数学归纳法专题复习
数学归纳法知识点大全(综合)
数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位.(1)第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①n n0( n0 N 1.数学归纳法的基本形式)时，P(n)成立；②假设n k(k n0,k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n o时，P(n)成立.(2)第二数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①当n n0( n0 N )时，P(n)成立；②假设n k(k n0,k N)成立，由此推得n k 1时，P(n)也成立,那么，根据①②对一切正整数n n0时，P(n)成立.2.数学归纳法的其他形式(1)跳跃数学归纳法6 1 / 7①当n 1,2,3, ,l 时，P(1),P(2), P(3), ,P(I)成立，②假设n k时P(k)成立，由此推得n k I时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.(2)反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成立；②假设n k时，命题P(k)成立，则当n k 1时命题P(k 1)也成立，那么根据①②对一切正整数n 1时，P(n)成立.例如，用数学归纳法证明：；为非负实数，有辰莎/+衍:•+气”士)在证明中，由’I:真，不易证出I ■真；然而却很容易证出'■真，又容易证明不等式对无穷多个叮(只要；匚型的自然数)为真；从而证明，不等式成立.(3)螺旋式归纳法P(n), Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如①P(nO)成立;②假设P(k) (k>nO)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出6 2 / 7P(k+1)成立；综合(1)( 2),对于一切自然数n ( >n0), P(n),Q(n)都成立；(4)双重归纳法设J是一个含有两上独立自然数八的命题.①与-对任意自然数—成立；②若由八…’，和-1成立，能推出1 - 1■'成立；根据(1)、( 2)可断定，「亠’对一切自然数汕吃均成立.3 •应用数学归纳法的技巧(1)起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n 0也成立，而且验证起来比验证n 1时容易，因此用验证n 0成立代替验证n 1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以•因而为了便于起步，有意前移起点. (2)起点增多：有些命题在由n k向n k 1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点.(3)加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多.(4)选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设n k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法6 3 / 7中的某一形式，灵活选择使用.(5)变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明.5.归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法. 不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法.从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。
数学归纳法复习PPT教学课件
孔隙一段的写作特点：
通过描写船小及作者的感受 写出孔隙的特点。
（借其他事物描写本事物）
洞内景观
洞内钟乳石、石笋众多，造型 奇特，布局巧妙，有“黄龙吐 水”、“倒挂金钟”、“彩云 遮月”、“天马行空”、“海
龟探海”、“龟蛇共生”、 “青蛙盗仙草”、“寿星与仙 桃”…… 幻化多变，使人目不
暇接，宛若置身水晶龙宫。
知
识
点
• 区别归纳法和数学归纳法
复
• 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件
习
(1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立;
(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;
根据(1)(2)知p(n)成立
• 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤 是怎样的?
tn－1＋tn=n2
)
专 项 训 练
对 命 题 的 理 解
•用数学归纳法证明（n＋1) ＋(n＋2) ＋…＋（n＋n）=
的第二步中，n=k＋1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于
解 析:令f(n)=（n＋1) ＋(n＋2) ＋…＋（n＋n） f(k)= (k＋1) ＋(k＋2) ＋…＋(k＋k) f(k＋1)=[(k＋1) ＋1] ＋[(k＋1) ＋2] ＋…＋[(k＋1) ＋(k＋1)] =(k＋2) ＋(k＋3) ＋…＋(k＋k) ＋(2k＋1) ＋(2k＋2) f(k＋1) －f(k)=(2k＋1) ＋(2k＋2) －(k＋1) =3k＋2
像桥洞似的，很宽。
走进去，仿佛到 了个大会堂，周围 是石壁，头上是高高的石顶， 在那里聚集一千或是八百人 开个会，一定不觉得拥挤。 泉水靠着洞口的右边往外流。 这是外洞。
数学归纳法(专题)
请你来批作业
1
用数学归纳法证明：1 2
1 23
1 n(n 1)
n (n N ) n 1
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
用上归纳假设!
1 1 1 1 1 2 k 1 ,
23
k k 1
k 1
2 k 1 (2 k 1 ) 2( k 1 k ) 1
k 1
k 1
2
2
0.
k 1 k k 1 k 1
2 k 1 2 k 1.
k 1
故:1 1 1 1
23
k
1 2 k 1. k 1
即当n=k+1时,不等式也成立.
