梯度、散度和旋度
散度梯度旋度的定义
散度梯度旋度的定义
散度描述了矢量场的“扩散程度”，它表明了该场在某一点的流入量和流出量之间的差异。
如果一个矢量场在某一点的散度为正，那么该点周围的物质会向外扩散；如果散度为负，那么物质会向该点聚集。
梯度描述了矢量场的“变化率”，它表明了该场在某一点的变化速度和方向。
如果一个矢量场在某一点的梯度为正，那么该点周围的物质将沿着该场的方向向变化率大的方向移动；如果梯度为负，那么物质将沿着相反的方向移动。
旋度描述了矢量场的“旋转性”，它表明了该场在某一点的旋转速度和方向。
如果一个矢量场在某一点的旋度为正，那么该点周围的物质将沿着该场的旋转方向旋转；如果旋度为负，那么物质将沿着相反的方向旋转。
这三个概念在物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用，例如在流体力学中，散度描述了流体的源或汇，梯度描述了速度场的加速和减速，旋度描述了速度场的旋转。
- 1 -。
梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
梯度散度旋度例题
梯度散度旋度例题【实用版】目录1.梯度、散度、旋度的定义与概念2.梯度散度旋度例题的类型与解题思路3.梯度散度旋度例题的详细解答过程正文一、梯度、散度、旋度的定义与概念梯度、散度、旋度是向量分析中的三个基本概念，它们在物理学、数学以及工程领域中有着广泛的应用。
1.梯度：一个向量场在某点的梯度，就是该点处的切线方向，也可以理解为该点处向量场的最大变化率。
2.散度：一个向量场在某点的散度，表示该点处流出或流入的速率，它可以理解为该点处向量场的总量。
3.旋度：一个向量场在某点的旋度，表示该点处旋转的速率，它可以理解为该点处向量场的旋转性。
二、梯度散度旋度例题的类型与解题思路梯度散度旋度例题主要分为三类：梯度例题、散度例题和旋度例题。
在解题时，需要根据例题的类型，运用相应的概念进行解答。
1.梯度例题：求一个向量场在某点的梯度，即求该点处的切线方向。
2.散度例题：求一个向量场在某点的散度，即求该点处流出或流入的速率。
3.旋度例题：求一个向量场在某点的旋度，即求该点处旋转的速率。
三、梯度散度旋度例题的详细解答过程以一个简单的梯度例题为例：例题：设向量场 F(x, y) = (y, x)，求在点 (1, 1) 处的梯度。
解答：1.首先，我们需要求出向量场 F 的偏导数：F/x = (x)/x = 1F/y = (y)/y = 12.然后，根据梯度的定义，我们可以得到在点 (1, 1) 处的梯度为：梯度 F(1, 1) = (F/x, F/y) = (1, 1)因此，在点 (1, 1) 处，向量场 F 的梯度为 (1, 1)。
类似地，你可以按照这个思路去解答散度例题和旋度例题。
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
梯度、散度、旋度
梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：分类：电子技术旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
梯度,散度,旋度
梯度,散度,旋度
梯度是指函数在某一点处的切线斜率，它可以用来表示函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的变化趋势。
散度是指函数在某一点处的二阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势。
旋度是指函数在某一点处的三阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势的变化趋势。
梯度可以用一阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的梯度
可以表示为f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的一阶导数。
散度可以用二阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的散度
可以表示为f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)在点x处的二阶导数。
旋度可以用三阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的旋度
可以表示为f'''(x)，其中f'''(x)表示函数f(x)在点x处的三阶导数。
梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
梯度可以用来表示函数在某一点处的变化率，散度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，而旋度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率。
因此，梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
梯度、散度、旋度的关系
梯度gradient设体系中某处的物理参数(如、、等)为w，在与其垂直距离的dy处该为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为、或。
在向量微积分中，的梯度是一个。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的的情况，梯度只是，或者，对于一个，也就是线的。
梯度一词有时用于，也就是一个沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]梯度的汉语词义，用法。
《现代汉语词典》附：新词新义梯度 1.坡度。
2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。
3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。
4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。
散度散度（divergence）的概念：在F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
梯度、散度、旋度的关系
