椭圆题型总结较难

椭圆题型总结
一、焦点三角形
1. 设F 1、F 2是椭圆12
322
=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。

（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，
根据椭圆的定义，1||AF m =
，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得
22
22)44cos )44cos m m m n n n αα
⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，
∴m =
n =
∴1
1211
||||2()sin 22
F AB B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+
α=
=令sin t α=，所以01t <≤，∴2
1()22t g t t t t
=
=++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2
πα=
时，max 1()3
g t =，故1ABF △
（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2
+3y 2
=6联立，消x 得 (2m 2
+3)y 2
+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则
Δ=48(m 2
+1)
1ABF S ∆=|y 1-y 2
|=
2
23
m +
=
令 t=m 2
+1≥1，m 2
=t-1， 则1ABF S ∆
=
t ∈[1,+∞) f(t)=144t t
++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1。

注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，
即m=0的时候。

在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。

2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
，求点P 的坐标.
解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =225a c -=，所以椭圆的
方程为22
1.95
x y += (2) 由2
,1cos PM PN MPN
=
-得cos 2.PM PN MPN PM PN =-①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，
4,MN =由余弦定理有222
2cos .
MN PM PN PM PN MPN =+-②
将①代入②，得2
2
242(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222
5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得33,5.
2
x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩
即P 点坐标为335335335335
(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.
二、点差法
定理在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN
的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00a
b x y k MN -=⋅.
3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆22
13616
x y +=于两点P 1、P 2，
（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹． 解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116
36116362
222
2
121y x y x ⇒
016
)
)((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*
∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436
)(22121=-+-y y x x ，即9
22
121-=--x x y y 。

∴l 的方程为2)1(9
2+--=x y ，即2x +9y -20=0． （2）设P 1P 2的中点M (x ，y )，则x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
代入*式，得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2)，∴2
1
y k x -=-，
整理，得4x (x -1)+9y (y -2)=0，∴P 1P 2的中点的轨迹：22
1
()(1)2151029
x y --+=。

4. 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 有两个不同的交点P 和Q.
（1）求k 的取值围；
（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与
共线？如果存在，求k 的取值围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线l 的方程为.2+
=kx y
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.
12,
222y x kx y 得：.0224)12(2
2=+++kx x k 直线l 与椭圆
1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜2
2-
或k ＞22.
∴k 的取值围是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22
22, . （2）在椭圆12
22
=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A
设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM =
由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+ OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.
12
00y x =
-∴
，从而.2
200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：21
22-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知2
2
=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .
三、最值问题
5. 已知P 为椭圆2
214
x y +=上任意一点，M （m ，0）（m ∈R ），求PM 的最小值。

目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。

提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。

解：设P(x,y)，PM=2
2
()x m y -+=22
()14x x m -+-=2
3214
x mx -+
=2
234()1433
m m x -+-，x ∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得 （1）
43m <-2，即m<3
2
-时，(PM)min =|m+2|； （2）-2≤43m ≤2,即32-≤m ≤32
时，(PM)min =293m -；
（3）
43m >2，即m>3
2
时，(PM)min =|m-2|. 说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b ，最远的点是长轴端点，最大值为a ；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c ；
6. 在椭圆2
214
x y +=求一点P ，是它到直线l ：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般
处理方法。

提示：（1）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直
线l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。

解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2214x y +=相切，则22
20
1
4
x y m x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得8y 2+4my+m 2
-4=0, Δ=0,解得
m=±当
m=P 与直线l
=，此时点P 的
坐标是
(
,)； 当
m=-P 与直线l
，此时点P 的
坐标是。

解法二：设椭圆上任意一点P(2cos θ,sin θ),θ∈[0,2π)
则P 到直线l
)10π
θ++
∴当θ=
4
π时，P 到直线l
的距离最大，最大为此时点P 的坐标是
)；
当θ=54
π时，P 到直线l
的距离最小，最小为，此时点P 的坐标是
(
)。

说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。

在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值围问题是一个不错的选择。

7. 设AB 是过椭圆22
1925
x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF 1面积为
，求直线AB 的方程；（2）求△ABF 1面积的最大值。

