高中数学第八章立体几何初步之简单几何体的表面积与体积(精练)(必修第二册)(教师版含解析)

8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)

【题组一 多面体表面积】

1．(2020·全国高一课时练习)长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为( )

A ．12

B ．24

C ．28

D ．32 【答案】C

【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.

又由题意知22210a b +⨯=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.

故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.

故选：C.

2．(2021·江苏南通市)一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，则该正四棱锥的全面积为

A ．8

B ．12

C ．16

D ．20 【答案】B

【解析】由题得侧面三角形的斜高为

223+1=2， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122

⋅

⋅⋅. 故选B 3．(2020·全国高一课时练习)若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为

336a ，则此正三棱台的侧面积为( )

A ．2a

B ．212a

C ．292a

D ．232

a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，1

332323OD a a =⨯⨯=，11133326

O D a a =⨯⨯=，1136

DE OD O D a ∴=-=.

在1Rt

DED

中，1336D E a =

， 则22133366D D a a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

223333636

a a a =+=. 2193(2)22

S a a a a ∴=⨯+=侧.

故选：C

4．(2020·河北沧州市一中高一月考)正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积( )

A ．32

B ．48

C ．64

D ．323

【答案】A

【解析】如图:

正四棱锥的高PO ，斜高PE ，

底面边心距OE 组成直角△POE ．

∵OE =2cm ，∠OPE =30°，

∴斜高h ′=PE =4sin 30

o OE =，

∴S正棱锥侧=11

44

432

22

ch=⨯⨯⨯=

'

故选：A

5．(2020·全国高一课时练习)已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5，则该正四棱锥的表面积为( ) A．3B．12C．8D．43

【答案】B

【解析】如图所示，

在正四棱锥S ABCD

-中，取BC中点E，连接SE，

则SBE

△为直角三角形，

所以22512

SE SB BE

=-=-=，

所以表面积

1

42242212

2

SBC

ABCD

S S S

=+⨯=⨯+⨯⨯⨯=

正方形△

.

故选：B.

6．(2021·内蒙古包头市·高三期末(文))已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为( )

A．()

451

+B．51

-C．()

451

-D．()

851

+

【答案】D

【解析】

正四棱锥如图，

设四棱锥的高OE h =，

由底面边长为4，可知2OF =，斜高24EF h =+，

故221442

h h =

⨯⨯+，解得2=225h +， 故侧面积为()

22144448858152h h ⨯

⨯⨯+==+=+， 故选：D. 7．(2020·山西吕梁市)已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为( )

A ．24223++

B ．22223++

C ．22243++

D ．24243++

【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，

如图：

则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S

111132222222222222422322222

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++ 故选：A

8．(2020·黑龙江哈师大青冈实验中学)长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6 【答案】D

【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D

9．(2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末)一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为( )

A ．2(242)cm +

B ．2(482)cm +

C ．2(8162)cm +

D ．2(16322)cm + 【答案】C

【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线

∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的高为224(22)22-=，

∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×22=8＋162(2cm )，

故选：C

【题组二 多面体台体积】

1．(2021·扶风县法门高中)正方体的全面积为18cm 2

，则它的体积是_________ 3cm 【答案】33

【解析】设该正方体的棱长为a cm ，

由题意可得，2618a =，解得3a =，

所以该正方体的体积为333V a ==3cm .

故答案为：33

2．(2021·湖南长沙市)如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为( )