贝叶斯最小错误概率分类器设计
最小风险的Bayes决策
0-1·损失函数
c
P(j X ) j1, ji
两种判决方式等价！ 9
3.3 Bayes分类器和判别函数
分类器设计：利用决策规则对观察向量 X 进行分类
d 维特征空间
决策规则
c 个决策域
决策面：划分决策域的边界面 决策面方程：决策面的数学解析形式 判别函数：表达决策规则的函数
用正态分布模型描述训练样本集与测试样本集在数 学上实现起来也比较方便
23
物理上的合理性 如果同一类样本在特征空间 内的确较集中地分布在其类均值的附近，远离 均值处分布较少，那么一般情况下以正态分布 模型近似往往是比较合理的
人们也往往因数学分析复杂程度考虑而不得不 采用这种模型，当然使用时应注意结果是否合 理或关注其可接受的程度
A [1 ,. . . ,a ] T ,1 ,. . . ,a为 a 个 决 策 状 态
损失函数 (i ,j ) : 真 实 状 态 为 j 而 判 断 为 i 的 损 失 ( i j )
期望损失（条件风险）
c
R (i|X )E [(i,j)] (i,j)P (j|X ) j 1
分割它们的决策面方程应满足：
gi(x) gj(x)
11
最小错误概率决策
判别函数的不同形式：
gi(x)P(i |x)
gi(x)P(xi)P(i)
g i(x ) lo g P (xi) lo g P (i)
12
最小风险决策
判别函数
gi(x)R(i |x)
判别函数不唯一，更一般地，f ( gi ( x)) （其中 f ( x ) 为 单调增函数）均可作为判别函数
18
后验概率：
基于最小错误率的贝叶斯决策
基于最⼩错误率的贝叶斯决策理论上的东西，就不写了，也写不出什么有价值的东西，资料太多了。
后⽂很多关于原理的讲述都给出了其他⽂章的引⽤。
分享⼀个⽐较简单易懂的。
数据集：328 个同学的⾝⾼、体重、性别数据（78 个⼥⽣、250 个男⽣）124 个同学的数据（40 ⼥、84 男）90 个同学的数据（16 ⼥，74 男）问题描述:以dataset1为训练数据库，假设⾝⾼与体重满⾜⾼斯分布，进⾏⾼斯分布的参数估计，并进⾏基于最⼩错误率的贝叶斯分类，分别考虑男⼥的先验概率，0.5-0.5；0.6-0.4；0.7-0.3，0.8-0.2，并以dataset2和dataset3为测试数据库分析分类性能，并探讨先验概率对分类性能的影响需要解决的问题：通过⽂章开头提供的资料可以看出，其实判别的函数就是下图，就是给定⼀个待测向量X，它是类别Wi的概率。
等号右边，P(Wi)就是先验概率，⽽p(X|Wi)则需要根据⾼斯概率密度函数（什么是⾼斯分布？）进⾏估计：然⽽，上⾯常见的⾼斯概率密度函数只是针对⼀维的参数X，对于⼤多数情况，输⼊参数会是多维的，多元⾼斯概率密度函数怎么求解呢？可以参考这篇⽂章：。
于是，我们得到针对⼆元变量的概率密度函数求解为：重点说明下，上⾯的参数，是多元变量间的相关性参数，设定值应该⼩于1。
⼆元变量相关系数求法：解决问题（python，numpy库⽀持）：#-*-encoding:utf-8-*-import numpyimport mathdef importdata(filename = 'dataset1.txt') :'''导⼊训练集'''f = open(filename,'r')dataset = []arr = []for item in f :vars = item.split()dataset.append([float(vars[0]), float(vars[1]), vars[2].upper()])return datasetdef getParameters(dataset) :'''从训练集分别获取不同类别下的期望、⽅差、标准差、类别的先验概率以及变量间相关系数'''class1 = []class2 = []class_sum = []for item in dataset :class_sum.append([item[0],item[1]])if item[-1] == 'F' :class1.append([item[0],item[1]])if item[-1] == 'M' :class2.append([item[0],item[1]])class1 = numpy.array(class1)class2 = numpy.array(class2)class_total = numpy.array(class_sum)mean1 = numpy.mean(class1,axis=0)variance1 = numpy.var(class1,axis=0)stand_deviation1 = numpy.std(class1,axis=0)mean2 = numpy.mean(class2,axis=0)variance2 = numpy.var(class2,axis=0)stand_deviation2 = numpy.std(class2,axis=0)class_total = (len(class1) + len(class2)) * 1.0mean = numpy.mean(class_sum, axis=0)stand_deviation = numpy.std(class_sum, axis=0)new_arr = [ ((item[0] - mean[0]) * (item[1] - mean[1]) / stand_deviation[0] / stand_deviation[1]) for item in dataset]coefficient = numpy.mean(new_arr)return (mean1,mean2),(variance1,variance2),(stand_deviation1, stand_deviation2),(len(class1)/class_total,len(class2)/class_total),coefficient def GaussianFunc(mean, variance, stand_deviation, coefficient) :'''根据指定参数（期望、⽅差、标准差、多元向量间的相关性）⽣成⾼斯函数多元变量的⾼斯函数'''def func(X) :X = [X[0] - mean[0], X[1] - mean[1]]B = [[variance[0], coefficient * stand_deviation[0] * stand_deviation[1]],[coefficient * stand_deviation[0] * stand_deviation[1], variance[1]]] inv_B = numpy.linalg.inv(B)A = inv_BB_val = (1.0 - coefficient**2) * variance[0] * variance[1]tmp1 = 2*math.pi * (B_val ** 0.5)X = numpy.array([X])tmp2 = (-0.5) * numpy.dot(numpy.dot(X, A), X.T)res = 1.0 / tmp1 * (math.e ** tmp2)return resreturn funcdef f(X, funcs, class_ps, index) :'''贝叶斯概率计算函数'''tmp1 = funcs[index](X) * class_ps[index]tmp2 = funcs[0](X) * class_ps[0] + funcs[1](X) * class_ps[1]return tmp1 / tmp2def classify(X,funcs,class_ps,labels) :'''基于最⼩错误率的贝叶斯判别分类。
实验一图像的贝叶斯分类一、实验目...