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错
2、对
3、对
❖ 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全
归纳法，问题3是用的完全归纳法。
问题情境二法：国数的数学学家家费费马（马Pie运rre用de 不Fer完mat全） 归纳法得出十七费(世16纪马01最年猜卓～越1想6的6数5的年学)事家。之例一，
根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.
例4、求证:
1
1 22
1 32
1 n2
2
1 (n N , n 2). n
证:(1)当n=2时,左边= 1
1 22
5,右边=
数学归纳法
A、1
B、1 a
C、1 a a2
D、1 a a2 a3
2、用数学归纳法证明： 1 1 1
1
24 46 68
2n (2n 2)
n 4(n
1)
时，从k到k＋1时左边需要增添的项为__1_______
4(k 1)(k 2)
3、用数学归纳法证明： 当n N时，1 2 22 23 25n1是31 的倍数，当n＝1时，原式为 _____________
7、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 234
1 2n 1
n(n
N
, 且n
1）时，
不等式在n＝k 1时的形式是 ____________
1
1 2
1 3
1 4
1 2k 1
1 2k
1 2k 1
1 2k1 1
共有多少项呢？ 2k 个项
例1已知数列
1 ,1 , 1 , 1×4 4×7 7×10
,
1
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
k
1
3k 1 (3k 1)(3k 4)
3k 2 4k 1 (3k 1)(3k 4)
高考数学专题复习题：数学归纳法
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
数学归纳法(各种全)
解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。
高考数学热点问题专题解析——数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++≤ 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ≥+，n k =时，不等式为321k k ≥+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +≥+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明 证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+≤-()()()1313131n n n n +∴-≤+- 1133331n n n n n n n ++⇔⋅-≤⋅+-- 321n n ⇔≥+，下面用数学归纳法证明： （1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =≥∈时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=⋅≥+=+>++ 所以1n k =+时，不等式成立n N *∴∀∈，均有131n n S n S n++≤ 小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++∈ （1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭解：（1）2632n nn S a a =++ ① ()21116322,n n n S a a n n N *---=++≥∈ ②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-⇒+=-0n a > 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a ∴是公差为3的等差数列()131n a a n ∴=+-，在2632n nn S a a =++中令1n =可得： 211116321S a a a =++⇒=（舍）或12a =31n a n ∴=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +⎛⎫⋅⋅⋅> ⎪-⎝⎭，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
数学归纳法专题复习
《数学归纳法》专题复习1．某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）.A 当6=n 时，该命题不成立 .B 当6=n 时，该命题成立 .C 当4=n 时，该命题不成立 .D 当4=n 时，该命题成立2．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为.3．用数学归纳法证明：当*∈N n 时，15322...2221-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________． 4．观察不等式：211>，131211>++，2371...31211>++++，2151...31211>++++，25311...31211>++++，…，由此猜测第n 个不等式为________)(•∈N n ． 5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为 .6．求证：33332(1)123[]2n n n +++++=)(•∈N n .7．证明不等式n n2131211<++++ (n ∈N)．（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式并证明.9.（选修2-2P94例2）已知数列,...)13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ， 计算4321,,,S S S S ,根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明。
10．在数列{}n a ，{}n b 中，21=a ，41=b ，且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比列)*∈N n .（1）求432,,a a a 与432,,b b b 的值.（2）由（1）猜测{}n a ，{{}n b 的通项公式，并证明你的结论．11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n a 满足：101<<a ，)(1n n a f a =+，*∈N n . 证明: 101<<<+n n a a .12．已知数列{}n a 满足12+=+n a S n n .(1) 写出321,,a a a ，并推测n a 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论.13.是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．15．已知数列{}n a 的通项)1211lg(-+=n a n ，记n S 为{}n a 的前n 项和，试比较n S 与 12lg +n 的大小，并证明你的结论．《数学归纳法》专题复习答案1．答案：.C 解析：因为若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当)(*N k k n ∈=时该命题也不成立.应选.C 2．当1=n 时，左边4211==+，右边42112=++=，所以左边=右边，命题正确.3．43222221++++，451552...22+++++k k k . 4．答案：.2121...31211n n >-++++解析：1232-= ，1273-=，12154-=，12315-=，可猜测第n 个不等式为：.2121...31211nn >-++++5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，与原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f6．证明 （1）当1n =时，左边=31=1，右边=212()2⨯=1，等式成立. (2)假设当n k =时，等式成立，就是33332(1)123[]2k k k +++++=，那么 3333323(1)123(1)[](1)2k k k k k +++++++=++22(1)[][4(1)]2k k k +=++2(1)(2)[]2k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.综上所述，等式对任何自然数n 都成立.7．证明：①当1=n 时，左边1=，右边2=．左边<右边，不等式成立． ②假设k n =时，不等式成立，即k k2131211<++++．那么当1+=k n 时，11131211++++++k k112++<k k ，故即要证明12112+<++k k k ，只需证)1(2112+<++k k k ，即证1212+<+k k k ，只要证144)1(42++<+k k k k ，即证10<，而10<成立，所以当1+=k n 时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 8.