解：（1）设AB ：y =kx ，代入椭圆221925x y +=，得x 2=211925
k
+=2
225
259k +，∴x 1=-x 2
又，S △ABF 1=1
2
|OF 1|·|x 1-x 2|=2|x 1-x 2
|=4，∴|x 1-x 2
|=2， ∴
2
225
259k
+=5，∴k
=，∴直线AB 的方程为y
=x 。

（2）S △ABF 1=
1
2
|OF 1|·|x 1-x 2|=4
，∴当k =0时，(S △ABF 1)Max =12。

▋
8. （2014金山区一模23题）已知曲线)0>>(1=+:1b a b
y
a x C 所围成的封闭图形的面积为54，曲线
1C 的切圆半径为
3
5
2. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点. （1）求椭圆2C 的标准方程；
（2）若OA m MO =（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.
【解答】：(1)C 1是以(–a ，0)、(0，–b )、(a ，0)、(0，b )为顶点的菱形，故，…2分
又a >b >0，解得：a 2
=5，b 2=4，因此所求的椭圆的标准方程为
；……4分
(2)假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y=kx (k ≠0)，A (x A ，y A )，
令，得，，|OA |2=
，…………6分
设M (x ，y )，由题意得：|MO |2
=m 2
|OA |2，(m >0)，即：
，
因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得：
，又x 2
+y 2≠0，整理得：
(m >0)，……9分
当k =0或斜率不存在时，上式仍然成立，
综上所述，点M 的轨迹方程为(m >0)…………………10分
(3) 当k 存在且不为零时，由(2)得：，，|OA |2=
，
由，得：，，|OM |
2
………13分
|AB |2
=4|OA |2=
，故=………14分
≥==，当且仅当4+5k 2
=5+4k 2
时，即k =±1时，等号成立，
此时△ABM 的面积的最小值为．…………………16分
当k =0时，==>，当k 不存在时，==>，综上所述，
△ABM 的面积的最小值为．……………………………18分
9. 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若6ED DF =，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．
（1）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．
如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22
(14)4k x +=，故212
14x x k
=-=
+．①
由6ED DF =知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =
+==
； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k
=+
．所以212k =
+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =
或3
8
k =． （2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别
为
1h =
=
2h =
=
又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为
121()2S AB h h =+1
5
2
5(14k =
+=
=≤ 当
21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为解法二：由题设，1BO =，2AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S
S S =+△△222x y =
+=
=
=
当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为
四、垂直关系
10.（春季）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(10)F ，，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。

(1) 若112F B B △为等边三角形，求椭圆C 的方程；
(2) 若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11
F P FQ ⊥，求直线l 的方程。

解：（1）设椭圆C 的方程为
22
2
21x y a b
+=（0a b >>）。

根据题意知22
21
a b a b =⎧⎨-=⎩，解得243a =，21
3b =，故椭圆C 的方程为2214133
x y +=。

（2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=。

当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。

由22
(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。

设11()P x y ，，22()Q x y ，，则2122421k x x k +=+，21222(1)
21
k x x k -=+，111(1)F P x y =+，，1
22(1)FQ x y =+，， 因为11F P FQ ⊥，所以11
0F P FQ ⋅=，即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--
2
2
2
1212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021
k k -==+，
解得21
7
k =
，即k =
故直线l
的方程为10x +-=
或10x -=。

11. 如图，设椭圆12
22
=+y x 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l
使得F 为BMN △的垂心。

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

解：由已知可得，B (0，1)，F (1，0)，∴k BF =-1。

∵BF ⊥l ，∴可设直线l 的方程为y =x +m ， 代入椭圆方程整理，得2234220x mx m ++-=。

设11()M x y ，，22()N x y ，，
则1243
m
x x +=-
，212223m x x -=。

∵BN ⊥MF ，∴1212
1
11y y x x -⋅=--，即1212120y y x x y x +--=。

∵11y x m =+，22y x m =+，∴121212()()()0x m x m x x x m x +++-+-=。

即212122(1)()0x x m x x m m +-++-=，
∵222242(1)()033m m m m m -⋅+-⋅-+-=，∴2
340m m +-=，∴43
m =-或1m =。

