北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 4.1函数

第四章：一次函数4.1函数1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 函数的定义中包括三个要素 ① 自变量的取值范围；② 两个变量之间的对应关系；③ 后一个变量被唯一确定而形成的变化范围. 注意：①自变量可以用任意字母表示；②两个变量之间的关系必须是“唯一确定”的； ③函数不是数，而是一种特殊的对应关系．规律方法：判断两个变量是否存在函数关系，关键是看两个变量之间是否是一一对应，即给一个变量一个数值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应.【例1】下列图像给出了变量x 与y 之间的对应关系，其中y 不是x 的函数的是( )【例2】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①②【例3】 已知y ＝2x 2＋4，(1)求x 取12和－12时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．.函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．【例4】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x 的函数，试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。

（1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，自变量的取值还要和实际情况相符合，使之有意义。

【例5】求下列函数自变量x 的取值范围：【例6】函数y= 中，自变量x 的取值范围是________【例7】函数y=有意义，则自变量x 的取值范围是________【例8】 若等腰三角形的周长为50 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，y 与x 的函数关系式为y ＝12(50－x )，则变量x 的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示． 列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系.图像法：用图象表示两个变量之间的函数关系解析式法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y.三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．【例9】李老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票总费用为y元，则y =________________.【例10】如图所示堆放钢管.（1（2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？（3）上述反映了哪些变化量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？【例11】下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•根据图象回答下列问题：（１）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？（２）小明给菜地浇水用了多少时间？（３）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？（４）小明给玉米地锄草用了多长时间？（５）上述反映了哪些变化量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？5.怎样判定函数关系(1)从关系式判定函数由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 每一个确定的值，y 都有且只有一个值与之对应，当x 取不同的值时，y 的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值，那么y 一定不是x 的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．(2)从表格中判定函数 根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x 每一个确定的值，y 是否都有唯一的值和它对应，也就是说x 若取相同的值，y 必须是相同的值．(3)从图象上判定函数根据函数的定义知道，每一个x 值只能对应唯一的一个y 值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．【例12】 4 2 1 【例13】6.如何判断同一函数学习了函数的概念，判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件： (1)自变量的取值范围完全相同． (2)函数值的取值范围完全相同．(3)变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同． 如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数． 解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件，判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.【例14】 下列函数中，与y ＝x 表示同一个函数的是( )．A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝(x )2D ．y ＝3x 3 【例15】下列各组函数中，哪些是同一函数：①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数，与1,y x x =-为自然数；③y =y =11y x =+与11u x =+；⑤y =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩；7．函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的，每个点都具有实际意义，利用函数的图象可以反映实际问题中的关系，同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说，函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，获取有效的解题信息．解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．【例7】父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致吻合的图象是()．达标训练1、购买一些铅笔，单价0.2元每支，写出总价y元与铅笔支数x的函数解析式_____________，自变量是______，_____是____的函数，自变量x的取值范围_______。

2、秀水树的耕地面积是平方米，这个村人均占有耕地面积y随这个村的人数n的变化而变化，函数解析式是___________________，自变量是____，_______是______的函数。

3、每张电影票的售价50元，（1）如果早场售出150张票，则这场电影的票房收入是_______元；（2）如果午场售出200张票，则这场电影的票房收入是_______元；（3）如果晚场售出300张票，则这场电影的票房收入是_______元；（4）设一场电影售售出票数为x张，票房收入为y元，则y＝___________；在这个式子中，变量是________，常量是____。

4、用10m长的绳子围成长方形：（1）当长方形的一边为4米时，则长方形的另一边为________米，长方形的面积为___________平方米。

（2）当长方形的一边为3米时，则长方形的另一边为________米，长方形的面积为___________平方米。

（3）当长方形的一边为x米时，则长方形的另一边为________米，设长方形的面积S（平方米），则S＝___________；在这个式子中，变量是____________，常量是_____________ 。

5、生活用水每吨3元，每月排污费5元，则小明家七月份水费y（元）与这个月用水x（吨）之间的函数关系式_____________________，如果七月份小明家水费为35元，那么小明家这月用水________吨。

6、在函数y=+中，自变量x的取值范围是___________.7、在函数y=+中，自变量x的取值范围是___________.8、在函数y=+中，自变量x的取值范围是___________.9、在函数y=中，自变量x的取值范围是___________.10、如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是_________________．11、小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示.（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义.②秋千摆动第一个来回需多少时间？12、等腰三角形周长为20㎝，若设一腰长为x㎝，写出底边长y（㎝）与腰长x（㎝）的函数表达式，并求出自变量x的取值范围。

13、“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示．(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为__________km/h；(2)当 . ≤ ≤ . 时，求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？。