偏最小二乘法算法
偏最小二乘方法
偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展 起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合 物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国 Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处 理部分主要是PLS。在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础 是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所 以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种 情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元 回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自 变量的个数。
设矩阵X的阶为I*J，若T的阶与J相等，则主成分回归与 多元线性回归所得结果相同，并不能显示出主成分回归的优 越之处。选取的主成分数一般应该比J 小，而删去那些不重 要的主成分，因为这些主成分所包含的信息主要是噪声，由 此所得的回归方程稳定性较好。 另外，由X所定义的空间可以进一步来说明主成分回归 与多元线性回归的区别。多元线性回归应用了由X的列所定 义的全部空间，而主成分回归所占用的是一子空间。当X的J 列中，有一列可为其它J —1列的线性组合时，则X可用J -1列 的矩阵T来描述，而并不丢失信息。新的矩阵T定义了X的一 个子空间。
2 7 5 4 3 3 Y 9 12 3 6 8 2
运用式(6.3)则可得B矩阵：
0.48 0.71 0.55 B 0.42 0.41 0.24 0.08 0.28 0.05
所用数学模型有效性的量度可用Err：
偏最小二乘回归方法(PLS)
偏最小二乘回归方法1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。
多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。
而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。
为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。
它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。
近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。
它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。
偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。
下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
第十一章 偏最小二乘法
u1 Y0c1
注意这里t1和u1分别为n维向量，是n个 个案在两组变量的主成分的取值。
2.建立回归方程
分别求X0和Y021 22 w'1X Y0c1 0
则 记
X Y0c1 1w1 0 0 Y0 X0w1 1c1 0
可得
X Y0Y0 X0w1 w1 0
2 1
Y 0 X0 X 0Y0c1 c
' '
2 1 1
可见,w1是矩阵的 X0Y0Y0X0 特征向量,对应 12 。所以w1是对应于矩阵 X0Y0Y0X0 的特征值为 12 的单位特征向量。而另一方面, 最大特征值 ' ' 12 的 c1是对应于 Y 0 X0 X 0Y0 矩阵最大特征值 单位特征向量c1。
求X组变量的第一主成分t1，w1为第一主成分 的系数向量， w1是一个单位向量。 t1=X0w1 求Y组变量的第一主成分t1，c1为第一主成分 的系数向量， c1是一个单位向量。 u1=Y0c1 有Var(t1)=max Var(u1)=max (t1, u1)=max
因此综合起来，在偏最小二乘回归中， 我们要求与的协方差达到最大，既
一、 偏最小二乘回归的建模原理和方法 （一）建模原理
设有 q个因变量{ y1, y2,…, yq}和p个自变量 { x1, x2,…, xp}。为了讨论两组变量之间的关系， 观测了n个样本点。偏最小二乘回归开始与典型 相关分析相同，分别在X与Y中提取出主成分。 设 { t1, t2,…, tr}为{ x1, x2,…, xp}的主成分， { u1, u2,…, ur}为{ y1, y2,…, yq}，其中r=min（p，q）。
max X0 w1 , Y0c1 w1 ,c1 w1w1 1 cc 1 11
判别偏最小二乘法
判别偏最小二乘法
判别偏最小二乘法是一种常见的分类算法，它是基于最小二乘法的思路而来的。
在分类问题中，我们常常面临的是需要将样本点分为不同的类别，而分类算法的目的就是找到一种合理的方式来实现这一目标。
在判别偏最小二乘法中，我们首先需要将样本点投影到一个低维的子空间中，然后对投影后的样本进行分类。
具体来说，我们可以通过对样本点进行线性变换，将样本点投影到一个低维的子空间中。
然后，在子空间中，我们可以使用最小二乘法来拟合每个类别的数据分布，以此来得到分类决策。
判别偏最小二乘法不仅可以用于二分类问题，还可以扩展到多分类问题中。
同时，它也可以与其他分类算法相结合，用于提高分类的准确率和鲁棒性。
因此，判别偏最小二乘法是机器学习中一个非常重要的算法，值得我们深入学习和研究。
- 1 -。
偏最小二乘法(PLS)简介
偏最小二乘法（PLS）简介偏最小二乘法（PLS）简介简介偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。
而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。
但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。
它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。
现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。
偏最小二乘法算法
偏最小二乘法1.1基本原理偏最小二乘法(PLS)是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归(PCR)更进了一步，两者的区别在于PLS法将浓度矩阵Y和相应的量测响应矩阵X同时进行主成分分解：X二 TP+EY=UQ+F式中T和U分别为X和Y的得分矩阵，而P和Q分别为X和Y的载荷矩阵，E和F分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y中因子的同时也用于描述变量X。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y的列去计算矩阵X的因子。