由222(4)12(22)2480m m m ∆=--=->，得23m <
又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴4
3m =-，
故存在直线l ：4
3
y x =-满足题设条件。

F
B
N
M
l
O x
y
12. （2012年高考（理））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且。

当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H 。

是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。

解析：
（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m
=。

①
因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=。

②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2
22 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且。

因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以
当
01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当
1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,。

（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得
222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=。

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得
21122244k x x x m k -+=-
+，即21
2
22
4m x x m k =+。

因为点H 在直线QN 上，所以21
21222
224km x y kx kx m k -==+。

于是11(2,2)PQ x kx =--，2211
21212222
42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k
m k
=--=-++。

而PQ PH ⊥等价于222122
4(2)04m k x PQ PH m k
-⋅==+， 即
220m -=，又0m >，得m =
故存在m 2
212
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥。

∀y 1)y ， 22⎩222221212()()0m x x y y -+-=。

③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠。

于是由③式可得212121212()()()()
y y y y m x x x x -+=--+。

④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121
12
2y y y x x x +=+。

于是由④式可得2
11212121121212()()12()()
2
PQ PH y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+。

而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ⋅=-，即2
12
m -=-，又0m >，得m
故存在m 2
212
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥
13. （10/21）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2
22:1x C y m +=，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
(1) 当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
(2) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆，数m 的取值围.
【解】（Ⅰ）因为直线:l 202m x my --=经过2F 2
2
m =
，得22m =， 又因为1m >，所以m =
，故直线l 的方程为10x -=.
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y
由2
22221m x my x y m
⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得：22
2104m y my ++-=
则由22
2
8(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282
m m y y y y +=-⋅=-
图2 (01)m <<
图3 (1)m >
图1
由于12(,0),(,0)F c F c -，由重心坐标公式可知1122(,),(,)3333
x y x y G H .222
1212()()99x x y y GH --=+
设M 是GH 的中点，则1212
(
,)66
x x y y M ++，由题意可知2MO GH < 即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+
，即12120x x y y +< 而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1()82m m =+-），所以21082m -<，即24m <
又因为1m >且0∆>，所以12m <<，所以m 的取值围是(1,2).
14. （09/22）设椭圆E ：22
221x y a b
+=（a ，b >0）过M (2
，N
，1)两点，O 为坐标原点.
(1) 求椭圆E 的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，
B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值围；若不存在，说明理由.
【解】（Ⅰ）因为椭圆E ：22
221x y a b
+=（a ，b >0）过M （2
），N
，1)两点，
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得2211
8
114a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，所以2284a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆E 的方程为22184x y +=.
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，
解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩，得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=， 2
2
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++2222222
222
(28)48121212k m k m m k m k k k --=-+=
+++ 即222
22
28801212m m k k k --+=++，所以223880m k --= 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r =，222
228381318
m m r m k ===-++
