偏导数典型例题及解答
第七讲：高阶偏导数、极值11题
f yx
f yy
dy ) dx
fy(
f xx
f xy
dy ) dx
fx(
( f y )2
f yx
f yy
dy ) dx
(
1 f y )3
[(
f
y
)2
f xx
2
fx
f
y
f xy
(
fx
)2
f
yy ]
0
y = y(x) 是线性函数
f (x , y) = c 为一直线
2°极值 、最值 1、局部极值
x
x2
2u x 2
2xy
2u xy
y2
2u y 2
0
可化为
2u
2 0
, 其中 u 具有连续的二阶偏导数
解 把ξ,η看作中间变量
u x
u
x
u
x
y x2
u
u u u 1 u u y y y x
2u
y
2u
2
y
1 2u 2 2u 2u
x2 2 x 2
2u xy
1 x2
[ u
y(
2u
2
y
2u
y
)]
1 u y 2u y 2u
三角函数二阶偏导数练习题I1
☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
☂4：求z=sin(x 5+5y)的二阶偏导数。
☂5：求z=sin 6(4x+23y)的二阶偏导数。
☂6：求函数z=sin 11x-x 2y 2+e 4的二阶偏导数。
三角函数二阶偏导数的练习题及参考答案：☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
解：y=sin 9x ，求复合函数求导法则有：y'=9sin 8x*cosx;y"=9(8sin 7xcos 2x-sin 8xsinx),=9sin 7x(8cos 2x-sin 2x)。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
解：y=cos7xtan5x ，求函数乘积求导法则有：y'=-7sin 7xtan 5x+5cos 7xsec 25x;y"=-7(7cos 7xtan 5x+5sin 7xsec 25x)+5(-7sin 7xsec 25x+10cos 7xsec 25xtan 5x),=-72cos 7xtan 5x-70sin 7xsec 25x+50cos 7xsec 25xtan 5x 。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
解：y=cos(3x+8)x，求函数商求导法则有： y'=-3sin(3x+8)x-cos(3x+8)x 2; =-3sin(3x+8)x+cos(3x+8)x 2=-A B; y"=-A'B-AB'B 2,其中： A'=32cos(3x+8)x+3sin(3x+8)-3sin(3x+8)=32cos(3x+8)x,B'=2x,代入上述二阶导数，有：y"=-32cos(3x+8)x*x 2-2x[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 4, =-32cos(3x+8)x 2-2[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 3。
高数偏导数复习
1. 偏导数求解方法：例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得23zx y x∂=+∂ 把x 看作常量，得32zx y y∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得12|21328x y z x==∂=⋅+⋅=∂ 12|31227x y z y==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数(x,y)x zf x∂=∂(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22()(x,y)xx z z f x x x∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z zf y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z zf y y y∂∂∂==∂∂∂3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x yz z ye xe x y∂∂==∂∂222211|,|2x x y y z ze e x y ====∂∂==∂∂ 所以222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dydt。
解：sin cos t dz z du z dv zve u t t dt u dt v dt t∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t te t e t t e t t t =-+=-+例题2：求22(xy ,x y)z f =的22zx∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.解：22''122'2'1222'''''2''2''1112221224''3''22''111222()(2)2()(y 2)2(2)y 44z z y f f yx x x x xf y y f x x xy f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++5. 隐函数求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有x ydy Fdx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，且000F(x ,y ,z )0=，000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件000(x ,y )z f =，并有xz z F x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.解：令(x,y,z)F xyz =+-Fx yz =+，Fy xz =+Fz xy =+z Fx x Fz ∂=-=∂yz F y y F z z ∂=-=∂(1,0,1)(1,0,1)|1,|z zx y --∂∂==∂∂(1,0,1)dz |dx -=-.6. 空间曲线的切线和法平面。
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
高数下偏导数例题
例1． 设222(,),(,){(0,0)}xyf x y x y D x y=∈=-+ ，讨论极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →。