同时，矩阵Y的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T和U矩阵分别是除去了人部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称矢联矩阵E：B=(TT )F U因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对矢联矩阵B的计算。
12主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相矢的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
卞面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n个样本包含p个组分，在m个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而人小不同。
换句话说，光谱A表示在由p个波长构成的p维变量空间的一组点(n个)，而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
这条直线其实就是纯光谱b。
因此由ni个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。
如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用bl,b2 表示，则有：<=c i{b: + Ci2bl有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴bl,b2来表示。
偏最小二乘法基本知识
偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法partial least square method是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。
而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。
但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。
它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。
现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种多元统计学方法，常用于建立回归模型和处理多重共线性问题。
它是对线性回归和主成分分析（PCA）的扩展，可以在高维数据集中处理变量之间的关联性，提取重要特征并建立回归模型。
PLS回归可以分为两个主要步骤：PLS分解和回归。
1.PLS分解：PLS分解是将原始的预测变量X和响应变量Y分解为一系列的主成分。
在每个主成分中，PLS根据两者之间的协方差最大化方向来寻找最佳线性组合。
PLS根据以下步骤来获得主成分：1)建立初始权重向量w，通常是随机初始化的；2) 计算X和Y之间的协方差cov(X,Y)；3)将w与X与Y的乘积进行中心化，得到新的X'和Y'；4)标准化X'和Y'，使得它们的标准差为1；5)多次迭代上述步骤，直到达到设定的主成分数目。
2.回归：在PLS分解之后，我们得到了一组主成分，接下来可以使用这些主成分来建立回归模型。
回归模型可以通过以下步骤来构建：1)将X和Y分别表示为主成分的线性组合；2)根据主成分得分对回归系数进行估计；3)使用估计的回归系数将新的X预测为Y。
PLS的实现可以通过以下几种方法：1.标准PLS（NIPALS算法）：它是最常见的PLS算法。
它通过递归地估计每个主成分和权重向量来实现PLS分解。
该算法根据数据的方差最大化原则得到主成分。
2.中心化PLS：数据在进行PLS分解之前进行中心化。
中心化可以确保主成分能够捕捉到变量之间的相关性。
3. PLS-DA：PLS-Discriminant Analysis，是PLS在分类问题中的应用。
它通过利用PLS分解找到最佳线性组合，以区分两个或多个不同的分类。
4. PLS-SVC：PLS-Support Vector Classification，是PLS在支持向量机分类中的应用。
它通过PLS寻找最优线性组合，同时最小化分类误差。
偏最小二乘回归方法
E01, F0c1
s.t
c11TT
1
c1
1 1
多因变量偏最小二乘算法推导
采用拉格朗日算法，记
s 1T E0T F0c1 1 1T1 1 2 c1T c1 1
对 s 分别求关于1，c1 ，1和2 的偏导
数，并令之为零，有
多因变量偏最小二乘算法推导
s
1
E0T F0c1
211
0
（1）式
第二步：用残差矩阵E1 和F1 取 代 E0和 F0 。然后，求第二个轴2和 c2以及第二个成分 t2，u2，有
t2 E12
u2 F1c2
2 t2,u2 2T E1T F1c2
多因变量偏最小二乘算法推导
2是对应于矩阵 E1T F1F1T E1 的最
大特征值
2 2
的特征向量；
c
2是对应
于矩阵
Fmk 是残差矩阵 Fm 的第k 列。
偏最小二乘回归的简化算法
（1）求矩阵 E0T F0F0T E0 最大特征值
所对应的单位特征向量1，求成分 ，
得 t1
t1 E01
其中
E1 E0 t1 p1T
p1
E0T t1 t1 2
偏最小二乘回归的简化算法
（2）求矩阵 E1T F0F0T E1 最大特征
多因变量偏最小二乘算法推导
如果要使 t1，u1 能很好的代表 X 与Y 中的数据变异信息，根据主成 分分析原理，应该有Var t1 max ， Var u1 max 。
多因变量偏最小二乘算法推导
另一方面，由于回归建模的需 要，又要求 t1 对u1有最大的解释能 力，由典型相关分析的思路，t1与 u1 的相关度应达到最大值，即
多因变量偏最小二乘算法推导
偏最小二乘法
偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：（1）能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；（2）允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；（3）偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；（4）偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；（5）在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
