高中数学双曲线及抛物线

双曲线及抛物线（讲义）

知识点睛

一、双曲线

1. 双曲线的标准方程

我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．

12{|||||||2}P M MF MF

a =-=．

因为12|| ||MF MF ==

所以

2a =±． ①

类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得

22222222()()c a x a y a c a --=-，

两边同除以222()a c a -，得

22

2221x y a c a

-=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以．

类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得

22

221(00)x y a b a b

-=>>，． 双曲线的标准方程：22

221(0 0)x y a b a b

，

-=>>．

2.双曲线的几何性质

R R

对称轴

二、抛物线

1.抛物线的标准方程

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的

轨迹叫做抛物线．

点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2

p

x =-．

设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合

{|||}P M MF d

==．

因为||||2

p

MF d x ==

+，所以

||2

p

x =+．

将上式两边平方并化简，得

22(0)y px p =>．

抛物线的标准方程：22(0)y px p =>．

2. 抛物线的几何性质

1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，4

a=，3

b=；

（2）焦点在x轴上，经过点(，

3

；

（3）焦点为(06)

-

，，(06)

，，且经过点(25)

-

，．

2.双曲线

22

22

1(00)

x y

a b

a b

-=>>

，与

22

22

(0)

x y

a b

λλ

-=≠有相同的

（）

A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对

3.已知双曲线

22

22

1(00)

x y

a b

a b

-=>>

，的一条渐近线方程

是y=，它的一个焦点在直线6

x=-上，则双曲线的方程为（）

A．

22

1

36108

x y

-=B．

22

1

927

x y

-=

C．

22

1

10836

x y

-=D．

22

1

279

x y

-=

4.若双曲线

22

22

1(00)

x y

a b

a b

-=>>

，

）A．2

y x

=±B

．y=

C．

1

2

y x

=±D

．

2

y x

=±

5. 已知F 为双曲线C ：22

1916

x y -

=的左焦点，P ，Q 为C 上的点． 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5 0)A ，在线段PQ 上， 则△PQF 的周长为__________．

6. 已知F 是双曲线22

1412

x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，

若(1 4)A ，，则||||PF PA +的最小值是__________．

7. 如图，1F ，2F 是椭圆221 +14

x C y =：与双曲线2C 的公共焦点， 点A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） A

B

C ．

32

D

8. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点．线

段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？

9.点()

M x y

，到定点(5 0)

F，的距离和它到定直线l：

16

5

x=的

距离之比是常数5

4

，求点M的轨迹方程．

10.已知双曲线

2

21

2

y

x-=，过点(11)

P，能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两

点，且点P是线段AB的中点？如果能，求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．