2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级下期中数学试卷及答案解析

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级下期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．16的算术平方根是（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．±4 2．式子√2x+1x−1有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥−12且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x ≥−12 D ．x ＞−12且x ≠1 3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．3，4，5B ．2，3，4C ．1，2，3D ．4，5，64．下列二次根式中，与√6是同类二次根式的是（ ）A ．√12B ．√18C ．√23D ．√305．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝4∠A ，则∠C ＝（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°6．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．同角的余角相等D ．全等三角形的面积相等7．如图，在宽为30m ，长为40m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）A ．1200m 2B ．1131m 2C ．1181 m 2D ．1209m 28．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m 9．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色六边形地面砖（）块．A．6+4（n+1）B．6+4n C．4n﹣2D．4n+210．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①∠DCF=1∠BCD；②EF＝CF：③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中，正确结论的个数2是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若x＜2，化简√(x−2)2−|4﹣x|的结果是．12．已知√18−n是整数，自然数n的最小值为．13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．14．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为．15．如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，点E是AB边上一个动点（不与端点重合），ED⊥AC交AC于点D，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，当△BCF为等腰三角形时，则AE的长为．16．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：2√18+6√12−5√6+√318．（8分）先化简，再求值：（x﹣2+8xx−2）÷x+22x−4，其中x=−12．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，若小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C在网格的格点上（1）图1中△ABC的面积为．（2）若点A的坐标为（0，﹣1），请你在图中找出一点D，使A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的D点地坐标是．（3）在图2中画出三边长分别为√10，2√5，√26的格点△DEF．21．（8分）如图，长方形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD，AD＝4cm，点P从点D出发（不含点D）以2cm/s的速度沿D→A→B的方向运动到点B停止，点P出发1s后，点Q才开始从点C出发以acm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，当点P 到达点B时，点Q恰好到达点D．（1）当点P到达点A时，△CPQ的面积为3cm2，求CD的长；（2）在（1）的条件下，设点P运动时间为t（s），运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），请用含t（s）的式子表示面积S（cm2），并直接写出t的取值范围．22．（10分）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．23．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．24．（12分）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级下期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．16的算术平方根是（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．±4【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的算术平方根是4，故选：C ．2．式子√2x+1x−1有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥−12且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x ≥−12 D ．x ＞−12且x ≠1 【解答】解：由题意，得2x +1≥0且x ﹣1≠0，解得x ≥−12且x ≠1，故选：A ．3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．3，4，5B ．2，3，4C ．1，2，3D ．4，5，6 【解答】解：A 、32+42＝52，能构成直角三角形，故选项正确；B 、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；C 、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；D 、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误．故选：A ．4．下列二次根式中，与√6是同类二次根式的是（ ）A ．√12B ．√18C ．√23D ．√30【解答】解：A 、√12=2√3，与√6不是同类二次根式，故本选项错误；B 、√18=3√2，与√6不是同类二次根式，故本选项错误；C 、√23=√63，与√6是同类二次根式，故本选项正确；D 、√30与√6不是同类二次根式，故本选项错误．