在计算方差和协方差时，求和号前面的系数有两种取法：当样本点集合是随机抽取得到时，应该取1/(n-1)；如果不是随机抽取的，这个系数可取1/n。
诊断方法经验式诊断法1、在自变量的简单相关系数矩阵中，有某些自变量的相关系数值较大。
2、回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反；或者，它同该自变量与y 的简单相关系数符号相反。
3、对重要自变量的回归系数进行t检验，其结果不显著。
特别典型的是，当F检验能在高精度下通过，测定系数R2的值亦很大，但自变量的t检验却全都不显著，这时，多重相关性的可能性将很大。
4、如果增加（或删除）一个变量，或者增加（或删除）一个观测值，回归系数的估计值发生了很大的变化。
5、重要自变量的回归系数置信区间明显过大。
6、在自变量中，某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
7、对于一般的观测数据，如果样本点的个数过少，样本数据中的多重相关性是经常存在的。
但是，采用经验式方法诊断自变量系统中是否确实存在多重相关性，并不十分可靠，另一种较正规的方法是利用统计检验（回归分析），检查每一个自变量相对其它自变量是否存在线性关系。
方差膨胀因子诊断法最常用的多重相关性的正规诊断方法是使用方差膨胀因子。
自变量xj的方差膨胀因子记为（VIF）j，它的计算方法为（4-5）（VIF）j =（1-R j2）-1式中，R j2是以xj为因变量时对其它自变量回归的复测定系数。
所有xj变量中最大的（VIF）j通常被用来作为测量多重相关性的指标。
偏最小二乘法算法python代码
1111偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）是一种常用的多元线性回归方法，主要用于解决自变量之间存在多重共线性的问题。
PLS 通过将自变量投影到新的低维度空间，从而减少自变量之间的相关性，提高模型的预测能力和解释能力。
下面是一个使用 Python 实现偏最小二乘法算法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef pls_regression(X, Y):# 计算 X 的协方差矩阵cov_X = np.cov(X, rowvar=False)# 计算 Y 对 X 的回归系数beta = np.linalg.lstsq(cov_X, Y, rcond=None)[0]# 计算预测误差e = Y - np.dot(X, beta)# 计算残差的协方差矩阵cov_e = np.cov(e, rowvar=False)# 计算 PLS 的负荷向量p = np.linalg.lstsq(cov_e, X, rcond=None)[0]# 计算 PLS 的预测值Y_pred = np.dot(X, p)return Y_pred, beta, p# 示例数据X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]])Y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 使用 PLS 进行回归预测Y_pred, beta, p = pls_regression(X, Y)print("PLS 预测结果:", Y_pred)print("PLS 回归系数:", beta)print("PLS 负荷向量:", p)```在这个示例中，我们首先计算了自变量 X 的协方差矩阵 `cov_X` 和因变量 Y 对 X 的回归系数 `beta`。
然后，我们计算了预测误差 `e` 和残差的协方差矩阵 `cov_e`。
偏最小二乘算法
偏最小二乘算法偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLS 回归）是一种常用的统计分析方法，用于处理多变量数据集中的回归问题。
它是在被解释变量与解释变量之间存在复杂关系的情况下，通过降维和建立线性模型来解决回归问题的一种有效手段。
下面将详细介绍偏最小二乘算法的原理和应用。
一、原理介绍偏最小二乘算法的核心思想是通过寻找解释变量与被解释变量之间最大的协方差方向，将原始变量空间转换为新的综合变量空间，从而实现降维的目的。
具体步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行中心化和标准化处理，以消除量纲和变量之间的差异。
2. 求解权重矩阵：根据解释变量和被解释变量的协方差矩阵，通过迭代的方式求解权重矩阵，使得新的综合变量能够最大程度地反映原始变量之间的关系。
3. 计算综合变量：将原始变量与权重矩阵相乘，得到新的综合变量。
4. 建立回归模型：将新的综合变量作为自变量，被解释变量作为因变量，通过最小二乘法建立回归模型。
5. 预测与评估：利用建立的回归模型对新的解释变量进行预测，并通过评估指标（如均方根误差、决定系数等）评估模型的拟合效果。
二、应用案例偏最小二乘算法在多个领域都有广泛的应用，下面以药物研究为例，介绍其应用案例。
假设我们需要研究一个药物的活性与其分子结构之间的关系。
我们可以收集一系列药物分子的结构信息作为解释变量，收集相应的生物活性数据作为被解释变量。
然后利用偏最小二乘算法，建立药物活性与分子结构之间的回归模型。
通过偏最小二乘算法，我们可以找到最相关的分子结构特征，并将其转化为新的综合变量。
然后，利用建立的模型，我们可以预测新的药物的活性，从而指导药物设计和优化。
三、优缺点分析偏最小二乘算法具有以下优点：1. 能够处理多变量之间的高度相关性，避免了多重共线性问题。
2. 通过降维，提高了模型的解释能力和预测精度。
3. 对于样本量较小的情况，仍能有效建立回归模型。
偏最小二乘法(PLS)简介
Ah+1=LS的T由公式T=XW计算出，B由公式B=WQ'计算。
相关文献
许禄，《化学计量学方法》，科学出版社，北京，1995。
王惠文，《偏最小二乘回归方法及应用》，国防科技出版社，北京，1996。
Chin, W. W., and Newsted, P. R. (1999). Structural Equation
Akron, Ohio: The University of Akron Press.
Fornell, C. (Ed.) (1982). A Second Generation Of Multivariate
Analysis, Volume 1: Methods. New York: Praeger.
Principal Components Analysis Is To Common Factor Analysis.
Technology Studies. volume 2, issue 2, 315-319.
Falk, R. F. and N. Miller (1992). A Primer For Soft Modeling.