解：（1）当1=n 时，)1(21111a a a +=，121=∴a ，又数列{}n a 的各项均为正数，.11=∴a 当2=n 时，)1(2122212a a a a S +=+=，012222=-+∴a a ，212±-=∴a ， 又数列{}n a 的各项均为正数，.122-=∴a 当3=n 时，)1(21333213a a a a a S +=++=，0122323=-+∴a a ，323±-=∴a ，又数列{}n a 的各项均为正数，.233-=∴a （2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式为.1--=n n a n下面用数学归纳法证明：①由（1）已得当1=n 时，命题成立；当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++111121k k k a a S ，即)1(21111++++=+k k k k a a a S ，)1(21111++++=+∴k k k a a a k ，即012121=-+++k k a k a ，11+±-=∴+k k a k ，又数列{}n a 的各项均为正数，.11k k a k -+=∴+即当1+=k n 时,命题成立.10．解：（1）由条件得12++=n n n a a b ，.121++⋅=n n n b b a又21=a ，41=b ，⎩⎨⎧==+∴21221212b b a b a a ，即⎩⎨⎧=⨯=+22224422b a a ，⎩⎨⎧==∴9622b a ；同理⎩⎨⎧==161233b a ，⎩⎨⎧==252044b a .（2）2121⨯==a ，3262⨯==a ，43123⨯==a ，54204⨯==a ，…又2124==b ，2239==b ，23416==b ，24525==b ，…∴猜测)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n .下面用数学归纳法证明)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n ：①当1=n 时，21=a ，41=b ，结论成立．②假设当)(*∈=N k k n 时结论成立， 即)1(+=k k a k ，2)1(+=k b k ，那么当1+=k n 时，)2)(1(])1(2)[1()1()1(2221++=-++=+-+=-=+k k k k k k k k a b a k k k ]1)1)[(1(+++=k k ..]1)1[()2()1()2()1(22222211++=+=+++==++k k k k k b a b k k k ∴当1+=k n 时，结论也成立．由①②知，)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n 对一切正整数都成立．11．证明：先用数学归纳法证明:10<<n a ，*∈N n . ①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<n a ； ②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<k a . 则当1+=k n 时，).1,0(,sin )(1∈-==+k k k k k a a a a f a∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(单调递增. ∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a . ∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<n a 对一切正整数都成立. 又∵10<<n a ，0sin >n a ,∴n n n n a a a a <-=+sin 1，∴101<<<+n n a a .13．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n 假设kn =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k ，那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k)101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立．15．解：)1211lg(...)311lg()11lg(-++++++=n S n )1211).....(311)(11lg(-+++=n . 因此要比较n S 与12lg +n 的大小，可先比较)1211).....(311)(11(-+++n 与12+n 的大小.当1=n 时，311211=+⨯>+，当2=n 时，945512296438342)311)(11(==+⨯>==⨯=++， 当3=n 时，.2517571322525651656342)511)(311)(11(==+⨯>==⨯⨯=+++ 由此推测)1211).....(311)(11(-+++n .12+>n 下面用数学归纳法证明上面猜想：当1=n 时，不等式成立.假设当k n =时，不等式成立，即)1211).....(311)(11(-+++k .12+>k 那么当1+=k n 时，)1211(12)1211)(1211).....(311)(11(+++>++-+++k k k k ， 所以只要证明1)1(2)1211(12++>+++k k k ，即要证32122212+>++⋅+k k k k ， 只需证)32)(12(22++>+k k k ，即证38448422++>++k k k k ，故只要证明34>.而34>成立，所以当1+=k n 时不等式成立.综上所述，当*∈N n 时不等式成立．。
数学归纳法复习(例题及解析)
数列的通项以及用归纳法证明不等式例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯= 2,,,,,,1321nb b b b 成等差数列，,3211=+=+∴n b b.232)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22nn A =，数列}{n B 的通项.23n B n =（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n nn ==∴== 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与249n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4922n n > 经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4922n n >下面用数学归纳法证明：（ⅰ）7=n 时已证2492n n > （ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即2492k k >，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k ,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故21)1(,492+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，2492n n >成立，即.,22n n n n B A B A >∴> 说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n（ⅱ）.2111111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21=a 得,311212=+-=a a a由,32=a 得,4122223=+--a a a由43=a ，得.5133234=+-=a a a 由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：①当213,11+=≥=a n ，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n（ⅱ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对2≥k ，有。
数学归纳法复习
归纳法 由一系列有限 的特殊事例得出 的一般结论的推理方法。 数学归纳法:
1) 先证取第一个值 n0 时结论成立； 2) 假设 n = k ( k∈N＋, 且 k≥ n0 ) 时 结论正确，证明当 n = k+1 时结论 也正确. 3)总结1），2）两步，下结论
＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1
＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1
由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1 整除。 故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。
由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。
1)是递推的基础； 2)是递推的依据.
