基本对称式
构成作业答案
、单项选择题二、填空题1、平面构成立体构成2 、形式美3 、互相协调调和性4 、点线面5、规律性骨格非规律性骨格6 、纹理7 、螺旋式发射8 、有规律地节奏感9、渐变密集10 、纯净程度单纯程度11 、逐渐增加减少12 、1666 年13 、256 14、视后像15 、整个外貌外形轮廓16 、有机无机17、概括提炼18、基础点缀装饰划分空间19 、单体20 、摩擦力三、判断题I.x 2. V 3. V 4. V 5. x 6. V 7. V 8. x 9. x 10. VII.x 12. V 13. V 14. V 15. V四、名词解释：1、点：点是相对较小而集中的形。
2、线：线是具有位置、方向和长度的一种几何元素，是点运动后形成的轨迹。
3、面：面是点的密集，或线的移动轨迹。
4、近似：指的是在形状、大小、色彩、肌理等方面有着共同的特征，它体现了在统一中呈现出的生动变化的效果。
5、重复：我们把相同或相近的形态元素进行连续有规律地、有秩序地反复排列。
6、对称：是指作品的各部分依实际或假想的对称轴或对称点两侧形成等形、等量的对应关系，具有稳定与统一的美感。
7、均衡：是从运动规律中升华出来的美的形式法则，轴线或支点两侧会形成不等形而等量的重力上的稳定。
8、骨格：骨格是构成图形的骨架与格式。
9、具象形态：在生活中已经形成的概念，并可以明确指认出的存在物。
10、抽象形态：在造型艺术领域中，特指无法明确指认出的形态或形象，在生活经验中找不到具体的存在物。
11、色彩的变异：即在基本形排列的大小、形状、位置、方向都一样的基础上，在色彩上进行变化来形成色彩突变的视觉效果。
12、空间：是物质存在一种客观形式，我们一般讲的空间是一种具有高、宽、深的三次元立体空间，对于物体而言，就是它在空间中实际占据的位置，这种空间形态也叫视觉空间13、基本形：是指构成图形的元素单位14、交错空间：两个平面相互交叉，平面的二维性质就会因为它们的交叉转为三维空间，前后关系由此产生。
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
对称的四种基本形式
对称的四种基本形式
对称是一种美学原则，它在许多领域都有着广泛的应用，如建筑、艺术和设计等。
对称可以使人感到平衡、稳定和和谐，因此它被广泛应用于各种场合中。
本文将介绍四种基本的对称形式：轴对称、中心对称、平面对称和旋转对称。
一、轴对称
轴对称是最常见的一种对称形式。
它是指通过物体中心或边缘的一条直线，将物体分成两个完全相同的部分。
这条直线被称为“轴线”。
在建筑中，轴对称通常被用于设计门厅、大厅或楼梯等区域。
在艺术中，轴对称通常被用于绘画和雕塑作品中。
二、中心对称
中心对称是指通过物体中心点的一条直线将物体分成两个完全相同的部分。
与轴对称不同的是，中心点不在物体边缘上。
这种形式通常被用于设计圆形图案或装饰品等。
三、平面对称
平面对称是指通过物体的一个平面将物体分成两个完全相同的部分。
这种形式通常被用于设计建筑外观、家具和装饰品等。
平面对称可以是垂直的或水平的，也可以是倾斜的，这取决于设计师的意图。
四、旋转对称
旋转对称是指通过物体中心点的一个旋转将物体分成两个完全相同的部分。
这种形式通常被用于设计圆形或多边形图案等。
旋转对称可以是二分之一、三分之一、四分之一或六分之一，具体取决于设计师的意图。
五、总结
以上四种基本对称形式在建筑、艺术和设计等领域中都有着广泛的应用。
它们可以使人感到平衡、稳定和和谐，因此在设计中应该考虑采用适当的对称形式来达到最佳效果。
同时，在实际应用过程中，还需要根据具体情况来灵活运用不同的对称形式，以满足不同需求。
架子鼓基本功怎么练有什么方法
架子鼓基本功怎么练有什么方法初学者在学习爵士鼓的时候心里有很多的疑惑也不知道怎么练习基本功。
下面小编为大家介绍架子鼓基本功练习方法，感兴趣的朋友们一起来看看吧!架子鼓基本功练习方法1、单跳，单击。
即每只手击鼓皮中心一次，力量得到位，不然练着练着手就废了初步目标是一分钟208次rlrl，每个四连音第一下是重音。
练成之后，也就意味着你已经开腕了，基本算入门了。
2、双跳，每次每只手击鼓皮两下，这两下的音量一定要一摸一样，靠鼓皮的弹性那就不叫双跳，开始时千万不要这样。
双跳rrll，其中还牵扯到一个节奏稳的问题，rrll的四连音一定要稳，每个音的间隔一定要一样;还有，左右手双跳的力量也必须一样，千万不要练成阴阳手。
练双跳不要急，一般开始时从40拍的速度开始练，要领一定要掌握好。
某一拍速达到10分钟不出错，并且节奏稳，力量匀的时候，才可以加速。
一般是40、50、60，慢慢加。
练到280，那就是正派的滚奏了。
3、复合跳，即单跳和双跳的结合，rlrrlrll。
同样，除了每个4连音的第一个音是重音，其他3个拍子一定要稳，力度一定要一致。
也要慢慢来，从你舒服的节奏开始，10分钟不错，再加速。
4、重音移位，RLRL RLRL RLRL RLRL^ ^ ^ ^开始时重音要特别突出，才会找到感觉。
5、三连音，五连音等的单跳、符合跳。
每个连音的开始一下还是重音，练习的时候都要用节拍器，不过节拍器的声音多大，当你的重音盖住节拍器，听不到节拍器的声音的时候，拍子就正了，否则，就要注意了。
架子鼓学习不同阶段第一阶段：努力学会多种基本的节奏与过门之後，尚且无法与音乐搭配练习，犹如小马乍行嫌路窄，不知如何下手比较好。
第二阶段：CD音响.....等音乐媒体播放出来的音乐，可以用爵士鼓以适当 8th beat 节奏与过门搭配。
第三阶段：有能力与其他乐手基本搭配合奏之後，同时不断精进16th beat 技巧与乐句结构累积。