《偏最小二乘方法》课件
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
多重共线性问题的偏最小二乘估计
多重共线性问题的偏最小二乘估计1. 引言1.1 多重共线性问题介绍多重共线性问题是指自变量之间存在高度相关性，导致最小二乘估计的系数不稳定或偏误的情况。
在实际数据分析中，多重共线性经常会出现，给回归分析结果的解释和预测带来困难。
多重共线性问题会导致估计的系数具有高方差，降低了模型的精确性和可靠性，也影响了变量的解释能力。
当多重共线性存在时，模型的系数可能与理论假设不一致，使得结果产生偏误。
在处理多重共线性问题时，传统的最小二乘估计方法往往表现不佳。
引入偏最小二乘估计方法成为解决多重共线性问题的重要手段。
偏最小二乘估计能够有效地削弱自变量之间的相关性对估计结果的影响，提高模型的稳定性和准确性，从而更好地解释变量之间的关系。
1.2 传统的最小二乘估计存在的问题传统的最小二乘估计存在的问题主要体现在多重共线性问题上。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致最小二乘估计结果不稳定、系数估计不准确甚至无法计算的问题。
当自变量之间存在较高的相关性时，最小二乘法会放大这种相关性对估计结果的影响，使得模型的预测能力下降，导致模型的解释性变差。
多重共线性问题会导致最小二乘估计的系数估计不稳定，系数估计的标准误差增大，使得模型的显著性降低。
多重共线性还可能导致自变量的系数估计出现错误的符号，使得对真实关系的解释产生混淆。
传统的最小二乘估计在面对多重共线性问题时，往往无法给出令人满意的结果，因此需要引入偏最小二乘估计来解决这一问题。
偏最小二乘估计通过降维的方式消除自变量之间的相关性，从而提高模型的稳定性和有效性。
在实际应用中，偏最小二乘估计已被广泛应用于多个领域，并取得了显著的效果。
2. 正文2.1 偏最小二乘估计的原理偏最小二乘估计的原理是建立在最小二乘估计的基础之上的一种方法。
在多重共线性问题中，自变量之间存在高度相关性，这会导致最小二乘估计中回归系数的估计不准确甚至不可靠。
偏最小二乘估计通过对自变量进行降维处理，将原始自变量转化为新的一组与因变量相关性最大的维度，从而减少共线性带来的影响。
偏最小二乘算法
偏最小二乘算法以偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种在统计学和数据分析领域中常用的多元回归方法。
它主要用于处理具有多个自变量和一个因变量的数据，通过寻找最佳的线性组合来建立模型，从而解决数据分析和预测问题。
本文将介绍PLSR算法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。
1. PLSR算法的原理PLSR算法基于最小二乘法，通过将自变量和因变量进行线性组合，找到一组最佳的投影方向，使得投影后的变量之间的协方差最大，并且与因变量之间的相关性最大。
这样，就可以通过建立线性模型来预测因变量的值。
PLSR算法在处理高维数据和多重共线性问题时具有很好的效果。
2. PLSR算法的应用PLSR算法可以应用于多个领域，如化学、生物医学、食品科学等。
在化学领域，PLSR算法常用于分析和预测化学物质的性质，例如预测某种化学物质的溶解度、反应速率等。
在生物医学领域，PLSR算法可以用于分析遗传数据，如基因表达谱和蛋白质组学数据，以及预测药物的活性和副作用。
在食品科学中，PLSR算法可以用于分析食品的成分和品质，以及预测产品的口感和营养价值。
3. PLSR算法的优势相比于其他回归方法，PLSR算法具有以下几个优势：（1）PLSR算法可以处理高维数据和多重共线性问题，避免了过拟合和模型不稳定性的问题。
（2）PLSR算法可以同时考虑自变量和因变量之间的关系，可以更准确地建立预测模型。
（3）PLSR算法可以通过选择最佳的投影方向来降低数据的维度，减少自变量的数量，提高模型的可解释性和预测能力。
（4）PLSR算法可以处理非线性关系，通过引入非线性变换或核技巧，可以拟合更复杂的数据模式。
4. PLSR算法的应用案例以药物研发为例，研究人员常常需要建立药物活性和物理化学性质之间的关系模型。
通过收集一系列药物分子的物理化学性质数据和生物活性数据，可以使用PLSR算法建立预测模型，从而预测新药物的活性。
偏最小二乘结构方程
偏最小二乘结构方程偏最小二乘（Partial Least Squares，简称PLS）是一种常见的结构方程模型方法，用于将多个自变量与一个或多个因变量联系起来，同时考虑自变量之间和因变量之间的相关性。
本文将介绍PLS的原理、步骤和优点，帮助读者更好地了解和使用该方法。
PLS的核心思想是将自变量和因变量的信息映射到几个新的变量（称为潜变量）中，这些变量能够最好地解释自变量和因变量之间的关系。
PLS与传统的最小二乘回归（Linear Regression）方法不同，它能够处理具有多重共线性（Multicollinearity）和高维数（High Dimensionality）的数据集，并且能够发现潜在的非线性关系。
PLS的步骤主要包括以下几个方面：第一步：标准化数据。
将自变量和因变量标准化，使其均值为0，标准差为1，从而消除不同变量之间的量纲差异性。
第二步：选择潜变量数目。
根据样本量和数据结构的特点，确定潜变量的数目，以便更好地表示自变量和因变量之间的关系。
第三步：估计剖面矩阵。
使用PLS算法计算潜变量，估计自变量和因变量之间的相关性，并构建剖面矩阵。
第四步：估计结构方程模型。
使用剖面矩阵和PLS算法，构建能够解释自变量和因变量之间关系的结构方程模型。
PLS方法有以下优点：1. 能够处理多重共线性和高维数的数据集。
2. 能够发现潜在的非线性关系。
3. 能够同时估计自变量和因变量的贡献。
4. 能够将多个自变量结合成一个潜变量，并能够同时处理多个因变量。
总之，PLS是一种优秀的结构方程模型方法，可以帮助研究者更好地探究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，需要注意选择适当的潜变量数目和确认模型的可靠性，以充分发挥PLS方法的优点。
第七章PLS算法
第七章PLS算法PLS(偏最小二乘)算法是一种统计建模方法，可以用于解决多变量之间的回归问题。
