概率论与数理统计第四版习题答案全

概率论与数理统计习（第四版）题解答
第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．
（1）写出试验的样本点及样本空间；
（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的
集合．
解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则
（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB = （3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”
二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点
数之和小于15”．
（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有1，2，3，4，5．从中任取3
只，A —“最小为1”．
解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则
},,,{1843ωωω =Ω；
},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =
(2) 设ijk ω表示“出现为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则
},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =
三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；
(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；
(2) ABC ；
(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃
(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC
四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：
（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；
(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A
第二章 概率的古典定义·概率加法定理
一、由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），由完全不同的数字组成的概率．
解：基本事件总数为611011011011011011019
109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为45678921
4151617181919
⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“是由完全不同的数字组成”，则
0605.010
94
56789)(6
2≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．
解：基本事件总数为!1010
10
=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77
7
=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共81
8
=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P
设A 表示“指定的三本书放在一起”，则
067.015
1
!10!3!8)(≈=⨯=A P
三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个
队被分在不同组的概率．
解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10
20C ；两个最强的
队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9
1812
C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则
526.01910
)(10
20
91812≈==C C C A P
四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．
解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多
于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而
0281.09799423
47)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(50
100
4995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P
五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；
C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”
，则 (1) 0855.0198199200193
19418)(3
200
219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198
199200192
193194)(32003
194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P
(3) 00223.0198199200120
19490)(3
200
019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P
六、设4
1
)( ,0 ,3
1)()()(=
=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．
解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P
设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.043
41313131==-++=
第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即
14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P
68.074.05
.036.0)4.01(5.05.0)
()()()()()]([)|(≈=--+=-+==
B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P
二、某人忘记了的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”
（1）2.010
1
101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P
（2）4.051
51)()()(25
11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P
三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．
（1）求任意取出的零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合
格品”
（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(3
1
)03.01(32≈-⨯+-⨯=
（2）25.002.03
103.032
02.031
)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==
A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P
四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之击中动物的概率．
解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有100
6.0)(1k
A P ==，得60=k ，从
而有
4.015060150)(2===k A P ，.3.0200
60
200)(3===k A P
设A 表示“三次之击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有
)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=
832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则
168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P
故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则
2201)(312330==C C A P 22027
)(31219231==C C C A P 220108)(3
12
29132==C C C A P 22084
)(3
12
39033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则
31236
312
3731238312393
022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=
146.0532400
776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=
第四章 随机事件的独立性·独立试验序列
一、一个工人看管三台车床，在一小时车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则
9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P
再设B 表示“在一小时三台车床中最多有一台需要工人照管”，则
321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=
于是有
)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=
902.0=．
（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P
398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．
二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、
0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则
3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P
又设B 表示“电路发生间断”，则
321A A A B +=
于是有
)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=
)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．
三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、4
1
，求能将此密码
译出的概率．
解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则
51)(=A P 31)(=B P 4
1
)(=C P
设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=
)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=
6.04
1
3151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=
． （另解）52
)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有
6.05
3
521)(1)(==-=-=D P D P
四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一
人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则
4.0)(1=A P
5.0)(2=A P 7.0)(3=A P
设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则
09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P
)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=
)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=
)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=
14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有
0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P
故有
458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3
0=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在
该机构就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．
又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559
)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126
918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+
0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．
六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？
解：设做n 次试验，则
n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次
要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．
第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再
放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为
即
亦即
二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之
间生产的合格品数的概率分布．
解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为
三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．
（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为
)4,3,2,0()(6
20
616
4===-x C C C x X P x
x
从而X 的概率分布为
即
（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为
)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x
x x
从而X
即
四、总机为300个用户服务．在一小时每一用户使用的概率等于0.01，求在一小时有4个用户使用的概率
（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p
168877.0)01.01()01.0()1()4(29644
30029644300≈-=-==C p p C ξP
（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ
168031355.0!
43)4(3
4≈==-e ξP
相对误差为.5168877
.0168031355
.0168877.0000≈-=
δ
五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行
了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有
)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P
5
554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=
16308.000243.002835.01323.0≈++≈
（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P
3
22541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------= 16308.0≈
六、设随机变量X 的概率分布为
2, 1, ,0 , !