解：令y mx =，2222(,)(0,0)0lim (,)lim 1x y x y mxx mx mf x y x m x m →→=⋅==++——随m 的不同而不同。
所以，(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
例2．设22222(,)()x y f x y x y x y =+-，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →， 解：取y x =，则2222(,)(0,0)0lim (,)lim 10x y x y x x y f x y x y →→===+， 取0y =，则2(,)(0,0)00lim (,)limlim000x y x x y xf x y x →→→====+，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
注：若取2y x =，则22222224(,)(0,0)0()1lim(,)lim ()2x y x y x x x x x f x y x x x x →→=--==-+，也能证明。
例3（1）设y z x =，求z x ∂∂，zy∂∂ （2）设22sin y zx u e y=+，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z ∂∂例4．设2(,)arctan y f x y x-=，求(1,2)y f解：（二种解法）下面的例子指出，00(,)x f x y 和00(,)y f x y 不蕴含f 在0P 处连续，这是与一元导数的不同之处。
例5．22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(,)x f x y 和(,)y f x y 在2 上都存在，但(,)f x y 在原点不连续。
证：当(,)(0,0)x y ≠时，22222()(,)()x y y x f x y x y -=+；22222()(,)()y x x y f x y x y -=+；当(,)(0,0)x y =时，00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→--===，(0,0)0y f =；例6．求22z x y xy =-的全微分dz 及点(1,1)处的全微分；解：因222,2z zxy y x xy x y∂∂=-=-∂∂在2 上连续，故22(2)(2)dz xy y dx x xy dy =-+-， 所以(1,1)dz dx dy =-。
高等数学偏导数第一节题库
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
10 分【090102 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】求函数 ux 2y 2arcsin的定义域。
zx 2 y 2 10 分【试题答案及评分标准】 11z【090103 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 z xf ( y) ，此中 x 0 ，假如当 x 1 时， z 1y 2 ，试确立 f ( x)x及 z 。
【试题答案及评分标准】时， zf ( y)1 y2 ，因此 f ( x)1 x 25 分x 12z x 1y x x 2 y 210 分xx【 090104 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 zx yf ( x y) ，已知 y0 时， z x 2 ，求 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】 y0 时， z x 2 ，得 xf ( x)x 2因此 f (x) x 2 x5 分 因此 z xy ( x y) 2( x y) ( x y) 22 y10 分【090105 】【计算题】【中等】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】 【试题内容】设 z y f ( x 1) ，此中 x 0, y 0 ，假如 y 1时 z x ，试确立函数 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】y 时， z 1 f (x 1) x 因此 f ( x 1)x 13分1令x 1 t x (t 1 2, ) 因此f (t )(t 1) 21 t2 2t , f ( x)x 22x7 分因此 z y ( x1)2 2( x 1)y x 1 x 0, y 010 分【090106 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】【试题内容】求极限limy sin 2 x。
x 0xy 11y【试题答案及评分标准】解： limy sin 2 xx 0 xy 11yy sin 2x ( xy 11)6 分limxyx 0y 0= 410 分【090107 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】1x 2y 1 ) 【试题内容】求极限。
多元函数求偏导数例题
多元函数求偏导数例题偏导例题：思路：题目很干练，但做法不那么容易；首先一定要把大类分好，分为两层： y=0 和 y\ne 0在这两个大类之下，分别讨论f(,y)的连续性和f_{},f_{y},一个一个说：先讨论f(,y) 的连续性，在y\ne 0 条件下是初等函数复合而成，所以一定连续；y=0 条件下，注意是y=0 ，而不是 (,y)\rightarrow(0,0) ,要是后者会容易很多，前者的话只能确定 ,y 中至少一个为0不清楚具体构造，所以要写为f(_{0},y_{0}),条件是_{0}y_{0}趋于0，在这种条件下观察f(_{0},y_{0})极限是否为0，来确定连续性可以发现为 \frac{0}{0} 型，用等价无穷小代换，进一步讨论在说f_{},f_{y},的值表达式怎么写：首先y\ne 0 直接求一阶偏导即可，y=0 的条件下偏导数要用定义求解进一步讨论f_{},f_{y} ,由于是y=0 所以就有三种情况=0,y\ne0;\ne0,y=0;=0,y=0下面是求解f_{}可见定义求解，再分类讨论全微分：理论知识：1、全微分存在，偏导必存在；全微分就是由多个偏导组成的；反过来，偏导不存在，全微分必然不存在2、偏导+连续->可微（这只是充分条件）；可微推不出偏导的连续性，只知道偏导一定存在不妨看道例题：可以充分说明这个性质偏导数表示出来之后，看偏导数趋于(0,0)极限是否0，相当于再解重极限^2+y^2存在，必然用极坐标代换既然不可以用偏导数连续来证明可微，所以只能用定义来求极坐标代换，得结果为0可微分的定义为 \frac{f(_{0}+\Delta ,y_{0}+\Delta y)-f(_{0},y_{0})-f_{}(_{0},y_{0})\Delta -f_{y}(_{0},y_{0})\Deltay}{\qrt{\Delta ^2+\Delta y^2}}=0上式中的 \Delta f=f(_{0}+\Delta ,y_{0}+\Delta y)-f(_{0},y_{0})连续，可偏导，可微的关系。
