2020年高职自主招生数学考试押题卷及答案
2020—2021年高考总复习数学高职招考押题卷及参考答案(精品试题).docx
年高职招考数学押题卷（二）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．i是虚数单位，若复数z+2i﹣3=3﹣3i，则|z|=（）A．5 B．C．61 D．3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．在等差数列{a n}中，若a2=3，a5=9，则其前6项和S6=（）A．12 B．24 C．36 D．485．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积的比等于（）A．3 B．2 C．D．6．若sin（π﹣α）=，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．7．△ABC中，已知A=90°，=（k，6），=（﹣2，3），则k的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．98．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）9．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．10．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx11．当函数f（x）=x+，（x＞1）取得最小值时，相应的自变量x等于（）A．2 B．3 C．4 D．512．某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时13．设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．15．lg0.01+log216的值是．16．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为．17．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b= ．18．给出下列命题：①“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件；②“x=﹣1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；其中真命题有．（把你认为正确的命题序号都填上）三．解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．19．已知数列{a n}是的通项公式为a n=e n（e为自然对数的底数）；（Ⅰ）证明数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）若b n=lna n，求数列{}的前n项和T n．20．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD．21．某企业招聘大学生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（Ⅰ）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．22．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的最小值．23．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．24．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，3，5} D．{2，4，6}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再用交集定义求解．【解答】解：∵全集A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}={1，3，5，7，9，11}，∴A∩B={1，3，5}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．i是虚数单位，若复数z+2i﹣3=3﹣3i，则|z|=（）A．5 B．C．61 D．【考点】复数求模．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】化简复数然后求解复数的摸．【解答】解：复数z+2i﹣3=3﹣3i，则|z|=|6﹣5i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的摸的求法，考查计算能力．3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法【考点】收集数据的方法．【专题】应用题；概率与统计．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．在等差数列{a n}中，若a2=3，a5=9，则其前6项和S6=（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a5=9，∴，解得d=2，a1=1．则其前6项和S6=6+×2=36．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积的比等于（）A．3 B．2 C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面的性质求出母线，计算侧面积作出比值．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则母线l=2r，∴S侧=πrl=2πr2，S底=πr2，∴=2．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题．6．若sin（π﹣α）=，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用可求sinα=，即可求得cosα=±的值，从而可求tanα=．【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα=±=±，∴tanα==±．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．7．△ABC中，已知A=90°，=（k，6），=（﹣2，3），则k的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量垂直，则数量积为0，即可求出k的值．【解答】解：∵△ABC中，A=90°，∴，∴=0，∵=（k，6），=（﹣2，3），∴﹣2k+18=0，解得k=9，故选：D．【点评】本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．9．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．10．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题．11．