选修4-4坐标系与参数方程

选修4－4⎪

⎪⎪

坐标系与参数方程

第一节 坐 标 系

突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用

下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例] 求椭圆x 2

4

＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝12x ，y ′＝y

后的曲线方程．

[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝12x ，

y ′＝y

得到⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2x ′，

y ＝y ′.①

将①代入x 24＋y 2

＝1，得4x ′2

4

＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2

＝1.

因此椭圆x 2

4＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2

＝1. [方法技巧]

应用伸缩变换公式时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式

本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.

⎩

⎪⎨

⎪⎧

X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．

(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x ，

2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，－2经过φ

变换所得的点A ′的坐标．

2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x ，

2y ′＝y

变换后所得到的直线l ′的方程．

3．求双曲线C ：x 2

－y 2

64＝1经过φ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x ，

2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．

4．将圆x

2

＋y 2

＝1变换为椭圆x 29＋y 2

4＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩

⎪⎨

⎪⎧

X ＝ax (a >0)，

Y ＝by (b >0)，求

a ，

b 的值．

突破点(二) 极坐标系

基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

(3)点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．

2．极坐标与直角坐标的互化

1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤

2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标

(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．

(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：

第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ； 第二步，根据角θ的正切值tan θ＝y

x

(x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．

[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2

2.

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．

[方法技巧]

1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点

(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．

(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．

极坐标方程的应用

[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2

－22ρcos ⎝⎛⎭

⎫θ＋π4－2＝0.

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .

(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．

[易错提醒]