它在处理高维数据时非常有用，尤其适用于数据集中存在多个解释变量和响应变量的情况。
PLS算法通过同时处理解释变量的信息和响应变量的信息，找到它们之间的最大相关性，并利用这种相关性进行建模和预测。
PLS算法的基本思想可以简单概括为以下几个步骤：1.数据预处理：首先对解释变量和响应变量进行中心化和标准化处理，以保证数据服从正态分布和均值为零的特性。
2.模型建立：PLS算法从解释变量和响应变量的线性关系开始建立模型。
它通过寻找一个线性组合，使得这个组合最大化解释变量和响应变量之间的协方差。
3.PLS分解：PLS算法将解释变量和响应变量分别进行分解，将它们表示为潜在变量的线性组合。
这个潜在变量是通过最大化解释变量和响应变量之间的协方差得到的。
4.模型优化：通过将解释变量和响应变量进行逐步回归，PLS算法可以得到最佳的潜在变量数量，并通过交叉验证方法进行模型选择。
5.预测和评估：通过使用建立好的PLS模型，可以对未知的解释变量预测相应的响应变量，并通过各种统计指标来评估模型的性能。
PLS算法有以下几个特点和优势：1.多变量分析：PLS算法可以同时处理多个解释变量和响应变量之间的关系，更好地利用数据集中的信息，对高维数据进行建模和分析。
2.预测精度：相比于传统的回归分析方法，PLS算法能够更准确地预测响应变量的值。
它通过最大化解释变量和响应变量之间的相关性，提高了建模和预测的准确性。
3.可解释性：PLS算法不仅可以进行预测，还可以通过潜在变量来解释解释变量和响应变量之间的关系。
这有助于了解变量之间的影响因素和相关性，为进一步的数据分析提供指导。
4.对缺失数据和噪声的鲁棒性：PLS算法具有处理缺失数据和噪声的能力，对于一些实际应用中存在的数据问题有很好的鲁棒性。
PLS算法已经被广泛应用于各个领域，包括化学、生物信息学、医学等。
多重共线性问题的偏最小二乘估计
多重共线性问题的偏最小二乘估计多重共线性问题是指在回归分析中独立变量之间存在高度相关性的现象，这种现象会给统计模型的估计结果带来一系列问题，如参数估计不准确、显著性检验失效等。
解决多重共线性问题的方法之一就是偏最小二乘估计。
偏最小二乘估计（Partial Least Squares Regression, PLS）是一种同时考虑独立变量和因变量的回归方法，其目的是通过构建新的综合变量（也称为潜在变量）来消除独立变量之间的相关性，从而减少共线性的影响。
偏最小二乘估计在处理多重共线性问题上表现出较好的效果，并且能够提高模型的预测能力。
本文将详细介绍偏最小二乘估计的原理、算法以及在实际应用中的一些注意事项。
偏最小二乘估计的原理偏最小二乘估计的核心思想是通过构建新的综合变量来描述原始的独立变量和因变量之间的关系，从而降低独立变量之间的相关性。
具体来说，偏最小二乘估计通过最小化独立变量与因变量之间的协方差来构建一个新的综合变量，该综合变量能够尽可能地包含原始变量的信息，同时减少共线性的影响。
偏最小二乘估计的算法可以分为两个步骤：首先构建综合变量，然后进行回归分析。
在进行回归分析的步骤中，偏最小二乘估计会使用构建好的综合变量来代替原始的独立变量，然后进行回归模型的拟合和参数估计。
由于综合变量已经包含了原始变量和因变量的信息，因此可以减少共线性的影响，从而得到更加准确和稳健的参数估计结果。
偏最小二乘估计在实际应用中的注意事项在使用偏最小二乘估计时，需要注意以下几点：1. 样本量的要求：偏最小二乘估计对样本量的要求较低，即使在较小的样本量下也能够得到较为稳健的估计结果。
这使得偏最小二乘估计在一些数据较少的情况下也能够得到较为可靠的分析结果。
2. 变量的选择：在使用偏最小二乘估计时，需要注意选择合适的独立变量和因变量。
通常情况下，选择高度相关性的独立变量作为综合变量的构建对象，能够更好地减少共线性的影响。
3. 模型的验证：在使用偏最小二乘估计时，需要对模型进行充分的验证和检查，以确保模型的稳健性和预测能力。
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偏最小二乘法 1.1 基本原理偏最小二乘法（PLS ）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归（PCR ）更进了一步，两者的区别在于PLS 法将浓度矩阵Y 和相应的量测响应矩阵X 同时进行主成分分解：X=TP+E Y=UQ+F式中T 和U 分别为X 和Y 的得分矩阵，而P 和Q 分别为X 和Y 的载荷矩阵，E 和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X 和Y 时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子。
同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T 和U 矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T 和特征浓度矩阵U 进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B ：B=(T T T -1)T T U因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y 和矩阵X 的主成分分解以及对关联矩阵B 的计算。
1.2主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相关的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n 个样本包含p 个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：A n×m =C n×pB p×m如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。
换句话说，光谱A 表示在由p 个波长构成的p 维变量空间的一组点（n 个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
这条直线其实就是纯光谱b 。
因此由m 个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。