两者缺一不可！
例1
(1)用数学归纳法证:n
1
1
nBiblioteka 1 2
1 2n
13 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的变化D 是
（ ）：
( A) 1 ; 2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k 1 2k 2
23
n
例5 是否存在常数a、b、c使得下面 等式 成立
1 22 232 n(n 1)2
n(n 1) (an2 bn c) 12
注意： 存在性问题，一般都要通过 “观察---归纳—猜想---证明”的过程
(C) 1 1 ; 2k 2 k 1
(D) 1 1 1 . 2k 1 2k 2 k 1
数学归纳法复习课件ppt
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲
数学归纳法的解题运用【高考能力要求】数学归纳法是证明与自然数有关的问题，在近年的高考题中，一般不作单独的考题，而是以应用为主，且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查，主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法，若出现在押轴题中则往往难度较大，分值为7分左右。
涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等)，才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳⇒猜想⇒证明。
在用数学归纳法证明时，要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤，特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。
【例题精讲】【例1】已知函数)(x f 满足1)1(),0,,()()(=≠∈+=f b R b a b x af x xf ，且使x x f =)(成立的实数x 是唯一的。
（1） 求函数)(x f 的解析式、定义域、值域； （2） 如果数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12)(++=n a f nS n n ，试求此数列的通项公式。
分析：（1）由1)1(=f 及x x f =)(有唯一解建立关于b a ,的方程组，解出b a ,即可；（2）利用n n n S S a -=++11将已知条件转化为1+n a 与n a 的递推关系式，从而猜想出n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。
解：（1）ax bx f -=)(，∵ b a f =-⇒=11)1( ① 由x x f =)(得 02=--b ax x 有唯一解，∴ 042=+=∆b b ② 由①②得 1,2-==b a ，∴xx f -=21)(，其定义域为{}2|≠x x ，值域为{}0|≠y y（2）∵ 12)(++=n a f n S n n ，xx f -=21)(，∴n n n na n n a n S -+=++-=)14(12)2(，当1=n 时，255111=⇒-=a a S 。
数学归纳法复习(2019年新版)
(D) 1 1 1 . 2k 1 2k 2 k 1
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高祖初起 ”舜让於德不怿 姓姬氏 散鹿台之钱 虽有周旦之材 ” 管仲富拟於公室 ”使还报 建汉家封禅 弟外壬立 苍以客从攻南阳 天下安宁有万倍於秦之时 围郑三月 韩生推诗之意而为内外传数万言 所以为藉也 冤哉亨也 ”乃许张仪 武庚既死 乞骖乘 生锺分：子一分 是为帝太甲 北自龙门至于朔方 故诸博士具官待问 其明年冬 安在公子能急人之困也 解而去 最小鬼之神者 遵其言 不至而还 遂将兵会垓下 宣侯十三年卒 夫率师 阴阳有分 骂曰：“竖儒 即反接载槛车 其他名殷星、太正、营星、观星、宫星、明星、大衰、大泽、终星、大相、天浩、序星、月纬 和夷厎绩 君俎郊祀 与叔向私语曰：“齐国之政卒归於田氏矣 以故自弃 泰一之佐也 其富如此 五世其昌 绝楚粮食 原效愚忠而未知王之心也 乘法驾 所爱者 王按剑而怒 趣舍有时若此 死後留权 乃复东至海上望 柱国、相国各一人 立二十七年卒 日方南金居其南 毋偏毋党 世世相传 必有大害 太子苏 虏魏王 是为易行 多从人 秦使相国吕不韦诛之 建读之 阳虎执怀 上以寄为将军 二十二年 贰师将军与哆、始成等计：“至郁成尚不能举 ”被曰：“以为非也 王尚何救焉 ”舜曰：“龙 计者事之机也 好儒术 久之 秦复予我河外及封陵为和 造父为缪王御 岂世世贤 哉 汉军皆无功 其後梁王益亲驩 以为不媾军必破也 攻布别将於相 而海上燕齐怪迂之方士多相效 於是遂闭关绝约於齐 奉法守职 胤裔繁昌 赐食邑平阳 非所以得人也 蚡不敢言上 高帝崩 而狱讼益烦 越王句践遂灭吴 五宗既王 昔秦文公出猎 硜以立别 最居齐东北隅 勇於当敌 当是 时 五者不乱 今汉兴 不利
数学归纳法复习
23
n
例5 是否存在常数a、b、c使得下面 等式 成立
1 22 232 n(n 1)2
n(n 1) (an2 bn c) 12
注意： 存在性问题，一般都要通过 “观察---归纳—猜想---证明”的过程
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∴由1)、2)可知，当n∈N+时等式都成立.
