1=3 400-300n.代入②得n(3 400-300n)＋150n(n-1)-17 500=0，整理得3n 2-65n ＋350=0，解得n=10或n=353(舍去)，所以a 1=3 400-300×10=400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10=30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400-100=100(m)．所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.16.解：(1)证明：当n=1时，a 1=S 1=18(a 1＋2)2，解得a 1=2. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=18(a n ＋2)2-18(a n-1＋2)2，即8a n =(a n ＋2)2-(a n-1＋2)2，整理得，(a n -2)2-(a n-1＋2)2=0，即(a n ＋a n-1)(a n -a n-1-4)=0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n-1>0，∴a n -a n-1-4=0，即a n -a n-1=4(n≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n =12a n -30，且由(1)知a n =2＋(n-1)×4=4n -2， ∴b n =12(4n-2)-30=2n-31，故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n-31=0，得n=1512， ∵n ∈N *，∴当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n=15时，T n 取得最小值，最小值为T 15=－29－12×15=-225.。

人教A版高中数学高一必修5作业 2-2-1等差数列的概念、通项公式

课时作业(九)1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为()A．2 B．3C．－2 D．－3答案 C解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n等于() A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n答案 D3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为()A．1 990 B．1 995C．2 010 D．2 015答案 B4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为()A．92 B．47C．46 D．45答案 C5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案 B6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n等于()A．671 B．670C ．669D ．668答案 A7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0B ．lg 3－23＋2C ．lg(5－26)D ．1答案 A解析等差中项为lg (3－2)＋lg (3＋2)2 ＝lg[(3－2)(3＋2)]2＝lg12＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6答案 C9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝( )A.32B.23C.43D.34答案 C解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1，∴d 1d 2＝43.10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d >83B ．d <3 C.83≤d <3 D.83<d ≤3答案 D解析从第10项起为正数，则a 10>0且，a 9≤0，由⎩⎨⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3.11．等差数列2,5,8，…，107共有________项．答案 3612．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 答案－12解析法一由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.法二 a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d . 13．首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100. 答案 2914．已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式an ＝________.答案 2n －17解析由(b －1)＋(2b ＋3)＝2(b ＋1)，可得b ＝0. ∴a 8＝－1，a 9＝1，a 10＝3.∴d ＝2，a 1＝－15，∴an ＝2n －17.15．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N*)，且f (2)＝2，则f (101)＝____________. 答案－914解析 ∵{f (n )}为等差数列，公差为－14， ∴f (1)＝f (2)－(－14)＝2＋14＝94.∴f (101)＝f (1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－914. 16．已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项17．有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差)．求最后一排离教室地面的高度．解析设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1＝17，∴a 16＝a 1＋15d 1＝17＋15×8＝137.∴a 25＝a 16＋10·d 2＝137＋10×10＝237(cm)． ►重点班·选作题18．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能．答案 519．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．答案 501．(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18答案 D解析设{a n }的公差为d ，∵a 2＝2，a 3＝4，∴d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18.2．已知数列{an }为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求an . 解析设公差为d ，则由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝19，d ＝－2.∴an ＝19＋(n －1)(－2)，即an ＝－2n ＋21.3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t (s)123... ？ (60)距离s (cm) 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？(1)关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解析 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝558(cm)． s ＝49(cm)时，t ＝s 9.8＝494.8＝5 (s)．。

高一数学《数列》同步训练(共7份)含答案必修5

必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是（） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是（）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是（）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，；（2）32，54，，1716，3332，。