当函数f（x）=x+，（x＞1）取得最小值时，相应的自变量x等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】对勾函数．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】函数f（x）=（x﹣1）++1，且x﹣1＞0，运用基本不等式可得f（x）的最小值3，由等号成立的条件，可得x=2．【解答】解：函数f（x）=x+，（x＞1），可得f（x）=（x﹣1）++1≥2+1=3，当且仅当x﹣1=，即x=2时，取得最小值3．故选：A．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．12．某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【考点】指数函数的实际应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e22k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．13．设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数【考点】函数的单调性与导数的关系；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．15．lg0.01+log216的值是 2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．16．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为9 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，3）此时z的最大值为z=3×2+3=9，故答案为：9【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．17．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b= ﹣1 ．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b可得．【解答】解：由题意不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，∴3+2=a，3×2=﹣b∴a=5，b=﹣6∴a+b=5﹣6=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．18．给出下列命题：①“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件；②“x=﹣1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；其中真命题有③④．（把你认为正确的命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①由x2=1，解得x=±1，即可判断出关系；②由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，即可判断出关系；③利用命题的否定定义即可判断出正误；④利用原命题与其逆否命题等价性即可判断出正误．【解答】解：①由x2=1，解得x=±1，∴“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件，不正确；②由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，∴“x=﹣1”是“x2﹣3x+2=0”的既不必要也不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，正确；④命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，其逆否命题也为真命题，正确．其中真命题有③④．故答案为：③④．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．19．已知数列{a n}是的通项公式为a n=e n（e为自然对数的底数）；（Ⅰ）证明数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）若b n=lna n，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）a n=e n，只要证明=非0常数即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=lna n=n，可得==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n=e n，a1=e，且==e，∴数列{a n}是首项为e，公比为e的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：b n=lna n=lne n=n，∴==，其前n项和T n=++…+=1﹣=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】在△ABC中由正弦定理解出BC，在Rt△BCD中由正切的定义求出CD．【解答】解：在△ABC中，∠BAC=30°，AB=600，∠ABC=180°﹣75°=105°，∴∠ACB=45°，∵，即，解得BC=300．又在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴CD=BC•tan∠CBD=300×=100，即山高CD为100m．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．21．某企业招聘大学生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（Ⅰ）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得女生成绩的中位数为75.5，男生的平均成绩为81；（Ⅱ）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为2人、3人，分别记为a、b，和1、2、3，列举可得总的基本事件共10个，其中至少有1人是A等有7个，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可知，女生共14人，中间两个的成绩为75和76，故女生成绩的中位数为75.5，男生的平均成绩为=（69+76+78+85+87+91）=81；（Ⅱ）用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人，每个人被抽到的概率为=，由茎叶图可知A等有8人，B等有12人，故A、B分别抽取到的人数为2人、3人，记A等的两人为a、b，B等的3人为1、2、3，则从中抽取2人所有可能的结果为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（1，2），（1，3），（2，3）共10个，其中至少有1人是A等的为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），共7个，∴所求概率为P=．