《高等数学》课教案
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《高等数学》精品课教案
课 题:§1.1函数及其性质
教学目的:1.理解函数、分段函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值
2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义
教学重点:初等函数的概念、图形及性质 教学难点:分段函数的概念 课 型: 讲授课 课 时:2课时 教学过程
一、导入新课
在自然界中,某一现象中的各种变量之间,通常并不都是独立变化的,它们之间存在着依赖关系,我们观察下面几个例子:
例如:某种商品的销售单价为p 元,则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系:L =px
又例如:圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系:2r S π=
不考虑上面两个例子中量的实际意义,它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系,这种关系是一种对应法则,根据这一法则,当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时,另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。 二、讲授新课
(一)函数的定义
定义 设有两个变量x ,y 。对任意的x ∈D ,存在一定规律f ,使得y 有唯一确定的值与之对应,则y 叫x 的函数。记作y=f(x),x ∈D 。其中x 叫自变量,y 叫因变量。
定义10 (集合的观点)A ,B 为两个数集,对任意的x ∈D ,存在f ,在B 中有唯一确定的值与之对应。记作:f :A →B
函数两要素:对应法则、定义域(有的可直接看出,有的需计算),而函数的值域一般称为派生要素。
例1 f(x)=2x 2+3x-1就是一个特定的函数,f 确定的对应法则为:
f( )=2( )2+3( )-1
例10:设f(x+1)=2x 2+3x-1,求f(x). 解:设x+1=t 得x=t-1,则
f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2
-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2
其对应法则:f( )=2( )2 - ( ) -2
定义域:使函数有意义的自变量的集合。因此,求函数定义域需注意以下几点:
①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④y=x 0 (x ≠0 ) ⑤y=tanx(x ≠Z k k ∈+,2
π
π)等.
例2 求函数y=6—2x -x +arcsin
7
1
2x -的定义域.
解:要使函数有定义,即有:
于是,所求函数的定义域是:[-3,-2] [3,4].
小结:函数有两要素:定义域和对应法则,即只要这两样定了,函数就定了,所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。 例3 判断以下函数是否是同一函数,为什么?
(1)y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x
解 (1)中两函数的 定义域不同,因此不是相同的函数. (2)中两函数的 对应法则和定义域均相同,因此是同一函数. 函数的表示法:
(1)解析法(或分析法、公式法)。如:x y sin =、12+=
x y ,这样的表达式亦为函数的解析
式,这种表示法的主要优点是严密;
(2)图示法:如用直角坐标(或极坐标等)平面的一条曲线表示,这种表示法的主要优点是直观;
(3)表格法:如三角函数表、对数表、正态分布表等,这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。 分段函数 若函数)(x f 在定义域不同的区间上用不同解析式来表示,则称函数)(x f 为分段函数.
如
=)(x f ,1,0,1+-x x 0
,0,
0>= (二)函数的几种特性 要研究函数,首先函数必须要有意义,假设f(x)在区间D 上有定义。 1、 有界性 若存在两个数A 和B ,对一切成立有B x f A D x f ≤≤∈)(,,则称为)(x f 有界函数.例如: x y sin =,x y cos =在全数轴上均有界,而x x 1 )(= ϕ在(0,1)内无界. 思考:在定义域内,下列函数中哪些有界? y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 2、单调性 对 ,若对任意两点 时有 ,则称函 数 在D 上单调增加,区间D 称为单调增区间;反之,函数 在D 上单减少,区 间D 称为单调减区间.单调增区间或单调减区间统称为单调区间 例如x y a y a x log ,==在其定义域区间内均为单调函数。 3、奇偶性 对 ,若成立,)()(x f x f -=-则称)(x f 为奇函数;若)()(x f x f =-成立, 则称)(x f 为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称,而偶函数的几何图形关于y 轴对称.例如:函数x x y cos 2=是偶函数。例如:函数3x y =是奇函数。例如:函数12+=x y 既不是奇函数也不是偶函数。 4、周期性 对 ,若存在常数 ,对任何x ,满足 则称 为周期函数, 的一个周期. ?例如,函数x y sin =,x y cos =的周期 均为π2,x y tan =的周期为π。而c y =(是一个常数)是以任何正数为周期的周期函数,但它不存在基本周期,所以说,并不是所的周期函数都存在基本周期(最小周期)。 (三)反函数 定义 函数y=f(x),若把y 当作自变量,x 当作函数,则由关系式y=f(x)所确定的函数x =φ(y)称为函数y=f(x)的反函数,记作y=f -1(x). 注:求函数的反函数的一般方法是将关系式)(x f y =经过一系列的变换,变成)(y x ϕ=的形式,最后再表示成)(x y ϕ=的形式。 三、课堂练习 4P 思考题 5P 1、3 四、小结 理解函数、分段函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值;了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义;掌握基本初等函数的图形和性质. 五、布置作业 9P 习题一 1、2、4、5、7、8. 选做:3、6 课 题:§1.2函数及其性质 教学目的:1.掌握基本初等函数的图形和性质 2.理解复合函数的概念 3.掌握复合函数的构成过程 教学重点:复合函数的构成 教学难点:复合函数的分解及反三角函数的图象 课 型: 讲授课 课 时:2课时 教学过程 一、导入新课 前面一节课讲了函数的定义,函数的性质、两要素和反函数,说到反函数有必要再讲讲反函数的图象,特别是反三角函数的图象。 1、什么样的函数才有反函数,为什么? 答:一一对应的函数才有反函数,因为从函数的定义知,函数y=f(x),对任意的x 有唯