，∴r b <
此时圆228
3
x y +=都在椭圆的部，所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且OA OB ⊥.
而当切线的斜率不存在时，切线x =
与椭圆22
184x y +=的两个交点为(
，)或
(，，满足OA OB ⊥. 综上，存在圆心在原点的圆228
3x
y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥.
12||AB x x =-=
=
①当0k ≠
时||AB =
221
448k k ++≥
所以221
101844k k <
++≤，所以2
232321
[1
]1213344
k k
<
+++≤，
||AB ≤
2
k =±
时取“=”. ②当0k =时，||AB 而当AB 的斜率不存在时，两个交点为，)或
(
，)，所以此时||AB =，
综上，|AB |
【另解】对于求||AB 如图，设AOT θ∠=，则cot AB θ+tan AT OT
θ=
=
所以当tan 1θ=时，|AB 当tan θmax ||AB =
五、存在性问题
15. 以椭圆)1
(1
2
2
2
>
=
+a
y
a
x的短轴的一个端点)1,0(B为直角顶点作椭圆的接等腰直角三角形，问这样的
直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请说明理由.
解：①过点)1,0(B分别作斜率为1±的直线，必与椭圆1
2
2
2
=
+y
a
x各另有一交点N
M,，则BMN
∆即为所求的等腰直角三角形，故这样的接等腰直角三角形至少有一个；
②如除了(1)给出的接等腰直角三角形外，还存在其他的接等腰直角三角形，那么设直线1
:
1
+
=kx
y
l，1
1
:
2
+
-
=x
k
y
l，)1
,0
(≠
>k
k，则
1
l与
2
l均过点)1,0(B，且互相垂直，
1
l与
2
l与椭圆分别交于F
E，，
⎩
⎨
⎧
+
=
=
-
+
1
2
2
2
2
kx
y
a
y
a
x
⇒0
2
)
1(2
2
2
2=
+
+kx
a
x
k
a⇒)
1
1
,
1
2
(
2
2
2
2
2
2
2
k
a
k
a
k
a
k
a
E
+
-
+
-.
用
k
1
-代k，得)
1
1
1
1
,
1
1
1
2
(
2
2
2
2
2
2
2
k
a
k
a
k
a
k
a
F
+
-
+
⇒)
,
2
(
2
2
2
2
2
2
2
a
k
a
k
a
k
k
a
F
+
-
+
2
2
2
2
2
2
2
2]
1
2
)[
1(
)
1(
|
|
k
a
k
a
k
x
k
BE
E+
-
+
=
+
=，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2]
2
)[
1(
]
2
[
1
)
1
1(
|
|
a
k
a
k
a
k
k
a
k
k
x
k
BF
F+
+
=
+
+
=
+
=
∵1
,0≠
>k
k，∴|
||
|BF
BE=⇔
2
2
2
2
2
22
1
2
a
k
a
k
a
k
a
+
=
+
⇔2
2
2
31k
a
k
a
k+
=
+
⇔1
1
)1
(
)1
)(1
(
12
2
3
2+
+
=
-
+
+
-
=
-
-
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a.
由1
,0≠
>k
k得，3
2>
a⇒3
>
a，由于椭圆关于y轴对称，故当3
>
a时，还存在斜率1
±
≠
k的接等腰直角三角形两个.
综合：①当13
a
<≤1），②当3
>
a时，可作出三
F 2
F 1
y
x
P Q
O
个椭圆的接等腰直角三角形（图2）.
16. （2015虹口二模）已知圆1
F ：
2
2
(1)8x y ，点2F (1,0)，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分
线交
1
QF 于点P .
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设M N 、分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=,
O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；
(3)过点
1
(0,)
3S -的动直线l 交曲线C 于A B 、两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆 恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为
2
QF 的垂直平分线交
1
QF 于点P .所以
2PF PQ
=，从而
1211
12222,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>=
所以，动点P 的轨迹C 是以点
12
F F 、为焦点的椭
圆. ……3分
设椭圆的方程为122
22=+b y a x ，则22,222==c a ，
1222=-=c a b ，
故动点P 的轨迹C 的方程为2
21
2x y += ……5分
(2)设
1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)
a b a b >><<，则
2222112222,22
a b a b +=+=①
因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+=②
由①、②解得
11221
5,,2
448a b a b =
==-=- ……8分
所以直线MN 的斜率
MN
k 2121b b a a -=
=
- . ……10分
(3)设直线l 的方程为1,3y kx =-则由2
21312y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22
9(21)12160,k x kx +--=
由题意知，点1
(0,)
3S -在椭圆C 的部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则
1212
22416
,.3(21)9(21)k x x x x k k +=
=-++……12分
假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-
因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以
1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=即
1212()()0
()
x x y m y m +--=*……14分
因为
112211,,
33y kx y kx =-=-故()*可化为 2
121212221212()121
(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++
22
22222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)
k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++
++-++-=
+
由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立，故2
2
10
,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪
⎩解得1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). ……16分
17. （2015嘉定二模）已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，
过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且12220F F F D +=。