例３求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除 (其中a＞0，且a≠1)。
证明 (1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1 能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。 (2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1 能被a2＋a＋1 整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1 ＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1
注意：关键是通过“添项减项” 将原有形式转化为便于利用归纳 假设的形式．这是利用数学归纳 法证明题，特别是证整除问题的 常用技巧
例4 用数学归纳法证明
(1) 1
n 2
1
1 2
1 3
1 2n
1 2
n
(n N )
(2) 1 1 1 1 2 n (n N )
1+2+22 + … +2n-1 = 2n -1.
证:1) 当n=1时，左=1=右.等式成立. 2) 假设 n = k 时等式成立.即 : 1+2+22 + … +2k-1 =2k -1. 则当n = k＋１时 ，
1 2 1+222 +22+ …2k1 +22kk-1+21(k+21k)-11 2k1 1 = (2k-1)+2k = 221k -12=2k+1 -1 . 即:n=k+1时,等式也成立.
三角不等式、向量、数学归纳法复习
三角不等式、向量与数学归纳法复习【知识要点】1.定理（绝对值三角形不等式）如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注：当a b 、为复数或向量时结论也成立.推论11212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.2.向量的概念及公式 （1）向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
（2）向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
（3）单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
（4）零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】（5）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
（6）相等向量：长度和方向都相同的向量。
（7）相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
（8）三角形法则：首尾相连AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）（9）平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
（10）共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
（11）基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
（12）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+（13）数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅=2121y y x x +； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ （14）平行与垂直： 1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=； 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=3.数学归纳法证明：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确【典型例题】例1 已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+练习 已知.6,4a y a x << 求证：a y x <-32例21．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ．6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 ．7．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 8．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ．9.（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
数学归纳法复习
由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1 整除。 故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。
由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。
注意：关键是通过“添项减项” 将原有形式转化为便于利用归纳 假设的形式．这是利用数学归纳 法证明题，特别是证整除问题的 常用技巧
归纳法 由一系列有限 的特殊事例得出 的一般结论的推理方法。 数学归纳法:
1) 先证取第一个值 n0 时结论成立； 2) 假设 n = k ( k∈N＋, 且 k≥ n0 ) 时 结论正确，证明当 n = k+1 时结论 也正确.