第四阶段：练熟3、5、6点系列之节奏与过门，著重左手与左脚的练习，可以用鼓诠释曲子的意境与词意，鼓技与音乐能够融合。
对称式与轮换对称式.doc
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
空间中直线表达式
空间中直线表达式在三维空间中，直线是一个基本几何概念。
直线有许多表达方式，有向直线、带方向的直线、两点式、参数方程等，本文将按类别分别介绍空间中直线的不同表示方式。
1. 向量式表示向量式表示直线是为了方便运用向量的性质。
设直线上的任意两点分别为 $A$ 和 $B$，则直线的向量表示可以写成以下形式：$$\vec{r}=\vec{a}+t \vec{u}$$其中 $\vec{a}$ 是一点坐标，$\vec{u}$ 是方向向量，$t$ 为任意实数。
这个表示方式简单明了，易于计算。
2. 对称式表示对称式表示直线是为了方便求直线与平面的交点。
这个表示方式是通过向量面积叉乘的方法得到的。
设直线上的任意一点为 $P$，平面$E$ 中过 $P$ 的垂线交较 $E$ 于 $Q$，则直线的对称式可表示为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点的坐标，$l,m,n$ 是平面 $E$ 的法向量的 $x,y,z$ 分量。
这个表示方式方便求出交点坐标，是平面、直线的运用中不可或缺的工具。
3. 参数式表示参数式表示直线是为了方便描述直线上的点。
设直线上的任意一点为$P(t)$，则直线的参数式可表示为：$$\begin{cases}x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc\end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量，$t$ 为直线上的任意实数。
这个表示方式便于描述过直线上某一点的一条曲线。
4. 对称式、两点式组合表示直线的对称式、两点式组合表示是为了方便求出直线与平面的交点，且同时满足过两点的条件。
设直线上的两点分别为 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和$B(x_2,y_2,z_2)$，平面 $E$ 中过 $A$、$B$ 的垂线交 $E$ 于 $C$、$D$ 两点，则直线的组合式可表示为：$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$或者$$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$其中 $a=x_2-x_1$，$b=y_2-y_1$，$c=z_2-z_1$。
福师《构成设计》作业考核答案
构成设计•问答题：1.平面构成的重要性，以及和图案的区别。
答：作为构成的表现形式之一，平面构成就是在二维的平面里按形式原理的美学法则，利用点、线、面等抽象的形式化构成要素，进行的分解、组合。
从而构成理想的形态组合形式和二维平面上的完成形象，以表现某种审美境界和视觉感受。
作为平面设计的重要手段与基础，作为一种理性的设计形式，平面构成在强调形态之间的比例、平衡、对比、节奏、律动、推移等的同时，还特别关注图形给人的视觉引导作用。
通过探求二维空间世界的视觉文法、形象的建立、骨骼的组织、各种元素的构成规律的突破等，造成既严谨又有无穷率动变化的构成形式、综合了现代物理学、光学、数学、心理学、美学的成就，扩大了传统抽象图案和几何图案的表现领域，大大丰富了平面图形设计的内容和变现手段。
在现代设计基础的教学训练中，这些对于培养学员的艺术思维能力和设计能力，尤其有重大作用。
区别：“图案”中“图”是指图画或图样，“案”则是指依据或方案。
也就是说“图案”是指制造物体的设计或方案，是通过符号把计划表示出来或把想象中的意图表示成可见的内容，其是带有审美形的造型计划。
而“平面构成”是现代艺术和现代设计的基础，侧重的是体验和寻求设计元素在二维空间中的更多的表现形式，是将既有的形态（具象形态和抽象形态）依照美的形式法则和一定的秩序进行分解、组合。
就是说，两者的本质存在区别。
表现形式上面，“图案”侧重于以自然型为基础表现的造型，是要结合实际生活对物进行一定程度的概括、夸张乃至变形的艺术处理，象猫形的座钟，鱼形的花瓶……而“平面构成”则是注重以几何形为基础表现的造型，强调的是点线面的相互结合和搭配，通过点线面来传达自身的情感，象大点给人以简洁、单纯感，斜线给人以飞跃、下滑感，角形面给人以鲜明醒目的刺激感……总的来说，“图案”重视直觉思维，偏于感性，一般以研究具象的造型为主。
而“平面构成”则注重逻辑思维，偏于理性，一般以研究抽象的造型为主，富于表现严整的机械美和科学美。
轮换对称式
一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。
如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题 求方程x+y=xy 的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。
蛋糕水果的摆法和切法
蛋糕水果的摆法和切法关于《蛋糕水果的摆法和切法》，是我们特意为大家整理的，希望对大家有所帮助。
每一次经过蛋糕房都会被里边漂亮的蛋糕所吸引住，乳白色的鲜奶油上边摆着漂亮的各式各样的新鲜水果，如同一副画一样，不仅美还令人很有胃口，如今蛋糕烘焙也进入了家中，许多的人都喜爱在自己家亲手做蛋糕，但是通常做出去总沒有那麼漂亮，这是由于大伙儿并沒有把握生日蛋糕上边新鲜水果的摆法和切法，下边就来给大伙说说这一新鲜水果要怎么摆才对。