实验一图像的贝叶斯分类一、实验目的将模式识别方法与图像处理技术相结合，掌握利用最小错分概率贝叶斯分类器进行图像分类的基本方法，通过实验加深对基本概念的理解。
二、实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB三、实验原理1 基本原理阈值化分割算法是计算机视觉中的常用算法，对灰度图象的阈值分割就是先确定一个处于图像灰度取值范围内的灰度阈值，然后将图像中每个像素的灰度值与这个阈值相比较。
并根据比较的结果将对应的像素划分为两类，灰度值大于阈值的像素划分为一类，小于阈值的划分为另一类，等于阈值的可任意划分到两类中的任何一类。
此过程中，确定阈值是分割的关键。
对一般的图像进行分割处理通常对图像的灰度分布有一定的假设，或者说是基于一定的图像模型。
最常用的模型可描述如下：假设图像由具有单峰灰度分布的目标和背景组成，处于目标和背景内部相邻像素间的灰度值是高度相关的，但处于目标和背景交界处两边的像素灰度值有较大差别，此时，图像的灰度直方图基本上可看作是由分别对应于目标和背景的两个单峰直方图混合构成。
而且这两个分布应大小接近，且均值足够远，方差足够小，这种情况下直方图呈现较明显的双峰。
类似地，如果图像中包含多个单峰灰度目标，则直方图可能呈现较明显的多峰。
上述图像模型只是理想情况，有时图像中目标和背景的灰度值有部分交错。
这时如用全局阈值进行分割必然会产生一定的误差。
分割误差包括将目标分为背景和将背景分为目标两大类。
实际应用中应尽量减小错误分割的概率，常用的一种方法为选取最优阈值。
这里所谓的最优阈值，就是指能使误分割概率最小的分割阈值。
图像的直方图可以看成是对灰度值概率分布密度函数的一种近似。
如一幅图像中只包含目标和背景两类灰度区域，那么直方图所代表的灰度值概率密度函数可以表示为目标和背景两类灰度值概率密度函数的加权和。
如果概率密度函数形式已知，就有可能计算出使目标和背景两类误分割概率最小的最优阈值。
假设目标与背景两类像素值均服从正态分布且混有加性高斯噪声，上述分类问题可以使用模式识别中的最小错分概率贝叶斯分类器来解决。
模式识别习题及答案
模式识别习题及答案第⼀章绪论1.什么是模式具体事物所具有的信息。
模式所指的不是事物本⾝，⽽是我们从事物中获得的___信息__。
2.模式识别的定义让计算机来判断事物。
3.模式识别系统主要由哪些部分组成数据获取—预处理—特征提取与选择—分类器设计/ 分类决策。
第⼆章贝叶斯决策理论1.最⼩错误率贝叶斯决策过程答：已知先验概率，类条件概率。
利⽤贝叶斯公式得到后验概率。
根据后验概率⼤⼩进⾏决策分析。
2.最⼩错误率贝叶斯分类器设计过程答：根据训练数据求出先验概率类条件概率分布利⽤贝叶斯公式得到后验概率如果输⼊待测样本X ，计算X 的后验概率根据后验概率⼤⼩进⾏分类决策分析。
3.最⼩错误率贝叶斯决策规则有哪⼏种常⽤的表⽰形式答：4.贝叶斯决策为什么称为最⼩错误率贝叶斯决策答：最⼩错误率Bayes 决策使得每个观测值下的条件错误率最⼩因⽽保证了（平均）错误率最⼩。
Bayes 决策是最优决策：即，能使决策错误率最⼩。
5.贝叶斯决策是由先验概率和（类条件概率）概率，推导（后验概率）概率，然后利⽤这个概率进⾏决策。
6.利⽤乘法法则和全概率公式证明贝叶斯公式答：∑====m j Aj p Aj B p B p A p A B p B p B A p AB p 1)()|()()()|()()|()(所以推出贝叶斯公式7.朴素贝叶斯⽅法的条件独⽴假设是（P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi)= P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)）8.怎样利⽤朴素贝叶斯⽅法获得各个属性的类条件概率分布答：假设各属性独⽴，P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi) = P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)后验概率：P(ωi|x) = P(ωi) P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)类别清晰的直接分类算，如果是数据连续的，假设属性服从正态分布，算出每个类的均值⽅差，最后得到类条件概率分布。
最小风险贝叶斯决策判决规则
最小风险贝叶斯决策判决规则1. 走进最小风险的世界你有没有过这种经历？你站在一个十字路口，不知道该往哪边走。
左边可能有更美丽的风景，但也可能遇到堵车；右边看似平淡无奇，但也许会有惊喜。
决定究竟走哪边，真是让人抓狂。
其实，这就像是贝叶斯决策中的一个经典问题：如何在不确定的情况下做出最优选择？听起来复杂对吧？别担心，让我们一步步来解开这个谜团。
2. 贝叶斯决策规则大揭秘2.1 贝叶斯的魔法贝叶斯决策规则的核心思想就是最小化风险。
我们先得了解什么是风险。
想象一下，你在赌场里，拿着一把筹码，面前有一副扑克牌。
你能选择赌一手，但不确定对手的牌有多强。
你知道，如果你选择错了，可能会输钱；如果选择对了，可能会赢大钱。
最小风险的意思就是在这张扑克牌游戏中，怎么才能让你输钱的概率最小，也就是风险最小。
2.2 如何选择最小风险的路径回到我们的十字路口问题。
假如你想用贝叶斯决策规则来决定走哪条路，首先，你需要知道每条路的可能结果和这些结果的概率。
简单来说，你得了解每条路可能带来的好事和坏事的概率。