3)总结1），2）两步，下结论
1)是递推的基础； 2)是递推的依据
两者缺一不可！
证明 (1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能 被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。 (2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1 能被a2＋a＋1 整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1 ＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1
＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1
(2)用数学归纳法证:1
1 2
1 3
1 4
1 2n 1
n
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，左式所需添加的Ｃ项为
（ ）：
Ａ１项
Ｂ 2k 1 项
Ｃ 2 k 项
Ｄ 2ห้องสมุดไป่ตู้ 1 项
蘑菇王子的旋动，手掌状的大蟒像猩猩一样，朝着哈爱奇酒鬼轻灵的天蓝色荷叶模样的鼻子横掏过去。紧跟着蘑菇王子也窜耍着兵器像电池般的怪影一样向哈爱奇酒鬼横掏过去随着两条怪异光影 的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青兰花色的闪光，地面变成了水红色、景物变成了紫玫瑰色、天空变成了青古磁色、四周发出了阴森的巨响……蘑菇王子直挺滑润、略微有些上翘的鼻子受到震颤 ，但精神感觉很爽！再看哈爱奇酒鬼酷似豆荚模样的手臂，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，哈爱奇酒鬼猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将酷似豆荚模样的手臂复原，但已无力 再战，只好落荒而逃神怪妃赫瓜中士猛然像暗黑色的蓝须海滩鸟一样怒笑了一声，突然搞了个倒地膨胀的特技神功，身上瞬间生出了一百只活像悬胆般的浅绿色眉毛……接着耍了一套，窜鸟水母 翻九千度外加貂哼牙膏旋一百周半的招数，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。紧接着把深黑色海星形态的手掌甩了甩，只见二十道闪烁的活似灯泡般的奇 烟，突然从凸凹的脚中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的鸡妖晚欢味在恬淡的空气中飞舞！最后摆起凸凹的脚一摆，轻飘地从里面射出一道鬼光，他 抓住鬼光迷朦地一转，一样亮晶晶、亮光光的法宝『红冰荡圣车轮囊』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边收缩，一边发出“呜喂”的余声……骤然间妃赫瓜中士疾速地连续使出四十五派悬 鹤巨龟掏，只见他普通的胡须中，快速窜出五十道转舞着『紫鸟蚌精病床钩』的鸟网状的怪毛，随着妃赫瓜中士的转动，鸟网状的怪毛像核桃一样在额头上时尚地鼓捣出隐约光盾……紧接着妃赫 瓜中士又整出一个俯卧扭曲倒钻石的怪异把戏，，只见他平常的胸部中，变态地跳出五十团部落砂尾豺状的骨牌，随着妃赫瓜中士的摇动，部落砂尾豺状的骨牌像转椅一样，朝着蘑菇王子青春四 射的幼狮肩膀猛踢过来……紧跟着妃赫瓜中士也怪耍着法宝像冰雕般的怪影一样朝蘑菇王子猛翻过来蘑菇王子猛然像银橙色的九臂海湾猪一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立振颤的特技神功，身 上忽然生出了九十只美如轮胎一般的暗青色鼻子！接着来了一出，蹦猪香皂翻九千度外加蟹乐灵芝旋一百周半的招数！紧接着把犹如白色亮玉般的牙齿摇了摇，只见七道萦绕的如同琵琶般的彩影 ，突然从飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后颤起年轻强健、犹如 擎天玉柱一样长大腿
高三一轮复习6.7 数学归纳法
)
【解析】 当 n＝1 时，左边＝1＋2＋22，故选 C.
3．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(n＋n) n3n＋1 * ＝ ( n ∈ N )的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n 2 ＝k时的等式左边的差等于________．
答案
解析
3k＋2
n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k
答案 B
)
B．8 D．10
1 1－ n 1 1 1 2 127 解析 1＋ ＋ ＋„＋ n－1＝ > 2 4 1 64 2 1－ 2 整理得2n>128，解得n>7 ∴初始值至少应取8.
2.用数学归纳法证明 1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n∈N*)
＋ ＋
的过程中，在验证 n＝1 时，左端计算所得的式子应为( A．1 C．1＋2＋22 B．1＋2 D．1＋2＋21 6×8
＋„＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2] k 1 ＝ ＋ 4k＋1 4k＋1k＋2 kk＋2＋1 k＋12 ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋1 ＝ ， 4[k＋1＋1]
即n＝k＋1时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
5 1 1 1 1 > ＋( ＋ ＋ － ) 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 5 1 1 5 > ＋(3× － )＝ 6 3k＋3 k＋1 6 ∴当n＝k＋1时不等式亦成立． ∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
探究2
由n＝k到n＝k＋1时，要弄清命题的变化，
应用放缩技巧． 思考题2 1 (2009· 陕西理)已知数列{xn}满足x1＝ ，xn 2
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
二项式定理、数学归纳法复习
[(k 1) 1] [(k 1) 2] [(k 1) (k 1)] (k 2) (k 3) (k k ) (k k 1) (k k 2) (k 2) (k 3) (k k ) (2k 1) 2(k 1) [(k 1) (k 2) (k k )] (2k 1) (k 1) k (3k 1) 3k 2 7k 4 (k 1)(3k 4) (k 1)[3(k 1) 1] 3k 2 2 2 2 2
Tn
nn 1n 1 . 3
【例 4】已知数列 {an } 的各项都是正数，且满足： a0 1, an 1 证明： an an1 2(n N )
1 an (4 an ), (n N ) 2
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三、课后作业 1. 设 二 项 式 ( x
假设,应将 5
2k 1 变形为
6．若 f (n) 1
1 1 1 (n N* ) ，则对于 k N* ， f (k 1) f (k ) 2 3 3n 1
．
n 7．已知二项式 ( x ) 的展开式中前三项的系数成等差数列． n 2 n (1)求 n 的值； (2)设 ( x ) a0 a1 x a2 x an x ．
① 1 3 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.
