偏导数典型例题及解答
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偏导数典型例题及解答
1、二元函数偏导数的定义
设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有关于的偏增量：
如果极限
存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数，记作
类似地，称极限
为函数在点处关于变量的偏导数，记作
【注1】初等多元函数在定义区域内都是可导的！
【注2】函数在一点处的偏导数存在，不能推出该函数在该点连续；函数在该一点连续，也不能推出函数在该点处偏导数存在.函数在一点偏导数存在，仅仅说明函数作为相应变量的一元函数在该点处可导与连续，或者说函数的变量仅仅沿着相应坐标轴方向变化时函数可导与连续，沿着其他方向变化时函数的连续性不能确定.如在处存在，则仅仅当点时函数可导与连续.如果存在，且有偏微分中值定理的结论，即
其中介于之间.
类似有关于变量的偏微分中值定理，
其中介于之间.
2、偏导数的几何意义
平行于坐标面的平面上的曲线沿着坐标轴方向的切线的斜率.