生日蛋糕里边新鲜水果放置方法分成下列几类一:基本式摆法二:对称式摆法三:丰富多彩式摆法四:浮夸式摆法1、基本摆法一般一般基本的放置方式能够分成下边的几大些，也是制做基本生日蛋糕的几个关键。
主题风格：鲜红色-------红火之意，明显的视觉感.意味着昌盛、拼搏、情深、感情.意味着新鲜水果:草莓苗、大樱桃、红车厘、红毛丹(没削皮)等淡黄色-------霞光之欲，视觉感光亮.意味着辉煌灿烂、幸福、荣华富贵.意味着新鲜水果:水蜜桃、芒果、青柠檬、黄哈蜜瓜等翠绿色-------生意盎然，视觉感平华.意味着清爽、长命、填满青春活力.意味着新鲜水果:猕猴桃、青蛇果、青枣、青红提、柠檬等乳白色-------清新洁雅，视觉感口味淡.意味着纯真，高雅.意味着新鲜水果:菠萝蜜片、荔技等灰黑色-------意味着神密，视觉感低沉浓厚.意味着沉稳、完善.意味着新鲜水果:紫红提，、非法营运厘、黑布林等2、对称式摆法对称式摆法大多数放置于较简单的蛋糕面，以应对称、角对称性等，关键以水果罐头，块状及一整块新鲜水果反映。
具备放置简单，主题风格颜色突显，图形匀称清楚特性，较合适蛋糕店常见艺术手法。
3、丰富多彩式摆法这类放置方法便是以许多种水果混和在一起遮盖在新鲜水果的表层，看上去胃口感强力，颜色新鮮具备较强的喻意主要表现。
4、浮夸式摆法浮夸的方法一般能够用简易的新鲜水果来开展反映出去，使生日蛋糕总体觉得大气，很有造型艺术感，有一种极具特色的觉得。
(完整word版)对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
空间直线的一般方程化为标准方程
空间直线的一般方程化为标准方程空间直线是三维空间中的一种基本图形，通过空间直线我们可以更准确的定位和描述空间中的物体位置和运动，因此研究空间直线的一般方程化为标准方程，对我们来说是十分重要的。
下面，我们将分步骤阐述一下如何将空间直线的一般方程化为标准方程。
一、空间直线的一般方程在空间直线的一般方程中，我们可以将其表示为：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$其中，$x_0, y_0, z_0$是空间直线经过的一点，$a, b, c$是空间直线的方向比例系数。
利用一般方程，我们可以求出通过给定点和方向向量的空间直线方程。
二、空间直线的参数方程将空间直线的方向比例系数表示为参数$t_1, t_2$，则其参数方程可以表示为：$$x=x_0+at_1$$$$y=y_0+bt_1$$$$z=z_0+ct_2$$其中，$t_1, t_2$均为实数，可取任意值，因此通过参数方程，我们可以得到一条直线上的无数个点的位置。
三、空间直线的对称式方程对于具有平面对称性的空间直线，我们可以将其对称式方程表示为：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$其中，$d$是空间直线到平面的距离。
通过对称式方程，我们可以得到空间中与给定直线关于相应平面的对称直线。
四、空间直线的标准方程将空间直线的一般方程化为标准方程，我们需要将其分别表示为$x, y$和$z$的函数，即：$$x=x_0+at$$$$y=y_0+bt$$$$z=z_0+ct$$将以上三个式子带入到一般方程中，得到：$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$$即空间直线的标准方程为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}$$通过标准方程，我们可以更直观地描述空间直线的位置和方向。
对称式与轮换对称式
1.基本概念【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代数式不变，即对于任意的i , j (1 <i c j < n )，都有f (X1… Xi … Xj ,HlXn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn)那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。
x + y 2 2 2例如，x + y , xy ,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。
xy如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式f (X ,y , z)中，若有ax 3项，则必有ay 3, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，2 2 2 2by Z, by x , bz x , bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三 个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数 式均改变符号，即对于任意的i , j (1<i c j < n )，都有f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )那么就称这个代数式为 n 元交代式。
例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。
X + y【定义4】如果一个n 交代数式f (X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代竞赛专题对称式与轮换对称式nc Xj, 由定义2知，n 元多项式X 2,D,X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r f(X i , X 2口,X n )。
