概率论与数理统计第四版习题答案全

概率论与数理统计习（第四版）题解答

第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算

一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．

（1）写出试验的样本点及样本空间；

（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的

集合．

解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则

（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB = （3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”

二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点

数之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有1，2，3，4，5．从中任取3

只，A —“最小为1”．

解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则

},,,{1843ωωω =Ω；

},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =

(2) 设ijk ω表示“出现为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则

},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =

三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；

(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；

(2) ABC ；

(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃

(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC

四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：

（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；

(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A

第二章 概率的古典定义·概率加法定理

一、由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），由完全不同的数字组成的概率．

解：基本事件总数为611011011011011011019

109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为45678921

4151617181919

⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“是由完全不同的数字组成”，则

0605.010

94

56789)(6

2≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．

解：基本事件总数为!1010

10

=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77

7

=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共81

8

=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P

设A 表示“指定的三本书放在一起”，则

067.015

1

!10!3!8)(≈=⨯=A P

三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个

队被分在不同组的概率．

解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10

20C ；两个最强的

队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9

1812

C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则

526.01910

)(10

20

91812≈==C C C A P

四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．

解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多

于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而

0281.09799423

47)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(50

100

4995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P

五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；

C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”

，则 (1) 0855.0198199200193

19418)(3

200

219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198

199200192

193194)(32003

194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P

(3) 00223.0198199200120

19490)(3

200

019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P

六、设4

1

)( ,0 ,3

1)()()(=

=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．

解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P

设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.043

41313131==-++=

第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式

一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即

14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P

68.074.05

.036.0)4.01(5.05.0)

()()()()()]([)|(≈=--+=-+==

B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P

二、某人忘记了的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”

（1）2.010

1

101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P

（2）4.051

51)()()(25

11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P