比如，左边的路你知道可能会遇到拥堵，概率是50%，而右边的路，你知道它的拥堵概率只有20%。
这时候，你就需要计算走每条路的期望风险。
期望风险就是对所有可能结果的风险进行加权平均。
简单点说，就是把每条路的所有可能坏结果的风险加起来，看哪个路的综合风险最小。
听起来是不是有点像在做数学题？别担心，做这种选择题其实就像是你在超市挑选打折商品，挑那个最划算的就对了。
3. 风险最小化的妙招3.1 把风险控制在合理范围内在现实生活中，我们面临的风险多得数不过来，比如投资股市、选择工作、甚至是买房子。
最小风险贝叶斯决策规则就像是你手里的一个万能工具，可以帮助你在这些选择中做出更理智的决定。
想象一下，你要投资一个新项目。
你可以用贝叶斯方法来估算这个项目的成功概率和可能带来的损失。
你计算出每种可能结果的风险，然后把它们加权，看看哪种投资最能让你的钱包安稳。
贝叶斯决策(1)
贝叶斯决策(1)
基于最小风险的贝叶斯决策
上述分类基于错误率最小化的所得到规则，但有
时要考虑比错误率更广泛的概念-----风险。风险与
损失密切相连。
比如对细胞分类固然尽可能正确判断，但判错了 的后果将怎样？
正常异常：精神负担； 异常正常：失去进一步治疗的机会。
显然这两种不同的错误判断所造成损失的严重程 度是有显著差别的，后者的损失比前者更严重。
v 决策：是从样本空间S，到决策空间Θ的一个 映射，表示为：D: S -> Θ。
v 评价决策有多种标准，对于同一个问题，采 用不同的标准会得到不同意义下“最优”的 决策。
贝叶斯决策(1)
Bayes决策常用的准则
v 主要有：
基于最小错误率的贝叶斯决策
基于最小风险的贝叶斯决策
在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的 两类别决策(Neyman—Pearson决策)
贝叶斯决策(1)
2. 利用后验概率P(j/x)与损失函数，计算出 每个条件期望风险R(i/x)(一共有a个决策)。
3. 在a个R(i/x)相互比较，找出最小的决策k， 完成最小风险贝叶斯决策。
贝叶斯决策(1)
❖ 注意：最小风险贝叶斯决策除了先验概
率 P(j) 和 类 条 件 概 率 密 度 p(x/j) 外 ， 还需要有合适的损失函数(j,j)。
1、先验形式
贝叶斯决策(1)
2、似然比 似然比
似然比阈值
由先验形式易知： 即：
贝叶斯决策(1)
3、似然对数
贝叶斯决策(1)
❖例：某地区细胞识别； P(ω1)=0.9， P(ω2)=0.1 未知 细胞x，先从类条件概率密度分布曲线上查到： P(x/ω 1)=0.2， P(x/ω 2)=0.4 问该细胞属于正常细胞还是异常细胞。 解：先计算后验概率：
机器学习实验2-贝叶斯分类器设计
一、实验意义及目的1、掌握贝叶斯判别定理2、能利用matlab编程实现贝叶斯分类器设计3、熟悉基于matlab的算法处理函数，并能够利用算法解决简单问题二、算法原理贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性公式为：贝叶斯法则：当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。
内容：（1）两类w服从正态分布，设计基于最小错误率的贝叶斯分类器，对数据进行分类。
（2）使用matlab进行Bayes判别的相关函数，实现上述要求。
（3）针对（1）中的数据，自由给出损失表，并对数据实现基于最小风险的贝叶斯分类。
三、实验内容（1）尝两类w服从正态分布，设计基于最小错误率的贝叶斯分类器，对数据进行分类。
代码清单：clc;clear all;meas=[0 0;2 0;2 2;0 2;4 4;6 4;6 6;4 6];%8x2矩阵这里一行一行2个特征[N n]=size(meas);species={'one';'one';'one';'one';'two';'two';'two';'two'};%这里也对应一行一行的sta=tabulate(species)[c k]=size(sta);priorp=zeros(c,1);for i=1:cpriorp(i)=cell2mat(sta(i,k))/100;%计算概率end%cell2mat(sta(:,2:3)) 提取数组中的数据本来sta数组中数据为矩阵不能直接用%估算类条件概率参数cpmean=zeros(c,n);cpcov=zeros(n,n,c);for i=1:ccpmean(i,:)=mean(meas(strmatch(char(sta(i,1)),species,'exact'),:));%exact精确查找cpmean放的每一类的均值点几类就几行cpcov(:,:,i)=cov(meas(strmatch(char(sta(i,1)),species,'exact'),:))*(N*priorp(i)-1)/(N*priorp(i));end%求（3 1）的后验概率x=[3 1];postp=zeros(c,1);for i=1:cpostp(i)=priorp(i)*exp(-(x-cpmean(i,:))*inv(cpcov(:,:,i))*(x-cpmean(i,:))'/2)/((2*pi)^(n/2)*det(cpcov(:,:,i)));endif postp(1)>postp(2)disp('第一类');elsedisp('第二类');end运行结果：（2）使用matlab进行Bayes判别的相关函数，实现上述要求。
贝叶斯决策理论
g(x)
