数学归纳法专题复习

数学归纳法专题复习

《数学归纳法》专题复习

1．某个命题与正整数n 有关，若)(*

N k k n ∈=时该命

题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）

.

A 当6=n 时，该命题不成立 .

B 当6=n 时，该命题成立

.

C 当4=n 时，该命题不成立

.

D 当4

=n 时，该命题成立 2．用数学归纳法证明“)

(22

21

*+∈++≥N n n n n ”时，第

一步验证为 . 3．用数学归纳法证明：当*

∈N n 时，1

532

2 (22)

21-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________．

4．观察不等式：2

11>，131211>++，2371...31211>++++，215

1

...31211>++++

，

2

5311...31211>++++

，…，由此猜测第n 个不等式为

________)(•

∈N n ．

5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为

. 6．求证：3

3

332

(1)12

3[

]2

n n n +++++=L )(•∈N n .

7．证明不等式n

n

213

12

11<+

++

+Λ (n ∈N)．

8.在各项为正的数列{}n

a 中，数列的前n 项和n

S 满

足⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+=n n n

a a S

121（1） 求3

2

1

,,a a a ；（2） 由（1）猜想

数列{}n

a 的通项公式并证明.

9.（选修

2-2P94

例2）已知数列

,...)

13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，

计算4

3

2

1

,,,S S S S ,根据计算结果，猜想n

S 的表达式，并用数学归纳法证明。

10．在数列{}n

a ，{}n

b 中，2

1

=a

，4

1

=b

，且n

a ，n

b ，1

+n a

成等差数列，

n

b ，1

+n a ，1

+n b 成等比列)*

∈N n .（1）求4

3

2

,,a a a 与4

3

2

,,b b b 的

值.

（2）由（1）猜测{}n

a ，{{}n

b 的通项公式，并证明

你的结论．

11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n

a 满足：1

01

<

，

)

(1n n a f a =+，*

∈N n .

证明: 1

01<<<+n n a a .

12．已知数列{}n

a 满足1

2+=+n a S

n n

.(1) 写出3

2

1

,,a a a ，

并推测n

a 的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论.

13.是否存在常数

c

b a ,,，使得等式

)(12

)

1()1(32212222c bn an n n n n +++=

+•++•+•对一切自然数n 成

立？并证明你的结论．

15．已知数列{}n

a 的通项)1

21

1lg(-+

=n a

n

，记n

S 为{}n

a 的

前n 项和，试比较n

S 与

1

2lg +n 的大小，并证明你的结论．

《数学归纳法》专题复习答案

1．答案：.C 解析：因为若)(*

N k k n ∈=时该命题成立，

那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当

)

(*N k k n ∈=时该命题也不成立.故选.C 2．当1=n 时，

左边4

2

1

1==+，右边4

211

2

=++=，所以左边=右边，命

题正确.3．4

32

222

21++++，4

51552 (22)

+++++k k k

.

4．答案：.2121...31211n

n

>-++++解析：1

2

32

-=Θ，1

2

73

-=，

1

2154-=，1

2

315

-=，可猜测第n 个不等式为：

.2

121...31211n

n >-++++

5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，及原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f

6．证明 （1）当1n =时，左边=3

1=1，右边=2

12()2

⨯=1，等式成立. (2)假设当

n k

=时，等式成立，就是

33332

(1)123[

]2

k k k +++++=L ，那么

333332

3

(1)123(1)[

](1)2

k k k k k +++++++=++L 22

(1)[

][4(1)]2

k k k +=++2

(1)(2)[

]2

k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.