公因式PPT

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北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)

= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1

4.提公因式为多项式的因式分解课件

解：原式 = a(a-b)3 + 2a2(a-b)2 - 2ab(a-b)2 = a(a-b)2 [(a-b) + 2a - 2b] = a(a-b)2(3a-3b) = 3a(a-b)3
随堂练习
5.已知 a-b=5，ab=6，求代数式a2b-ab2+4ab的值.
解：a2b - ab2 + 4ab = ab(a-b+4). 将 a-b = 5，ab = 6代入计算，则原式 = 6×(5+4)=54.
（2）6(m - n)3 - 12(n - m)2 = 6(m - n)3 - 12(m - n)2 = 6(m - n)2(m - n - 2).
归纳总结
(1) a - b 与 -a + b 互为相反数. (a - b)n = (b - a)n (n是偶数)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇数) a + b 与 -a - b 互为相反数.
= (x - y)2 - y(x - y)
= (y - x)2 + y(y - x)
= (x - y)(x - y - y)
= (y - x)(y - x + y)
= (x - y)(x - 2y).
= (y - x)(2y - x).
随堂练习
4. 因式分解 a(a-b)3 + 2a2(b-a)2 - 2ab(b-a)2.
因式是( C ) A．a－4
B．a＋4
C．4－a
D．4＋a
随堂练习
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ). 解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) = (a2 + b2)(p - q).

提公因式法ppt课件

知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)

a1ຫໍສະໝຸດ 指数：相同字母的字母：最低次数
相同的字母
所以公因式是 4a
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
新课讲授
教材第40页
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解和整式乘法的过程正好相反，是互为相反的变形，即
a2 - b2
因式分解整式乘法
(a + b)(a - b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
当堂练习
12.下列因式分解正确的有( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)； ②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)； ③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)； ④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，当提取的公因式有“－”号时，应注意括号内各项要变号．
（2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a);
解：原式＝x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) ＝(a-b)(x-y+3).
新课讲授
教材第43页
例题5 分解因式：
（3）6(x+y)2 -2(x-y)(x+y).
解：原式＝2(x+y)[3(x+y) －(x－y)] ＝2(x+y)(3x+3y －x + y) ＝2(x + y)(2x+4y) ＝4(x+y)(x+2y).

多项式的最大公因式

多项式的最大公因式
目录
• 引言 • 多项式的最大公因式 • 最大公因式的证明 • 最大公因式的应用实例 • 总结与展望
01 引言
最大公因式的定义
最大公因式：两个或多个多项式之间最大的公共因子多项式。
最大公因式是多项式的一种重要属性，它在多项式理论、代数几何等领域中有着广泛的应用。
最大公因式的重要性
因式分解
02
03
代数方程求解
利用最大公因式可以将多项式进行因式分解，从而得到其标准形式。
在求解代数方程时，可以利用最大公因式进行消元或化简，简化计算过程。
03 最大公因式的证明
最大公因式的存在性证明
• 存在性证明：通过数学归纳法，我们可以证明对于任意两个多项式，都存在一个最大公因式。首先，当两个多项式为零多项式时，最大公因式显然存在。然后，假设存在一个最大公因式$g(x)$，对于任意两个多项式 $f(x)$和$h(x)$，如果$g(x)$是$f(x)$ 和$h(x)$的最大公因式，那么对于 $f(x)$和$h(x)$的任何公因式$k(x)$， $k(x)$也是$g(x)$的因式。因此， $g(x)$是所有这样的$k(x)$中的最大的，即最大公因式。
简化多项式代数方程的解法
数学分析数学教育
通过求取多项式的最大公因式，可以简化多项式，使其更易于处理和计算。
最大公因式在求解代数方程时起到关键作用，例如在消元法中用于消去多项式中的某些项。
在数学分析中，最大公因式可用于研究多项式的根的性质和分布。
对于学生来说，理解和掌握最大公因式是学习代数的重要基础，有助于提高他们的数学思维能力。
最大公因式的性质
唯一性
对于给定的两个多项式，其最大公因式是唯一的。