8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。

（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

高一数学数列章节测试题

高一数学章节测试题——数列33已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ,那么=10a 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++=(21)n n -2(1)n +2n 2(1)n -选择题答题卡：二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =,则249a a a ++=_______________. 14.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式=n a _____________.15.设数列{}n a 中,1211++==+n a a a n n ，,则通项=n a _____________.16.设{}n a 为公比1>q 的等比数列,若2004a 和2006a 是方程03842=+-x x 的两根,则=+20072006a a _____________.三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知{}n a 为等比数列,320,2423=+=a a a ,求{}n a 的通项公式. 18.已知{}n a 为等差数列,且36a =-,60a =. Ⅰ求{}n a 的通项公式；Ⅱ若等比数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式. 19.已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ,n ∈+N ． Ⅰ求q 的值；Ⅱ若1a 与5a 的等差中项为18,n b 满足n n b a 2log 2=,求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .Ⅰ求数列{}n b 的通项公式；Ⅱ数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．22.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>参考答案：一、选择题答题卡：)(4*1N n n ∈-)(22*2N n n n ∈++三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q,则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时,)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时,)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：Ⅰ设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.Ⅱ设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19.解：Ⅰ设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d.由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ,.22)(21n n a a n S n n +=+=Ⅱ12+=n a n ,)1(412+=-∴n n a n ,⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn +.20.解：Ⅰq p S a +-==211,23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a , 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ,由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p pⅡ根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由Ⅰ知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此,数列}{n b 是等比数列,首项21=b ,公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121.解：Ⅰ设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+, 依题意,得15, 5.a d a a d a -+++==解得所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意,有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或舍去故{}n b 的10,5743==-=b d b ,公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. Ⅱ数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--,即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项,公比为2的等比数列.22.解:Ⅰ因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(,2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=,{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又解得1r =-.Ⅱ当2=b 时,由Ⅰ知,12-=n n S .当2≥n 时,.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式,所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++,………………1 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……2 ）（）（21-,得: 12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。

高一习题数学5-1

第5模块第1节[知能演练]一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n3n ＋1＝2[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．解法二：研究函数f (x )＝2x3x ＋1(x >0)的单调性，f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝23(3x ＋1)－233x ＋1＝23－23(3x ＋1)，∴f (x )＝2x3x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．答案：A2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115 解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝169，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.答案：A3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为( )A.n ＋1nB.n ＋3n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n ＋3n ＋2解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋22＋1，f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋23＋1，可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1.答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，152<k <9，∴k ＝8.答案：B 二、填空题5．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ， 0≤a n <12，2a n －1， 12≤a n <1，a 1＝35，则数列的第2008项为________．解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15，∴a 3＝2a 2＝25，∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15…，∴该数列的周期为T ＝4.∴a 2008＝a 4＝45.答案：456．已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 解法一：由a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4， ∴数列的通项公式a n ＝n .验证：当a n ＝n 时，(n ＋1)a n ＝na n ＋1成立．解法二：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1可得a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2.将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1时也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2).8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.(1)证明：a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.[高考·模拟·预测]1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝( )A ．4B ．2C ．1D ．－2解析：取n ＝1得a 1＝2(a 1－1)，所以a 1＝2，再由n ＝2得2＋a 2＝2(a 2－1)，所以a 2＝4.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n 是( )A.2n ＋13B.n ＋23C.12n －1D.13n －2解析：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0的两边同时除以a n a n －1(a n a n －1≠0)得：3＋1a n －1－1a n＝0，1a n －1a n －1＝3，故数列{1a n }是首项为1，公差为3的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝3n －2，故通项a n ＝13n －2.答案：D3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (20－n )，则当a n a n ＋1<0时，n ＝________.解析：由S n ＝n (20－n )得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (20－n )－(n －1)[20－(n －1)]＝－2n ＋21；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋21.由a n ·a n ＋1＝(－2n ＋21)[－2(n ＋1)＋21]＝(－2n ＋21)(－2n ＋19)<0⇔192<n <212，因为n ∈N ，所以n ＝10.答案：104．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝|a n ＋2a n －1|，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n.又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.答案：2n ＋15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.[备选精题]6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，……b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n 1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求的通项公式b n ＝2－12n 1.(2)由(1)知，a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n2n －1.令T n ＝∑k ＝1nk2k －1，则2T n ＝∑k ＝1nk2k －2.于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －112k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 又∑k ＝1n (2k )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。

数列求和之错位相减法 - 高一下学期数学人教A版必修5

数列求和——错位相减1.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .2．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．3．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .4.在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝an2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和．5.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2(n∈N*)，在数列{b n}中，b1＝1，点P(b n，b n ＋1)在直线x－y＋2＝0上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，求T n.6.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)当d＞1时，记c n＝anbn，求数列{c n}的前n项和T n.数列求和——错位相减（解析）1.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.2．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n . 所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．4.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1 ＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.6.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)由题意得 ⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n . ②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.。