如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用b1，b2表示，则有：1122T T Ti i i a c b c b =+有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴b1,b2来表示。
因此可以推出，如果混合物由p 个组分组成，那么混合物的光谱就可由p 个主成分轴的线性组合表示。
因而现在的问题就变成了如何求解这些主成分轴。
而寻找这些坐标轴的基本原则是使新坐标轴包含原数据的最大方差。
即沿着新坐标轴的方向，使方差达到最大。
而其他方向，使方差达到最小。
从几何角度看，就是变量空间中所有的点到这个新坐标轴的距离最短。
以二维空间的为例说明如何寻找主成分坐标轴。
变量空间的每一个数据点（一个样本）都可以用通过该点与坐标原点的一个矢量x i 表征。
x2x1上图中直角三角形的三个边长分别以a,b,c 表示，那么这n 个点到第一个主成分轴v 1距离的平方和可以通过勾股定理与矢量点积得出：22211()n ni i i i i b c a ===-∑∑因为2||||i i c x =与 11||||||||cos T i i x v x v θ=⋅⋅，所以222111(||||())n nT iii i i b x x v ===-∑∑22111||||()nnT i i i i x x v ===-∑∑21111||||()()nnTT i i i i i x v x x v ===-∑∑2111||||nT T i i x v X Xv ==-∑ min 上式等价于11TT v X Xv max （最大特征值λ）上式中v 1表示第一个主成分轴矢量，即第一个特征矢量，所对应的最大值称为特征值，用λ1表示。
从上面推导看出，寻找主成分轴就是求X 矩阵的协方差矩阵X T X 中的最大特征值（λi ）和特征向量（v i ）。
下面考虑变量数为m 的一般情况。
在m 为空间中新变量可以表示为：11111221221122221122i i i m im i i i m im im m i m i mm imu v x v x v x u v x v x v x u v x v x v x =+++=+++=+++其中系数矩阵V 为V =1112121221112m m m mmv v v v v v v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦用u 和x 分别表示新变量和原始矢量，则12i i im u u u u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12i i im x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦u V x =⋅上述m 维主成分系数必须满足下面两个条件（1） 正交条件：任意两个主成分u k 、u r ，其系数的乘积之和为0。
11220k r k r km rm v v v v v v +++=（2）归一化条件：对于任一主成分系数的平方和等于1。
222121k k km v v v +++=满足这两个条件的矩阵，称之为正交矩阵。
正交矩阵具有如下性质：1,T T V V I V V -==1.3 矩阵的主成分分解根据特征向量和特征值的定义,1,2,,T T i i i v X Xv i m λ== (*)同时令X 的协方差矩阵为T Z X X =(*)式两边同时左乘v i ，有,1,2,,i i i Zv v i m λ==主成分系数矩阵V 也可写为12(,,,)m V v v v =因此可得{}i ZV V diag λ=⋅其中{}i diag λ表示一个对角矩阵，即对角线元素为i λ，非对角线元素为0的矩阵。
上式两边同时左乘V T ，得{}T i V ZV diag λ=(){}T T T T i V ZV V X XV XV XV diag λ===令T XV =,则上式变为{}T i T T diag λ=将式T XV =右乘1V -得T X TV =上式是矩阵X 的主成分分解的一种表达式，由上式得求解T 和V 的方法1()T T T V T T T X -= 1()T T XV V V -=依据矩阵乘法规则即可获得矩阵V 和T 中每一个矢量的计算公式：/,/T T T Tj j j j j j v t X t t t Xv v t ==根据上面两个公式可以设计主成分分解的迭代法算法如下：(1) 取X 中任意一列作为起始的t 。
(2) 由此t 计算：/TTTv t X t t =(3) 将v T 归一化：/T T Tnew old oldv v v = (4) 计算新的t ：/Tt Xv v v =(5) 比较步骤4所得的t 和上一步的t 。
若二者相等（在给定的误差范围内），则按（Tt t λ=）计算特征值，转第六步继续进行；否则返回第二步继续迭代。
(6) 从Y 中减去Tt v ⋅的贡献：TX X t v =-⋅。
返回1，继续运行，直到最后Y 趋近于零。
从理论上讲，在m 空间中，可以获得m 个主成分。
但是在实际应用中一般只取前几个对方差贡献最大的主成分，这样就使高维空间的数据降到低维，如二维或三维空间，非常有益于数据的观察，同时损失的信息量还不会太大。
取前p 个主成分的依据为比率(%)11/p miii i λλ===∑∑一般推荐，比率(%)≥80% 1.4偏最小二乘法算法(1) 矩阵X 和Y 的标准化处理(2) 取Y 中任意一列赋给作为起始的u 对于X 矩阵 (3) w T =u T X/u T u(4) 归一化：/||||T T Tnew old old w w w =(5) 计算新的t ：t=Xw/w T w 对于Y 矩阵 (6) q T =t T Y/t T t(7) 归一化：/||||T T Tnew old old q q q =(8) u=Yq/q T q 收敛判据：(9) 将步骤8所得的u 与前一次迭代的结果相比较，若等于（在允许误差范围内）,到步骤10，否则返回3。