装饰图案构成形式分类
多层式适合纹样
从组织类型应用上看，适合纹样一般分为下列三种形式：
(一）填充纹样 填充纹样是指用一种或数个不同旳形象填满一定旳外轮廓，其形象自
然地随外形而变，亦可稍稍突出边线。常用于建筑、园艺、陶瓷、衣饰、 商标、标志等上面。填充文样图案单纯明确、优美完整，但要注意空间分 隔得体及整体旳平衡感。
(二）角隅纹样
5、水平式
6、一整二破式
中心位置有一种完整形，上下或者左右各有一种半破形。以 此组合为单元体排列。
7、折线式
单位纹样之间以折线状转折作连接，直线形成旳多种折线边角明 显，刚劲有力，跳动活泼。
8、旋转式
9、综合式
以上方式相互配用，巧妙结合．取长补短，可产生风格多样、变化丰 富旳二方连续纹样。
饰纹样。 ▪ 7、适合纹样从外形上可归纳为几何形、自然形和人造形三种形式。 ▪ 8、适合纹样从内部布局上分对称和均衡两种形式， ▪ 9、适合纹样从组织类型应用上一般分为填充纹样、角隅纹样、边饰纹样三种形式。 ▪ 10、二方连续纹样是一种单位纹样向上下或左右两个方向反复连续循环排列旳纹样。 ▪ 12、二方连续旳基本排列骨式可分为散点式、直立式、倾斜式、波浪式、水平式、
几何连缀式四方连续纹样
3、重叠式四方连续纹样
重叠式四方连续纹样是两种不同旳纹样重叠应用在单位纹样中旳一种形式。 一般把这两纹样分别称为“浮纹”和“地纹”。应用时要注意以体现浮纹 为主，地纹尽量简洁以免层次不明、杂乱无章。
(1) 同形重叠
又称影纹重叠，一般是散点与该散点旳影子重叠排列，为了取得良好旳影 子变幻效果，浮纹与地纹旳方向和大小能够不完全一致。
(2) 不同形重叠
一般是散点与连缀纹旳重叠排列。散点作浮纹，形象鲜明生动连 缀纹作地纹，形象朦胧迷幻。 重叠式四方连续
对称式和轮换对称式的性质及其应用
●数学活动课程讲座●对称式和轮换对称式的性质及其应用祝朝富(四川省威远中学,642450) 收稿日期:2005-08-03 (本讲适合初中)对称式和轮换对称式是特殊的代数式.根据对称的特点,可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质,利用这些性质,可简便地解决有关对称的问题.下面介绍对称式和轮换对称式的基本性质及其在初中数学竞赛中的应用.1 预备知识1.1 对称式如果把一个代数式中的字母对调,所得的代数式和原来的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母成对称.原来的代数式就是关于这些字母的对称式.1.2 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法叫做轮换.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等,那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.1.3 齐次轮换对称式如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.4 基本性质不难验证,对称式和轮换对称式具有以下性质:性质1 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.性质2 对称式的和、差、积、商也是对称式.性质3 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质4 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.性质5 一个m 次对称式乘以一个n 次对称式,其积必为一个m +n 次对称式.2 基本应用2.1 多项式乘法例1 计算(x +y +z )(xy +yz +zx ).分析:因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质5知,其积也是关于x 、y 、z 的轮换对称式,于是,只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后,按照轮换对称的规律写出其余各项即可.解:因x (xy +yz +zx )=x 2y +xyz +zx 2,所以,原式=x 2y +xyz +zx 2+y 2z +yzx +xy 2+z 2x +zxy +yz2=x 2y +zx 2+y 2z +xy 2+z 2x +yz 2+3xyz.2.2 因式分解由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例2 分解因式:(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy ).(1996,天津市初二数学竞赛决赛)分析:这是一个关于x、y的对称式,由性质1知,可以用它的基本对称式x+y和xy来表示.解:设x+y=u,xy=v,则原式=(v-1)2+(u-2)(u-2v)=v2-2v+1+u2-2u-2uv+4v=(u-v)2-2(u-v)+1=(u-v-1)2=(x+y-xy-1)2=(x-1)2(y-1)2.例3 设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a-b 1+ab +b-c1+bc+c-a1+ca=0.则△ABC的形状一定是三角形.