《高等数学》课教案

《高等数学》精品课教案

课 题：§1.1函数及其性质

教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值

2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义

教学重点：初等函数的概念、图形及性质 教学难点：分段函数的概念 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程

一、导入新课

在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：

例如：某种商品的销售单价为p 元，则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系：L =px

又例如：圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=

不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。 二、讲授新课

（一）函数的定义

定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。

定义10 （集合的观点）A ，B 为两个数集，对任意的x ∈D ，存在f ，在B 中有唯一确定的值与之对应。记作：f ：A →B

函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。

例1 f(x)=2x 2+3x-1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为：

f( )=2( )2+3( )-1

例10：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则

f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2

-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2

其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2

定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：

①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④y=x 0 (x ≠0 ) ⑤y=tanx(x ≠Z k k ∈+,2

π

π)等.

例2 求函数y=6—2x －x +arcsin

7

1

2x －的定义域.

解：要使函数有定义，即有：

于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].

小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。 例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？

（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x

解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 函数的表示法：

（1）解析法（或分析法、公式法）。如：x y sin =、12+=

x y ，这样的表达式亦为函数的解析

式，这种表示法的主要优点是严密；

（2）图示法：如用直角坐标（或极坐标等）平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；

（3）表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。 分段函数 若函数)(x f 在定义域不同的区间上用不同解析式来表示，则称函数)(x f 为分段函数.

如

=)(x f ,1,0,1+-x x 0

,0,

0>=

（二）函数的几种特性

要研究函数，首先函数必须要有意义，假设f(x)在区间D 上有定义。 1、 有界性

若存在两个数A 和B ，对一切成立有B x f A D x f ≤≤∈)(,，则称为)(x f 有界函数．例如：

x y sin =，x y cos =在全数轴上均有界，而x

x 1

)(=

ϕ在（0，1）内无界. 思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？

y=sinx y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 2、单调性

对

，若对任意两点

时有

，则称函

数

在D 上单调增加，区间D 称为单调增区间；反之，函数

在D 上单减少，区

间D 称为单调减区间．单调增区间或单调减区间统称为单调区间 例如x y a y a x log ,==在其定义域区间内均为单调函数。 3、奇偶性

对

，若成立，)()(x f x f -=-则称)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-成立，

则称)(x f 为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于y 轴对称．例如：函数x x y cos 2=是偶函数。例如：函数3x y =是奇函数。例如：函数12+=x y 既不是奇函数也不是偶函数。 4、周期性

对

，若存在常数

，对任何x ，满足

则称

为周期函数，

的一个周期． ?例如，函数x y sin =，x y cos =的周期

均为π2，x y tan =的周期为π。而c y =（是一个常数）是以任何正数为周期的周期函数，但它不存在基本周期，所以说，并不是所的周期函数都存在基本周期（最小周期）。 （三）反函数

定义 函数y=f(x)，若把y 当作自变量，x 当作函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x =φ(y)称为函数y=f(x)的反函数,记作y=f -1(x).

注：求函数的反函数的一般方法是将关系式)(x f y =经过一系列的变换，变成)(y x ϕ=的形式，最后再表示成)(x y ϕ=的形式。 三、课堂练习

4P 思考题 5P 1、3

四、小结

理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义；掌握基本初等函数的图形和性质. 五、布置作业

9P 习题一 1、2、4、5、7、8.

选做：3、6

课 题：§1.2函数及其性质

教学目的：1.掌握基本初等函数的图形和性质

2.理解复合函数的概念

3.掌握复合函数的构成过程

教学重点：复合函数的构成

教学难点：复合函数的分解及反三角函数的图象 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程

一、导入新课

前面一节课讲了函数的定义，函数的性质、两要素和反函数，说到反函数有必要再讲讲反函数的图象，特别是反三角函数的图象。 1、什么样的函数才有反函数，为什么？

答：一一对应的函数才有反函数，因为从函数的定义知，函数y=f(x),对任意的x 有唯