数学归纳法专题复习
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数学归纳法专题复习
《数学归纳法》专题复习
1．某个命题与正整数n 有关，若)(*
N k k n ∈=时该命
题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）
.
A 当6=n 时，该命题不成立 .
B 当6=n 时，该命题成立
.
C 当4=n 时，该命题不成立
.
D 当4
=n 时，该命题成立 2．用数学归纳法证明“)
(22
21
*+∈++≥N n n n n ”时，第
一步验证为 . 3．用数学归纳法证明：当*
∈N n 时，1
532
2 (22)
21-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________．
4．观察不等式：2
11>，131211>++，2371...31211>++++，215
1
...31211>++++
，
2
5311...31211>++++
，…，由此猜测第n 个不等式为
________)(•
∈N n ．
5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为
. 6．求证：3
3
332
(1)12
3[
]2
n n n +++++=L )(•∈N n .
7．证明不等式n
n
213
12
11<+
++
+Λ (n ∈N)．
8.在各项为正的数列{}n
a 中，数列的前n 项和n
S 满
足⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=n n n
a a S
121（1） 求3
2
1
,,a a a ；（2） 由（1）猜想
数列{}n
a 的通项公式并证明.
9.（选修
2-2P94
例2）已知数列
,...)
13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ，
计算4
3
2
1
,,,S S S S ,根据计算结果，猜想n
S 的表达式，并用数学归纳法证明。
10．在数列{}n
a ，{}n
b 中，2
1
=a
，4
1
=b
，且n
a ，n
b ，1
+n a
成等差数列，
n
b ，1
+n a ，1
+n b 成等比列)*
∈N n .（1）求4
3
2
,,a a a 与4
3
2
,,b b b 的
值.
（2）由（1）猜测{}n
a ，{{}n
b 的通项公式，并证明
你的结论．
11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n
a 满足：1
01
< ， ) (1n n a f a =+，* ∈N n . 证明: 1 01<<<+n n a a . 12．已知数列{}n a 满足1 2+=+n a S n n .(1) 写出3 2 1 ,,a a a ， 并推测n a 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论. 13.是否存在常数 c b a ,,，使得等式 )(12 ) 1()1(32212222c bn an n n n n +++= +•++•+•对一切自然数n 成 立？并证明你的结论． 15．已知数列{}n a 的通项)1 21 1lg(-+ =n a n ，记n S 为{}n a 的 前n 项和，试比较n S 与 1 2lg +n 的大小，并证明你的结论． 《数学归纳法》专题复习答案 1．答案：.C 解析：因为若)(* N k k n ∈=时该命题成立， 那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当 ) (*N k k n ∈=时该命题也不成立.故选.C 2．当1=n 时， 左边4 2 1 1==+，右边4 211 2 =++=，所以左边=右边，命 题正确.3．4 32 222 21++++，4 51552 (22) +++++k k k . 4．答案：.2121...31211n n >-++++解析：1 2 32 -=Θ，1 2 73 -=， 1 2154-=，1 2 315 -=，可猜测第n 个不等式为： .2 121...31211n n >-++++ 5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，及原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f 6．证明 （1）当1n =时，左边=3 1=1，右边=2 12()2 ⨯=1，等式成立. (2)假设当 n k =时，等式成立，就是 33332 (1)123[ ]2 k k k +++++=L ，那么 333332 3 (1)123(1)[ ](1)2 k k k k k +++++++=++L 22 (1)[ ][4(1)]2 k k k +=++2 (1)(2)[ ]2 k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.