(1989,武汉市初二数学竞赛)分析:因为已知等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a、b、c的关系.解:将原式去分母,并设其为f,得f=(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ab)·(1+ ca)+(c-a)(1+bc)(1+ab)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=0.当a=b时,f=0,由因式定理知f有因式a- b.又f是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f还有因式b-c和c- a.于是,f有因式g=(a-b)(b-c)(c-a).由于f和g都是三次齐次轮换对称式,故f 和g之间只差一个非零常数因子,即f=k(a-b)(b-c)(c-a)=0.由此可知,a-b、b-c、c-a中至少有一个等于0,即a、b、c中至少有两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.2.3 化简求值例4 已知x和y是正整数,且满足条件xy+x+y=71,x2y+xy2=880.求x2+y2的值.(第14届江苏省初中数学竞赛)分析:已知式和所求式都是对称式,可先利用对称式的性质将其化简,再求值.解:设x+y=u,xy=v.由已知等式得u+v=71,uv=880.由韦达定理知u、v是一元二次方程t2-71t+880=0的两个根.解此方程得t=16或t=55.所以,u=16,v=55或u=55,v=16,即 x+y=16,xy=55或x+y=55,xy=16.由第一个方程组得x2-16x+55=0,Δ=62,方程有整数根;由第二个方程组得x2-55x+16=0,Δ=2961,方程无整数根.只有x+y=16,xy=55符合题意.故x2+y2=(x+y)2-2xy=146.例5 已知xyz=1,x+y+z=2,x2+ y2+z2=16.则1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y= .(2003,北京市中学生数学竞赛(初二决赛))分析:这是关于x、y、z的轮换对称式,根据性质1,可用它的基本对称式来表示.解:把x+y+z=2两边平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=4.把x2+y2+z2=16代入得xy+yz+zx=-6.由x+y+z=2,得z=2-x-y.所以,1xy+2z=1xy-2x-2y+4=1(x-2)(y-2).同理,1yz+2x=1(y-2)(z-2),1zx+2y=1(z-2)(x-2).故1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y=1(x-2)(y-2)+1(y-2)(z-2)+1(z-2)(x-2)=z -2+x-2+y-2(x-2)(y-2)(z-2)=x +y+z-6xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8=2-61-2×(-6)+4×2-8=-413.2.4 证明例6 设a、b、c是互不相等的实数.求证:a4(a-b)(a-c)+b4(b-c)(b-a)+c4(c-a)(c-b)>0.(2000,太原市初中数学竞赛)解:设不等式的左边为f,通分得f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a).由于分子是一个5次齐次轮换对称式,分母是一个3次齐次轮换对称式,由性质5知,商式是一个2次齐次轮换对称式.故可设f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a)=k(a2+b2+c2)+p(ab+bc+ca).取a=0,b=1,c=2,得5k+2p=7;取a=1,b=2,c=3,得14k+11p=25.解得p=1,k=1.故f=(a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2].由于a、b、c互不相等,所以,f>0.因此,所证不等式成立.例7 设a、b是方程x2-3x+1=0的两个根,c、d是方程x2-4x+2=0的两个根.已知ab+c+d +bc+d+a+cd+a+b+da+b+c=B.求证:a2b+c+d +b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7B-7.(1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明:由韦达定理得a+b=3,ab=1;c+d=4,cd=2.则a+b+c+d=3+4=7.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=7,c2+d2=(c+d)2-2cd=12,所以,a2+b2+c2+d2=19.故a2b+c+d=a2+7a-7ab+c+d=7a-a(7-a)b+c+d=7ab+c+d- a.由于上式是关于a、b、c、d轮换对称的,同理可得b2c+d+a=7bc+d+a-b,c2d+a+b=7cd+a+b-c,d2a+b+c=7da+b+c- d.故a2b+c+d+b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7ab+c+d+bc+d+a+cd+a+b+da+b+c-(a+b+c+d)=7B-7.