判别计算
阈值单元
决策
贝叶斯决策理论
2.3 正态分布时的统计决策
重点分析正态分布情况下统计决策的原因是： ①正态分布在物理上是合理的、广泛的 ②正态分布 数学表达上简捷，如一维情况下只
有均值和方差两个参数，因而易于分析
贝叶斯决策理论
贝叶斯决策理论
目标：所采取的一系列决策行动应该使期 望风险达到最小
手段：如果在采取每一个决策时，都使其 条件风险最小，则对所有的 x 作决策时， 其期望风险也必然达到最小
决策：最小风险Bayes决策
贝叶斯决策理论
最小风险Bayes决策规则：
其中
采取决策
贝叶斯决策理论
最小风险Bayes决策的步骤
2.2.6 分类器设计
要点： • 判别函数 • 决策面（分类面） • 分类器设计
贝叶斯决策理论
决策面（分类面）
对于 c 类分类问题，按照决策规则可以把 d 维特 征空间分成 c 个决策域，我们将划分决策域的 边界面称为决策面（分类面）
贝叶斯决策理论
判别函数
用于表达决策规则的某些函数，则称为判别 函数
E{ xi xj } = E{ xi } E{ xj }
贝叶斯决策理论
相互独立
成立
成立？？ 多元正态分布的任
不相关
意两个分量成立！
贝叶斯决策理论
说明：正态分布中不相关意味着协方差矩阵
是对角矩阵
并且有
贝叶斯决策理论
④边缘分布(对变量进行积分)和条件分布(固定变 量)的正态性
⑤线性变换的正态性
y=Ax A为线性变换的非奇异矩阵。若 x 为正态分布，
贝叶斯决策
超曲面。相邻的两个类别在决策面上的判别函数
值是相等的。如果ωi和ωj是相邻的，则分割它们 的决策面就应为
– di(x)=dj(x) 或 di(x)-dj(x)=0 – 对于两类问题，决策面方程：
– P(x|ω1)P(ω1)-P(x|ω2)P(ω2)=0
§2.2 基于贝叶斯公式的几种判别规则
一、基于最小风险的贝叶斯决策
ωi所受损失。因为这是错误判决，故损失最大。
表示：在决策论中，常以决策表表示各种 情况下的决策损失。
状态
ω
ω
…ω
…ω
损失
1
2
j
m
决策
α1
…
…
α2
…
…
…
…
αi
…
…
…
…
αα
…
…
2.风险R（期望损失）：
对未知x采取判决行动α(x)所付出的代价（损耗）
➢行动αi：表示把模式x判决为ωi类的一次动作。
➢条件风险：
密度，考虑误判的损失代价。决策应是统计意义
上使由于误判而蒙受的损失最小。
–
如果在采取每一个决策或行动时，都使
其条件风险最小，则对所有的x作出决策时，其期
望风险也必然最小。（条件平均损失最小的判决
也必然使总的平均损失最小。）
–5.最小风险贝叶斯决策规则
–如果 ：
–6.判决实施步骤：
–（1）在已知P(ωj),P(x|ωj),j=1,2,…m，并给出待 识别的x的情况下，根据贝叶斯公式计算出后验概
决策表很不容易，往往要根据所研究的具体问题， 分析错误决策造成损失的严重程度来确定。
–7.错误率最小的贝叶斯决策规则与风险最小的贝 叶斯决策规则的联系 – 在采用0-1损失函数时，最小风险贝叶斯决 策就等价于最小错误率贝叶斯决策。
贝叶斯误差计算
贝叶斯误差（Bayes Error Rate）是指在现有特征集上，任意可以基于特征输入进行随机输出的分类器所能达到的最小误差。
换句话说，它是分类问题中理论上可能达到的最佳性能。
要计算贝叶斯误差，我们需要知道每个类别的先验概率（即每个类别在数据集中出现的频率）以及每个类别下每个特征的条件概率。
然后，我们可以使用这些概率来计算每个样本属于每个类别的后验概率，并选择具有最高后验概率的类别作为预测类别。
贝叶斯误差的计算公式为：贝叶斯误差= 1 -最大后验概率
其中，最大后验概率是指在所有可能的类别中，具有最高后验概率的类别的概率。
举个例子，假设我们有一个二分类问题，其中类别1的先验概率为0.6，类别2的先验概率为0.4。
对于某个特定的样本，类别1的条件概率为0.8，类别2的条件概率为0.2。
那么，该样本属于类别1的后验概率为：
后验概率（类别1）= (先验概率（类别1）* 条件概率（类别1））/ (先验概率（类别1）* 条件概率（类别1）+ 先验概率（类别2）* 条件概率（类别2））
= (0.6 * 0.8) / (0.6 * 0.8 + 0.4 * 0.2)
= 0.9
因此，该样本属于类别1的最大后验概率为0.9，所以贝叶斯误差为1 - 0.9 = 0.1，即10%。
需要注意的是，贝叶斯误差是一个理论上的值，实际上很难达到，因为我们需要知道每个类别下每个特征的条件概率，这在现实世界中往往是不可行的。
但是，贝叶斯误差为我们提供了一个评估分类器性能的理论上限。
1。
朴素贝叶斯分类器详细介绍
实例[编辑]
性别分类[编辑]
问题描述:通过一些测量的特征，包括身高、体重、脚的尺寸，判定一个人是男 性还是女性。 训练[编辑] 训练数据如下： 性别 身高(英尺) 体重(磅) 脚的尺寸(英寸) 男 男 男 男 女 6 180 12 11 12 10 6 5.92 (5'11") 190 5.58 (5'7") 170 5.92 (5'11") 165 5 100
我们希望得到的是男性还是女性哪类的后验概率大。男性的后验概率通过下面 式子来求取
女性的后验概率通过下面式子来求取
证据因子（通常是常数）用来使各类的后验概率之和为 1.
证据因子是一个常数（在正态分布中通常是正数），所以可以忽略。接下来我 们来判定这样样本的性别。
,其中 ， 是训练集样本的正态分布参数. 注意，这里 的值大于 1 也是允许的 – 这里是概率密度而不是概率，因为身高是一个连续 的变量.
