2013届人教版中考数学复习解题指导：第31讲 正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题
中考总复习数学31- 第一部分 第31讲 统计
第31讲
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3.频数和频率
频数
(2)频率=
.
数据总个数
(1)频数:各组中数据的个数.
(3)各组的频率之和为
1
.
4.样本估计总体
用样本估计总体时,样本容量越大,通过样本对总体的估计也就
越精确 .
基本思想:利用样本的特征(平均数、方差等)估计总体的特征(平均数、方差
1
2
3
4
第31讲
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统计— 题型突破
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2.(原创题)某篮球队10名队员的年龄结构如下表,已知该队队员年龄的
中位数是21.5,则篮球队的年龄的众数为( D )
A.20
年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数/名
1
1
m
n
2
1
B.22
C.24
D.21
1
2
3
4
第31讲
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计算调查的样本容量:综合观察统计图(表),或得到某组的频数,或得到某
组的频数及该组对应的频率(百分比),利用样本容量=各组频数之和或样
某组的频数
本容量=
计算即可.
该组的频率
(1)条形统计图:一般涉及补图,也就是求未知组的频数.
(2)扇形统计图:一般涉及补图,也就是求未知组的百分比或其所占圆心角
的度数.
解析:在这次抽样调查中,共调查的学生数为60÷20%=300(名).
(2)C类所对应扇形的圆心角的度数是
全条形统计图;
中考数学复习满分突破(全国通用)：正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算(解析版)
【考查题型】
有关的计算
【知识要点】 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 【解题思路】 1.正边形半径、边心距和12 边长构成直角三角形。 2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。 正多边形的对称性： 1）正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。 2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多 边的中心。 【小结】正 n 变形的内角为 �−2�×180°，外角为36�00，中心角为36�00 内角和为（ n-2 ）×180°。 【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值 第一种 正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，在 Rt△BOD 中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 变式 1-4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形 ABCDEF 和正五边形 AHIJK 内接于 O ，且 有公共顶点 A，则 BOH 的度数为______度．
【答案】12 【分析】连接 AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答． 【详解】连接 AO，如图，
与
AD
交于点
O，易证△COD
为等边三角形，从而
正多边形、扇形、圆锥复习
正多边形、扇形、圆锥【知识点】一、正多边形与圆二、弧长及扇形的面积1、弧长公式 ；2、扇形面积公式 .三、圆锥的侧面积和全面积:圆锥侧面积计算公式 .【正多边形与圆】 1．（2010台湾） 如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为 10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何？ (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。
2．（2010 山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）A ．32 cmB ．3cmC ．332 cm D ．1cm 3．（2010宁夏回族自治区）如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是 米．4、同圆中，内接正四边形与正六边形面积之比是 ．5．（2010四川乐山）正六边形ABCDEF 的边长为2cm ，点P 为这个正六边形内部的一个动点，则点P 到这个正六边形各边的距离之和为__________cm ．D A B ACDE FG H 图(1)【扇形的弧长、面积】 6．（2010四川 巴中）如图6所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则 图中阴影部分的面积为。
7．（2010 广西钦州市）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（A ）6πm 2 （B ）5πm 2 （C ）4πm 2 （D ）3πm 2 8．（2010 嵊州市）如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。
9．（2010云南昆明）如图，在△ABC 中，AB = AC ，AB = 8，BC = 12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A．64π- B ．1632π- C．16π-D．16π-10．（2010天门、潜江、仙桃）如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点C 1，AB B C ⊥11于点B 1，设弧BC 1，11B C ，B 1B 围成的阴影部分的面积为S 1，然后以A 为圆心，AB 1为半径作弧B 1C 2，交斜边AC 于点C 2，AB B C ⊥22于点B 2，设弧B 1C 2，22B C ，B 2B 1围成的阴影部分的面积为S 2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S 3= .图6第7题第9题图【圆锥的侧面积】1．（2010 福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2．（结果保留π） 2．（2010 福建晋江）已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是 . 3．（2010江苏无锡）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．20cm 2B ．20πcm 2C ．10πcm 2D ．5πcm 24．（2010甘肃兰州） 现有一个圆心角为90，半径为cm 8的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为A ． cm 4B ．cm 3C ．cm 2D ．cm 15．（2010山东济宁）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB．cmC ．8cmD．6．（2010山东威海）一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为A ．9㎝B ．12㎝C ．15㎝D ．18㎝ 7．（2010 山东莱芜）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2.5B ．5C ．10D ．15 8．（2010年贵州毕节）已知圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A ．1.5cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm 【答案】B. 9．（2010浙江湖州）如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（ ） A ．6π B ．9π C ．12π D ．15π（第9题）剪去10．（2010江苏宿迁）如图，∆ABC 是一个圆锥的左视图，其中AB =AC =5，BC =8，则这个圆锥的侧面积是A π12B ．π16C ．π20D ．π3611．（2010湖北黄石）如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ） A.13 B. 63 C. 33 D. 43 12．（2010 湖北孝感）如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程 是 （ ）A ．8B ．210C ．215D ．22013．(6分)聪明好学的小云查阅有关资料发现：用不过圆锥顶点平行于一条母线的平面截圆锥所得的截面为抛物面，即图9中①，曲线CFD 为抛物线的一部分，圆锥体SAB 的母线长为10，侧面积为50π，圆锥的截面CFD 交母线SB 于F ，交底面⊙P 于C 、D ，A B ⊥CD 于O ，OF ∥SA 且O F ⊥CD ，OP ＝4。
初三数学专题复习-第31课时 弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积
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有关概念：(1)正多边形的中心：正多边形的 外接圆的圆心 叫做这个正多边形的 中心； (2)正多边形的半径：正多边形的 外接圆的半径 叫做这个正多边形的半径； (3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的 距离 叫做正多边形的边心距， 也是正多边形内切圆的半径．
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6．圆柱的侧面展开图 展开图：圆柱的侧面展开图是一个 矩形 ，这个 矩形 的一边长等于圆柱的高， 另一边的长等于底面圆的周长． 公 式：如图，圆柱的高为 h，底面圆的半径为 R.