)(===k k a
k X P k
λ；
其中λ>0为常数，试确定常数a ．
解：因为∑∞
===0
1)(k k X P ，即∑∞
==01!k k
k λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=
第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、函数
2
11
x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．
解：（1）设2
11
)(x
x F +=
，则1)(0<<x F 因为0)(lim =-∞
→x F x ，0)(lim =+∞
→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．
（2）设2
11
)(x x F +=
，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x
因为)0( 0)
1(2)('2
2<>+-=x x x
x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．
二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡23,0π．
解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰π
π
x dx x f ，所以当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．
（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但
12cos )(0
0≠=-=⎰
π
π
x dx x f ，所以当[]πx ,0∈
时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．
（3）因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈23,
0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．
二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再
放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为
于是，⎪⎩>3,
1x
四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为
+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．
求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-的概率；(3) X 的概率密度．
解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12
)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1
,21πB A ==
即)( ,arctan 1
21)(+∞<<-∞+=x x π
x F ．
(2) .2
1
)]1arctan(121[]1arctan 1
21[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P (3) X 的概率密度为
)
1(1
)()(2
x x F x f +=
'=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为
+∞<<∞-=-x Ae x f x
,)(．
求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(的概率；（3）随机变量X 的分布函数．
解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae x
x ，解得2
1=A ，即有
).( ,2
1)(+∞<<-∞=-x e x f x
(2) ).11(21)(2121)()10(1
01010e
e dx e dx x
f X P x x -=-===<<--⎰⎰
(3) 随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰0
2
1102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x
x x
x ．
第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布
一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间
不超过3分钟的概率．
解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为
⎩⎨
⎧∉∈=]5,0[,
0]
5,0[,51)(x x x f 于是有.6.05
3
)()30(3
===
≤≤⎰
dx x f X P
二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
0;0,8001)(800x x e x f x
任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．
解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则
287.0800
1)1000()()()(45
10008001000800321≈=-==>===-∞
+-∞
+-⎰e e dx e X P A P A P A P x
x
)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=
638.0287.0287.03287.033
2≈+⨯-⨯=
（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则
287.0800
1)1000(4
51000
800
1000800
≈=-==>-
∞+-∞
+-⎰e
e dx e X P x
x
从而有713.01)1000(1)1000(4
5≈-=>-=≤-
e
X P X P ，进一步有
638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P
三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有
).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥
这个性质叫做指数分布的无记忆性．
(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上
的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有x
e
x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．
设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有
)
(1)
(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===
=≥+≥
t
s
t s e e e λλλ--+-=----=]
1[1]1[1)(． 另一方面，我们有
t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．
综上所述，故有
)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．
（２）由题设，知X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤>=-．，
；
，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5
年以上的概率为
6065.01.0)()5()5(5.05
1.05
1.05
≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰
⎰
e e dx e dx x
f X P s X s X P x
x ．
答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．
四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2
)
3(2X X Y -=
． 解：X 的分布律为
（1）X Y 211-=的分布律为
（2）2)
3(2X X Y -=的分布律为
即
五、设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤>+=.0,
0;0,)1(2)(2x x x x f π
求随机变量函数X Y ln =的概率密度．
解：因为)()()(ln )()(y
X y
Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为
)( )
1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y
y
y
y
y
y
X
Y
Y π，即 )( )
1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y y
Y π．
第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示
两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
Y 的边缘概率分布为
二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数
)3
arctan )(2arctan (),(y
C x B A y x F ++=．
求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12
πA = （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2
(1),(2y
x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为
.)
9)(4(6),(),(222"
y x y x F y x f xy ++==π
（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为
x
x x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2
arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121x
π+=
y
x y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3
arctan 1)9(3),()(2ππ 3
arctan 121y
π+=
X 及Y 的边缘概率密度分别为
⎰⎰
⎰+∞+∞
∞-+∞
∞-++⋅=++==0222222)
9(1
)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )
4(2)3arctan 31()4(1122
022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==02
2222241
)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ
)
9(3)2arctan 21()9(1220
22y x y +=+=∞+ππ
三、设),(Y X 的联合概率密度为
⎩
⎨⎧>>=+-., 00;
0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f
求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X
落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 的概率． 解：（1）由
1),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dy dx y x f ，有16
1
32==
⎰⎰∞+∞
+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰
--∞
-∞
-其它0
,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x
y
⎩⎨
⎧>>--=--其它0
,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为
⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞
+∞-⎰⎰000200
06),()(2032x x e
x x dy e e dy y x f x f x y x X
⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰000300
06),()(3032y y e
x x dx e e dx y x f y f y y x Y
（4）⎰
⎰⎰⎰
---==
∈x y x
R dy e dx e
dxdy y x f R Y X P 32
20
33
26),(}),{(
630
6271)(2---⎰-=-=e dx e e x
四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2
x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：
(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨
⎧∉∈=.
),(, 0;
),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(2132212
2212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R
解得9
2
=C ．故有
⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;
),(,92
),(R y x R y x y x f
(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22
1
22102
29292),()2(
⎰⎰-++=212
10)2(92292dx x x xdx
481.027
13
)322(92922132102≈=-+
+=x x x x ． 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布
一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-.0,
0;0,21)(2y y e y f y
Y
求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．
解: (1)X 的概率密度为⎩
⎨⎧∉∈=)1,0(,0)
1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）
⎪⎩⎪
⎨⎧><<==-其它,
00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y
Y X
（2）dx e
dx e
dy e dx dxdy y x f X Y P x x
y
x
y
x
y ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-
∞+-
∞
+-
≥=-===
≥10
2
1
022
10
2)(2
1
),()(
7869.0)1(222
11
22≈-=-=--e e x
二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：
.