用朴素的语言可以表达为：
实际中，我们只关心分式中的分子部分，因为分母不依赖于 而且特征 的值 是给定的，于是分母可以认为是一个常数。这样分子就等价于联合分布模型。
重复使用链式法则，可将该式写成条件概率的形式，如下所示：
现在“朴素”的条件独立假设开始发挥作用:假设每个特征 是条件独立的。这就意味着
对于其他特征
样本修正[编辑]
如果一个给定的类和特征值在训练集中没有一起出现过，那么基于频率的估计 下该概率将为 0。这将是一个问题。因为与其他概率相乘时将会把其他概率的 信息统统去除。所以常常要求要对每个小类样本的概率估计进行修正，以保证 不会出现有为 0 的概率出现。
从概率模型中构造分类器[编辑]
讨论至此为止我们导出了独立分布特征模型，也就是朴素贝叶斯概率模型。朴 素贝叶斯分类器包括了这种模型和相应的决策规则。根据分类决策规则的不同， 贝叶斯分类有多种形式： 最小错误率贝叶斯分类器， 最大似然比贝叶斯分类 器，最小风险贝叶斯分类器。 一个普通的规则就是选出最有可能的那个，即将一个待分类样本划归到后验概 率最大的那一类中：这就是大家熟知的最大后验概率（MAP）决策准则，真正分 类器称为最大后验概率分类器，与最小错误率贝叶斯分类器是等价的。当采取 最大后验概率决策时，分类错误概率取得最小值。相应的分类器便是如下定义 的 公式：
模式识别实验报告-实验一 Bayes分类器设计讲解
实验一 Bayes 分类器设计【实验目的】对模式识别有一个初步的理解，能够根据自己的设计对贝叶斯决策理论算法有一个深刻地认识，理解二类分类器的设计原理。
【实验原理】最小风险贝叶斯决策可按下列步骤进行：(1)在已知)(i P ω，)(i X P ω，i=1,…，c 及给出待识别的X 的情况下，根据贝叶斯公式计算出后验概率： ∑==cj iii i i P X P P X P X P 1)()()()()(ωωωωω j=1,…，x(2)利用计算出的后验概率及决策表，按下面的公式计算出采取i a ,i=1,…，a 的条件风险∑==cj j jii X P a X a R 1)(),()(ωωλ,i=1,2,…,a(3)对(2)中得到的a 个条件风险值)(X a R i ,i=1,…，a 进行比较，找出使其条件风险最小的决策k a ，即()()1,min k i i aR a x R a x ==则k a 就是最小风险贝叶斯决策。
【实验内容】假定某个局部区域细胞识别中正常（1ω）和非正常（2ω）两类先验概率分别为 正常状态：P （1ω）=0.9； 异常状态：P （2ω）=0.1。
现有一系列待观察的细胞，其观察值为x ：-3.9847 -3.5549 -1.2401 -0.9780 -0.7932 -2.8531 -2.7605 -3.7287 -3.5414 -2.2692 -3.4549 -3.0752 -3.9934 2.8792 -0.9780 0.7932 1.1882 3.0682-1.5799 -1.4885 -0.7431 -0.4221 -1.1186 4.2532 已知类条件概率是的曲线如下图：)|(1ωx p )|(2ωx p 类条件概率分布正态分布分别为N （-2，0.25）、N （2,4）试对观察的结果进行分类。
【实验要求】1)用matlab 完成基于最小错误率的贝叶斯分类器的设计，要求程序相应语句有说明文字，要求有子程序的调用过程。
基于贝叶斯决策理论的分类器(1)
测量从待分类向量x到每一类均值向量的欧氏距
离，把x分到距离最近的类，
mi是从训
练样本集中得到的。也称最小距离分类器。
若把每个均值向量mi看作一个典型的样本(模板)
，则这种分类方法也称为模板匹配技术。
② P(wi)≠P(wj)
欧氏距离的平方必须用方差s2规范化后减去 lnP(wi)再用于分类。因此，如果待分类的向量x
①最小错误概率情况下阈值x0 (取对数运算)
②最小风险情况下阈值x0
• 如果这两类不是等概率，
P(w1)< P(w2),阈值左移
也就是说扩大最大可能 类的区域。可能性大的 类可产生更小的误差。
阈值左移
⑶拒绝决策 • 在某些情况下拒绝决策比错误判别风险要小。 • 样本x在各种判别条件下的平均风险
• 当i=c+1时，如果R(ac+1|x)< R(ai|x), i=1,2,···,c则 对x作出拒绝判别。
4. 最小风险的Bayes决策 ⑴把分类错误引起的“损失”加入到决策中去。
决策论中： 采取的决策称为动作，用ai表示；
每个动作带来的损失，用l表示。
归纳数学符号：
• 一般用决策表或损失矩阵表示上述三者关系。 决策表表示各种状态下的决策损失，如下表：
• 由于引入了“损失”的概念 (即在错判时造成的损 失)，不能只根据后验概率来决策，必须考虑所 采取的决策是否使损失最小。
c×(c-1)项组成，计算量大。
• 用平均正确分类率P(c)计算只有c 项：
例1：细胞识别
已知：正常类P(w1)＝0.9; 异常类P(w2)＝0.1
待识别细胞 x, 从类条件概率密度曲线上查得
p(x|w1)＝0.2; p(x|w2)＝0.4
Bayes分类器设计
Bayes分类器设计实验⼆ Bayes 分类器设计⼀、实验⽬的通过实验,加深对统计判决与概率密度估计基本思想、⽅法的认识,了解影响Bayes 分类器性能的因素,掌握基于Bayes 决策理论的随机模式分类的原理与⽅法。
⼆、实验内容设计Bayes 决策理论的随机模式分类器。
假定某个局部区域细胞识别中正常(a 1)与⾮正常(a 2)两类先验概率分别为正常状态:P(a 1)=0、9; 异常状态:P(a 2)=0、1。
三、⽅法⼿段Bayes 分类器的基本思想就是依据类的概率、概密,按照某种准则使分类结果从统计上讲就是最佳的。
换⾔之,根据类的概率、概密将模式空间划分成若⼲个⼦空间,在此基础上形成模式分类的判决规则。
准则函数不同,所导出的判决规则就不同,分类结果也不同。
使⽤哪种准则或⽅法应根据具体问题来确定。
四、Bayes 算法1、实验原理多元正太分布的概率密度函数由下式定义112211()exp ()()2(2)T dp X X X µµπ-??=--∑-∑ 由最⼩错误概率判决规则,可得采⽤如下的函数作为判别函数()(|)(),1,2,,i i i g x p X P i N ωω==L这⾥,()i P ω为类别i ω发⽣的先验概率,(|)i p X ω为类别i ω的类条件概率密度函数,⽽N 为类别数。
设类别i ω,i=1,2,……,N 的类条件概率密度函数(|)i p X ω,i=1,2,……,N 服从正态分布,即有(|)i p X ω~(,)i i N µ∑,那么上式就可以写为1122()1()exp ()(),1,2,,2(2)T i i dP g X X X i N ωµµπ-??=--∑-=∑L由于对数函数为单调变化的函数,⽤上式右端取对数后得到的新的判别函数替代原来的判别函数()i g X 不会改变相应分类器的性能。