梯度gradie nt设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y) € D,都可以定出一个向量(S f/x)*i+( S f/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(S f/x)*i+( S f/y)*j+( S f/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]梯度的汉语词义，用法。
《现代汉语词典》附：新词新义梯度1.坡度。
2. 单位时间或单位距离内某种现象(如温度、气压、密度、速度等) 变化的程度。
3. 依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西〜推进。
4. 依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有〜。
散度散度(diverge nee )的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S 所限定的体积4V以任何方式趋近于0时，则比值为F・dS AV的极限称为矢量场F在点M 处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
梯度旋度散度
梯度旋度散度
梯度、旋度和散度是计算机图形学中的三个基本概念，它们可以帮助人们更容易的看到世界的美丽，使我们的生活更加完美。
梯度是指画面中物体表面色彩变化的幅度、动态性，就像一山中的层层台地一般，一色调从低到高（或者高到低）变化渐变自然，从而形成梯度的分布。
这种变化可以形成环境中景物丰富而华丽的色彩调子。
旋度和梯度有着相似之处，都是变换但却有着更多变化。
它主要用于表示空间变形，比如从平坦的地面变成环状山脉、造型复杂的建筑物等。
旋度的变化可让我们更深入的观察到环境的空间特点，让我们感受到美丽的风景所蕴含的深度、广度和奇特的变幻莫测。
散度也有别于梯度和旋度，它专门用于表示空间中噪声或不同物体的混合，这些混合物可以是草木、山路、水体，或其它紊乱的环境，它可以帮助我们观察到不同的材料组成的色彩变化和空间感，使得我们能够更好的了解和感受自然环境的变化。
三种概念在生活中广泛应用，梯度在商业厂房,礁石,河岸的应用领域都会有用到，它也可以用来装饰住宅、酒吧、餐厅等空间，使得画面变得更加丰富多彩，旋度则使用于各种建筑物，运用旋度可以使建筑物更加灵动，而散度则常用于景观设计中，它可以让景观更加平滑有趣。
梯度、旋度、散度是计算机图形学的基本概念，随着时代的发展，它们在视觉艺术中的用途也会发生变化，不仅可以让景观变得更加美丽，还可以丰富生活中的色彩，希望这种变化能够提升生活乐趣，也希望它能够让生活更加精彩。
散度旋度梯度
散度散度是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。
散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。
举例来说，考虑空间中的静电场，其空间里的电场强度是一个矢量场。
正电荷附近，电场线“向外”发射，所以正电荷处的散度为正值，电荷越大，散度越大。
负电荷附近，电场线“向内”，所以负电荷处的散度为负值，电荷越大，散度越小。
定义定义向量场的散度，首先要引入通量的概念。
给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分:其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。
如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。
通量描述了一定区域（也就是）中向量场的方向趋势，散度则是这个性质的一种局部描述[1]:7-8，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散或收敛。
要算某一点的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面的通量除以封闭曲面围起来的微小体元的体积（这体积用表示）得到的比值，向量场在点的散度即是这比值在体元趋向于点时的极限。
用数学公式表示即：[2]:4如果用Nabla算子表示的话，向量场的散度记作：[2]:5从定义中可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量，所以说散度是通量的体密度[1]:7-8。
物理上，散度的意义是场的有源性。
某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。
这样的点或区域分别称为向量场的正源（发散源）和负源（洞）[1]:8。
举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式在物理、数学和工程学等领域，常常会遇到需要计算梯度、散度和旋度的问题。
梯度、散度和旋度是描述矢量变量随空间坐标变化的变化率的重要工具。
在实用文档中，对于三种常见的坐标系下的梯度、散度和旋度计算公式进行详细说明，使读者能够理解和应用这些公式。
一、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是三维空间中经常使用的坐标系。
在笛卡尔坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度用于描述标量函数在空间各个方向上的变化率。
对于标量函数f(x,y,z)，其梯度可表示为：∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂z)k其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数，i、j 和k分别是笛卡尔坐标系的基底单位矢量。
2.散度：散度描述矢量场在其中一点的流入或流出情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其散度可表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
3.旋度：旋度描述矢量场的旋转情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其旋度可表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
二、柱坐标系柱坐标系适用于具有圆柱对称性的问题，在极坐标的基础上，引入了z轴方向的坐标。