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，涉及茎叶图和数字特征，属基础题．22．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数f′（x），根据题意列出方程组，解方程组求出a、b的值；（Ⅱ）利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）在定义域上的最小值f（x）min．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2﹣blnx，∴x＞0，f′（x）=2ax﹣；又∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1，∴，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=2x﹣，由f′（x）=2x﹣=2•=0，解得x=±1（负值舍去），∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．23．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．即可求的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以===4【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．。
高职单招数学模拟题押题试卷附答案
高职单招数学模拟题押题试卷附答案（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案）1、A ≠ф是A∩B=ф的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无法确定2、若f(x)=a2+bx(ab≠0)，且f(2) = f(3)，则f(5)等于( )A.1B.-1C.0D.23、己知|x-3|<a的解集是{x|-3<x<9}，则a=（）A.-6B.6C.±6D.04、对于数列0,0,0,...,0,...,下列表述正确的是()A.是等比但不是等差数列B.既是等差又是等比数列C.既不是等差又不是等比数列D.是等差但不是等比数列5、若a0.6<a0.4，则a的取值范围为（）A.a>1B.0C.a>0D.无法确定6、在△ABC中，“x2 =1”是“x =1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是( )A.30°B.60°C.45°D.90°8、设函数f(x) = x2+1，则f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数9、己知向量a = (2，1)，b =(-1，2)，则a,b之间的位置关系为( )A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不对10、若函数f(x) = kx + b,在R上是增函数，则( )A.k>0B.k<0C.b<0D.b>1-5、ACBDB 6-10、BCBCA 11、2/12、2x+3y+1=0 13、6 14、2 15、x2+2 16、1417、20 18、919、22、23、24、。
2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．（5分）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13782．（5分）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取1个恰好是白球的概率为13，则放入的黄球总数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．8个 D ．10个3．（5分）下列命题正确是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有两条边对应相等的两个直角三角形全等C ．16的平方根是4D ．对角线相等的平行四边形是矩形4．（5分）已知m ＞0，关于x 的一元二次方程（x +1）（x ﹣2）﹣m ＝0的解为x 1，x 2（x 1＜x 2），则下列结论正确的是（ ）A ．x 1＜﹣1＜2＜x 2B ．﹣1＜x 1＜2＜x 2C ．﹣1＜x 1＜x 2＜2D ．x 1＜﹣1＜x 2＜2 5．（5分）如图，点A 是函数y =−2x （x ＜0）在第二象限内图上一点，点B 是函数y =4x （x＞0）在第一象限内图象上一点，直线AB 与y 轴交于点，且AC ＝BC ，连结OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）6．（5分）关于x的不等式组{4a+3x＞03a−4x≥0恰好只有三个整数解，则a的取值范围是7．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB 上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD＝1，DC＝2，则PQ＝．8．（5分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是．9．（5分）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠P的值是．三．解答题（共2小题，满分30分，每小题15分）10．（15分）若一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．（1）判断y＝2x﹣1与y=3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果。
2020年高职单招考试数学模拟试卷
2020年高职单招考试模拟试题（长线备考、每周一套题，助你成功！多省份适用！有答案解析！）一、选择题（共10小题；共50分）1. 若集合，，则A. B. C. D.2. 不等式的解集为3. 若，则等于A. B. C. D.4. 函数的零点是A. C.5. 若直线过圆的圆心，则的值为B. C.6. 设数列的前项和，则的值为A. B. C. D.7. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在区间A. B. D.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.9. 已知函数，则A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是增函数C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是奇函数，且在上是减函数10. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每千米平均耗油量为A. 升B. 升C. 升D. 升二、填空题（共3小题；共15分）11. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是．12. 若，则．13. 