因此,可取111()()()ln ()ln ln(2)222T i i i i i i d g X X X P µµωπ-=--∑-+-∑- 显然,上式中的第⼆项与样本所属类别⽆关,将其从判别函数中消去,不会改变分类结果。
第二章 贝叶斯决策理论
ωc } αa}
对x可能采取的决策： Α = {α1 α 2
决策表
损失 状态 决策
ω1
ω2
…
ωj
λ (α 2 , ω j ) λ (α i , ω j ) λ (α a , ω j ) λ (α1 , ω j )
…
ωc
λ (α1 , ωc ) λ (α 2 , ωc ) λ (α i , ωc ) λ (α a , ωc )
⎧0 i = j 假设损失函数为0 - 1函数 ： λ (α i , ω j ) = ⎨ ⎩1 i ≠ j
条件风险为 ：R(α i | x ) = ∑ λ (α i , ω j )P (ω j | x ) =
c j =1 j =1, j ≠ i
∑ P(ω
c
j
| x)
等式右边的求和过程表示对x采取决策 ωi 的条件错 误概率。
贝叶斯公式 设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B1,B2,…,Bn为S的一个划分
且 P ( A ) > 0 , P (B i ) > 0 , 则 P (B i | A ) =
n
P ( A | B i ) ⋅ P (B i )
j j
∑ P (A | B )⋅ P (B )
j =1
, j = 1, 2 ,..., n
分析 根据后验概率，发现这个细胞不正常的可能性
利用Bayes公式求后验概率 P(ωi | x )
增大了。 ∵ P (ω1 | x ) > P (ω 2 | x ) 所以判断该细胞为正常的。 实际中仅这个结论不能确诊的，需要更有效的化验。
（2）最小错误率的贝叶斯决策规则
⎧ω1 > 若P(ω1 | x ) < P(ω2 | x )，则x ∈ ⎨ ⎩ω2 ⎧ω1 > 若P(ω1 ) ⋅ p (x | ω1 ) < P(ω2 ) ⋅ p( x | ω2 )，则x ∈ ⎨ ⎩ω2 ⎧ω1 p( x | ω1 ) > P(ω2 ) ∈ x 若l ( x ) = ，则 ⎨ < p( x | ω2 ) P(ω1 ) ⎩ω2
贝叶斯分类器设计原理与实现
贝叶斯分类器设计原理与实现贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的机器学习算法，常被用于文本分类、垃圾邮件过滤等任务。
本文将介绍贝叶斯分类器的设计原理和实现。
一、贝叶斯分类器的原理贝叶斯分类器基于贝叶斯定理，该定理描述了在已知一些先验条件下，如何通过新的观测数据来更新我们对于某个事件发生概率的判断。
在分类任务中，我们希望通过已知的特征，预测出一个样本属于某一类别的概率。
在贝叶斯分类器中，我们通过计算后验概率来决定样本的分类。
后验概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
根据贝叶斯定理，后验概率可以通过先验概率和条件概率来计算。
先验概率是指在没有任何其他信息的情况下，事件发生的概率；条件概率是指在已知其他相关信息的情况下，事件发生的概率。
贝叶斯分类器根据特征的条件独立性假设，将样本的特征表示为一个向量。
通过训练数据，我们可以计算出每个特征在不同类别中的条件概率。
当有一个新的样本需要分类时，我们可以根据贝叶斯定理和特征的条件独立性假设，计算出该样本属于每个类别的后验概率，从而实现分类。
二、贝叶斯分类器的实现贝叶斯分类器的实现主要包括训练和预测两个步骤。
1. 训练过程训练过程中，我们需要从已知的训练数据中学习每个特征在不同类别下的条件概率。
首先，我们需要统计每个类别出现的频率，即先验概率。
然后，对于每个特征，我们需要统计它在每个类别下的频率，并计算出条件概率。
可以使用频率计数或者平滑方法来估计这些概率。
2. 预测过程预测过程中，我们根据已训练好的模型，计算出待分类样本属于每个类别的后验概率，并选择具有最大后验概率的类别作为最终的分类结果。
为了避免概率下溢问题，通常会将概率取对数，并使用对数概率进行计算。
三、贝叶斯分类器的应用贝叶斯分类器在自然语言处理领域有广泛的应用，尤其是文本分类和垃圾邮件过滤。
在文本分类任务中，贝叶斯分类器可以通过学习已有的标记文本，自动将新的文本分类到相应的类别中。
在垃圾邮件过滤任务中，贝叶斯分类器可以通过学习已有的垃圾邮件和正常邮件，自动判断新的邮件是否为垃圾邮件。
哈工大模式识别课件—第2章_贝叶斯决策理论
模式识别 – 贝叶斯分类器
正态分布的判别函数
• 贝叶斯判别函数可以写成对数形式：
g ix l n p xi l n P i
• 类条件概率密度函数为正态分布时：
g ix 1 2 x μ itΣ i 1 x μ i d 2 l n 2 1 2 l n Σ i l n P i
模式识别 – 贝叶斯分类器
贝叶斯分类器的错误率估计
p 2 x
p 1 x
c
Perror1pi xdx i1Ri
模式识别 – 贝叶斯分类器
例2.1
• ω对2一类大代批表人正进常行人癌。症已普知查先，验设概ω率1：类代表患癌症，
P 1 0 . 0 0 5 ,P 2 0 . 9 9 5
以一个化验结果作为特征x: {阳性，阴性}，患癌症 的人和正常人化验结果为阳性的概率分别为：
模式识别 – 贝叶斯分类器
线性分类器
• 两类问题，1维特征，先验概率不同时：
模式识别 – 贝叶斯分类器
线性分类器
• 两类问题，高维特征，先验概率不同时：
模式识别 – 贝叶斯分类器
情况三： Σ i 任意
• 判别函数可以写成：
g ix 1 2 x tΣ i 1 x μ t iΣ i 1 x 1 2 μ i tΣ i 1 μ i 1 2 ln Σ i ln P i
•将未知模式x判别为ωj类的平均风险为：
c
j x ijP i x i1
模式识别 – 贝叶斯分类器
最小平均风险判别准则
• 利用Bayes公式，构造判别函数：
gj xj x
c
jxijPxiPi i1
模式识别 – 贝叶斯分类器
贝叶斯分类器
行动（分类）
代价
基于最小错误率的贝叶斯决策
c
c
Px
j
i
Pi
i1 j1
ji
43
推广到C类的情况
平均错误概率：
Pe 1 Pc
c
Pc P x j j P j j 1
c
j1 j p x j P j dx
44
Thank You!
