北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 4.1函数

第四章：一次函数

4.1函数

1．函数的概念

一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 自变量与另一个变量的对应关系

若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 函数的定义中包括三个要素 ① 自变量的取值范围；

② 两个变量之间的对应关系；

③ 后一个变量被唯一确定而形成的变化范围. 注意：①自变量可以用任意字母表示；

②两个变量之间的关系必须是“唯一确定”的； ③函数不是数，而是一种特殊的对应关系．

规律方法：判断两个变量是否存在函数关系，关键是看两个变量之间是否是一一对应，即给一个变量一个数值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应.

【例1】下列图像给出了变量x 与y 之间的对应关系，其中y 不是x 的函数的是( )

【例2】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．

A ．①②③

B ．①②

C ．②③

D ．①②

【例3】 已知y ＝2x 2＋4，

(1)求x 取12和－1

2

时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．

.

函数中变量的对应关系

当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．

2．函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 函数关系式中的学问

①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．

【例4】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x 的函数，试写出它们的函数关系式．

3．自变量的取值范围

使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。 （1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，自变量的取值还要和实际情况相符合，使之有意义。 【例5】求下列函数自变量x 的取值范围：

【例6】函数y= 中，自变量x 的取值范围是________

【例7】函数y=

有意义，则自变量x 的取值范围是________

【例8】 若等腰三角形的周长为50 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，y 与x 的函数关系

式为y ＝1

2

(50－x )，则变量x 的取值范围是__________．

4．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示． 列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系.

图像法：用图象表示两个变量之间的函数关系

解析式法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y.

三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．

【例9】李老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票总费用为y元，则y =________________.

【例10】如图所示堆放钢管.

（1

（2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？

（3）上述反映了哪些变化量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？

【例11】下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•

根据图象回答下列问题：

（１）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

（２）小明给菜地浇水用了多少时间？

（３）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

（４）小明给玉米地锄草用了多长时间？

（５）上述反映了哪些变化量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？

5.怎样判定函数关系

(1)从关系式判定函数

由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 每一个确定的值，y 都有且只有一个值与之对应，当x 取不同的值时，y 的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值，那么y 一定不是x 的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．

(2)从表格中判定函数 根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x 每一个确定的值，y 是否都有唯一的值和它对应，也就是说x 若取相同的值，y 必须是相同的值．

(3)从图象上判定函数

根据函数的定义知道，每一个x 值只能对应唯一的一个y 值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．

【例12】 4 2 1 【例13】

6.如何判断同一函数

学习了函数的概念，判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件： (1)自变量的取值范围完全相同． (2)函数值的取值范围完全相同．

(3)变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同． 如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数． 解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．

☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件，判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.

【例14】 下列函数中，与y ＝x 表示同一个函数的是( )．

A ．y ＝x 2

B ．y ＝|x |

C ．y ＝(x )2

D ．y ＝3

x 3 【例15】下列各组函数中，哪些是同一函数：

①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数，与1,y x x =-为自然数；

③y =

y =11y x =+与1

1u x =+；

⑤y =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩

；