在柱坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度的计算公式同样适用于柱坐标系，∇f的表达式保持不变。
2.散度：散度的计算公式在柱坐标系下为：∇·F=(1/ρ)∂(ρP)/∂ρ+(1/ρ)∂Q/∂φ+∂R/∂z其中，P、Q和R为矢量场F的每个分量。
关于梯度散度和旋度
∇是哈密顿算子，用来计算标量场的梯度，x y z∂∂∂∇=++∂∂∂i j k ，于是xy z ⎛⎫∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂⎝⎭u i j k u ，感觉不对，这个算子是对标量场的，而不是对矢量。
2∇是标量场的拉普拉斯算符，2222222x y z ∂∂∂∇=∆=++∂∂∂，对于标量场Φ， 2222222div(grad )x x x y x z x y z∇Φ=∆Φ=Φ=∇⋅∇Φ⎛⎫∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂Φ∂Φ∂Φ=++∂∂∂ ()x y z y x z u u u x y z u u u x y z⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂=++∂∂∂u i j k i i i u 为定义在空间某区域上的矢量场，在任一点(,,)x y z 的散度div =∇⋅u u2222220x y z∂Φ∂Φ∂Φ++=∂∂∂叫做拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数叫做调和函数。
设坐标系Oxyz 为右手系的正交坐标系，对于矢量场(,,)(,,)(,,)(,,)x y z x y z a x y z a x y z a x y z =++a i j k 所定义的矢量场叫做a 的散度，记作curl a ，可写成∇⨯a()x y z x y z a a a xy z ij k xy z a a a ⎛⎫∂∂∂∇⨯=++⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂=∂∂∂a i j k i j k关于梯度、散度和旋度的公式设F ，G 为标量场，a ，b 为矢量场，并设它们连续且存在二阶偏导数。
grad()()F G F G F G +=∇+=∇+∇grad()()FG FG G F F G =∇=∇+∇div()()a b a b a b+=∇⋅+=∇⋅+∇⋅a b a b a bcurl()()+=∇⨯+=∇⨯+∇⨯a a a a=∇⋅=∇⋅+∇⋅F F F Fdiv()()()()a a a a=∇⨯=∇⨯+∇⨯F F F Fcurl()()()()a b a b a b a bdiv()()()()⨯=∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯a b a b b a a b+b a a b⨯=∇⨯⨯=⋅∇-⋅∇∇⋅-∇⋅curl()()()()()()a b a b b a a b b a a b grad()()()()()()⋅=∇⋅=⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯+⨯∇⨯2=∇⋅∇=∇F F Fdiv grad ()=∇⨯∇=0curl grad ()F F=∇⋅∇⨯=a a0div curl ()2a a a acurl curl ()()=∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇。
梯度、散度和旋转速度——定义及公式
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是向量微积分中的重要概念，也是数学分析与物理学中经常使用的量。
梯度：表示函数在每个空间点处的变化率。
如果一个标量函数f(x,y,z)的梯度是 (Fx,Fy,Fz)，则函数在(x,y,z)处沿着最陡峭的方向增加。
它可以表示成以下形式：Grad(f)= (d/dx, d/dy, d/dz) f = F其中，“Grad”是梯度算子，代表对函数的梯度运算，F是函数在每个空间点(x,y,z)的梯度，d/dx，d/dy，d/dz是分别对 x,y,z求偏导运算符。
散度：表示矢量场的源密度，描述了矢量场如何从给定点扩散。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的散度是 div(F)，则在点(x,y,z)处聚集或消散的速率与点密度成比例。
div(F) = ∇·F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz其中“∇”为 nabla 符号，代表矢量微分算子，而“·”为数量积运算符。
旋度：衡量了矢量场在某一点“旋转”的强弱。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的旋度是 rot(F)，则表示为：rot(F) = ∇ × F = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx -dFx/dy)其中“×”为叉积运算符。
梯度、散度和旋度在物理学中有广泛的应用，如电场、磁场、流体力学等领域。
通过它们可以更好地理解电磁场和流场的规律。
同时，这三个概念也是微分方程中的重要工具，可以帮助求解某些偏微分方程的边值问题。
关于大学课程学习中梯度、散度和旋度的简单解析
关于大学课程学习中梯度、散度和旋度的简单解析大学生常常被学习中遇到梯度、散度和旋度的问题困扰，本文针对这几个问题进行了简单解析，首先对它们的数学概念、表达方法以及对应的物理含义进行了概括，明确梯度、散度和旋度的区别，然后对学习中遇到的具体问题进行了由表及里地分析、概括和总结，从而加深对这三个问题的理解。
标签：梯度散度旋度标量函数矢量函数一、梯度、散度和旋度的概念及意义1.梯度设体系中某处存在某一物理参数（如温度、速度、浓度等标量）为w，在与其垂直距离为dy处该参数为W+dW，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况，在单变量的实值函数的情况下，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度或者说某个物理量的方向导数。
2.散度散度定义为在矢量场中的任一点P处，作一个包围该点的任意闭合曲面，当所限定的区域直径趋近于0时，其边界面上的矢量积分和区域体积的比值，即的极限称为矢量场在点P处的散度，表示为。