设双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，则的方程为．三、解答题（共3小题；共35分）14. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．16. 已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．答案第一部分1. C2. A 【解析】不等式可化为：，所以，所以，所以不等式的解集为．注：先保证x2前的系数为正，才有“大于取两边，小于取中间的规律”3. D4. A 【解析】令得，或 .5. B【解析】圆化为标准方程为，所以圆心为，代入直线得．6. C 【解析】．（想想S4表示什么？前4项的和!所以S4=a1+a2+a3+a4 ,S3=a1+a2+a3）7. C8. C9. B 【解析】，所以，即函数为奇函数，又由函数为增函数，为减函数，故函数为增函数．10. B【解析】汽车每次加油时把油箱加满，第二次加油升，说明这段时间总消耗油量为升，这段时间内汽车行驶的里程为千米，所以每千米平均耗油量为升．第二部分12.13.第三部分14. （1）因为，，，所以由余弦定理得：则．（2）由正弦定理得，，所以，，所以．15. （1）在中，、分别是、的中点，所以．因为四边形为矩形，所以，所以，又因为，，所以．（2）连接，，，过作交于点，则，且．在中，，，，所以所以所以16. （1）由题意，椭圆的标准方程为所以，，从而因此故椭圆的离心率（2）设点，的坐标分别为，，其中，因为，所以即，解得又，所以因为且当时等号成立，所以，故线段长度的最小值为．。
2024年浙江省中职数学高考押题模拟试卷(含答案)
浙江省2024年中职职教高考文化统考终极押题预测数学试卷姓名 准考证号本试卷共三大题，共4页。
满分150分，考试时间120分钟考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上相应的位置上规范答题，在本试卷上作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.设全集U =R ，{|02}A x x =≤≤，{|11}B x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的区间是（ ）A ．[]0,1B ．()(),12,-∞-+∞C ．[]1,2-D ．(,1][2,)-∞-+∞ 2.下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b< B ．若a b <，则22ac bc < C ．若22a b >，则a b >D ．若22a b c c>，则a b > 3.函数()121f x x =++的值域为（ ） A ．()(),11,-∞+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1- 4.若角α终边经过点()1,1-，则2sin 3cos cos 6cos 2sin ααααα++-的值为（ ） A ．54 B ．1 C ．34 D ．32- 5. “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 的倾斜角θ10y +-=的倾斜角互补，则θ=（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507.已知数列{}n a 满足()*1111,21n n a a n a +==∈-N ，则5a 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．1-8.达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧AC 所对的圆心角α为60 ，弦AC 的长为10cm ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC 的长为（ ）（单位：cm ）A ．600πB ．100π3C ．10π3D ．5π39.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米10.若点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为（ ）A ．10B ．5C ．8D ．611.已知向量()5,2a = ，()4,3b =-- ，若c 满足320a b c -+= ，则c = （ ）A ．()23,12--B ．()23,12C ．()7,0D ．()7,0-12.直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13.湖州市书画历史悠久，渊源深厚，自东晋六朝以来形成了浓郁深厚的书画遗风，孕育出了一代代书法与绘画大家。
2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学押题试卷及答案解析
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2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学押题试卷
一．选择题（共5小题，满分25分）
1．（5分）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A ．289
B ．1024
C ．1225
D ．1378
2．（5分）小明要给朋友小林打电话，电话号码是七位正整数，他只记住了电话号码前四位顺序，后三位是3，6，7三位数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨对的概率是（ ） A ．1
3
B ．1
6
C ．
1
12
D ．
1
27
3．（5分）下面命题正确的是（ ） A ．矩形对角线互相垂直
B ．方程x 2＝14x 的解为x ＝14
C ．六边形内角和为540°
D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 4．（5分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的x ，y 的对应值如下表：
x … ﹣1 −1
2
0 12 1 32 2 … y
…
﹣1
14
m
54
1
14
n
…
下列关于该函数性质的判断
①该二次函数有最大值；②当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小；③不等式y ＜﹣1
的。
2020江苏对口单招 数学考前60天押题卷