提取公因式课件(浙教版)

(a b)[2(a b) 1]
(a b)(2a 2b 1).
注意：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
课内
1.确定下列多项式的公因式，并分解因式.
练习
⑴ax+ay.
⑵3mx-6nx2.
⑶4a2b+10ab-2ab2.
解⑴公因式是a， ax+ay=a(x+y).
a(b 1 h) ax, 2
x b 1 x. 2
拓
展先因式分解，再求值：a(a b)(a b) a(a b)2 ，
其中
a b 1，
ab 1 2
.
解原式 a(a b)[(a b) (a b)]
2ab(a b).
当 a b 1 ， ab 1 时， 2
原式 2 ( 1)1 1. 2
注意：当首项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号.
(4) 3ab 6abx 9aby 3ab(1 2x 3y).
提取公因式法的一般步骤： 1.确定应提取的公因式. 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式. 3.把多项式写成这两个因式的积的情势.
填
应提取的公因式为 3x2 y . 含有公因式.
公因式的确定方法
系数：各项系数的最大公因数. 字母：各项都含有的相同字母的最低次幂的积.
想一
想 3ax2 y 6x3 yz 3x2 y(a 2xz).
另一个因式a+2xz中的a和2xz是如何得到的？
将多项式中的每一项分别除以3x2y.
例1 把下列各式分解因式：
⑵公因式是3x， 3mx-6nx2=3x(m-2nx).

课件《因式分解》PPT_完美课件_人教版2

所学的解题过程，我们应用了如下关系：
x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
（1）8a3b2+12ab3c (6) m2－4=(m+2)(m－2)
14.3.1 提公因式法因式分解
理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
新的多项式中若有小括号，要化
简
即是提公因式后剩下的另一个因式.
练一练
下面的因式分解正确吗？
➢ 3x2y−9xy2=3x(xy−3y2) 3xy (x−3y) ➢ 4x2y−6xy2+2xy=2xy(2x−3y) 2xy (2x−3y+1) ➢ x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y) (a−b)3(x−y)
分解因式
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式.
因式分解与整式乘法有何关系?
提公因式并确定另一个因式：要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
所以，公因式是3x2 .
所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 .
第十四章整式的乘法
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
定系数，再确定字母，最后确定公因式字母【名师点拨】别忘记最后核实括号内的多项式是否还有公因式。
2）(x+2)(x-2)= 这种分解因式方法叫提公因式法。
6）a2+2ab+b2= 是pa+pb+pc除以p的商
2xy (2x−3y+1)
的指数；

因式分解-提公因式法PPT演示课件

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拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
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2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
24
祝同学们：天天快乐，学业有成。
25
5
合作探究
用心观察，找到答案多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数：公因式的系数是各项整数系数的最大公约数。定字母：取各项的相同的字母相同字母的指数取次数最低的，定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x

最大公因式

就可以)，这是因为 f ( x ) 和 cf ( x ) 具有完全相同的因式，即
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
8 8
第一章多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
3 3
第一章多项式
二、最大公因式的存在性与求法

提公因式法PPT课件(华师大版)

分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是
4 27
；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是
4 27
xy2.
(3)视察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－ 36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中
有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知识点 2 提公因式法分解因式
提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
总结
准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－ 2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．
1 2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式应提取的公因式
是( )
A．－x＋y
B．x－y
C．(x－y)2
D．以上都不对
2 (中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
12.5 因式分解
第2课时提公因式法
公因式的定义提公因式法分解因式
知识点 1 公因式的定义
试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点.
公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式．

