大学物理 力学基本定律与守恒律 习题及答案

第3章 力学基本定律与守恒律 习题及答案

1．作用在质量为10 kg 的物体上的力为i t F

)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求4s 后，这物体的

动量和速度的变化．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来

静止的物体和一个具有初速度j 6-m ·s -1

的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

i t i t t F p t 1

40

1s m kg 56d )210(d -⋅⋅=+==∆⎰⎰,沿x 轴正向，

i

p I i

m

p v

11111

1s m kg 56s m 6.5--⋅⋅=∆=⋅=∆=∆ 若物体原来具有6-1

s m -⋅初速，则

⎰⎰+-=+-=-=t t

t F v m t m F v m p v m p 0

00000d )d (,

于是

⎰∆==-=∆t p t F p p p 0

102d

,

同理， 12v v ∆=∆,12I I

=

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

⎰+=+=t

t t t t I 0

210d )210(

亦即 0200102

=-+t t 解得s 10=t ，(s 20='t 舍去)

2．一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

0)(=-=bt a F ,得b

a t =

(2)子弹所受的冲量

⎰-=-=t bt at t bt a I 022

1

d )(

将b

a

t =

代入，得 b

a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2

02bv a v I m =

= 3．如图所示，一质量为m 的球，在质量为M 半径为R 的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。圆弧形滑槽放在光滑水平面上，初始时刻也处于静止状态。求当小球m 滑到槽底脱离槽时的速度。

解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

222

1

21MV mv mgR +=

又下滑过程，动量守恒，以m ,M 为系统则在m 脱离M 瞬

间，水平方向有

0=-MV mv

联立以上两式，得

()

M m MgR

v +=

2

4．如图所示，质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求：

(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；

(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。 0m v M V

m v =+ 30()1010(50030)

3.13/1.5m v v V m s M --⨯-=

== 对M 进行受力分析有

22

3.131.59.8 1.526.51.25

V T Mg M N l =+=⨯+⨯= (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：

301010(30500) 4.7I p mv mv Ns -=∆=-=⨯-=-

上式中负号表示冲量方向与0v

方向相反。

5．质量为1 kg 的物体，它与水平桌面间的摩擦系数μ = 0.1 ．现对物体施以F = 10t+10 (SI)的力，（t 表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s 时 它的速度大小v 为多少?(取重力加速度2

10g ms -=)

解:对物体在水平方向应用动量定理

M

m

0v

3

000

(cos30(sin30)0F mg F dt mv μ-+=-⎰

由于1m kg =，F = 10t+10，故有

3

000

[(1010)cos30((1010)sin30]v t mg t dt μ=+-++⎰

3

33

00

[(1010)cos30(1010)sin 30(59103)0.111030.10.5(59103)2

64.953 3.7558.2/t dt mgdt t dt

m s

μμ=+--+=

⨯+⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯=--=⎰⎰⎰ 6．静水中停着两条质量均为M 的小船，当第一条船中的一个质量为m 的人以水平速度v （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．

解:该过程满足水平方向的动量守恒：

对第一条船： 10mv MV =+ 1m V v M

=-

上式中负号表示对第一条船运动方向与v

方向相反； 对第二条船： 2()mv m M V =+ 2mv

V m M

=

+

7．一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为 acos t b sin t ωω=+r i j (SI)

式中a 、b 、ω是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；

(2)求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F 的分力x F 和y F 分别作的功．

解: (1)质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能 由题意：acos t b sin t x y ωω=+=+r i j i j

d a b v a sin t b cos t y x dt b a

ωωωωωω=

=-+=-+r i j i j

2222

2

222

2a b v (x,y )y x b a

ωω=+ 所以 22222222

22110022

A a b E (a,)m(a )m b b a ωωω=⨯+=