胜券在握数学考前60天押题卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.错涂㊁多涂或未涂均无分.1.已知集合A ={1,2,3,4},B =x y =12x ,y ɪA {},则A ɘB 等于( )A.{2}B .{1,2}C .{2,4} D.{1,4}2. 向量a ,b 的夹角为锐角 是 a ㊃b >0的( )A.必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件3.角α的终边上一点A 的坐标为2s i n 5π3,-2s i n 5π6æèçöø÷,则c o s α等于( )A.12B .-12C .32D.-324.已知偶函数f (x )在[0,3]内单调递增,则f (-3),f 32æèçöø÷,f l o g 214æèçöø÷之间的大小关系是( )A.f (-3)>f l o g 214æèçöø÷>f 32æèçöø÷B .f (-3)>f 32æèçöø÷>f l o g 214æèçöø÷C .f 32æèçöø÷>f l o g 214æèçöø÷>f (-3) D.f l o g 214æèçöø÷>f 32æèçöø÷>f (-3)5.已知x >0,y >0,l g 2x +l g 8y=l g 2,则1x +13y的最小值为( )A.2B .22C .4 D.236.若直线y =k x +1与圆x 2+y 2=1相交于P ,Q 两点,且øP O Q =120ʎ(其中O 为原点),则k 的值为( )A.-3或3B .3C .-2或2 D.27.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )A.75ʎB .60ʎC .45ʎ D.30ʎ8.将6个毕业生平均分配到3所不同的学校,不同的分法种数共有( )A.90种B .540种C .720种D.180种9.5x 2-1x æèçöø÷n的展开式中各项系数和为1024,则常数项为( )A.50B .-50C .-25 D.2510.设函数f (x )=|l g x |(0<x ɤ10),-12x +6(x >10),ìîíïïïa ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则实数a b c 的取值范围是( )A.(1,10)B .(5,6)C .(10,12) D.(20,24)二㊁填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.化简:A +A B C +AB C +B C +B C =.第12题图12.若执行如图所示的程序框图,则输出的S =.13.若a =(2,1,-1),b =(1,0,3),c =(1,-2,3),则c ㊃(b ㊃a )=.14.某项工作的各项安排如下.工作代码紧前工作工期/天A 无1B A 2C B 5D B 2E B 4FC ㊁D ㊁E7则完成该工作的总工期为天.15.直线l 经过中心为原点的椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆的中心到l 的距离为其短轴的14,则该椭圆的离心率为.三㊁解答题(本大题共8小题,共90分)解答应写出必要的文字说明及演算步骤.16.(本小题满分8分)已知向量a =(2,3x ),b =(l o g 12(x -1),0),a ㊃b >0,求x 的取值范围.17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=a x 2+2x +c (a ,c ɪN +)满足条件:f (1)=5,6<f (2)<11.(1)求a ,c 的值;(2)已知对任意实数x 都有f (x )-2m x ȡ1成立,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)一只口袋中共有大小㊁质地相同的2个白球,3个红球,如果连续地抽取2次,每次取一个.(1)在不放回的情况下,求两次都取到白球的概率;(2)在放回的情况下,求至少取得1个白球的概率;(3) 第二次取到白球 在放回和不放回的情况下,哪种概率更大?请通过计算说明.19.(本小题满分12分)已知әA B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足s i n(2A+B)s i n A =2+2c o s(A+B).(1)求b a的值;(2)若a=1,c=7,求әA B C的面积.20.(本小题满分12分)如图所示,已知O,A,B三点(O为坐标原点)在二次函数f(x)的图象上.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若S n是数列{a n}的前n项和,且S n=f(n)(nɪN+),证明:数列{a n}为等差数列;(3)求1S1+1S2+1S3+ +1S n.第20题图21.(本小题满分12分)某人有楼房一幢,室内面积共计180平方米,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积18平方米,可住游客4名,每名游客每天的住宿费为70元,小房间每间面积为15平方米,可住游客2名,每名游客每天的住宿费为100元.装修大房间每间需要3000元,装修小房间每间需要2000元.如果他只能筹款27000元用于装修,且游客能住满客房,问:隔出大房间和小房间各多少间时,才能获得最大的效益?最大效益是多少元?22.(本小题满分10分)某商品每件的成本为9元,售价为30元,每星期卖出136件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元)成正比.已知商品单价降低3元时,一星期多卖出去24件.(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的的商品销售利润最大?最大为多少?23.(本小题满分14分)已知点M(1,y)在抛物线C上,抛物线C的焦点F在x轴上,点M到焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)已知斜率为-12的直线交抛物线C于A,B两点,若以A B为直径的圆与x轴相切,求该圆的标准方程.。
2020年浙江省高职考单招单考数学试卷(附答案)
2020年浙江省单独考试招生文化考试数学试题卷姓名: ____________ 准考证号: ____________本试题卷共三大题, 共4页。
满分150分, 考试时间150分钟。
考生注意:1.答题前, 请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时, 请按照答题纸上“注意事项”的要求, 在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共20小题, 1——10小题每小题2分, 11——20小题每小题3分, 共50分）（在每小题列出的四个备选答案中, 只有一个是符合题目要求的, 错涂、多涂或未涂均不得分）1.集合，集合，则（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.从2名医生、4名护士中，选出1名医生和2名护士组成三人医疗小组，选派的种数是（）A. 8B. 12C. 20D. 245.如图，正方形ABCD的边长为1，则（）A. 0B.C. 2D.6.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.7.角α的终边上有一点，则（）A. B. C. D.8.双曲线与直线交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 49.下列叙述中，错误的是（）A. 平行于同一个平面的两条直线平行B. 平行于同一条直线的两条直线平行C. 垂直于同一条直线的两个平面平行D. 垂直于同一个平面的两条直线平行10.