(1)S 圆柱侧＝2πRh； (2)S 圆柱全＝2πRh＋2πR2.
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7．圆锥的侧面展开图 展开图：沿着圆锥的一条母线把圆锥的侧面展开，得到一个 扇形 ，它的弧长等 于圆锥底面圆的周长，它的半径等于圆锥的 母线 长． 公 式：如图，圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 R. (1)S 圆锥侧＝12l·2πR＝πRl； (2)S 圆锥全＝πRl＋πR2＝πR(l＋R)． 注 意：不要把圆锥的母线长误当成圆锥的高．
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中考再现
1．[2019·长沙]一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是( C )
A．2π
B.4π
C．12π
D.24π
【解析】 根据扇形的面积公式，S＝120×36π0×62＝12π.故选 C.
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2．[2019·衡阳]如图，已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是 6 3 .
︵︵
∴BC＝BD，故①正确． ∵∠A＝30°， ∴∠COB＝60°. ∴S 扇形 OBC＝36600·π·A2B2＝227π.故②错误．
人教版中考数学考点聚焦《第31讲：图形的相似》课件
6．相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平 分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．射影定理：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， 则有下列结论．
(1)AC 2＝AD·AB； (2)BC 2＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2∶BC 2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
命题点5：相似三角形的应用 5．(2017·天水)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯 的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为__5__米．
相似三角形的性质及判定
【例 1】 (1)(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，
则下列等式一定成立的是( D )
【探索研究】 (2)若点 O 是 AC 上任意一点(不与 A，C 重合)，求证：AMMB·BNNC·OCOA＝1； 【拓展应用】 (3)如图②，点 P 是△ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC， AC，AB 于点 D，E，F，若ABFF＝13，BCDD＝12，求ACEE的值．
解：(1)过点 A 作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G，∴∠G＝∠BNM，又∠B ＝∠B，∴△ABG∽△MBN，∴BBGN＝MABB，∴BBGN－1＝MABB－1，∴BGB－NBN ＝ABM－BMB，即NBNG＝AMMB，同理，在△ACG 和△OCN 中，NCNG＝ACOO，∴ACOO ＝NCNG，∵O 为 AC 中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN，∴CBNN＝NBNG＝ABMM＝31
命题点 1：比例的性质 1．(2017·兰州)已知 2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( A ) A.xy＝32 B.3x＝y2 C.xy＝23 D.x2＝y3
中考数学总复习 第六章 圆 第31课 有关圆的计算课件
2．弧长、扇形的面积 (1)如果弧长为 l，圆心角为 n°，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为 l
nπr ＝___1_8_0___．
(2)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇
nπr2 形的圆心角为 n°，所在圆半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S＝__3_6_0__ 或 S
变式训练 1 (2015·恩施州) 如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平 行于桌面上的直线 b，然后把半圆沿直线 b 进行无滑动滚动，使半圆的直径 与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等于________．
(变式训练 1 题图)
解析 由解图可知，圆心先向前走 OO1 的长度即41圆的周长，然后沿着 O︵1O2旋转41圆的周长，
．
4．阴影部分的面积
(1)规则图形：按规则图形的面积公式去求．
(2)不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采
用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积．
基础落实
1．若扇形的半径为 6，圆心角为 60°，则此扇形的弧长是( B )
A. 3π
B. 6π
C. 9π
D. 12π
2．如图，一个圆心角为 90°的扇形，半径 OA＝2，那么图中阴影部分
的面积为( C )
A. π
B. 2π－2
C. π－2
D. π－1
,
(第 2 题图)
(第 3 题图)
3．如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，把矩形 ABCD 绕 AB 所在直
线旋转一周所得圆柱的侧面积为( B )
1 ＝___2_l_r_ ．
注：公式中的 n 表示 1°的圆心角的倍数，所以不带单位． 3．圆柱和圆锥 (1)圆柱的侧面展开图是__矩__形_ ，这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长__ c， 宽是圆柱的__母__线_ .如果圆柱的底面半径是 r，则 S 圆柱侧＝cl＝2πrl，S 圆柱全＝2πrl ＋2πr2.
