垂直平分线的作图方法

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垂直平分线的作图顺序

①以A为中心，用圆规画出圆弧

②以B为中心，画出与①半径相同的圆弧

③连接交点

看到这张图，大家都觉得很熟悉吧？但是，为什么可以用这个方法画出垂直平分线，恐怕没几个人说得上来。其实也不怪大家，因为这个方法是初中1年级上半学期的知识点，那时候大家还不具备全面理解垂直平分线原理的能力。

你能与以前学过的知识在此重聚，也算是一种缘分，既然如此，

我们就重新温习一下其中的原理吧。

【证明】

假设上图中的AP=BP、AQ=BQ。

在△APQ和△BPQ中，

AP=BP（假设）

AQ=BQ（假设）

PQ在一条直线上

由于三条边都相等，所以△APQ和△BPQ全等（关于三角形的全等条件，后面会详细说明）。

全等图形对应的角度是相等的，因此，

∠APQ=∠BPQ

接下来，看△APM和△BPM，

AP=BP（假设）

∠APM=∠BPM（∠APQ=∠BPQ）

PM在一条直线上

因为两边夹角相等，所以△APM和△BPM也全等。

全等三角形对应的边和角度是相等的，因此，

AM=BM ……①

∠AMP=∠BMP……②

由于∠AMB=180°，所以，

∠AMP+∠BMP=180°……③

根据①可得知，M是中点。

将③代入②，

综上所述，直线PQ是线段AB的垂直平分线。

（完）

我们再回顾一下刚才的作图方法。设①和②的交点为P和Q，还是用①和②，证明出AP=BP、AQ=BQ。

另外，我们通过逆证明可以得知，线段的垂直平分线上的任意一点，到线段两端的点（图中的A和B）之间的距离是相等的。

垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这个线段的两个端点的距离相等。

这一性质非常重要，可以帮助你理解学到的等腰三角形和三角形外心的概念。

垂直平分线的作图方法

垂直平分线的作图方法展开全文垂直平分线的作图顺序 ①以A为中心，用圆规画出圆弧 ②以B为中心，画出与①半径相同的圆弧 ③连接交点看到这张图，大家都觉得很熟悉吧？但是，为什么可以用这个方法画出垂直平分线，恐怕没几个人说得上来。其实也不怪大家，因为这个方法是初中1年级上半学期的知识点，那时候大家还不具备全面理解垂直平分线原理的能力。你能与以前学过的知识在此重聚，也算是一种缘分，既然如此，

我们就重新温习一下其中的原理吧。【证明】假设上图中的AP=BP、AQ=BQ。在△APQ和△BPQ中， AP=BP（假设） AQ=BQ（假设） PQ在一条直线上由于三条边都相等，所以△APQ和△BPQ全等（关于三角形的全等条件，后面会详细说明）。全等图形对应的角度是相等的，因此， ∠APQ=∠BPQ 接下来，看△APM和△BPM， AP=BP（假设）

∠APM=∠BPM（∠APQ=∠BPQ） PM在一条直线上因为两边夹角相等，所以△APM和△BPM也全等。全等三角形对应的边和角度是相等的，因此， AM=BM ……① ∠AMP=∠BMP……② 由于∠AMB=180°，所以， ∠AMP+∠BMP=180°……③ 根据①可得知，M是中点。将③代入②，综上所述，直线PQ是线段AB的垂直平分线。（完）我们再回顾一下刚才的作图方法。设①和②的交点为P和Q，还是用①和②，证明出AP=BP、AQ=BQ。另外，我们通过逆证明可以得知，线段的垂直平分线上的任意一点，到线段两端的点（图中的A和B）之间的距离是相等的。垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这个线段的两个端点的距离相等。这一性质非常重要，可以帮助你理解学到的等腰三角形和三角形外心的概念。

三角形三边的垂直平分线及作图

北师版八年级数学下册教案第2课时三角形三边的垂直平分线及作图 1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点) 2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．一、情境导入现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？二、合作探究探究点一：三角形三边的垂直平分线【类型一】运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．解析：根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G 分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°. 方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【类型二】运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN ＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝ 8 3cm.