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数归、二项式定理参考答案 一、基础训练 1．60 ； 2.12 ； 3. －5 ； 4. 1 2 3 4 ； 5 . 5 ； 6. （2k+2）(2k+3) 二、典例分析
1 35 （2）第五项 T5 （3） 256 8 n(3n 1) (n N * ) 【例 2】 (n 1) (n 2) (n n) 2
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数学归纳法专题复习《数学归纳法》专题复习1．某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）.A 当6=n 时，该命题不成立 .B 当6=n 时，该命题成立.C 当4=n 时，该命题不成立.D 当4=n 时，该命题成立 2．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为 . 3．用数学归纳法证明：当*∈N n 时，15322 (22)21-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________．4．观察不等式：211>，131211>++，2371...31211>++++，2151...31211>++++，25311...31211>++++，…，由此猜测第n 个不等式为________)(•∈N n ．5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为. 6．求证：33332(1)123[]2n n n +++++=L )(•∈N n .7．证明不等式nn2131211<++++Λ (n ∈N)．8.在各项为正的数列{}na 中，数列的前n 项和nS 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n na a S121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}na 的通项公式并证明.9.（选修2-2P94例2）已知数列,...)13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，计算4321,,,S S S S ,根据计算结果，猜想nS 的表达式，并用数学归纳法证明。
10．在数列{}na ，{}nb 中，21=a，41=b，且na ，nb ，1+n a成等差数列，nb ，1+n a ，1+n b 成等比列)*∈N n .（1）求432,,a a a 与432,,b b b 的值.（2）由（1）猜测{}na ，{{}nb 的通项公式，并证明你的结论．11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{na 满足：101<<a，)(1n n a f a =+，*∈N n .证明: 101<<<+n n a a .12．已知数列{}na 满足12+=+n a Sn n.(1) 写出321,,a a a ，并推测na 的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论.13.是否存在常数cb a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．15．已知数列{}na 的通项)1211lg(-+=n an，记nS 为{}na 的前n 项和，试比较nS 与12lg +n 的大小，并证明你的结论．《数学归纳法》专题复习答案1．答案：.C 解析：因为若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当)(*N k k n ∈=时该命题也不成立.故选.C 2．当1=n 时，左边4211==+，右边42112=++=，所以左边=右边，命题正确.3．43222221++++，451552 (22)+++++k k k.4．答案：.2121...31211nn>-++++解析：1232-=Θ，1273-=，12154-=，12315-=，可猜测第n 个不等式为：.2121...31211nn >-++++5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，及原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f6．证明 （1）当1n =时，左边=31=1，右边=212()2⨯=1，等式成立. (2)假设当n k=时，等式成立，就是33332(1)123[]2k k k +++++=L ，那么3333323(1)123(1)[](1)2k k k k k +++++++=++L 22(1)[][4(1)]2k k k +=++2(1)(2)[]2k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.综上所述，等式对任何自然数n 都成立. 7．证明：①当1=n 时，左边1=，右边2=．左边<右边，不等式成立．②假设k n =时，不等式成立，即kk 2131211<++++Λ．那么当1+=k n 时，11131211++++++k k Λ112++<k k ，故即要证明12112+<++k k k ，只需证)1(2112+<++k k k ，即证1212+<+k k k ，只要证144)1(42++<+k k k k ，即证10<，而10<成立，所以当1+=k n 时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 8.