注:用同样方法可证a3b+c+d+b3c+d+a +c3d+a+b+d3a+b+c=49B-68.2.5 解对称方程组解对称方程组时,可以通过对称替换把原方程组化简.例8 求方程组x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5的实数解.(1990,浙江省绍兴市初二数学竞赛)解:设x+y=u,xy=v,则原方程组可化为u 3+v 3-3uv =17,u +v =5.①②②3-①得uv =6.③由式②、③得u =2,v =3或u =3,v =2,即 x +y =2,xy =3或x +y =3,xy =2.由韦达定理知,这两方程组中的x 、y 是方程t 2-2t +3=0或t 2-3t +2=0的两个根.第一个方程无实根,解第二个方程得t =1或t =2.故原方程组的实数解是x 1=1,y 1=2;x 2=2,y 2=1.练习题1.已知x +y =3,x 2+y 2-xy =4.则x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为.(第13届江苏省初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:36.)2.分解因式:a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )-a 3-b 3-c 3-2abc.(提示:当a +b =c 时,原式=0.答案:(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b ).)3.化简a21b-1c+b 21c-1a+c 21a-1ba1b-1c +b1c-1a+c1a-1b=.(1989,全国初中数学竞赛吉林省预选赛)(提示:先通分,设商式为k (a +b +c ).答案:a +b +c.)4.不等于0的三个数a 、b 、c 满足1a+1b+1c=1a +b +c.求证:a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.(1999,北京市中学生数学邀请赛(初二))(提示:先通分,设f =(ab +bc +ca )(a +b +c )-abc.当a +b =0时,f =0.由此可得(a +b )(b +c )·(c +a )=0.)5.方程组x +xy +y =1,x 2+x 2y 2+y 2=17的实数解(x ,y )=.(1996,东方航空杯———上海市初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:x 1=3+172,y 1=3-172;x 2=3-172,y 2=3+172.)全国第六届初等数学研究学术交流会(第一轮)会议通知根据中国初等数学研究工作协调组第九次工作会议和全国第五届初等数学研究学术交流会的建议,全国第六届初等数学研究学术交流会将于2006年8月在湖北宜昌举行,由湖北大学《中学数学》编辑部和宜昌市教研中心联合承办。
对称与平衡 平面构成
第三十一页，课件共有90页
图6-11 重复构成作品
图6-12 重复构成作品
以下作品利用基础形、排列形式、色彩的有机统一，使整个画面稳定、流畅，表现出认真的心态（图6-
13、图6-14）。
第三十二页，课件共有90页
图6-13 重复构成作品
图6-14 重复构成作品
以下作品在整个画面的统一中，加入了一些变化元素，例如点绘的局部表现、基础形方向的改变等，
第三页，课件共有90页
什么是平衡？
• 对称图形由于过于完美，缺少变化，会给人 一种呆滞，单调的feel。所以，人们会在保 持平衡的前提下，调节其部分元素，使画面 具有变化性。
• 由于事物在运动中，时常处于不对称的状态 ，便出现了各式各样的不对称的平衡现象。
第四页，课件共有90页
平衡相对于对称具有更为丰富的形态。当画面的对称关系被打 破时，可调整力的重心使画面达到力的平衡。
第十二页，课件共有90页
例如，在下面的海报设计中，采用了移动的基本形式，给人一种连绵不绝的想 象力。
第十三页，课件共有90页
●回转 回转是在反射或移动的基础上，将基本形运行一定角度的转动，增加形象 的变化。这种构成形式，主要表现为垂直与倾斜或水平的对比。但在总体 效果上，必须达到平衡。
第十四页，课件共有90页
第二十二页，课件共有90页
第一节 重复构成
重复构成形式是规律性骨格形式中最基本的形式之一，所谓重复是将同一形态有规 律地反复排列，如中国古代染织图案、建筑窗格等。重复构成形式是把视觉形象秩序化 、规律化，具有统一、整齐的视觉效果。
一、重复构成的概念 重复构成是指在一个画面中使用一个形象或两个以上相同的基本形进行平均的、有规律 的排列组合，基本形在构成中连续排列，反复出现、反复运用。重复的基本形，一般情况下 在形状、大小、色彩、肌理等方面是相同的，在构成中表现为形的一致性和相同性。一般在 重复骨格中才会出现重复的基本形。变化性的重复构成可称为相对重复。形态空间因素不变 的重复，称为绝对重复。另外，重复基本形在构成中的正负图形交替排列，可增强画面的黑 白对比效果。如果基本形排列大而少，其效果简单有力，如果小而繁密，其效果表现为由无数 细小单位构成的肌理（图6-1至图6-3）。
直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程直线是平面几何中最基本的图形之一，而直线的方程是描述直线的重要工具。
在平面直角坐标系中，一般方程是最常用的直线方程形式之一。
然而，对于一些问题，将直线的一般方程化为对称式方程，可以更方便地描述直线的性质和特点。
一般来说，平面上的直线可以用一般方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程不直观，不容易读出直线的斜率和截距等重要信息。