由散度的定义可知，表示在点P 处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。
散度可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当时，表示该点有散发通量的正源，表示通量源向外辐射；当时，表示该点有散发通量的负源，表示通量源向内辐合，当说明是无源。
散度的物理意义是：（1）矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；（2）矢量场的散度是一个标量；（3）矢量场的散度是空间坐标的函数。
3.旋度矢量沿某封闭曲线的线积分，定义为沿该曲线的环量（或旋涡量），记为false，然后设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，即单位面积平均环流的极限，记作：，它与闭合曲线的形状无关，但依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与以闭合曲线为边界的面积法线方向构成右手螺旋法则，旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度。
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梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：
从符号中可以获得这样的信息：
①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；
②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下
的；
③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式
(1)
其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：
(2)
(
3)
(4)
旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：
根据麦克斯韦方程有：
而
(5)
则电势的梯度的散度为
这是一个三维空间上的标量函数，常记作
(6)
称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义
所以有
当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程
当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即
这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：
散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。
散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。
III.梯度的旋度：
对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有
由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。
比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。
再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。
如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。
IV.旋度的散度：
求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。
若令
(7)
则
从而
将上面三式相加结果也为零。
所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。
而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。
V.旋度的旋度：
旋度的旋度将是本文的重点。
若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：
(8)
(9)
(10)
(11)
对(9)式两端取旋度
(12)
再将(8)式代入(12)式有
(13)
看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。
即有：
(14)
这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：
(15)
为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。
还是做(7)式那样的处理，即令
则
于是
(
16)
而令
(
17)
两式相减有
(18)
类似地有
由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成
(19)
这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。
它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。
有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。
VI.几个矢量恒等式：
前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。
由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。
①
②
这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。
得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。
但是对于▽算子，则一般
但是一般有
实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展
上两式相减有
记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。
③
这个等式相对容易证明，但前提是要在直角坐标下。