人教版中考数学专题课件：正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
图 25－3
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
解 析
设正方形 BGFE 的边长是 x，根据几何图
形面积的和差关系，图中阴影部分面积＝S 扇形 BAC＋S△CEF 90²π ³42 1 1 2 ＋S 正方形 BGFE－S△AGF＝ ＋ (4－x)x＋x － (4＋ 360 2 2 x)x＝4π .
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
容易将扇形的弧长公式与扇形的面积公式相混淆而导致 解题错误．
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正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
探究三
计算扇形面积
命题角度： 1．已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2．已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．
正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
考 点 聚 焦
考点1
正多 边形 和圆 的关系 正多 边形 和圆 的有 关概 念
正多边形和圆
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一 些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正 多边形的外接圆． 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________. 中心 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________. 半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________. 中心角 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ________ 边心距 ，也是正多边形内切圆的半径.
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高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案
第 1讲 仿射变换知识与方法在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，我们运用坐标变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则可以得到圆222x y a ''+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题【例1】设直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A 、B 两点，则AOB 的面积的最大值为_______.【解析】解法1：当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x t =()0a t a t −<<≠且 联立22221x tx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，所以2221222AOBb a t t abSt a −+==≤⋅=，当且仅当222a t t−=，即2t =时取等号，所以()max 2AOB ab S =当直线l 斜率存在时，设其方程为()0y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,y B x ， 联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22222222220a k b x kma x a m a b +++−=，判别式()()()2242222222222222444k m a a k b a m a b a b a k m b ∆=−+−=−+①，所以12AB x x =−=，原点O 到直线l 的距离d =，从而1122AOBSAB d =⋅==2222222222ab a k m b m aba kb −++≤⋅=+ 当且仅当22222a k m b m −+=时取等号，此时22222a k b m +=，代入①知22240a b m ∆=>，故()max 2AOB abS =，综上所述，AOB 的面积的最大值为2ab . 解法2：作变换x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆222x y a ''+=，如图，因为21sin sin 22A OB a SO A O B A O B A O B '''''''''''''=⋅⋅∠=∠， 所以当90A O B '''∠=︒时，A O B S '''∠取得最大值22a ，因为a S S b '=，所以bS S a'=，从而AOB S的最大值为222a b aba ⋅=.【答案】2ab 【例2】已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为_______.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14−，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '+=，如图，在圆O '中，显然A B ''是直径，所以P A P B ''''⊥，从而1P A P B k k ''''⋅=−， 又2P A PA k k ''=，2P B PB k k ''=，所以41P A P B PA PB k k k k ''''⋅=⋅=−，故14PA PB k k ⋅=−.【答案】14−【例3】已知过点11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆22:142x y C +=交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为_______.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，而1OM k =，所以12AB k =−，从而直线l 的方程为111222y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即2430x y +−=解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '''+=，如图2，在圆O '中，M '仍为A B ''中点，所以O M A B ''''⊥，且122M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线O M ''的斜率为，从而直线A B ''的斜率为2，故直线A B ''的方程为1222y x ⎫''−=−−⎪⎝⎭，即24x y ''+−=，将x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入可得024x −=，即2430x y +−=，所以直线AB 的方程为2430x y +−=【答案】2430x y +−=【例4】已知椭圆22:12x C y +=的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为12−，其中O为原点，点P 在射线OA 上，且2OP OA =，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BP BQ=_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图，则O A OA k ''=，O B OB k ''=，由题意，所以21O A O B OA OB k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O A O B ''''⊥，显然O P ''=O B ''=，O Q ''=，所以P B ''==，作O G P B '''⊥于G ，则O P O B O G P B ''''⋅'=''，B G '=O B O Q ''''=，所以G 为B Q ''的中点，从而25B Q B G ''''==，故52B P B Q ''=''，所以在变换前的图形中，52BP BQ =.【答案】52【反思】在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，若涉及到了两直线的斜率之积为22b a−，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1−，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练1.（★★★★）已知椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是_______.【解析】解法1：如图1，()0,1A ，()2,0B ，所以A 、B 两点到直线MN的距离分别为1d =，2d =y kx =代入2214x y +=化简得：()22144k x +=，解得：x =以MN =AMBN 的面积()122121122k S MN d d ⎛⎫+=⋅+=+====≤=当日仅当14k k =，即12k =时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变成圆22:4O x y '''+=，如图2，显然4M N ''=，由图可知A '和B '到直线M N ''的距离之和在A B M N ''''⊥时取得最大值，且最大值为A B ''=A M B N ''''的面积S '的最大值为11422M N A B '''⋅=⨯⨯= 因为2S S '=，所以四边形AMBN的面积的最大值是【答案】2.（★★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则MON 的面积为_______.