垂直平分线的定义和性质

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。垂直平分线的性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。巧计方法：点到线段两端距离相等。可以通过全等三角形证明。垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。等腰三角形的性质： 1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 ) 2、等角对等边

3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL 定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等． ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等． ∵点D在∠BAC的角平分线上， ∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DH，

线段垂直平分线知识点+经典例题

第三讲线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释: 1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”. 2121

人教版数学八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的作图教案

线段垂直平分线的性质(-) 三维目标 (一)知识与技能理解线段垂直平分线的性质，探索并掌握线段的垂直平分线的性质及证明方法，会用垂直平分线的性质解决相关数学问题． (二)过程与方法通过观察，独立思考，小组合作等探索过程，掌握线段垂直平分线的性质。 (三)情感态度与价值观通过在教学中让学生分组合作思考探索，培养学生的团结协作意识。教学重点探索线段的垂直平分线的性质及其证明方法。教学难点明确线段垂直平分线的性质并会将其灵活应用教学方法探索——交流——合作法教具准备多媒体演示教学过程一、复习旧知： 1、轴对称图形 2、线段的垂直平分线的定义 3、全等三角形的判定方法有几种？二、创设现实情境，引入新课 1、问题：如图A 、B 为两个超市，西飞二中八年级一班的同学们想去超市买个小霸王游戏机玩游戏PK 一下，已知CD 为线段AB 的垂直平分线，谭淏升同学在CD 上的点E 处，请问他到超市A 和超市B 的距离相等吗？【学生发现】EA=EB 、FA=FB 、GA=GB 【教师】给出猜想 A B

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【命题改写及证明过程】分析：[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程．遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示． [生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢． [师]谁有办法来解决此问题呢？ [生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表． [师]我觉得这位同学的做法很好．我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质． [师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：

垂直平分线的定义和性质

垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。垂直平分线的性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。巧计方法：点到线段两端距离相等。可以通过全等三角形证明。垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。等腰三角形的性质： 1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 )

2、等角对等边 3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等． ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等． ∵点D在∠BAC的角平分线上， ∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DH，

八(下)垂直平分线和角平分线尺规作图训练

垂直平分线和角平分线尺规作图训练 1. 已知线段AB. （1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写出作法) （2）在(1）中所作的直线上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN.求证：∠MAN=∠MBN 2. 已知:等腰三角形的底边a 及底边上的高b ，求作：等腰三角形ABC 。 b a 3。已知∠β为等腰三角形的一个内角,a 为腰长，求作等腰三角形ABC 。 β a 4。已知:如图,直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点。求作：点E ，使直线DE ∥AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等.（在题目的原图中完成作图）结论 :BE=DE 。

5。如图,在等腰直角三角形ABC 中，AB=BC ，∠B=36°。（1)用尺规作BC 边的垂直平分线,交AB 于点D ，连接CD 。（不写作法，保留作图痕迹） (2）求证:△ACD 为等腰三角形。 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠A=30°。 (1)尺规作图:作线段AB 的垂直平分线a(不写作法,保留作图痕迹） (2)在已作图形中，若a 分别交AB ，AC 及BC 的延长线于点D,E ，F,连接BE. 求证：EF=2DE 。 C B A 7。为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在北张镇新建一个医疗点P ，使我镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示）,请你用尺规作图的方法确定点P 的位置. 要求：写出已知、求作;不写作法，保留作图痕迹。村 B 村 A 8。作图题（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1∠AOB 内部求作一点P ，使PC=PD ，并且点P 到∠AOB 两边的距离相等。（2）如图2，进过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D 。做出平移后的△DEF 。图2 图1 A C B

《线段的垂直平分线的有关作图》教案

第2课时线段的垂直平分线的有关作图教学目标 ①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质． ②探索并理解线段垂直平分线的两个性质． ③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法． ④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．教学重点与难点重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．教学过程 Ⅰ、情境导入 1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴． 2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC 和△A'B'C'关于直线MN对称 ) 3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系? Ⅱ、自主探究探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A'关于直线MN对称．连结点 A，A'，交直线MN于点P．观察图形，线段AA'与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗? 类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗? 上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? 探究2：如图，木条MN与AB钉在一起，MN垂直平分AB，P1，P2， P3，……是MN上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A与B 的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗? 探究3:反过来PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？为什么？图图

线段的垂直平分线的作图4

《线段的垂直平分线的作图》教学设计一、教材分析本节课内容属于基本的尺规作图．教材将这部分内容安排在线段的垂直平分线的性质之后.是学生在学习了线段垂直平分线的性质和判定及用尺规作一条线段等于已知线段、经过已知直线外一点作这条直线的垂线等尺规作图的基础上，用尺规作图的方法作线段的垂直平分线．二、教学目标知识与技能目标：能用尺规作线段的垂直平分线．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．过程与方法目标：通过作图探究，进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．情感、态度与价值目标：培养学生的团队协作与探究精神，增强学生的数学学习兴趣. 三、教学重难点重点：作线段的垂直平分线．难点：作线段的垂直平分线的一般步骤中所包含的原理. 四、教学方法：讲授法、讨论法五、教具：电子白板、PPT课件六、教学设计（一）情境导入这节课我们一起来学习线段的垂直平分线的作图，那么学习它