(10) p T =t T X/t T t(11) 归一化：/||||T T Tnew old old p p p =(12) t new = t old ·|| p old ||(13) /||||T T Tnew old old w w p =计算回归系数b 以用于内部关联： (14) b=u T t/t T t 对于主成分h 计算残差： (15) 1Th h h h E E t p -=-(16) 1Th h h h h F E b t wq -=-之后回到步骤(2),去进行下一主成分的运算，直到残差趋近于零。
未知样品预测(17) 如校正部分，将X 矩阵标准化 (18) h=0，y=0(19) h=h+1,T h h t XW =,T h h h y y b t wq =+,Th h x x t p =-(20) 若h>a(主成分数)，到步骤(21)。
否则返回步骤(19)(21) 得到的Y 已经标准化，因此需要按标准化步骤的相反操作，将之复原到原坐标注意的是对预测集进行标准化处理的时，使用的是训练集的均值和标准偏差。
因此，在进行反标准化操作时，使用的也应该是训练集的均值和标准偏差。
1.5 程序框图与程序代码程序框图：用C语言编制的PLS程序源代码：C语言的源程序的各函数和功能如下：data_input(); /*数据的输入*/data_standardization (); /*数据的标准化*/pctest() /*在主成分分解时判断t 的收敛*/ principalcomponent(); /*主成分分解*/factornum(); /*确定必要的主成分分数*/ normaleq(); /*正规方程的建立*/test(int k) /*迭代求解系数矩阵的收敛检验*/ iteration(); /*迭代法求解*/predict(); /*未知样品预测*/bias(); /*计算预测标准偏差*/report(); /*输出结果*/main(argc,argv) /*主函数*/PLS程序源代码#include<stidio.h>#include<math.h>#include<io.h>#include<stdlib.h>#define N 25#define M 11#define L 4#define TN 8#define H 5FILE *infp,*outfp;double train_x[N][M], train_y[N][L];double test_x[TN][M], test_y[TN][L];double avg_x[M],std_x[M]；double avg_y[L],std_ y[L]；double error_value[TN][L]double u[N],new_u[N];doublesave_p[H][N],save_q[H][L],save_w[H][M],save_d[H];double predictvalue[TN][L],bias[L];void data_input() /*数据的输入*/{ int i,j;for(j=0;j<M;j++)for(i=0;i<N;i++)fscanf(infp,“%lf”，&train_x[i][j]);for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<L;j++)fscanf(infp,“%lf”，&train_y[i][j]);for(j=0;j<M;j++)for(j=0;j<L;j++)new_u[i]+=train_y[i][j]*q[j];new_u[i]/=sq;}mask=pctest();}while(mask);for(j=0;j<L;j++)save_q[ih][j]=q[j];for(st=0,i=0;i<N;i++)st+=t[i]*t[i];for(j=0;j<M;j++){p[j]=0.0;for(i=0;i<N;i++)p[j]+=t[i]*train_x[i][j]；p[j]/=st;}for(sp=0,j=0;j<M;j++)sp+=p[j]* p[j];sp=sqrt(sp);for(j=0;j<M;j++){ p[j]/=sp;save_p[ih][j]=p[j];}for(i=0;i<N;i++)t[i]*=sp;for(i=0;i<M;i++){ w[i]*=sp;save_w[ih][i]=w[i];for(i=0;i<TN;i++)fscanf(infp,“%lf”，&test_x[i][j]);for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++)fscanf(infp,“%lf”，&test_y[i][j]);fclose(infp);}void data_standardization () /*数据的标准化*/{int i,j;for(j=0;j<M;j++){ avg_x[j]=std_x[j]=0.0;for(i=0;i<N;i++)avg_x[j]+=train_x[i][j];avg_x[j]/=N；for(i=0;i<N;i++)std_x[j]+=pow((train_x[i][j]-avg_x[j]),2); std_x[j]=sqrt(std_x[j])/(N-1);}for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<M;j++)train_x[i][j]= (train_x[i][j]-avg_x[j])/std_x[j]; for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<M;j++)train_x[i][j]= (train_x[i][j]-avg_x[j])/std_x[j]; for(j=0;j<L;j++){ avg_y[j]=std_y[j]=0.0;for(i=0;i<N;i++)avg_y[j]+=train_y[i][j];avg_y[j]/=N;for(i=0;i<N;i++)std_y[j]+=pow((train_y[i][j]-avg_y[j]),2); std_y[j]=sqrt(std_y[j])/(N-1);}for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<L;j++)train_y[i][j]= (train_y[i][j]-avg_y[j])/std_y[j]; }pctest() /*检验收敛*/{ int