论文,夏杰矩阵可交换的条件

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练

矩阵可交换的条件

系部：信息与计算科学

专业：数学与应用数学

学号： 2009031123

学生姓名：夏杰

成绩：

2012 年６月

矩阵可交换的条件

夏杰

长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022

摘要：本文通过对矩阵的理论研究，给出了矩阵可交换的部分充分条件和部分充要条件． 关键词：矩阵，可交换

1 引言

在高等代数以及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。由矩阵的理论可知。矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵A B 有意义时，矩阵B A 未必有意义，即使矩阵A B 、B A 都有意义时它们也未必相等。或者说，在一般情况下，矩阵AB BA ≠，但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也是满足交换律的，从而研究矩阵A B 与B A 的关系具有重要的意义。我们知道若对n 阶实方阵A 、B ，如果满足AB BA =，则称A 与B 可交换。可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵均指n 阶实方阵)．

2 矩阵可交换的充分条件

定理1[１] (1)设,A B 至少有一个为零距阵，则,A B 可交换；

(2)设,A B 至少有一个为单位矩阵，则,A B 可交换；

(3)设,A B 至少有一个为数量矩阵，则,A B 可交换；

(4)设,A B 均为对角矩阵，则,A B 可交换；

(5)设,A B 均为准对角矩阵，则,A B 可交换；

(6)设A *是A 的伴随矩阵，则A 与A *可交换；

(7)设A 可逆，则A 与1A -可逆；

(8)设AB E =，则,A B 可交换．

证明 (1)对任意矩阵A ，均有：00A A =，0表示零距阵；

(2)对任意矩阵A ，均有：AE EA =，E 表示单位矩阵；

(3)对任意矩阵A ，均有：()()A kE kE A =，k 为任意实数；

(4)、(5)显然成立；

(6) A A AA A E **==；

(7) 11A A AA E --==；

(8)当AB E =时，,A B 均可逆，且互为逆矩阵．

定理2[１] (1)设AB A B αβ=+，其中,αβ为非零实数，则,A B 可交换；

(2)设m A AB E α+=，其中m 为正整数，α为非零实数，则,A B 可交换．

证明 (1)由AB A B αβ=+

可得()()A E B E E βααβ--= 即1()()A E B E E βααβ

--= 故依定理1(8)得1

()()B E A E E αβαβ--=

于是BA A B E E αβαβαβ--+=

所以BA A B AB αβ=+=；

(2)由m A AB E α+=得1()m A A B E α-+=，故依定理1(8)得1()m A B A E α-+=， 于是m A BA E α+=，所以可得AB BA =．

定理3[１] (1)设A 可逆，若0A B =或A AB =或A BA =，则,A B 可交换；

(2)设,A B 均可逆，若对任意实数k ，均有()A A kE B =-，则,A B 可交换．

证明 (1)若0A B =，由A 可逆得11()()0B A A B A AB --===，从而0B A =，故

AB BA =；若A AB =同理可得111()()B A A B A AB A A E ---====，故AB BA =；若A BA =，

则111()()B B AA BA A AA E ---====，故AB BA =．

(2)因,A B 均可逆，故由()A A kE B =-得A kE -可逆且1()B A kE A -=-，

则 1[()][()]A B A kE B A kE A -''''=--

111()[()]

()()

()()

()B A kE A A kE B A A kA A kE B A A kE A kE B A E B A A B ---''''=--'''''=--''''=--'''''===

两边取转置可得AB BA =．

３ 矩阵可交换的几个充要条件

定理4[１] 下列均是,A B 可交换的充要条件:

(1)22()()()()A B A B A B A B A B -=+-=-+；

(2)222()2A B A AB B ±=±+；

(3)()AB A B '''=；

(4)()AB A B ***=．

证明 (1)由22()()A B A B A AB AB B +-=-+-及22()()A B A B A AB AB B -+=+--可证得；

(2)由222()A B A AB AB B ±=±±+可证得；

(3)分别由,()AB BA AB A B '''==两边取转置可证得；

(4)分别由,()AB BA AB A B ***==两边取转置可证得．

定理5[１] 可逆矩阵,A B 可交换的充要条件是111()AB A B ---=．

证明 分别111,()AB BA AB A B ---==两边取逆矩阵可证得．

定理6

[１] (1)设,A B 均为（反）对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称矩阵；

(2)设,A B 有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为反对称矩阵．

证明 (1)设,A B 均为对称矩阵，由定理4（3），()AB A B AB '''==，因此A B 为对称矩阵；若,A B 为反对称矩阵，则()()()AB A B A B AB '''==--=，因此A B 也为对称矩阵．

(2)仿照(1)可证得．

定理7

[１] 设,A B 均为对称正定矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称正定矩阵．

证明 充分性由定理6（1）可得；下证必要性：

因,A B 为对称正定矩阵，故由可逆矩阵,P Q ，使,A PP B QQ ''==，

于是1,()()AB PP Q Q P ABP P Q P Q -'''''==，所以1P ABP -为对称正定矩阵，其特征值全为正数，而A B 与1P ABP -相似，从而A B 的特征值也全为正数，因此A B 为对称正定矩阵．

引理1[2] 当A 矩阵为对角阵，即12(,,,)n A diag a a a = ，且(1,2,,)i a i n = 互不相同

时，与它可交换的B 矩阵必可表示成A 的1n -次多项式．

证明 与对角矩阵可交换的矩阵用求解方程()AB BA =的办法可以得到结论：B 必须是一个对角阵12(,,,),(1,2,,)n i B diag c c c c i n == 可以取任何实数．如果我们考虑下

面方程：

1011n n B p I p A p A --=++ ．

它实际上是一个011,,,n p p p - 作为未知数的线性方程组，其系数矩阵正好是一个范德蒙

行列式，当(1,2,,)i a i n = 互不相同时，该系数行列式不为零，

所以可求得(0,1,2,,1)i p i n =- 是唯一解，故引理的结论得证．

定理8[2] 一个矩阵A 化成Jordan 标准型J 后，若J 中没有纯量矩阵的Jordan 块c J ，那么与A 可交换的B 矩阵其充要条件为B 可以化成A 的1n -次多项式，即

11011()n n n B P A p I p A p A ---==++ ．

证明 对于与A 可交换的B 矩阵应满足的方程AB BA =中，若将A 化成Jordan 标