4第四节最大公因式

这里
3 u( x ) x 1 5
v( x )
1 2 2 x x 5 5
定义７如果 P[x] 中的两个多项式 f(x), g(x) 满足
(f(x), g(x))=1 ，那么就称 f(x), g(x)是互素的 .
显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项外式（非零常数）没有其它的公因式，反之亦然 .
入上式可消去rs-1(x)，得到
rs ( x ) (1 qs ( x )qs 1 ( x ))rs 2 ( x ) qs ( x )rs 3 ( x ).
然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去 rs-2(x) , … , r1(x)，再并项就得到
rs ( x ) u( x ) f ( x ) v( x ) g( x )
返回上页下页
在有了以上的定义之后，我们首先要解决的
是最大公因式的存在问题，以下的证明也给出了一个具体的求法. 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除法我们指出以下事实：如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，那么f(x), g(x) 和g(x) , r(x) 有相同的公因式 .
１） d(x) 是f(x), g(x) 的公因式；
２） f(x), g(x) 的公因式全是d(x) 的因式.
那么就称d(x) 为f(x), g(x) 的一个最大公因式
例如，对于任意多项式 f(x), f(x) 就是f(x) 与０的一个最大公因式 . 特别的，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是０。
解 2. 作带余除法有
f ( x) x g( x) x 1, g( x) x
n n
n
mn

因式分解-提取公因式法课件

根据上面的分析，你能把这个多项式分解因式吗？不妨试一试! 解： 8a3b2+12ab3c
= 4ab2 •2a2+4ab2 •3bc =4ab2（2a2+3bc）
如果提取的公因式是 4ab,另一个因式是否还有公因式？
通过学习，你能总结出找公因式的方法吗？我们把找公因式的方法归纳为三看：
一看系数二看字母三看指数
因式分解
二、探究
1、你能把下面的式子写成几个整式积
的形式吗？
X2+x=__x_(x_+_1_)_
x2-1=(_x_+_1_)_(x_-_1_)
2、你是怎么想到的？与同学交流一下，看看你的想法和同学想的是不是一样？
3、成果交流
利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化成一个多项式，反过来，也可以把一个多项式写成几个整式的积的形式。
怎样提取公因式？提取公因式后的另一个因式是什么？由整式乘法可得p(a+b+c)= pa+pb+pc 反过来就有pa+pb+pc = p(a+b+c），这样，
就把pa+pb+pc分解成了两个因式的积，其中一
个是公因式p，另一因式是pa+pb+pc除以公因式p所得的商a+b+c。
（3）提取公因式法根据上面的例子，你能说出怎样提取公因式吗？
指出下列各式中的公因式（1） 8x+64____8_____ （2） 2ab2+ 4abc___2_a_b___ （3） m2n3 -3n2m3__m__2_n_2__ （4） a3b-2a2b2+ab3__a_b______ （5）ab2(x+y)2-a2b(x+y)3 _a_b_(_x_+_y_)2__

提公因式法第二课时ppt课件

a b (ab)
(ab)2 [(ab)2] ( 1 )2(ab)2(ab)2 (ab)3[(ab)3] ( 1 )3(ab)3 (ab)3
(ab)4[(ab)4] ( 1 )4(ab)4(ab)4
规律: ( a b )n (a b )n(n是偶数)
( a b )n (a b )n(n是奇数) 例如: 2x(x2)
(1)当相同项的符号相同时,多项式相等. 如:a-b和-b+a
(2)当相同项的符号均相反时,多项式互为相反数.如:a-b和-a+b、b-a
(3)当相同项的符号有部分相同部分相反时, 多项式无关系.如a-b和b+a
提公因式法知识点复习
一、确定公因式的方法：
1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3、相同字母的指数取各项中最小的一个,即最低次幂
二、提公因式法分解因式步骤 (两步):
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式,即用多项式除以公因式.
提公因式法（二）
(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数）
(3)a-b与a+b、-a-b无关系
其实,判断一个多项式与另一个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同项的符号均相同时,多项式相等. 如:a-b和-b+a
(2)当相同项的符号均相反时,多项式互为相反数.如:a-b和-a+b、b-a
(xy)2(xy)2
(m1)3(m1)3
总结
(1)a-b与b-a、-a+b互为相反数.有
(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）
(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数） (2)a+b与b+a为相同数,但a+b与-a-b 互为相反数.有