i,j;double count=0.0;for(i=0;i<N;i++){ count+=pow((new_u[i]-u[i]),2);}for(st=0,i=0;i<N;i++)st+=t[i]*t[i];for(b=0,i=0;i<N;i++)b+=new_u[i]*t[i]；b/=st;save_d[ih]=b;for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<M;j++)train_x[i][j]-=t[i]*p[j];for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<L;j++)train_y[i][j]-=b*t[i]*q[j];ih++;}while(ih<H);}predict() /*计算校正集的浓度*/ {int i,j,k;double pt[TN]for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++)predictvalue[i][j]=0.0;for(k=0;k<H;k++){ for(i=0;i<TN;i++){ pt[i]=0.0;for(j=0;j<M;j++)pt[i]+=test_x[i][j]*save_w[k][j];}for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++)predictvalue[i][j]+=save_d[k]*pt[i]*save_q[k][j]; for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<M;j++)test_x[i][j]-=pt[i]*save_p[k][j];}for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<M;j++)test_x[i][j]-=pt[i]*save_p[k][j];}for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++){ predictvalue[i][j]*=std_y[i];predictvalue[i][j]+=avg_y[j];}}statistics() /*计算结果评估*/u[i]=new_u[i];}count=sqrt(count);if(count<1e-12)return 0;elsereturn 1;}calibration() /*模型的建立*/{ int i,j,ih,mask;double su,sw,st,sq,sp,b;double t[N],w[M],p[M],q[L];ih=0;do{ for(i=0;i<N;i++)u[i]=train_y[i][l];do{ for(su=0,i=0;i<N;i++)su+=u[i]*u[i];for(j=0;j<M;j++){ w[j]=0.0;for(i=0;i<N;i++)w[j]+=u[i]*train_x[i][j];w[j]/=su;}for(sw=0,j=0;j<M;j++)sw+=w[j]*w[j];sw=sqrt(sw);for(j=0;j<M;j++)w[j]/=sw;for(sw=0,j=0;j<M;j++)sw+=w[j]*w[j];for(i=0;i<N;i++){ t[i]=0.0;for(j=0;j<M;j++)t[i]+=train_x[i][j]*w[j];t[i]/=sw;}for(st=0,i=0;i<N;i++)st+=t[i]*t[i];for(j=0;j<L;j++){ q[j]=0.0;for(i=0;i<N;i++)q[j]+=t[i]*train_y[i][j];{ int i,j;for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++)error_value[i][j]=test_y[i][j]-predictvalue[i][j]; for(j=0;j<L;j++){ bias[j]=0.0;for(i=0;i<TN;i++)bias[j]/=TN;bias[j]=sqrt(bias[j]);}}report() /*输出结果*/{ int i,j;fprintf(outfp,“预测的浓度值为：\n”);for(i=0;i<TN;i++)for(j=0;j<L;j++)fprintf(outfp, “%9.4lf”, predictvalue[i][j]);fprintf(outfp,“\n”);}fprintf(outfp,“预测结果的误差为：\n”);for(i=0;i<TN;i++){for(j=0;j<L;j++)fprintf(outfp, “%9.4lf”, error_value[i][j]);}fprintf(outfp,“\n”);fprintf(outfp,“相对于各组分的校正标准偏差为\n”); for(i=0;i<L;i++)fprintf(outfp, “%10.4lf”, bias[i]);}void main(argc,argv)int argc；char*argv[];{ if(argc!=3){ printf(“you’v forgot enter a filename.\n”);exit(1);if((infp=fopen(argv[1],“r”))==0{ printf(“can’t open data file\n”);q[i]=/st;}for (sq=0, j=0;j<L;j++)sq+=q[j]*q[j];sq=sqrt(sq);for(j=0;j<L;j++)q[j]=/sq;for (sq=0, j=0;j<L;j++)sq+=q[j]*q[j];for(i=0;i<N;i++){ new_u[j]=0.0;exit(1);}if((outfp=fopen(argv[2],“w”)) = = 0){ printf(“can’t open output file\n” ); exit(1);data_input();data_standardization(); calibration();predict();statistics();report();}。