解：（1）当1=n 时，)1(21111a a a +=，121=∴a，又数列{}na 的各项均为正数，.11=∴a当2=n 时，)1(2122212a a a a S +=+=，12222=-+∴a a ，212±-=∴a ，又数列{}na 的各项均为正数，.122-=∴a当3=n 时，)1(21333213a a a a a S +=++=，0122323=-+∴a a，323±-=∴a，又数列{}na 的各项均为正数，.233-=∴a（2） 由（1）猜想数列{}na 的通项公式为.1--=n n an下面用数学归纳法证明：①由（1）已得当1=n 时，命题成立；②假设k n =时,命题成立，即.1--=k k a k， .1...23121...21k k k a a a S k k =--++-+-+=+++=∴当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+++111121k k k a a S，即)1(21111++++=+k k k ka a a S，)1(21111++++=+∴k k k a a a k ，即012121=-+++k k a k a，11+±-=∴+k k ak ，又数列{}na 的各项均为正数，.11k k ak -+=∴+即当1+=k n 时,命题成立.根据①②得*∈N n ，1--=n n a n都成立. 9.（选修2-2P94例2）10．解：（1）由条件得12++=n n na ab ，.121++⋅=n n n b b a又21=a，41=b，⎩⎨⎧==+∴21221212b b a b a a ，即⎩⎨⎧=⨯=+22224422b a a ，⎩⎨⎧==∴9622b a ； 同理⎩⎨⎧==161233ba，⎩⎨⎧==252044ba .（2）2121⨯==a Θ，3262⨯==a，43123⨯==a ，54204⨯==a，…又2124==bΘ，2239==b，23416==b ，24525==b，…∴猜测)1(+=n n an，2)1(+=n bn.下面用数学归纳法证明)1(+=n n a n ，2)1(+=n bn： ①当1=n 时，21=a，41=b，结论成立．②假设当)(*∈=N k k n 时结论成立，即)1(+=k k ak，2)1(+=k bk，那么当1+=k n 时，)2)(1(])1(2)[1()1()1(2221++=-++=+-+=-=+k k k k k k k k a b a k k k ]1)1)[(1(+++=k k ..]1)1[()2()1()2()1(22222211++=+=+++==++k k k k k b a b k k k∴当1+=k n 时，结论也成立．由①②知，)1(+=n n an，2)1(+=n b n 对一切正整数都成立．11．证明：先用数学归纳法证明:10<<na ，*∈N n .①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<na；②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<ka.则当1+=k n 时，).1,0(,sin )(1∈-==+k k k k k a a a a f a∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(内单调递增. ∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a .∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<na 对一切正整数都成立. 又∵10<<na，0sin >na,∴nn n n a a a a<-=+sin 1，∴101<<<+n n a a.12．解：（1）当1=n 时，11211+⨯=+a S，即321=a，.212231-==∴a 当2=n 时，12222+⨯=+a S，即5221=++a a a，.412472-==∴a当3=n 时，13233+⨯=+a S，即73321=+++a a a a，.8128153-==∴a由此猜测：.212n na-=(2) ①由（1）已得当1=n 时，命题成立； ②假设k n =时,命题成立，即.212kka-= 当1+=k n 时,1)1(211++=+++k a S k k ，即3221+=++k a Sk k，又.1212)212()12()12(-+=--+=-+=kk k kk k a k S32212121+=+-+∴+k a k k k ，kk a21421-=∴+，即11212++-=k k a.即当1+=k n 时,命题成立.根据①②得*∈N n ，nna212-=都成立.13．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n令222)1(3221+•++•+•=n n Sn假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k ，那么21)2)(1(+++=+k k S Sk k22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k)101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 15．解：)1211lg(...)311lg()11lg(-++++++=n S n Θ)1211).....(311)(11lg(-+++=n .因此要比较nS 与12lg +n 的大小，可先比较)1211).....(311)(11(-+++n 与12+n 的大小.当1=n 时，311211=+⨯>+，当2=n 时，945512296438342)311)(11(==+⨯>==⨯=++， 当3=n 时，.2517571322525651656342)511)(311)(11(==+⨯>==⨯⨯=+++由此推测)1211).....(311)(11(-+++n .12+>n 下面用数学归纳法证明上面猜想：当1=n 时，不等式成立.假设当kn =时，不等式成立，即)1211).....(311)(11(-+++k .12+>k 那么当1+=k n 时，)1211(12)1211)(1211).....(311)(11(+++>++-+++k k k k ，所以只要证明1)1(2)1211(12++>+++k k k ，即要证32122212+>++⋅+k k k k ，只需证)32)(12(22++>+k k k ，即证38448422++>++k k k k，故只要证明34>.而34>成立，所以当1+=k n 时不等式成立.综上所述，当*∈N n 时不等式成立．。