,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122
11
n j q
p C j p n i q p C i p j
n j
j n Y i n i i
n X ====--
证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．
证明: 设j i k +=, 则
i
k n i k i k n k
i i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22
110
)()()()( ∑=-+=k
i k n n k i n i
n q p C C
212
1)( 由
k
n
m k
i i
k n
k m C C C +=-=
∑
, 有
k n n k
i i
n i n C C C
2
1210
+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212
1n n k q p C k P k
n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.
三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]服从均匀分布，Y 在区间[0，2]服从辛普森分布：
⎪⎩
⎪
⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或
求随机变量Y X Z +=的概率密度．
解: X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧∉∈=]1,0[,0]
1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10
,),(其它当当y x y y x y y x f
Y X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z
y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.
故有 ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229
32
12123
31023,00
)(222z z z z z z z z
z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=323
2132103,00
)(z z z z z z z z z f Z
三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件
的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．
解: 由题设，知ij X 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>-=-0,
00
,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有
)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ
从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>-==-0,
00
,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00
,])1(1[10,
00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤>--=---0,
00
,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ
第十章 随机变量的数学期望与方差
一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回
去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为
即
110
33
22013220924491430=
⨯+⨯+⨯+⨯
=EX 即
3.000
4.03041.0220
5.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX
2X 的分布为
2X
0 1 4 9
即
于是有
22
9
220192209444914302=
⨯+⨯+⨯+⨯
=EX 即
4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX
从而有
3191.013310042471
)11033(229)(222≈=-=
-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X
σ
二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1
( =i ，则X 的分布为
p q p q q p q p iq
p ipq
EX i i i i i i 1)1()1(
)(2
1
1
1
1
1
=-='-='===∑∑∑∞
=∞
=-∞
=- 2X p p
p p q q p q p q q p pq
i EX i i i i
i i 1
22)1()1()(])([2
231
1
1
1
2
2
-=-=-+=
'=''==∑∑∑∞
=∞
=∞
=- 进一步有
p p
p p p EX EX DX 11)1(12)(2
2222-=--=
-=
三、设离散型随机变量X 的概率函数为
,,2,1,2
1
]2)1([ ==-=k k X P k k k
问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．
解：因为∑∑∑∑∞
=∞=∞
=∞
=-=⋅-=-=-==1
111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k k
i i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．
四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<-=.
1, 0;1,11)(2x x x
x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．
解：011
)()(1
1
2
=-⋅
==
⎰⎰
-+∞
∞
-dx x
x dx x xf X E π
dx x x dx x x dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-10221122
21211)()(πππ
2
1
]arcsin 2112[210
2=+--=x x x π
五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,2
1)(+∞<<-∞=-x e x f x
．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===
⎰⎰+∞∞--+∞
∞-dx xe dx x xf EX x
2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞
--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x
（分部积分亦可）
第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理
一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2
)
3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为
Y 的概率分布为
2Y 的分布为
72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY
2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY
二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．
解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在
x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2
,2
[ππ-上的均匀分
布，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧-
∉-∈=]2
,2[,0]
2,
2[,1
)(ππ
θπ
πθπ
θf ．
弦OB 的长为 ]2
,2[cos 2)(π
πθθ
θ-
∈=R L ，故所有弦的平均长度为
⎰⎰-
∞
+∞
-⋅==22
cos 21
)()()]([π
π
θθπ
θθθθd R d L f L E
π
θπ
θθπ
π
π
R
R d R
4sin 4cos 42020
=
=
=
⎰
．
三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,
0 ;
0 ,4
1)(4
x x e x f x
工厂规定，出售的设备若在售出一年之损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，
调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有
⎰⎰
---∞
--=-===<1
041
1
044
1
14
1)()1(e e dx e dx x f X P x x
进而有 4
1)1(1)1(-=<-=≥e
X P X P
设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为
从而有
64.33200300100)1(2004
14
14
1≈-⨯=⨯+-⨯-=-
-
-
e
e e EY
答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．
四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2
σ．求这些随机
变量的算术平均值∑==n
i i X n X 1
1的数学期望与方差．
解：因为μ=)(i X E ，2
)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有
μμ=====∑∑∑∑====n
i n i i n
i i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，
n
n X D n X D n X n D X D n
i n
i i
n i i n i i 2
1
2
21
2
1
211
)(1
)(1)1()(σσ
=
====∑∑∑∑====．
五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下
车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．
解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中
⎩⎨
⎧=站有人下车
若在第站无人下车
若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为
设∑==
n
i i
X
X 1
, 则X 表示沿途停车次数, 故有
]})10110(1[1)10110(0{10)(20
2010
1
10
1--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX
748.8)9.01(1020
≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.