偏导数例题及解析
偏导数例题及解析1.求偏导注意对X 求偏导(把y 看作常数)对y 求偏导(把x 看作常数)1.有Z= + 2 求和z z对X 求偏导(把y 看作x常数y)对y 求偏导(把x 看作常数)解：= + 2xz yx = + 2zy2.在点处求偏x导有Z= 3 + 2 2 −3求在=1，y=3 处的偏导数。
解：注意：先求偏导数，再x代值。
=3 2 + 4zx =2 2 − 3 2zy故：=3 2 + 4 =15zx =2 2 − 3 2=-25z3.三y 元函数求偏导x y u = sin( + 2 − ) 求 、 及u u u注意： sin( +2 − )是x 复合y 函数z ，先对内层求导，再对外层求导。
解： = cos( +2 − ) ux = 2 cos( + 2 − ) uy= − cos( + 2 − ) uz 4. 求= 3 2 + 二阶偏倒数 解： = 3 2 2 + z 2z = 6 2x 2 = 2 3 + z 2 z = 2 3 y 2= 6 2 + 1 x 2z 再对 = 6 2 + 1 x 注意：y x 2 x 求偏导 y2 是在x z z yx y 的基础上分别对 y 和x 求偏导 2z 2z z2+ 2 4在（2，4）处的切线分别与 x,y 轴4正向所成的倾斜角是?作业 1. 求 =+ y 的二阶偏导数 2. 曲线z = y =答案1.解=+ y z 2z x = 2 + y z 2=+ z2z yy 2= 2✧ 2.解： 2z = + +xy ✧ 对 x 轴正向所成的倾斜角（对 x 求偏导） ✧= 1 z 2 ✧ x = 1 = 1 ∗ == tan z 2 2 4x 此倾斜角为24 1 ✧ 对 y 轴正向所成的倾斜角（对 y 求偏导） ✧= 1 2 z ✧ = 1 = 1 ∗ = = tan yz ✧ θy 2 2 = arctan 4 2 2✧ 因此倾斜角为arctan2。
偏导数例题及解析
偏导数例题及解析1.求偏导注意对X求偏导(把y看作常数)对y求偏导(把x看作常数)1.有Z=e xy+x2y求ðzðx 和ðzðy对X求偏导(把y看作常数)对y求偏导(把x看作常数)解：ðzðx=ye xy+2xyðzðy=xe xy+x22.在点处求偏导有Z= x3+2x2y−y3求在x=1，y=3处的偏导数。
解：注意：先求偏导数，再代值。
ðzðx=3x2+4xyðzðy=2x2−3y2故：ðzðx=3x2+4xy=15ðzðy=2x2−3y2=-253.三元函数求偏导u=sin(x+y2−e z)求ðuðx 、ðuðy及ðuðz注意：sin(x+y2−e z)是复合函数，先对内层求导，再对外层求导。
解：ðuðx=cos(x+y2−e z)ðuðy=2y cos(x+y2−e z)ðuðz=−e z cos(x+y2−e z)4.求z=x3y2+xy二阶偏倒数解：ðzðx =3x2y2+yðzðy=2x3y+xð2z ðx2=6xy2ð2zðy2=2x3ð2z ðxðy =6xy2+1 ð2zðxðy=6xy2+1注意：ð2zðx2再对x求偏导ð2z ðxðy 是在ðzðxðzðy的基础上分别对y和x求偏导作业1. 求z=e xy+ye x的二阶偏导数2. 曲线z=x2+y24y=4在（2，4）处的切线分别与x,y轴正向所成的倾斜角是?答案1.解ðzðx=ye xy+ye xð2zðz2=y2e xy+ye xðzðy=xe xy+e xð2zðy2=x2e xyð2zðxðy=e xy+xye xy+e x✧2.解：✧对x轴正向所成的倾斜角（对x求偏导）✧ðzðx =12x✧ðzðx =12x=12∗2=1=tanπ4✧因此倾斜角为π4✧对y轴正向所成的倾斜角（对y求偏导）✧ðzðy =12y✧ðzðy =12y=12∗4=2=tanθ✧θ=arctan2✧因此倾斜角为arctan2。
高数偏导经典60道题
1. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c2.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y令x y =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dx du=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y=cy.3．dx dy =y x xy y321++ 解：原方程为：dx dy =yy 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. x dx dy -y+22y x -=0解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du211u -du=sgnx x 1dx arcsin x y=sgnxln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x ccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =y ey 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c. 9. dx dy=e y x -解：原方程为：dx dy=e x e y -e y =ce x10dx dy=(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du-1=u 2211u +du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c 11y xy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x y x yy x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然12. dx dy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15: dx dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).1、y y x '+='13解：令t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰223231223， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩⎪⎨⎧++=+=c t t y t t x 223223. 