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限， 由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，设()0OM k k k =>，则13ONk k =−，联立2213y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22133k x +=，解得：x =，所以M x =，故M y =M ，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以2MONS⎛⎫== ⎝. 解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:3O x y '''+=，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，变换后，O M OM k ''=，O N ON k ''=，所以31O M O N OM ON k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O M O N ''''⊥，故1322M O N S'''==，又3M O N MONS S'''=，所以MONS=【答案】23.（★★★★）已知椭圆22:12x C y +=上有点2P ⎝⎭，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为_______.【解析】作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '+=，如图1中，作PQ x ⊥轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q x '''⊥轴，由题意，在图1中，MPQ NPQ ∠=∠，所以在图2中，M P Q N P Q ''''''∠=∠，所以M Q N Q ''''=，故Q '是M N ''的中点，从而O Q M N ''''⊥，在图1中，由对称性可得2Q ⎛ ⎝⎭，所以在图2中，2Q '⎝⎭，从而O Q k ''=，所以3M N k ''=，又M N MN k ''=，所以6MN k =.4.（★★★★）已知A 、B 、C 是椭圆22:12x E y +=上的三个动点，则ABC 的面积的最大值为_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆E 变成圆22:2O x y '''+=，如图，显然当A B C '''的面积取得最大值时，应有C D A B '''⊥，且C D O D O C ''''=+设(0O D d d '=≤，则C D d '=，A B ''==所以((1122A B C S A B C D d d ''''''=⋅=⨯=+， 从而()()()()23221233A B C S dd ddd ddd '''=−+=−+=++41327344d d d d ⎛⎫++≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭故A B C S'''≤，当且仅当3d d =时取等号，此时，d =，所以A B C '''，又2A B C ABCS S'''=，所以ABC 的面和的最大值为4.2.5.（★★★★）设A 、B 两点在椭圆22:12x C y +=上，且AB 的中点为12Q ⎫⎪⎪⎝⎭，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为_______. 【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图在图2中，22Q ⎛' ⎝⎭，且P A ''和P B ''的中点都在圆O '上，所以点P '在A B ''的中垂线y x ''=上，显然原点O '也在直线y x ''=上，从而直线O P ''的斜率为1，因为O P OP k ''=，所以2OP k =.6.（★★★★）已知直线:20l x +−=与椭圆22:12x C y +=相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l '与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若2PT PA PB λ=⋅，则λ=_______.【解析】解法1：联立222012x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，因为l '与直线l 平行，所以可设:l x m '=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,O x y ，联立20x m x ⎧=+⎪⎨−=⎪⎩解得：)24m y −=，所以)024m y −=，从而0PT y =−=−=，故2238PT m =))10201222344m m PA PB y y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−⋅=−−=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，联立2212x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：22420y m ++−=①,因为1y 、2y 是方程①的两根，所以()()2212424y m y y y y ++−=−−②， 在②中令)24m y −=可得())))22122222242416444m m m m m y y ⎛⎫−−−−⋅++−=−− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得：))21222448m m m y y ⎛⎫⎛⎫−−−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而238mPA PB ⋅=，所以2PT PA PB =⋅，故1λ=.解法2：作变换联立222012x x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以2T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，从而变换后，()1,1T '，直线O T ''和直线A B ''的斜率为1，直线P T ''的斜率为1−， 从而P TP T PT x x P T x x ''−==''−，又由变换过程知P P x x '=，T T x x '=，所以2PT P T =''，同理可得，PA P A ==''，PB P B ==''， 所以2234PT P T ''=，34PA PB P A P B ''''⋅=⋅，从而22PT P T PA PB P A P B ''=''''⋅⋅， 在图2中，由切割线定理，2P T P A P B ''''''=⋅，所以21P T P A P B ''=''''⋅，故21PTPA PB=⋅，因为2PT PA PB λ=⋅，所以21PTPA PBλ==⋅.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决。
第31讲：圆的周长与面积1
第31讲：圆的周长与面积知识梳理：1、圆的组成：（1）圆心：圆的中心叫圆心，用字母O 表示，圆心决定圆的位置。
（2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用字母r 表示，半径决定圆的大小。
（3）直径：通过圆心，两端都在圆上的线段叫直径，用字母d 表示，直径是圆内最长的线段。
2、圆周率：圆的周长除以直径的商也是一个固定的常数，这个常数叫圆周率， 用字母π表示，也可以说圆的周长是直径的π倍。
圆周率是一个无限不循化小数，计算时通常取3.14。
4、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。
圆的周长总是直径的π倍，所以： 周长=直径×3.14=2×半径×3.14； 计算公式是：C=π×d=2×π×r5、半圆的周长=圆的周长÷2+直径； 计算公式是：C 半圆=π×r ＋2r6、圆的面积：如图，把一个圆等分（偶数份）成扇形的份数越多，拼成的图像越接近长方形。
长方形的宽等于圆的半径，长方形的长等于圆的周长的一半。
所以圆的面积22S r r S ππ=→=÷6、圆环的面积（1）定义：圆环是由同心的一个大圆和一个小圆组成的，大圆也叫外圆，小圆也叫内圆；（2）圆环面积=大圆面积-小圆面积圆环面积计算公式：()2222r R r R S -=-=πππr R典型习题：一、圆的周长考点1：正方形、长方形与圆的关系。
1、在边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是（），半径是（）。
2、在长28cm，宽26cm的长方形纸板上剪出一个最大的圆，这个圆的半径是（）。
3、在一张长16厘米，宽8厘米的长方形内画直径是4厘米的圆，这样的圆最多可画（）个。
考点2：圆的周长公式及其应用。
1、一个车轮的直径是65厘米，车轮转动一周长约前进（）米。
2、一个挂钟的时针长3厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（）cm3、一根长25.12分米的绳子正好绕一树干10圈，这个树干的直径是（）分米。
中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面积圆锥侧面积有关的计算
中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面
积圆锥侧面积有关的计算
一、正多边形与圆的关系
正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
一个正多边形可以画出一个内接圆，该圆的圆心即为正多边形的中心，且圆心与多边形的各个顶点连线都与多边形的一条边垂直。
正多边形的内角和公式为：
内角和=(n-2)×180°，其中n为正多边形的边数。
正多边形的外角和公式为：
外角和=360°，且每个外角的度数为360°/n，其中n为正多边形的边数。
1.弧长公式
弧长可以理解为一段圆周的长度。
弧长公式为：
弧长=弧度×半径，其中弧度=角度×π/180。