模式识别
Pattern Recognition
教材
《模式识别》 (第二版)
边肇祺等编 清华大学出版社
1
基于最小错误率的贝叶斯决策
余华
2
内容回顾
模式识别：使计算机模仿人的感知能力，从感知 数据中提取信息（判别物体和行为）的过程。
姚明
ROCKETS 11 YAO
3
敌方在发射导弹的同时发射多枚诱饵弹
R(D(x) 1 | x) 11P(1 | x) 12P(2 | x) R(D(x) 2 | x) 21P(1 | x) 22P(2 | x)
用Bayes公式展开，最小风险Bayes 决策得到：
D(
x
)
1
if
p(x | 1) (12 22 )P(2 ) p( x | 2 ) (21 11)P(1)
λ11=0， λ12=6， λ21=1， λ22=0 按最小风险决策如何对细胞x进行分类？
48
Bayes最小风险决策例解
后验概率:P(ω1|x) =0.818,P(ω2|x) =0.182
2
R(1 | x) 1 jP( j | x) 12P(2 | x) 1.092
• 问题的转换：
第二章贝叶斯决策理论
第二章 贝叶斯决策理论
2.2 几种 常用旳决策规则
• 基于最小错误率旳贝叶斯决策 • 基于最小风险旳贝叶斯决策 • 分类器设计
2
2.2.1 基于最小错误率旳贝叶斯决策
在模式分类问题中，基于尽量降低分类旳错 误旳要求，利用概率论中旳贝叶斯公式，可得出 使错误率为最小旳分类规则，称之为基于最小错 误率旳贝叶斯决策。
11 0,
12 6
21 1,
22 0
根据例2.1旳计算成果可知后验概率为
P(1 | x) 0.818,
P(2 | x) 0.182
再按式（2-15）计算出条件风险 2 R(1 | x) 1 j P( j | x) 12P(2 | x) 1.092 j 1
R(2 | x) 21P(1 | x) 0.818 由于R(1 | x) R(2 | x)
c
c
R(i | x) (i , j )P( j | x) P( j | x)
(2 19)
j 1
j 1
ji
c
P( j
j 1
| x)
表达对x采用决策 i旳条件错误概率。
ji
26
• 所以在0-1损失函数时，使
R( k
|
x)
min
i 1,,c
R(i
|
x)
旳最小风险贝叶斯决策就等价于
c
c
j1
P( j
(i ,
j
)
10,,ii
j, j,
i, j 1,2,, c
(2 18)
25
• 式中假定对于c类只有c个决策，即不考虑“拒绝”旳
情况。式（2-18）中(i , j ) 是对于正确决策（即i=j）
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一、 实验目的1. 掌握密度函数监督参数估计方法；2. 掌握贝叶斯最小错误概率分类器设计方法。
二、 实验原理贝叶斯分类器是各种分类器中分类错误概率最小或者在预先给定代价的情况下平均风险最小的分类器。
它的设计方法是一种最基本的统计分类方法。
其分类原理是通过某对象的先验概率，利用贝叶斯公式计算出其后验概率，即该对象属于某一类的概率，选择具有最大后验概率的类作为该对象所属的类。
对于两类分类问题，已知先验概率P (ω1)和 P (ω2)，以及类别标号 ω1和ω2，得到相应的类条件概率密度P (x |ω1)， P (x|ω2)， 由贝叶斯公式：计算得到条件概率P (ωi |x) (i=1,2)，又称为后验概率。
如果：P (ωi |x)=max P (ωi |x)，x ∈ ωi或者：P (ω1|x) > P (ω2|x)，x ∈ ω1P (ω2|x) > P (ω1|x)，x ∈ ω2三、 实验内容对于一个两类分类问题，设两类的先验概率相同（12()()P P ωω=），两类的类条件概率密度函数服从二维正态分布，即111(|)~(,)P N ωx μΣ 222(|)~(,)P N ωx μΣ其中，1[3,6]T =μ，10.5002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ，1[3,2]T =-μ，12002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ。
1.生成两类模式随机样本点并进行分类；2.设计最大似然估计算法对两类类条件概率密度函数进行估计；3.用2中估计的类条件概率密度函数设计最小错误概率贝叶斯分类器，实现对两类样本的分类。
四、实验步骤1.产生训练样本根据实验提供的先验均值向量和协方差矩阵，利用编写的multivrandn函数构造二维正态分布，分别产生N=500及N=1000个样本，所得结果如图1.1及1.2所示。
图1.1两类训练样本（N=500）图1.2两类训练样本（N=1000）2. 参数估计对产生的样本进行最大似然估计，估计出样本二维正态分布的均值向量和协方差矩阵。
其中，。
对于样本N=500估计结果如下：μ1=[3.0575 6.0294]，μ2=[2.9404 −1.9881]，∑1=[0.47340.00520.0052 2.1152]，∑2=[2.1241−0.1233−0.1233 2.0153]对于样本N=1000估计结果如下：μ1=[3.0072 5.9923]，μ2=[2.9869 −1.9336]，∑1=[0.54990.04880.0488 2.0033]，∑2=[1.98410.05250.0525 1.8102]3. 分类器设计根据上面得出的参数估计结果和贝叶斯最大后验概率判决准则设计分类器。
当，则。
设计分类函数，对样本进行分类判决。
例如对类别1中的第一个样本进行分类，结果如图2所示：图2.分类结果对两组样本进行分类，运用matlab 理论分别计算出N=500及N=1000个样本的分界线，结果如图3.1及3.2所示：图3.1两组样本分类结果(N=500)图3.2两组样本分类结果(N=1000)五、实验分析1.在产生样本的过程中，利用二维正态分布函数函数产生大量样本，经过均值和协方差矩阵的估计后可以看出：①随着样本数量N的增加，估计出的均值μ更接近于真实值；②方差相对变化较大，即样本数据的波动较大，不确定性越大。
故样本数越多，分类器将两类样本分离的会更加清楚，分类器的性能越好。
2.参数估计完全按照最大似然估计过程，结果如上所示，由于样本产生较好且数量较大，估计值也比较准确，从反面验证了参数估计过程的正确性。
3.根据最大后验概率判决准则，利用估计出的参数设计分类器，两组样本分类结果如图3.1及3.2所示，可以看出：①N=500和N=1000时均有个别误差，大部分样本分类正确；②随着样本数的增加，分类错误的样本数越少，即错误率越小，分类器的性能越好。