故选：C ．5．已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（）A．18°B．36°C．72°D．144°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°，故选：B．6．下列命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．同角的余角相等D．全等三角形的面积相等【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不合题意；B、同位角相等是假命题，故此选项符合题意；C、同角的余角相等是真命题，故此选项不合题意；D、全等三角形的面积相等是真命题，故此选项不合题意；故选：B．7．如图，在宽为30m，长为40m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（）A．1200m2B．1131m2C．1181 m2D．1209m2【解答】解：可把两条路平移到耕地的边上，如图所示，则耕地的长变为（40﹣1）m，宽变为（30﹣1）m，耕地面积为：39×29＝1131（m2）．故选：B．8．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为√122+52=13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．故选：D．9．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色六边形地面砖（）块．A．6+4（n+1）B．6+4n C．4n﹣2D．4n+2【解答】解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．∴第n个图案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．故选：D．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD ；②EF ＝CF ：③S △BEC ＝2S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①∵F 是AD 的中点，∴AF ＝FD ，∵在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，∴AF ＝FD ＝CD ，∴∠DFC ＝∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC ＝∠FCB ，∴∠DCF ＝∠BCF ，∴∠DCF =12∠BCD ，故此选项正确；②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF ＝FD ，在△AEF 和△DFM 中，{∠A =∠FDM AF =DF ∠AFE =∠DFM，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE ＝MF ，∠AEF ＝∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°，∴∠AEC ＝∠ECD ＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝FM，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC＝2S△CEF错误；④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若x＜2，化简√(x−2)2−|4﹣x|的结果是﹣2．【解答】解：∵x＜2，∴√(x−2)2−|4﹣x|＝|x﹣2|﹣（4﹣x）＝2﹣x﹣4+x＝﹣2．故答案为：﹣2．12．已知√18−n是整数，自然数n的最小值为2．【解答】解：∵√18−n是整数，n为最小自然数，∴18﹣n＝16，∴n＝2，故答案为：2．13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝105°．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝60°，∴△ACD是等边三角形∵CE⊥AD∴∠ACE=12∠ACD＝30°∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°∵CE＝BC∴∠E＝∠CBE＝45°∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°故答案为：105°14．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为2√10．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10，故答案为：2√10．15．如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，点E是AB边上一个动点（不与端点重合），ED⊥AC交AC于点D，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，当△BCF为等腰三角形时，则AE的长为2或3−√3．【解答】解：如图1，当BF＝CF时，过点F作FM⊥AB于点M，∵AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵CF＝BF，∴∠CFB＝∠CBF＝75°，∴∠EBF＝120°﹣75°＝45°，设AE＝x，∵将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，∴AE＝EF＝x，∠A＝∠EF A＝30°，∴∠BEF＝∠A+∠EF A＝60°，∴EM=12x，MF＝BM=√32x，∴x+12x+√32x=3，解得x＝3−√3．∴AE＝3−√3．如图2，当BF＝CF时，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠ABF＝90°，∴BF＝3×√33=√3，同理可知∠BEF＝2∠A＝60°，∴EF＝AE=BFsin60°=√3√32=2．∴AE的长为2或3−√3．故答案为：2或3−√3．16．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为4−4√33或83．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE ＝BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG ＝30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD ＝30°，∴AO =12AB ＝2，BO =√3AO ＝2√3，∴BD ＝4√3，AC ＝4，同理可求BG =√3BE ，若AD ＝DG '＝4时，∴BG '＝BD ﹣DG '＝4√3−4，∴BE '＝4−4√33，若AG ''＝G ''D 时，过点G ''作G ''H ⊥AD 于H ，∴AH ＝HD ＝2，∵∠ADB ＝30°，G ''H ⊥AD ，∴HG ''=2√33，DG ''＝2HG ''=4√33， ∴BG ''＝BD ﹣DG ''=8√33， ∴BE ''=83， 综上所述：BE 为4−4√33或83． 