2.弧度制度数转换式
角度=弧度×180/π。
三、扇形面积的计算
扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。
扇形面积公式为：
扇形面积=(弧长×半径)/2，其中弧长单位为弧度。
四、圆锥侧面积的计算
圆锥的侧面是由圆锥的母线、底面圆弧以及连接底面圆弧与顶点的三角形组成的。
圆锥侧面积公式为：
圆锥侧面积=弧长×母线/2，其中弧长单位为弧度，母线为连接圆锥顶点和底面圆圆心的线段长度。
以上是正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算的相关知识点。
希望对你的中考数学复习有所帮助。
计算这些相关内容时，记得要熟记公式，并且注意单位的转换。
祝你取得满意的成绩！。
正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题
思考：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º。
(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗? (2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ (3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面 积吗？
A
C
B
（1）以BC为轴旋转一周所得的圆锥
B
B
C
A
C
A
以AC为轴旋转一周所得的圆锥 A
图 32－4
·新课标
第32讲 │ 归类示例
[解析] 点 A 从开始滚动到结束，转过了两个 120 度的角，其 120 半径都是 2， 所以 A 点从开始到结束所走过的路线长是 2× ×2π 180 8 ＝ π. 3
·新课标
第32讲 │ 归类示例
[2010· 台州] 如图 32－5，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠C＝ 60° ，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋 转 60° 叫一次操作， 则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径
D B D B
A
动画
C
A
C
分析: A,B两点之间的线 段最短，把圆柱展开，侧 面是长方形，线段AB就是 最短距离.
在Rt三 角 形 中 ，
D
B
解：
12 3 144 9 2
A 2 2 3 2 2 2 2 AB AD BD 12 2
·新课标
第32讲 │ 考点随堂练
4．已知100° 的圆心角所对的弧长为5π cm，则该圆的半径为 9 ______cm. 100×π×r nπr [解析]因为弧长l＝ ，所以可得到5π＝ ，解得r＝9. 180 180
5．如图32－3，秋千拉绳长3米，静止时 踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时， 秋千在最高处踩板离地面2米(左右对 称)，则该秋千所荡过的圆弧长为多少？ 图32－3 解： 由图形可知：EF＝2－0.5＝1.5，OF＝3－1.5＝1.5，所 1 以在Rt△OFB中，OF＝ OB，∴∠OBA＝30° .所以∠AOB＝ 2 120π×3 120° ，所以秋千所荡过的圆弧长l＝ ＝2π(米)． 180
备战中考--第31讲正多边形与圆--(附解析答案)
备战2019中考初中数学导练学案50讲第31讲正多边形与圆【疑难点拨】1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。
下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。
关于正多边形与圆的计算问题。
解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。
正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。
【基础篇】一、选择题：1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是( )A．72° B．60° C．54° D．36°2.（2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2 C．D．13.若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于( )A．120° B．6° C．114° D．114°或6°4. （2017湖南株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形5.（2017·资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC 为（）°.A． 24° B． 12° C． 45° D．30°二、填空题：6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．7.（2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．8.（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．三、解答与计算题：9.如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．求证：△ABF≌△BCG.10.如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．【能力篇】一、选择题：11.（2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．12.（2017•黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）A．B．C． D．13.（2018·四川宜宾·3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（）．（结果保留根号）A．2B． C．3 D．4二、填空题：14. （2017绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．15.（2017湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈= ．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）三、解答与计算题：16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．17.如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．18.如图9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．【探究篇】19.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若△ABC中AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.20.如图①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.(1)求图①中∠APB的度数．(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________．(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．第31讲正多边形与圆【疑难点拨】1. 转化是“正多边形与圆”中的灵魂转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
正多边形与圆及扇形弧长圆锥面积
题型一 正多边形与圆一、知识回顾1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。
如果一个正多边形有n 条边，那么，这个多边形叫正n 边形。
再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。
正n 边形的中心角的度数是360/n2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n ≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
如：将圆6等分，即，则AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA 。
观察∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 、∠F 所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F 。
所以，将一个圆6等分，依次连结各分点所得到的是⊙O 的内接正六边形。
3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n 边形的对称轴有n 条。
(3)边数相同的正多边形相似。
二、知识运用一、1正n 边形的内角和为________，每一个内角都等于________，每一个外角都等于________.2.中心角是45°的正多边形的边数是____8_____.3.正八边形有________条对称轴，它不仅是________对称图形，还是________对称图形．4.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为__32π，34π_______。
人教版全国数学中考复习方案第讲正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题
∴sin45°＝ABCB＝BaC＝ 22，∴AC＝BC＝ 22a， ∴∵正S△八ABC边＝形12×周围22是a×四个22a全＝等a42三. 角形，面积和为：a42×4＝a2， 正八边形中间是边长为 a 的正方形， ∴阴影部分的面积为：a2＋a2＝2a2， 故选 A.