2、()0133='--'y x y 解：令tx p y dx dy =='=，则()()0133=--tx x tx ，即t t t t x 1123-=-=， 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎰⎰1122 ()c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2412 c tt t ++-=1215225， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t t x 121521252. 3、y e y y ''=2解：令p y dxdy ='=，则p e p y 2=， 从而()c e pd p x p +=⎰21 ()c dp e p pe p p p ++=⎰221 =()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1，于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p p ey y c e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.4、()a y y 212='+, a 为常数 解：令ϕtg y dx dy ='=，则ϕϕϕ222cos 2sec 212a a tg a y ==+=， 从而()c ad tg c dy p x +=+=⎰⎰ϕϕ2cos 211 c a c d a ++-=+-=⎰⎰22cos 14cos 42ϕϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2，于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕϕϕ2cos 22sin 2a y c a x . 5、='+22y x 1 解：令t p y dxdy cos =='=，则t t x sin cos 12=-=， 从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t c tdt ++=+=⎰⎰22cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4121， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩⎪⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .6、()()2221y y y '-=-' 解：令yt y ='-2，则11-='-yt y ，得tt y 1+=， 所以()()dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-='=-， 从而c tc dt t x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰112， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11， 因此方程的通解为c x c x y -+-=1.习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+221 4．xyx y dx dy -= 解：两边同除以x ，得x yx y dx dy -=1令u xy = 则dx du x u dx dy +=即dx du x u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=， 即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。
6.3 偏导数-习题
1．求下列各函数的偏导数： ⑴2xyz e x =-； 【解】()'2xy x ze xy x x∂=-∂2xy ye x =-， ()'0xy y ze xy y∂=-∂xy xe =。
⑵lnx z y=； 【解法一】1()'x z x x x y y ∂=∂1y x y =⋅1x=， 1()'y z x x y y y∂=∂2y x x y -=⋅1y=-。
【解法二】由于ln ln z x y =-，得1z x x ∂=∂，1z yy ∂=-∂。
⑶z =【解法一】zx∂=∂23222()y x y =+，1222[()]'y z x x y y-∂=+∂3222221()()'2y x x y x y --=⋅++32221()22x x y y --=⋅+⋅3222()xy x y =-+。
【解法二】由于221ln ln ln()2z x x y =-+， 得2211122z x z x x x y ∂=-⋅∂+，221122z yz y x y ∂=-⋅∂+， 从而221()z xz x x x y∂=-∂+222()y x x y =+23222()y x y =+；22z yz y x y ∂=-⋅∂+22y x y =+3222()xy x y =-+。
⑷sinxyz e-=；【解】sin (sin )'xy x z x e x y -∂=-∂sin cos ()'xyx x x e y y -=-⋅⋅sin 1cos xy x e y y-=-⋅，sin (sin )'xy y z x e y y -∂=-∂sin cos ()'xyy x x e y y -=-⋅⋅sin 2cos xy x x e y y-=⋅。
⑸arctanx yz x y+=-； 【解】21()'1()x z x y x y x x y x y∂+=+∂-+-2222()'()()()'()()()()x x x y x y x y x y x y x y x y x y +--+--=⋅-++- 2222()()()()()()x y x y x y x y x y x y ---+=⋅-++-22y x y-=+， 21()'1()y z x y x y y x yx y∂+=+∂-+- 2222()'()()()'()()()()y y x y x y x y x y x y x y x y x y +--+--=⋅-++- 2222()()()()()()x y x y x y x y x y x y --++=⋅-++-22x x y =+。
偏导数的应用习题
偏导数的应用习题1. 求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。
2. 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值、最小值。
3. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Q p -=，2212Q p -=，其中21,p p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21,Q Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：52+=Q C ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即21Q Q Q +=，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。
4. 求平面曲线323232a y x =+（a >0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所 的线段等长。
5. 求曲线t x =，2t y =，3t z =上点，使曲线在此点的切线平行于平面42=++z y x 。
1.求二元函数y y y x y x f ln )2(),(22++=的极值。
)2(22y x f x +='，1ln 22++='y y x f y ， 得到驻点：)1,0(e （唯一的）)12(2)1,0(2e e f A xx +=''=，0)1,0(=''=e f B xy ，e ef C yy =''=)1,0(，02<-AC B ， 0>A ， 极小值e e f 1)1,0(-=。
2.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值、最小值。
微积分偏导数习题答案
微积分偏导数习题答案微积分是数学中的一门重要分支，其应用广泛，包括物理学、工程学、经济学等领域。
在学习微积分的过程中，偏导数是一个重要的概念。
偏导数可以理解为多元函数在某一点上沿着某个坐标轴的变化率。
在解决实际问题时，我们常常需要计算偏导数。
本文将通过一些典型的习题，给出相应的解答，以帮助读者更好地理解和掌握偏导数的概念和计算方法。
偏导数的计算方法主要有两种：直接计算和间接计算。
直接计算是指直接对多元函数进行求导，而间接计算则是通过利用已知的函数关系进行求导。
下面我们将通过一些具体的习题，来展示这两种计算方法的应用。
1. 假设有一个函数 f(x,y)=3x^2+2xy+y^2，求函数在点 (1,2) 处沿着 x 轴的偏导数。
直接计算方法：对于多元函数 f(x,y)，我们可以分别对 x 和 y 进行求导。
在这个例子中，我们只需要对 x 进行求导，而将 y 视为常数。
所以，对于f(x,y)=3x^2+2xy+y^2，我们有∂f/∂x=6x+2y。
将点 (1,2) 代入该式，即可得到函数在该点处沿着 x 轴的偏导数为∂f/∂x=6(1)+2(2)=10。
间接计算方法：我们可以通过利用已知的函数关系进行求导。
在这个例子中，我们可以将函数 f(x,y) 看作是两个函数的和，即 f(x,y)=g(x)+h(x,y)，其中g(x)=3x^2，h(x,y)=2xy+y^2。
对于 g(x)，我们可以直接求导得到 dg/dx=6x。
对于 h(x,y)，我们可以将其看作是两个函数的乘积，即 h(x,y)=p(x)q(y)，其中p(x)=2x，q(y)=x+y。
对于 p(x)，我们可以直接求导得到 dp/dx=2。
对于 q(y)，我们可以直接求导得到 dq/dy=1。
然后，我们可以利用链式法则，即∂f/∂x=dg/dx+d(h(x,y))/dx=dg/dx+(dh(x,y)/dp)(dp/dx)，来计算函数 f(x,y) 在点(1,2) 处沿着 x 轴的偏导数。
一阶偏导数存在但不连续的连续例题
一阶偏导数存在但不连续的连续例题题目：一阶偏导数存在但不连续的连续例题1. 引言在数学分析中，我们经常会遇到一阶偏导数存在但不连续的情况。
这种现象在实际问题中也经常出现，比如物理学中的热传导、流体力学中的速度场等。
在本文中，我们将通过具体的例题来深入探讨一阶偏导数存在但不连续的连续例题，希望能够帮助读者更深入地理解这一现象。
2. 例题分析考虑函数$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}, (x,y)\neq (0,0)$，$f(x,y)=0, (x,y)=(0,0)$。
首先我们来计算 $f$ 的偏导数。
对 $x$ 求偏导数，得到$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^2(x^2+y^2)-xy^2\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2x^2-y^4-2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$$对 $y$ 求偏导数，得到\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2(y^2+x^2)-xy^2\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2y^2-x^4-2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$$我们可以看到，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partialf}{\partial y}$ 都存在，但是在点 $(0,0)$ 处，$f$ 在 $y=mx$ 上的取值为 $\frac{m^3x^3}{m^2x^2+x^2}=mx^3$，故沿直线$y=mx$ 极限不为零，从而也就无法在(0,0) 处连续了。
3. 总结回顾通过以上例题的分析，我们深入地理解了一阶偏导数存在但不连续的情况。
在这种情况下，我们需要通过具体的例子来加深理解，并且不能简单地依赖于一阶偏导数的存在性来推断函数的连续性。
在实际问题中，需要特别注意这一点，避免出现错误的推断。
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偏导数典型例题及解答
1、二元函数偏导数的定义
设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有关于的偏增量：
如果极限
存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数，记作
类似地，称极限
为函数在点处关于变量的偏导数，记作
【注1】初等多元函数在定义区域内都是可导的！
【注2】函数在一点处的偏导数存在，不能推出该函数在该点连续；函数在该一点连续，也不能推出函数在该点处偏导数存在.函数在一点偏导数存在，仅仅说明函数作为相应变量的一元函数在该点处可导与连续，或者说函数的变量仅仅沿着相应坐标轴方向变化时函数可导与连续，沿着其他方向变化时函数的连续性不能确定.如在处存在，则仅仅当点时函数可导与连续.如果存在，且有偏微分中值定理的结论，即
其中介于之间.
类似有关于变量的偏微分中值定理，
其中介于之间.
2、偏导数的几何意义
平行于坐标面的平面上的曲线沿着坐标轴方向的切线的斜率.。