三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：2√18+6√12−5√6+√3【解答】解：原式＝6√2+3√2−5√6+√3＝9√2−5√6+√3．18．（8分）先化简，再求值：（x ﹣2+8x x−2）÷x+22x−4，其中x =−12．【解答】解：原式＝（x 2−4x+4x−2+8x x−2）•2(x−2)x+2=(x+2)2x−2•2(x−2)x+2＝2（x+2）＝2x+4，当x=−12时，原式＝2×（−12）+4＝﹣1+4＝3．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵BE⊥AC，∴∠BEF＝90°，在Rt△BEF中，EF=√BF2−BE2=√102−82=6，∴OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB=√BE2+OE2=√82+32=√73，∴BD＝2OB＝2√73．20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，若小正方形的边长为1，△ABC 的顶点A 、B 、C 在网格的格点上（1）图1中△ABC 的面积为 72 ．（2）若点A 的坐标为（0，﹣1），请你在图中找出一点D ，使A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的D 点地坐标是 （﹣2，2）或（4，0）或（2，﹣4） ．（3）在图2中画出三边长分别为√10，2√5，√26的格点△DEF ．【解答】解：（1）△ABC 的面积为3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=72，故答案为：72；（2）如图1所示，满足条件的点D 的坐标为（﹣2，2）或（4，0）或（2，﹣4），故答案为：（﹣2，2）或（4，0）或（2，﹣4）；（3）如图所示，△DEF 即为所求．21．（8分）如图，长方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝4cm ，点P 从点D 出发（不含点D ）以2cm /s 的速度沿D →A →B 的方向运动到点B 停止，点P 出发1s 后，点Q 才开始从点C 出发以acm /s 的速度沿C →D 的方向运动到点D 停止，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点D ．（1）当点P 到达点A 时，△CPQ 的面积为3cm 2，求CD 的长；（2）在（1）的条件下，设点P 运动时间为t （s ），运动过程中△BPQ 的面积为S （cm 2），请用含t （s ）的式子表示面积S （cm 2），并直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）设点P 运动时间为t （s ），根据题意，得点P 出发1s 后，点Q 才开始从点C 出发以acm /s 的速度沿C →D 的方向运动到点D 停止，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点D ．∴2（t ﹣2）＝a （t ﹣1），当点P 到达点A 时，△CPQ 的面积为3cm 2，即12a ×1×4＝3，∴a =32．即2（t ﹣2）=32（t ﹣1），解得t ＝5，所以CD ＝a （t ﹣1）＝6．答：CD 的长为6；（2）根据题意，得BC ＝AD ＝4，CD ＝6DP ＝2t ，CQ ＝1.5（t ﹣1），①点P 的运动时间为t ，0﹣1秒时点Q 还在点C ，△BPQ 面积不变为12×4×6=12； 即S ＝12（0＜t ≤1）②当1＜t ≤2时，DQ ＝6﹣1.5（t ﹣1）＝7.5﹣1.5t ，S ＝S 梯形DPBC ﹣S △DPQ ﹣S △BQC=12（2t +4）×6−12×2t ×（7.5﹣1.5t ）−12×1.5（t ﹣1）×4＝1.5t 2﹣4.5t +15；③当2＜t ≤5时，BP ＝10﹣2t ，S =12BP •BC=12（10﹣2t）×4＝20﹣4t．综上所述：运动过程中△BPQ的面积为S（cm2），用含t（s）的式子表示面积S（cm2）为：S＝12 （0＜t≤1）或S＝1.5t2﹣4.5t+15（1＜t≤2）或S＝20﹣4t（2＜t≤5）．22．（10分）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．【解答】解：设AB＝AC＝acm，∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，即a2＝（a﹣6）2+82，解得：a=25 3，即AB=253cm．23．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，{∠1=∠3AB=AC∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH＝2，S四边形AECF＝S△ABC=12BC•AH=12BC•√AB2−BH2=4√3．24．（12分）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．【解答】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB +BD ＝AE ，理由如下：如图2，在AB 上取BH ＝BD ，连接DH ，∵BH ＝BD ，∠B ＝60°，∴△BDH 为等边三角形，∴∠BHD ＝60°，BD ＝DH ，∵AD ＝DE ，∴∠E ＝∠CAD ，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠ACB ﹣∠E 即∠BAD ＝∠CDE ， ∵∠BHD ＝60°，∠ACB ＝60°，∴180°﹣∠BHD ＝180°﹣∠ACB 即∠AHD ＝∠DCE ， ∵∠BAD ＝∠CDE ，AD ＝DE ，∠AHD ＝∠DCE ， 在△AHD 和△DCE ，{∠BAD =∠CDE ∠AHD =∠DCE AD =DE，∴△AHD ≌△DCE （AAS ），∴DH ＝CE ，∴BD ＝CE ，∴AE ＝AC +CE ＝AB +BD ．（3）AB ＝BD +AE ，如图3，在AB 上取AF ＝AE ，连接DF ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∴△AFE 是等边三角形，∴∠F AE ＝∠FEA ＝∠AFE ＝60°，∴EF ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DEF ，∵AD ＝DE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴∠DEF ＝∠DAF ，∵DF ＝DF ，AF ＝EF ，在△AFD 和△EFD 中，{AD =DE DF =DF AF =EF，∴△AFD ≌△EFD （SSS ）∴∠ADF ＝∠EDF ，∠DAF ＝∠DEF ，∴∠FDB ＝∠EDF +∠EDB ，∠DFB ＝∠DAF +∠ADF ， ∵∠EDB ＝∠DEF ，∴∠FDB ＝∠DFB ，∴DB ＝BF ，∵AB ＝AF +FB ，∴AB ＝BD +AE ．。