例5 [2012·山西] 如图31－6是某公园的一角，∠＝90°，弧的半 径长是6米，C是的中点，点D在弧上，∥，则图中休闲区(阴影部分) 的面积是( )
C
图31－6
第31讲┃ 归类示例
[解析] 先根据半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点可知 OC＝12OA＝3， 再在 Rt△OCD 中，利用勾股定理求出 CD 的长，根据锐角三角函数的定义 求出∠DOC 的度数，由 S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC 即可得出结论．
解：(1)证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD.
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD.
(2)S
阴影＝S
扇形
AOB－S
扇形
COD＝π
×32－π 4
×4 12＝2π
(cm2)．
第31讲┃ 归类示例
求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本 图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出 结果．
∴S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC＝60×3π60×62－12×3×3 3＝6π －92 3(米 2)．
第31讲┃ 归类示例
∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，
∴OC＝12OA＝12×6＝3(米)， ∵∠AOB＝90°，CD∥OB， ∴CD⊥OA. 在 Rt△OCD 中， ∵OD＝6 米，OC＝3 米， ∴CD＝ OD2－OC2＝ 62－32＝3 3(米)． ∵sin∠DOC＝OCDD＝3 6 3＝ 23， ∴∠DOC＝60°.
九年级数学正多边形和圆;弧长、扇形面积、圆锥;综合题分析
正多边形和圆；弧长、扇形面积、圆锥；综合题分析【本周内容】正多边形和圆；弧长、扇形面积、圆锥；综合题分析【重点、难点】1．准确理解概念，运用概念公式进行计算2．综合运用所学知识方法分析处理具体问题【学习要求及建议】1．了解正多边形的概念与画法，掌握正多边形的边、半径、边心距、内角、中心角的关系，并进行之间的相关计算正多边形的画法：“等分圆周，顺次连结分点”.此处公式虽然简单但计算运用上还是有些繁琐，稍微不细心就可能出错，下面一组练习非常基本，检验一下你自己的实力.基础练习(1)正五边形一定是( )A．中心对称图形B．轴对称图形C．既是中心对称图形又是轴对称图形D．不是对称图形(2)边数最少的正多边形的中心角为( )度A．60 B．90C．120D．150(3)正四边形的对角线长为2，则它的边长为( )A．B．C．D．(4)圆内接正六边形的周长与该圆周长比为( )A．3：B．6：C．3：2D．2：(5)下面说法正确的是( )A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．正多边形边数增加时，每个内角度数随着增加D．正九边形既是中心对称图形，又是轴对称图形(6)正八边形的中心角是________度；(7)正六边形半径为6cm，则它的边长为________cm，面积为________；(8)正十边形每个内角为________度，每个外角为________度；(9)正n边形的中心角等于24°，则它的边数为________．(10)已知：正三角形的周长为6 cm，求它的外接圆半径的长．(11)已知：圆内接正六边形的半径为6 cm，求它的边心距．参考答案(1)B (2)C (3)A (4)A(5)C(6)45(7)6，(8)144，36(9)15(10)(11)若以上小题你在10分钟内全部作对了，那么可以相信此处知识的学习你没有问题了，若有错误，要注意体会学习的三个层次“懂”“会”“对”之间的关系，注意平时学习态度、习惯的调整.2．会计算弧长及扇形的面积，解决圆锥的侧面积和全面积在弧长、扇形面积计算的学习中，建议结合图形，用逻辑记忆的方式统一记忆这两个公式，即：用圆心角的度数占周角的度数360的份额：乘上圆的面积或周长(为圆心角的度数)，对比三角形面积公式，以形象的方式记忆扇形的另一个公式：.在圆锥的有关计算中，结合图形抓住各几何量的联系①②典型题例不规则图形中几何量的计算(1)已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于△ABC，求阴影部分面积.解析：⊙O为Rt△ABC内切圆，由切线长性质定理可推出⊙O半径∴评述：最好能记住Rt△内切圆半径(2)如图，扇形OAB的圆心角为，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )A．B．C．D．无法确定解析：选A.这里单独算出每块阴影图形的面积都很难，可以先仔细观察它们之间的关系：再进一步深入思考(3)如图，△ABC中，，，，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为( )A．B．C．D．解析：先仔细观察图形中各部分之间的关系.①②③由①+②：④再由③代入④有故选D评述：应对这类不规则图形面积计算问题，关键是要运用切割拼补的思想重新组织拆分图形.3．初步尝试综合运用所学知识分析处理有一定综合能力要求的题目(1)如图，与相切于点，与轴交于，两点，且、是一元二次方程的两个实数根，求的半径及图中阴影部分的面积.解析：由解得，即由垂径定理可知M点横坐标为2又切轴于C，有轴，连结、，有又故可知△MAB为正三角形，四边形CABM为菱形.