4.添加干扰，检测实验结果在产生样本时，添加均匀分布的一个干扰项，再次验证参数估计和分类结果如下：μ1=[8.5751 11.6213]，μ2=[8.4160 3.7158]，∑1=[7.4464−0.8548−0.85488.9503]，∑2=[9.1159 1.24931.24938.8853]可以看出，得到的均值及方差估计值与真实值差距较大。
分类结果如图4所示：图4样本分类结果（有干扰）从分类结果可知，样本混淆现象严重，分类错误的样本数较多。
因此，在有干扰的情况下该分类器的训练误差较大，错误率高，性能较差。
六、程序代码本次实验程序代码共分为三部分：主程序及两个函数程序。
1.主程序如下：①N=500clear all;close all;clc;d=2; %二维pw1=0.5;pw2=0.5;u1=[3,6];u2=[3,-2]; %均值向量sigma1=[0.5,0;0,2]; %协方差矩阵sigma2=[2,0;0,2];N=500; %训练样本数samples1=multivrandn(u1,sigma1,N);samples2=multivrandn(u2,sigma2,N);figure(1);for i=1:Nplot(samples1(i,1),samples1(i,2),'b*');hold on;plot(samples2(i,1),samples2(i,2),'ro');hold on;endlegend('训练样本1','训练样本2');hold on;u_1=mean(samples1,1); %估计均值u_2=mean(samples2,1);sig1=zeros(2,2); %协方差矩阵的估计for i=1:Ntemp=(samples1(i,:)-u_1)'*(samples1(i,:)-u_1);sig1=sig1+temp;endsig1=sig1/N; %估计协方差矩阵sig2=zeros(2,2);for i=1:Ntemp=(samples2(i,:)-u_2)'*(samples2(i,:)-u_2);sig2=sig2+temp;endsig2=sig2/N;%% 画出实际分类线syms x1 x2f1=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig1).*exp(-1/2*([x1 x2]-u_1)*inv(sig1)*([x1 x2]-u_1)')); f2=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig2).*exp(-1/2*([x1 x2]-u_2)*inv(sig2)*([x1 x2]-u_2)')); f3=f2/f1-pw1/pw2;ezplot(f3,[-4,10]);hold on;text(-2,4,'分界线');②N=1000clear all;close all;clc;d=2; %二维pw1=0.5;pw2=0.5;u1=[3,6];u2=[3,-2]; %均值向量sigma1=[0.5,0;0,2]; %协方差矩阵sigma2=[2,0;0,2];N=1000; %训练样本数samples1=multivrandn(u1,sigma1,N);samples2=multivrandn(u2,sigma2,N);figure(1);for i=1:Nplot(samples1(i,1),samples1(i,2),'b*');hold on;plot(samples2(i,1),samples2(i,2),'ro');hold on;endlegend('训练样本1','训练样本2');hold on;u_1=mean(samples1,1); %估计均值u_2=mean(samples2,1);sig1=zeros(2,2); %协方差矩阵的估计for i=1:Ntemp=(samples1(i,:)-u_1)'*(samples1(i,:)-u_1);sig1=sig1+temp;endsig1=sig1/N; %估计协方差矩阵sig2=zeros(2,2);for i=1:Ntemp=(samples2(i,:)-u_2)'*(samples2(i,:)-u_2);sig2=sig2+temp;endsig2=sig2/N;%% 画出实际分类线syms x1 x2f1=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig1).*exp(-1/2*([x1 x2]-u_1)*inv(sig1)*([x1 x2]-u_1)'));f2=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig2).*exp(-1/2*([x1 x2]-u_2)*inv(sig2)*([x1 x2]-u_2)'));f3=f2/f1-pw1/pw2;ezplot(f3,[-4,10]);hold on;text(-2,4,'分界线');2.二维正态分布样本产生函数multivrandnfunction Y = multivrandn(u,R,M)% this function draws M samples from N(u,R)% where u is the mean vector(row) and R is the covariance matrix which must be positive definite n = length(u); % get the dimensionC = chol(R); % perform cholesky decomp R = C'CX = randn(M,n); % draw M samples from N(0,I)Z=unifrnd(1,10,M,n);Y = X*C +Z+ ones(M,1)*u;end3.分类判决函数分类fenlei( samples1(1,:),pw1,pw2,u_1,u_2,sig1,sig2,d )function fenlei(samples1(1,:),pw1,pw2,u_1,u_2,sig1,sig2,d )%UNTITLED2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heref1=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig1).*exp(-1/2*(x-u_1)*inv(sig1)*(x-u_1)')); f2=(1/(sqrt(2*pi).^d)./det(sig2).*exp(-1/2*(x-u_2)*inv(sig2)*(x-u_2)')); if (f1/f2)>(pw2/pw1)disp('样本属于第一类');elsedisp('样本属于第二类');endend。