因此，我们需要将其转化为更简洁、更易读的对称式方程。
首先，我们需要找到直线上的两个点，以便求解直线的斜率。
然后，利用斜率公式可以得到直线的斜率。
假设直线上的两个点分别为P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，斜率为m。
根据斜率公式可知：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)接下来，我们需要利用斜率和直线上的任意一点，求解直线的截距。
截距表示了直线与y轴的交点的纵坐标。
通过代入直线方程中的任意一点得到：B = -A * x₁ - C得到了斜率和截距后，我们就可以将一般方程转化为对称式方程。
对称式方程的形式为：y = mx + c其中m为斜率，c为截距。
通过上述步骤，我们成功地将直线的一般方程化为了对称式方程。
对称式方程更加简洁明了，可以直观地看出直线的斜率和截距。
这方便了我们对直线进行进一步分析和计算。
需要注意的是，直线的一般方程并不适用于所有情况。
当直线垂直于x轴时，斜率将不存在，此时无法利用一般方程求解对称式方程。
同样地，如果直线平行于y轴，斜率将为无穷大，也无法使用一般方程转换为对称式方程。
为了更好地理解直线的一般方程转换为对称式方程的过程，我们可以通过一个具体的例子进行演示。
假设直线的一般方程为2x - 3y + 6 = 0。
我们需要将其转化为对称式方程。
首先，根据一般方程，我们可以求得该直线的斜率：m = 2/3然后，我们选择直线上的任意一点，例如(0, 2)，来求解直线的截距：B = -A * x₁ -C = -2 * 0 - 6 = -6得到斜率和截距之后，我们将其代入对称式方程y = mx + c：y = (2/3)x - 6通过上述步骤，我们成功地将直线的一般方程2x - 3y + 6 = 0转化为了对称式方程y = (2/3)x - 6。
对称数列公式
对称数列公式对称数列公式是数学中的一个重要概念，它是指一个数列中的元素从中心位置开始，左右两侧的元素相等的数列。
对称数列公式可以用来求解各种数学问题，如数列的和、平均数等。
对称数列公式的基本形式是：an = a(n-1) + d，其中an表示数列中第n个元素，a(n-1)表示数列中第n-1个元素，d表示数列中相邻两个元素之间的差值。
这个公式的意义是，数列中每个元素都是前一个元素加上一个固定的差值得到的。
例如，一个对称数列公式为1, 3, 5, 7, 5, 3, 1。
这个数列的中心位置是第4个元素，左右两侧的元素都是对称的。
根据对称数列公式，可以得到这个数列的公差为2，即d=2。
因此，数列中每个元素都是前一个元素加上2得到的。
对称数列公式可以用来求解数列的和。
如果数列中有n个元素，那么数列的和可以表示为：Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中a1表示数列中的第一个元素。
这个公式的意义是，数列的和等于数列中第一个元素和最后一个元素的平均数乘以元素个数。
例如，对于数列1, 3, 5, 7, 5, 3, 1，它的元素个数为7，第一个元素为1，公差为2。
根据对称数列公式，可以得到数列的和为：S7 = 7/2(2×1 + (7-1)×2) = 28。
因此，这个数列的和为28。
对称数列公式还可以用来求解数列的平均数。
如果数列中有n个元素，那么数列的平均数可以表示为：an = a1 + (n-1)d/2，其中a1表示数列中的第一个元素。
这个公式的意义是，数列的平均数等于数列中第一个元素和最后一个元素的平均数。
例如，对于数列1, 3, 5, 7, 5, 3, 1，它的元素个数为7，第一个元素为1，公差为2。
根据对称数列公式，可以得到数列的平均数为：a7 = 1 + (7-1)×2/2 = 7。
因此，这个数列的平均数为7。
对称数列公式是数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种数学问题，如数列的和、平均数等。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.6）
基本对称式
一、内容提要
1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的基本
对称式.
2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.
例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x －5)(2y －5), －y
x 3232-， y x x y +……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y 的基本对称式来表示：
x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ， x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，
(2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －y x 3232-=－xy
y x 3)2+（, y x x y +=xy x y 22+=xy
xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.
则x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ＝m 2－2n ；