第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律
一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
()()
. 1
,2
2
2++=
y x
A
y x f
求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．
解: (1) 由
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-=1),(dxdy y x f . 有
()
()
⎰⎰⎰⎰
∞+∞-∞
+∞
-∞
+==+=++11
1
20
2
2
2
2
2
A dr r
r
d A dxdy y x
A
πθπ
解得, π
1
=
A .
(2) ()
01
1
),()(2
2
2
⎰⎰
⎰⎰
∞
+∞
-∞
+∞
-∞+∞-∞
+∞
-=++=
=
dx y x
x
dy dxdy y x xf X E π.
由对称性, 知 0)(=Y E .
⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(2
2
2()
⎰
⎰
∞
+∞
-∞
+∞
-++=
dx y x
x dy 2
2
2
2
1
1
π
()
()+∞=++
+=+-+=+=
∞
+∞
+∞
+⎰
⎰
⎰
02
20
2
2220
2
2
3
]11)1ln([1)1(211
r r dr r r
r r dr r
r d π
θπ
同理, 有 +∞=)(Y D .
)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-=
dxdy y x xyf ),(
()
01
1
),(2
2
2
⎰⎰
⎰
⎰
∞
+∞
-∞
+∞
-∞+∞-∞
+∞
-=++=
=dx y x
x
ydy dxdy y x xyf π.
二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨⎧<<<=其它．
,0;
10,,1),(x x y y x f
求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰
=
===
-∞+∞-∞
+∞
-1
210
3
22),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x
0),(1
===⎰⎰⎰
⎰-+∞∞-+∞
∞
-x
x ydy dx dxdy y x yf EY
0),()(1
===⎰⎰⎰⎰
-+∞∞-+∞
∞
-x
x ydy xdx dxdy y x xyf XY E
所以有
])3
2
[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(
010
==⎰⎰-x
x
ydy xdx ．
(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰
⎰+∞
∞
--===
x dy dy y x f x f x
x
X 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即
⎩⎨
⎧∉∈=)
1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨
⎧∉+∈-=⎪⎩
⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()
1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y
因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相
关的．
三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差
)(X σ的概率．
解：91
)
3()3(2
=≤
>-ξξξξξD D D E P ．
四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A
在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有
50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ
于是有
n
pq
p npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(
-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq
五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少
个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.n
n ξE 1.0= n ξD 09.0=
要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以
)3.01.03.01.03.01.010()10(n
n n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-
)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0n
n n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ
1)3.010
1.0()3(1,01,0--+n
n n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）
因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-n
n Φ．
查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有
28.13.0101.0≈-n
n ，解得.146≈n
答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．
第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2
N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．
解：(1) )4.22
1
3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤
-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ
(2) )78.12
1
78.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=
.0402.09973.09625.02=--
二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2
N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为
合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．
而)26
.0100
2()6.02.16.01006.02.1(
)2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度
3200
)20(22401
)(--
=
x e
x f π
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．
解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次
因为)40,20(~2
N ξ，所以由事件的相互独立性，有
3
1,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P
13025.05069.0)8944.05987.02(3
3≈=--= 于是有
86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．
四、设随机变量),(~2
σμN X ，求随机变量函数X
e Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分
布）．
解：由题设，知X 的概率密度为
)(21)(2
22)(+∞<<-∞=
--
x e
x f x X σμσ
π
从而可得随机变量Y 的分布函数为
)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．
当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有
dx e
y X P y F y
x Y ⎰∞
---
=
≤=ln 2)(2
221
)ln ()(σμσ
π．
此时亦有2
2
2)(ln 21)(σμσπ--
=
'y Y e
y
y F ．
从而可得随机变量Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=--.
0,21;0,
0)(22
2)(ln y e y
y y f y Y σμσπ
五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，求：
(1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z
=2
的数学期望与方差．
解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有
(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 2
2
2212
221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；
)()()()()()()()(2
2222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2
2
2
2
Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(2
2
X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212
22
22
12
22
1μσμσσσ++=．
第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理
一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，
16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．
解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，5
3
),cov(),(==
=y x Y X Y X r σσ．从而 2516)53(1122=-=-r ，5
4
12=-r ．
进一步按公式])())((2)([)
1(212
2
2
222121),(y
y y x y x x x y y x r x r y x e
r
y x f σμσσμμσμσπσ-+------
-=，可得),(Y X 的联
合概率密度为
)25
50316((32252
2321),(y xy x e y x f +--
=
π
．。