李老师每天采取“先慢跑、再慢走”的方式锻炼身体, 慢跑和慢走都是匀速的, 运动的距离s（米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示, 他慢走的速度为（）A. 55米/分钟B. 57.5米/分钟C. 60米/分钟D. 67.5米/分钟11.若直线经过抛物线的焦点, 则b的值是（）A. B. C. 1 D. 212.角的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.已知点, , 则线段AB的中点坐标为（）A. B. C. D.14.若函数的图像与x轴没有交点, 则k的取值范围是（）A. B.C. D.15.抛掷二枚骰子, “落点数之和为9”的概率是（）A. B. C. D.16.下列直线中, 与圆相切的是（）A. B. C. D.17.已知a, b, c是实数, 下列命题正确的是（）A. 若, 则B. 若, 则C．若, 则D．若, 则y x x的最小正周期为（）18.函数sin cosA. B. C. D. 119.设数列的前n项和为, 若, （）, 则（）A. B. C. 1 D. 220.设直线与曲线有公共点, 则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分, 共28分）21.已知函数, 则__________.22.若, , 成等差数列, 则__________.23.若正数a, b 满足, 则的最小值为__________.24.函数4sin(cos(y x x ））的最大值为__________. 25.展开式中第二项的系数为__________.26.如图所示, 某几何体由正四棱锥和正方体构成, 正四棱锥侧棱长为, 正方体棱长为1, 则__________.27.已知双曲线的渐近线方程为, 则该双曲线的离心率为__________.三、解答题（本大题共8小题, 共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤）28.（本题7分）计算: .29.（本题8分）在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c.已知, , 22b .（1）求∠B 的大小；（4分）（2）求边长c .（4分）30.（本题9分）已知α为锐角, 且.（1）求, ；（4分）.（5分）（2）求sin()631.（本题9分）已知圆M的圆心为, 半径为6, 直线.（1）写出圆M的标准方程；（4分）（2）直线与平行, 且截圆M的弦长为4, 求直线的方程.（5分）32.（本题9分）如图所示, 正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为6, 点M在棱DD′上, 且.连结MB, MA′, MB′, MC′, A′C′.（1）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（4分）（2）求三棱锥M-A′B′C′的体积.（5分）33.（本题10分）现有长为11的铝合金材料, 用它做成如图所示的窗框, 要求中间竖隔, 且材料全部用完.设, 窗框面积为S.（长度单位：米）（1）求S关于x的函数关系式；（5分）（2）若, 求S的最大值.（5分）34.（本题10分）若椭圆的焦距为2, 离心率为, 斜率为1的直线经过椭圆的左焦点, 交椭圆于A, B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（5分）（2）求|AB |的值.（5分）35.（本题10分）随着无线通信技术的飞速发展, 一种新型的天线应运而生.新型天线结构如图所示: 以边长为1的正方形的4个顶点为顶点, 向外作4个边长为的正方形, 构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点, 向外作12个边长为的正方形, 构成2阶新型天线；…….按上述规则进行下去.记为n 阶新型天线所有正方形个数, 为n 阶新型天线所有正方形周长之和.（1）写出, , 和, , ；（6分）（2）求n a 与n b .（4分）答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.A 10.C 11.C 12.C13.A 14.D 15.D 16.A 17.C 18.B 19.A 20.D二、填空题21.8 22.-1 23. 24. 25.-192 26. 27.三、解答题28.29.（1）45°；（2230.（1）, ；（2）31.（1）22(4)(2)36x y ；（2）60x y 或100x y32.（1）3；（2）1233.（1）2385 (0)23S x x x ；（2）4.14平方米34.（1）2212x y ；（2）335.（1）, , , , , ；（2）,。
2020年自主招生数学试题及解答
2020年自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ==-=∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2020年自主招生数学试题及解答2020年自主招生数学试题及解答。
2020年数学高职考试卷
2020年数学高职考试卷（总分100分）姓名： 班级：一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分，在每个小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A={0,1},B={-1,0,1},则AUB=（ ）(A){-1} (B)(0,1) (C){-1,1} (D){-1,0,1) 2.若log a 8=3,则实数a ＝( )(A)12(B)2 (C)3 (D)4 3.不等式|2x+1|<3的解集为( )(A)(-2,1) (B)(-∞,-2)U(1,+∞) (C)(-2,2) (D)(-∞,-2)U(2,+∞) 4.sin(-π3)的值等于( ) (A)- 32 (B)- 12 (C)12 (D)3225.函数f (x )=x 2−x +2的增区间为( )(A)(-∞,-12) (B) [-12,+∞)(C)(-∞，12] (D)[12,+∞)6.在∆ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ＝3,b ＝5，c=2,则B=( ) (A)π6 (B )π4 (C )π3 (D )3π47.若实数a 、b 满足a ＜b ,则下列结论一定成立的是( ) (A )-a ＞－b (B )－a ＜－b (C )a 2<b 2 (D ) a 2>b 28.某学习小组有男生5人，女生3人，现从男生中任选2人，从女生中任选1人参加测试，则不同的选法有（ ）(A ）15种 (B )20种 (C)30种 (D)40种 9.设函数f (x )、g (x )的定义域均为R ,且f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则下列说法正确的是（ ）(A )f (x )＋g (x )必为奇函数 （B ）f (x )＋g (x )必为偶函数 (C )f (x )g (x )必为奇函数 (D)f (x )g (x )必为偶函数10.已知桐圆C 的中心在原点，右焦点坐标为（5,0),半长轴与半短轴的长度之和为5,则C 的标准方程为（ ） (A)x 25+y 29=1 (B)x 24+y 29=1 (C)x 29+y 25=1 (D)x 29+y 24=1二、解答题（共3小题，共40分）11.(本小题满分14分，(1)小问7分，(Ⅱ）小问7分） 在等比数列{a n }中，a 2＝8,公比q ＝12,(I )求a 8的值；(Ⅱ）若{a n }的前k 项和为31,求k 的值.12.(本小题满分13分，(I)小问6分，(Ⅱ）小问7分） 设直线4x-3y+12=0与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B . (I )求|AB|;(II)求过点A 、B 和原点的圆的方程。