x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；
x 4+y 4＝（x 2+y 2）2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；
x 5+y 5＝（x 2+y 2）(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；
………
一般地，x n +y n (n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：
x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).
4. 含x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.
二、例题
例1. 已知x=21(3+1), y=）－（132
1 求下列代数式的值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x
2 (2y+3)+y 2(2x+3).
解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.
∴先求出 x+y=3, xy=2
1. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝（x+y ）3－2xy(x+y) =(3)3－2×
321 =23；
② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2
=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)
=3［（x+y ）2－2xy ］+2xy(x+y)
=3［（21232⨯
－））2×213 ＝3－6.
例2. 解方程组⎩⎨⎧=+=+②
①53533y x y x
分析：可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和y.
解：∵x 3+y 3,＝（x+y ）3－3xy(x+y) ③
把①和②代入③，得
35＝53－15xy.
∴xy=6.
解方程组⎩
⎨⎧==+65xy y x 得⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==2
3y x . 例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x, 321420-=y.
那么 x 3+y 3=40, xy=32196400⨯－=2.
∵x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，
∴ 40＝（x+y ）3－6（x ＋y ）.
设x+y=u,
得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.
∵u 2+4u+10=0 没有实数根，
∴u －4＝0, u ＝4 .
∴x+y=4.
即
321420+＋321420-＝4. 例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什
么？
解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，
得 ⎩⎨⎧-==+22
121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=
-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，
∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.
三、练习
1. 已知 x －y=a, xy=b. 则x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.
2. 若x+y=1, x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.
3. 如果 x+y=－2k, xy=4, 3=+x
y y x . 则 k=_____. 4. 已知x+
x 1=4, 那么x －x 1=____ ， 221x x +=＿＿＿. 5. 若x x 1
+.＝a, 那么x+x 1=______, 221x
x +=＿＿＿. 6. 已知：a=321
－, b=3
21
+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1.
7. 已知x
x 1+＝8，则x x 12+＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题） 8. 已知 a 2+a －1=0 则a 3－
31a =＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛）
10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.
练习题参考答案
1. a 2+2b, a 3+3ab
2. 2.5, 4.75
3. ±5
4. 23或－23， 14， 52
5. a 2－2, a 4－4a 2+2
6. 109,36
7. 62
8. –4
9. x 2 ±3x ＋2＝0
10. ①1， ②2。