有什么用处呢？下面我们先来简单复习一下师提问：1、轴对称的性质是什么？ 2、说一说线段垂直平分线的性质． 3、如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 4、有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ 5、不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？生思考，积极回答问题设计意图：回顾轴对称图形的性质及垂直平分线的性质和判定，为本节课的学习做铺垫.问题引入，激发学生的学习兴趣. （二）探索新知我们已能用尺规完成：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．那么利用尺规能解决线段垂直平分线作图问题吗？设计意图：通过回顾学过的尺规作图，让学生类比联想，从而产生作图思路. 例1如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ A B

八年级数学上册第15章15.2线段的垂直平分线教案新版

15.2线段的垂直平分线 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题; 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题. 【过程与方法】在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力. 【情感、态度与价值观】通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理. 【教学难点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明. ◇教学过程◇ 一、情境导入什么是线段的垂直平分线? 二、合作探究 (一)用尺规作线段的垂直平分线已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线. 作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点E,F. (2)过点E,F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线.

说明:因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点. (二)线段的垂直平分线的性质把准备好的方方正正的纸拿出来,按照如图进行对折,并比较对折之后的折痕EB和 EB',FB和FB'的关系. 结果:EB'=EB,FB'=FB. (三)线段的垂直平分线的判定先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理得出线段的垂直平分线的判定定理典例已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. [解析]连接PA,PB,PC. ∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知) ∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) ∴PB=PC.(等量代换) 三、板书设计线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ◇教学反思◇ 由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后带领学生对这个定理进行严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神. 教案二(备用) ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决一些问题; 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.

2021年中考数学总复习：专题15 线段垂直平分线问题

2021年中考数学总复习：专题15 线段垂直平分线问题 1. 线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．（2）作直线CD，CD即为所求直线．说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 3.线段垂直平分线的性质：（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 4.三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 说明：（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. （2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. （3）外心到三顶点的距离相等. 5.尺规作图线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型类型一：线段的垂直平分线定理。类型二：线段的垂直平分线的逆定理。类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。类型四：尺规作图。【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）

线段的垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】 1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 图1 图2 图4

专题15 线段垂直平分线问题(解析版)

专题15 线段垂直平分线问题 1. 线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．（2）作直线CD，CD即为所求直线．说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 3.线段垂直平分线的性质：（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

4.三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 说明：（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. （2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. （3）外心到三顶点的距离相等. 5.尺规作图线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型类型一：线段的垂直平分线定理。类型二：线段的垂直平分线的逆定理。类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。类型四：尺规作图。【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）

网格探究(二)——垂线

探究二、网格中作已知线段的垂线方法指导例1：过格点C 作AB的垂线段，垂足为D。作图方法 C A B 练习：1、过格点P作AB的垂线。作图方法： 2、过线段CD的端点C、D分别作线段AB的垂线段。作图方法： 3、过△EFG的三个顶点，分别作线段AB的垂线段。作图方法：例2：过CD与格线的交点E作AB的垂线，垂足为F；作图方法 E D A B C 练习：1、过点E作AB的垂线，垂足为F； E D A B C 2、过点E作AB的垂线段。作图方法

例3：作线段AB的垂直平分线；作图方法 B A 练习：作线段AB的垂直平分线。作图方法 A B 例4：作面积为25的正方形作图方法练习：作面积为10的正方形作图方法※模拟实战：网格中作平行线、垂线的综合应用例5：（2020•天津二模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点B，M均为格点，点A为小正方形边的中点．（Ⅰ）线段AB的长为；（Ⅱ）在线段AB上存在一点N，使得点N满足∠MNB＝45°，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺作出∠MNB，并简要说明你是怎么找到点N 的．（不要求证明）

课时作业： 1、分别过点A、B、C作线段AB的垂线作图方法 2、过格线上的点C、D分别作AB的垂线。作图方法 3、CD与EF交于点O，过点O作AB的垂线。作图方法 4、作出△ABC中BC、AC边上的高；作图方法 5、画出一个以AB为底边的等腰三角形ABC，且点C也为格点；作图方法 6、作边长为2 4的正方形作图方法

7、作△ABC三边上的高。作图方法 8、请在线段DE上找一点P，使得△PAB与△CAB的面积相等。作图方法作垂线的方法归纳： 9、（2018•和平区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的格中，点C，D，E，F，G均在格点上，DE 与FG相交于点T．（1）CD的长等于（2）在如图所的网格中，用无刻度的直尺，画出 ①以DE为一边的正方形 ②以CD，DT为邻边的矩形CDTP 作图方法

北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。巧记方法：点到线段两端距离相等。可以通过全等三角形证明。垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图) 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直平分底边。方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。等腰三角形的性质： 1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。)

2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。) 3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。) 垂直平分线的判定 ①利用定义. ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合) 例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可. 证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知）， ∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A ∴BD=AD（等角对等边） ∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.