2024年广东省普通高等学校招收中等职业学校毕业生考试数学押题卷(一)参考答案
2024年广东省普通高等学校招收中等职业学校毕业生考试数学押题卷（一）参考答案1.C2.A3.B4.B5.B6.B7.D8.A9.C 10.C 11.D 12.C 13.C 14.B 15.C 16 .17. ()()12y 1x 22=-++ 18 .6819.60︒．20.a b c <<．21.解：（1）延长MP 交AF 于点Q ，则∆BQP 为等腰直角三角形∵PM=x,QM=130∴BQ=QP=130-x∵BF=FC=10,BQ=130-X,FQ=BF-BQ∴FQ=10-(130-x ）=x-120∴NP=AQ=100-(x-120)=220-x∵S NPME =PN PM ⋅∴x 220x x 220x y 2+-=-=)(∵点P 在BC 上，AE=130,CD=FD-FC=130-10=120∴120≤x ≤130（2）由（1）得)(,130x 120x 220xy 2≤≤+-= a=-1,开口向下，对称轴x=110a2b =- 在此区域中，函数值y 随x 的增大而减小∴当x=120米时，安置区的面积最大，最大面积为12000平方米。
22.答案：（1）∵()3sin cos a b C C =+，根据正弦定理得，()sin sin 3sin cos A B C C =+， 即sin cos cos sin 3sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，所以cos sin 3sin sin B C B C =，因为sin 0C >，所以cos 3sin B B =，所以3tan 3B =， 因为()0,πB ∈，所以π6B =．在BDC 中，由正弦定理知，21cos 7A =sin tan cos A =23.解：（1）等比数列{}n a 的公比2q =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，3242(2)a a a ∴+=+，1112(42)28a a a ∴+=+，12a ∴=，又2q =，2n n a ∴=；（2）2log 2n n n n b a a n =+=+，∴2(12)(222)n n T n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1(1)222n n n ++=+-．24.解：（1）由题可得2a=8，则a=4，离心率e=214c 21a c ==，即，则c=2 又12416c a b 222=-=-= 112y 16x 22=+∴椭圆方程为 （2）左右顶点坐标分别为M （-4，0），N （4，0），直线PM 方程为2x 21y += 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=112y 16x 2x 21y 22，消去y 化简得，08x 2x 2=-+，解得2x 4x 21=-=，代入直线得两个交点坐标为（-4，0）和（2，3），则P 坐标为（2，3） 又N （4，0），解得PN 斜率K=23-。
2020年中职数学对口升学考前冲刺模拟试题含答案
2020年中职数学对口升学模拟试题一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1.集合M=｛x ｜x ≤4｝,15a =，那么正解的关系是( )A.M ⊆aB.M ∉aC. M ∈}a {D.M ⊆}a {2.“三角形一个内角是︒60”是“三角形三个内角成等差数列”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对3．12log x 3=，则x4=( )A.6B.9C.2l 34og D.44.已知向量→→→→→→+--==b -a b a ),1,8(b ),,1(a 与且x 相互垂直，则x=( )A.-8B.8±C.8D.不存在5.函数212)52()(f +-=x x x 的值域是( );A.),0[+∞B.),2[+∞C.),4[+∞D.),-[+∞∞6.直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行，则a=( )A.1B.1或-2C.-2或-1D.-17．=︒︒-︒15cos 15sin 415cos 32( )A.2-B.22C.22-D.28.抛物线px 2y 2=与直线ax+y-4=0交于A,B 两点，其中点A(1,2),设抛物线焦点为F ，则|FA|+|FB|=( )A.4B.5C.6D.7 9.52)1(xx +的展开式中的系数之和是( )A.32B.12C.10D.1610.如果偶函数f(x)在区间[-6,-2]上是减函数且最大值为5，则函数f(x)在[2,6]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为5二.填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.已知=<<<=-=βπαββαα则若,20,1413)cos(,71c os . 2.若实数x,y 满足=+==y1x 1,217,213则yx. 3.圆4x 22=+y 上的点到直线4x+3y+c=0的最小距离为5，则圆上的点到直线的最大距离为 4.用1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的四位数，从这四位数中任取一个数，不是5的倍数的概率是5.圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则其母线与底面所有的角为 .6.过圆4x 22=+y 上一点P （1，-3）的切线方程是 .7.等比数列}{n a 中，173a a 和是方程016102=+-x x 的两根，则=10a .8.已知双曲线19y 16x 22=-，过右焦点2F 交双曲线右支的弦AB ，｜AB ｜=5,双曲线另一个焦点为F 1， 则1ABF ∆点的周长是 . 三.解答题（本大题共6小题，共38分）1.求函数)352(log )(f 22--=x x x 的定义域，单调区间和值域.（6分）2.已知等差数列}{n a 中，14,5a 52==a (1)求}{n a 的通项公式(2)设}{n a 的前n 项和为n S =155，求n 的值.（6分）3.一个袋中有6个球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中任取3只，求3只球中号码最大的编号X 的概率分布及其期望.（6分）4.已知→→→→→→→→→→-=+=︒>=<==bamdbacbaba3,53,60,,2,3，问（6分）(1)当m取何值时，→→dc与垂直；(2)当m为何值时→→dc与平行。