广东深圳中学高中数学必修二导学案4平面的基本性质

4．平面的基本性质

陈丽萍 学习目标

1．了解平面的定义，理解平面的基本性质．

2．理解三条公理和三条推论，并能运用它找出两个平面的交线，解决“三线共点”和“三点共线”的问题． 一、夯实基础 基础梳理

公理1：如果一条直线上的___________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号表示：A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条___________的直线。

符号表示：P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈。

公理3：经过______________三点，有且只有一个平面。

符号表示：点A 、B 、C 不共线，⇒存在唯一平面α，使A b C ααα∈∈∈，， 基础达标

1．两个平面的公共点可能是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0或无数个 2．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．p l l α⊂⊂， B ．p l l α∈∈， C ．p l l α⊂∈， D ．p l l α∈⊂， 3．下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

②两个平面有三个公共点，它们必然重合； ③三条直线两两相交，它们必在同一平面内；

④一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线必在同一平面内； ⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑥三角形是平面图形； ⑦四边表是平面图形；

⑧平行四边形、梯形都是平面图形； ⑨两组对边相等的四边形是平行四边形。 其中正确的命题是_______（填序号）

4．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①A B AB ααα⊂⊂∴⊂，；②A B AB ααα∈∈∴∈，；

③

A a a A αα∉⊂∴∉，；④

A a a A a α∉⊂∴∉，。

其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_____________。 5．求证：三角形是平面图形。 二、学习指引 自主探究

1．请谈谈三个公理的作用

公理1作用：_______________________________________． 公理2作用：_______________________________________．

公理3作用：_____________________________________________。 2．（1）一个平面把空间分成_________两部分，两个平面把空间最多分成________部分，三个平面把空间最多分成__________部分。

（2）用一个平面去截一个正方体得到的截面是多边形，其中边数最多的是____边形。 3．如图，在正方体ABCD A B C D 1111-中，P 、Q 分别是棱AA 1，CC 1中点。研究： （1）直线DP 与在直线A B 11是否相交？如果相交，请画出交点。

（2）平面DPQ 与平面A C 11是否有公共直线？如果有，请说明理由，作出这条直线并判断该直线是否经过点B 1．

（3）画出平面DPQ 截这个正方体所得的截面并判断该截面的形状．

案例分析

1．经过空间中3个点的平面（ ）． A ．有且只有1个 B ．有且只有3个 C ．1个或无数个 D ．有0个 【答案】C ．

2．直线上有一个点不在平面内，这条直线与这个平面的公共点有___________个． 【解析】考虑直线与平面平行或相交，答案为0或1个． 3．如图，在正方体ABCD A B C D 1111-中。

（1）在图l 中作出平面ACD 1与平面BDC 1的交线；

（2）P Q R ，，分别是相应棱的中点，试在图2中过这三点作截面。 【解析】（1）如图，MN 即为所作．（2）如图，向两边延长线段PQ ，交上底面的棱所在直线于点E ，F ，依此方法作图，最终可得一个六边形。

说明：作几何体的截面，根据直线与平面特征，遵循“能连则连，能延则延”的原则． 4．求证：两两平行的三直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 【解析】已知：////.a b c a d A b d B c d C ===，，， 求证：a 、b 、c 、d 共面。

证明：因为//a b ，由推论3可知直线a b ，可确定一个平面，设为α。 a d A b d B A a B b ==∴∈∈，，，。

由公理1可知：d a ⊂。

//b c ，由推论有可知直线b c ，

可确定一个平面，设为β。 同理可知：d β⊂。

平面α和平面β都包含直线b 和d ，且b d B =，所以由推论2可知：经过两条相交直

线，有且只有一个平面。 ∴平面α和平面β重合。

所以a 、b 、c 、d 共面。 5．点A ∉平面BCD E F G H ，，，，分别是AB BC CD DA ，，，上的点，若EH 与FG 交于

P ，求证：P 在直线BD 上。 【解析】证明：EH FG P =， P EH P FG ∴∈∈，，

E H ，分别属于直线AB AD ，，

EH ∴⊂平面ABD P ∴∈，

平面ABD ， 同理：P ∈平面CBD ，

又平面ABD 平面CBD BD =， P ∴在直线BD 上。 三、能力提升

1．空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） A ．一个 B ．四个 C ．六个 D ．八个

2．平行六面体ABCD A B C D 1111-中既与AB 共面又与CC 1共面的棱的条数为___________。（底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体）

3．如图所示，正方体ABCD A B C D 1111-中，A C 1与截面DBC 交于O 点，AC BD ，交于M 点，求证：C O M 1，，三点共线。

拓展迁移

4．在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若PQ CB ，的延长线交于M RQ DB ，，的延长线交于点N RP DC ，，的延长线交于点K 。求证：M N K ，，三点共线。

5．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足:::AE EB CF FB ==21，::CG GD =31，过E 、F 、G 的平面交AD 于H 。连接EH 。 （1）求:AH HD ；

（2）求证：EH 、FG 、BD 三条直线交于同一点。 挑战极限

6．在棱长为a 的正方体ABCD A B C D 1111-中，P ，Q ，R 分别是棱CC A D A B 11111，，的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长。

课程小结

利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：

1．证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．

3．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内：②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合。 ４．平面的基本性质 一、夯实基础 基础梳理