∴∴.(2)如图，的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为(5，0)，顶点D在上运动.①当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与相切；②当直线CD与相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；③设点D的横坐标为，正方形ABCD的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值.解析：①当AD所在直线过O点，∵正方形ABCD，则则CD切于D；②CD与相切有两种情况，如下图示细审图示：此时若设正方形边长为则分别有分别解得或分别可求得CD解析式为：，；③D点横坐标为，设其纵坐标为则有：，，∵正方形ABCD∴在上S随增大而减小∴，.(3)如图，△ABC内接于，，点D是的中点.BC，AB边上的高AE，CF相交于点H.试证明：①；②四边形AHDO是菱形.解析：①证，显然没有直接明显的关系，先找各自的关联：易解；而呢？图中无明显的关系；的部分，圆周角延长交于连结，知①连结，②再稍加观察易得：(法一)，，而(法二)，，而；②证四边形是菱形，现已知，深入观察由D为中点，可知，，又则有：，显然现在只需证明即可证“=”首先思考全等，有无含AH、AO的三角形？过O作于，随两组对应角相等，只需一组对应边相等即可，垂径定理条件已够获证.证明(略).。
人教版九年级上册数学正多边形和圆圆锥的侧面积和全面积精品课件PPT
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人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
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人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
你会计算圆锥展开图中的圆心角的度数吗？
圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍， 则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数 是多少度？
（1）l = 2，r =1 则 h=__3___ (2) h =3, r=4 则 l =__5___
(3) l = 10, h = 8 则r=___6_
2. 如图所示的扇形中，半R=10，
hl
r
圆心角 θ=144°用这个扇形围 成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r; r=4
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1) 2 21
l ro
扇形
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,
求这个烟囱帽的面积（ π 取3.14，结果保留2个有效数字）
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
2
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
2031.45 40.81 1445m2
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
人教版九年级上册数学课件：2 4 . 3 正多边形和圆 圆锥的侧面积和全面积
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第31讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 正多边形和圆 命题角度： 1. 正多边形和圆有关的概念； 2. 正多边形的有关计算．
例1 [2012·安徽] 为增加绿化面积，某小区将原来正方形 地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后， 图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方 形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A ) A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
第31讲┃ 归类示例
变式题 [2010·新疆] 圆心角都是90°的扇形
AOB与扇形COD如图31－4所示那样叠放在一起，连接 AC、BD.
(1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若AO＝3 cm，OC＝1 cm，求阴影部分的面积．
图31－4
第31讲┃ 归类示例
[解析] (1)把△AOC旋转到△BOD，可知这两个 三角形全等；(2)把阴影面积化为两个扇形面 积的差．
第31讲┃ 归类示例
∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，
∴OC＝12OA＝12×6＝3(米)， ∵∠AOB＝90°，CD∥OB， ∴CD⊥OA. 在 Rt△OCD 中， ∵OD＝6 米，OC＝3 米， ∴CD＝ OD2－OC2＝ 62－32＝3 3(米)． ∵sin∠DOC＝OCDD＝3 6 3＝ 23， ∴∠DOC＝60°.