（1）求证：△21F BF 是等边三角形；
（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；
（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点。

在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

（1）设)0,(0x D （00<x ），由)0,(2c F ，),0(b B ，故),(2b c F -=，),(0b x BD -=， 因为BD B F ⊥2，所以020=--b cx ，（1分）
c b x 2
0-=，故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=0,22c c b F ，（2分） 又)0,2(21c F F =，故由02221 =+F F F 得032
=-c
b c ，所以，223c b =。

（3分） 所以，3tan 12==
∠c
b
F BF ，︒=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形。

（4分） （2）由（1）知，c b 3=，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -，（1分） 又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，（3分） 所以，
c c 22
|
3|=--，1=c ，3=b ，2=a ，
（5分） 所求椭圆C 的方程为13
42
2=+y x 。

（6分） （3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为： )1(-=x k y ，0≠k 。

（1分） 由22(1)
143
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，（2分）
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有2
221438k k x x +=+，22214312
4k k x x +-=，（3分） 由题意，11(,)M x y -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=
，
所以直线QM 的方程为
1
21
121y y y y x x x x ++=
--，（4分） 令0=y ，得)
1()1()1()1()(121
221121*********-+--+-=
++=++-=
x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y x k x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2)()(2212121-++-=x x x x x x 2
4384384312422
222
22-++-+-⋅=k k k k k k 46
24=--=。

（5分） 即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(。

所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线。

（6分）
（注：若设0(,0)N x ，由M 、Q 、N 三点共线，得01
110
22
11
=-x y x y x ， 得2
11
2210y y y x y x x ++=。

）
六、定点或定直线问题
18. 已知椭圆方程为22
142
x y +=，当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上
取点Q
=Q 总在某定直线上
解：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB
QB
λ=
=
，则0λ>且1λ≠
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP PB λ=-，AQ QB λ=， 于是1241x x λλ-=
-，1211y y λλ-=-，121x x x λλ
+=+，121y y y λλ+=+。

从而222
12
2
41x x x λλ
-=-，（1）222
12
2
1y y y λλ
-=-，（2）
又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,
(3)x y +=22
2224,
(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x +2y =4， 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上。

19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2
，短轴长为
(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则
22222,
2,
c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．……… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m
⎧⎪
+=⎨⎪=+⎩消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=………… 6分
由题意△()(
)()2
2
2
84344120km k
m
=-+->，整理得：22340k m +->① …………7分
设()()1122,,M x y N x y 、，则122
834km
x x k +=-+，212241234m x x k -=+……… 8分
由已知，AM AN ⊥，且椭圆的右顶点为A (2,0)，∴()()1212220x x y y --+=………… 10分 即
()()()2
2
12
1
2
1240k x x km x x m
++-+++=，也即
()()22
222412812403434m km
k km m k k
--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =-或27
k
m =-
，均满足①…………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去； 当27k m =-
时，直线l 的方程为27y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，过定点2(,0)7，
故直线l 过定点，且定点的坐标为2
(,0)7
． ……………………… 13分
20. 在直角坐标系xOy 中，点M 到F
1(、F
20)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． (1) 求轨迹C 的方程；(2) 当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：（1）∵点M
到(
，0)的距离之和是4，
∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为2
214
x y +=…………………3分 （2）将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得2
2
2
(14)8440k x kbx b +++-=…………………5分
因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，
所以22
2
2
2
2
644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+>．①
设1122()()P x y Q x y ，，，，则122
814kb
x x k +=-+，21224414b x x k -=+． ②………7分
且2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++．③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点(2,0)A -，
所以11(2,)AP x y =+，22(2,)AQ x y =+，由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=，………………………10分 所以(2)(65)0k b k b --=，即2b k =或6
5
b k =．经检验，都符合条件①． 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．
显然，此时直线l 经过定点(2,0)-点．即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65
b k =
时，直线l 的方程为65()56y kx k k x =+=+．显然，此时直线l 经过定点6
(,0)5-点，且不过点
A ．
综上，k 与b 的关系是：65
b k =
，且直线l 经过定点6
(,0)5-点．…………13分。