(4)圆锥的侧面展开图是半径等于 __母__线____长，弧长等于圆锥底面_周__长_____
的扇形
S侧＝__π_r_a____
S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2
CDA&;的重要成就之一，是提供0-3岁婴幼儿大脑发育科学知识，根据相关研究0-3岁大脑发育已达80-85%，所以国际托育师的科学育儿知识尤为重要，据了解，龙未来还将在此基础上引入教育内容生 产、教育技术研发、教育服务、教师培训等多元化功能，促进塞尔维亚信息交流与知识共享，优化教育者与学习者的体验，以智慧教育推进塞尔维亚国家教育整体提升，用数字化的方式认真的践行和专 注企业经营，才能真正令中国企业立于不败之地，快手号出售 /，线下将重点围绕北京奥林匹克公园的独特资源开展亲子微型马拉松、小使者火炬接力赛、冠军面对面宣讲，助力冬 奥签名等系列活动，为顺应互联+发展趋势,变革传统教育模式,推进新技术与教育教学的深度融合,实现信息技术在教学中的常态化应用,2020年6月19日上午,平乐县义务教育阶段学校教师教学课件评选活 动在县教育局圆满落幕，比如说在参加哈佛峰会的时候，小组成员都是全世界的精英，E在团队中明显感受到了力不从心：为什么别人知道的这么多?为什么人家的想法这么丰富?是不是我根本没有那么 优秀?这些质疑萦绕在她的心头久久不能散去，这时候是她的年级长看出了这些细微的变化，并告诉她：人这一生最大的敌人就是自己，因为优秀永远都不是一个统一的标准，重要的是不要停下追求优 秀的脚步，学习最重要的是塑造一个独一无二的自己
第31讲┃ 归类示例
► 类型之三 计算扇形面积
命题角度： 1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积． 例3 [2012·泰州] 如图31－3，在边长为1个单位长度的小 正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形 的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单 位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90° 得到△A1B2C2. (1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2； (2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重 叠部分不重复计算) .
(2)S扇形＝_2_lR____(l是弧长，R是半径)
弓形面积
S弓形＝S扇形±S△
第31讲┃ 考点聚焦 考点4 圆锥的侧面积与全面积
图形
第31讲┃ 考点聚焦
圆锥简介
圆锥的 侧面积 圆锥的 全面积
(1)h是圆锥的高； (2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所
得扇形的_半__径_____；
(3)r是底面半径；
图31－5
第31讲┃ 归类示例
[解析] 过 C 作 CO⊥AB，则 OC＝2, Rt△ABC 绕边 AB 所在
直 线 旋 转 一 周 ， 则 所 得 的 几 何 体 的 表 面 积 为 2×OC×AC π ＝ 2×2×2 2π＝8 2π.
第31讲┃ 归类示例
► 类型之五 用化归思想解决生活中的实际问题 命题角度： 1. 用化归思想解决生活中的实际问题； 2. 综合利用所学知识解决实际问题．
第31讲┃正多边形、扇形的面积、圆 锥的计算问题
第31讲┃ 考点聚焦
正多边形的 有关计算
(1)边长：an＝2Rn·sin180n° (2)周长：Pn＝n·an
(3)边心距：rn＝Rn·cos180n° (4)面积：Sn＝12an·rn·n
(5)内角度数为：（n－2）n×180° (6)外角度数为：360n° (7)中心角度数为：360n°
第31讲┃ 考点聚焦 考点2 圆的周长与弧长公式
若圆的半径是R，则圆的周长C＝
圆的周长
__2_π__R___
若一条弧所对的圆心角是n°，半径
弧长公式
是R，则弧长l＝_n_1π_8_0R____.
在应用公式时，n和180不再写单位
第31讲┃ 考点聚焦 考点3 扇形的面积公式
扇形面积
nπR2
(1)S扇形＝__3_6_0__(n是圆心角度数，R是 1 半径)；
例2 [2012·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线 l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上 时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子 表示)．
图31－2
第31讲┃ 归类示例
[解析] 根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1， AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺 时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90° 到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次 落在直线l上时，点A所经过的路线的长．
∴S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC＝60×3π60×62－12×3×3 3＝6π－92 3(米 2)．
第31讲┃ 归类示例
Байду номын сангаас
[解析] ∵某小区将原来正方形地砖更换为如题图所示的正八边形植草砖， 正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，
∴AB＝a，且∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴sin45°＝ABCB＝BaC＝ 22，∴AC＝BC＝ 22a，
∴S△ABC＝12× 22a× 22a＝a42. ∵正八边形周围是四个全等三角形，面积
第31讲┃ 归类示例
► 类型之四 和圆锥的侧面展开图有关的问题 命题角度： 1. 圆锥的母线长、底面半径等计算； 2. 圆锥的侧面展开图的相关计算．
例4 [2012·宁波]如图31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝BC＝2√2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转
一周，则所得的几何体的表面积为( D )
和为：a42×4＝a2，
正八边形中间是边长为 a 的正方形，
∴阴影部分的面积为：a2＋a2＝2a2，
故选 A.
第31讲┃ 归类示例
圆的内接正多边形的每条边所对的圆心角都相等， 并且所对圆心角的和是360°.
第31讲┃ 归类示例
► 类型之二 计算弧长 命题角度： 1．已知圆心角和半径求弧长； 2．利用转化思想求弧长．
解：(1)证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD.
(2)S 阴影＝S 扇形 AOB－S 扇形 COD＝π×4 32－π×4 12＝2π(cm2)．
第31讲┃ 归类示例
求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本 图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出 结果．
例5 [2012·山西] 如图31－6是某公园的一角，
∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点 D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是
(C )
图31－6
第31讲┃ 归类示例
[解析] 先根据半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点可知 OC＝12OA＝3， 再在 Rt△OCD 中，利用勾股定理求出 CD 的长，根据锐角三角函数的定义 求出∠DOC 的度数，由 S 阴影＝S 扇形 AOD－S△DOC 即可得出结论．