高一数学初高中衔接教学案：4一元二次方程

江苏省泰兴中学高一数学教学案(4)

初高中衔接4：一元二次方程

班级 姓名

一、基础知识

1．根的判别式

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的情况可以由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.

对于一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax ，有 ⑴、当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根a

ac b b x 2422,1-±-=； ⑵、当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根a b x x 221-

==； ⑶、当Δ＜0时，方程没有实数根.

2．根与系数的关系（韦达定理）：

如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x ，那么a b x x -

=+21，a c x x =⋅21. 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程02=++q px x ，若21,x x 是其两根，由韦达定理可知p x x -=+21，q x x =⋅21，即2121),(x x q x x p ⋅=+-=，所以，方程02=++q px x 可化为0)(21212=⋅++-x x x x x x ，由于21,x x 是一元二次方程02=++q px x 的两根，所以，21,x x 也是一元二次方程0)(21212=⋅++-x x x x x x 的两根.

以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212

=⋅++-x x x x x x . 二、例题精讲

例1：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），若方程有实数根，写出方程的实数根.

（1）、x 2－ax －1＝0； （2）、x 2－ax ＋(a －1)＝0； （3）、x 2－2x ＋a ＝0；

（4）、2(1)(1)0a a x x a a ++--=.

例2：设21,x x 是方程07322=--x x 的两个根，求下列各式的值：

⑴、2221x x + ⑵、)3)(3(21--x x ⑶、2

111x x + ⑷、3312x x + ⑸、21x x -

例3：（1）若方程组22110x y x y m m

-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩有两组不相等的实数解，求m 的取值范围.

（2）方程240x x k -+=和方程2

230x x k -+=有一个根相同，求此根及k 的值.

例4：（选讲）当a 取什么整数时，方程

2202(2)

x x x a x x x x -+++=--只有一个实根，并求此实根.

江苏省泰兴中学高一数学作业(4)

班级 姓名 得分

1、若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则12

11x x +＝ 2、方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．

3、方程2x 2－x －4＝0的两根为α、β，则α2＋β2＝ ．

4、已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

5、方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．

6、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，它的另一个根是 ，k = .

7、若方程24x x a -=只有3个不相等的实根，则实数a 的值是

8、已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实根，则2121

1x x += ，3128x x += 9

|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？

10、试确定m 的值，使280x mx -+=

（1）有两个不相等的实根；

（2）一个根是另一个根的两倍.

11、解方程221140x x x x +

++-=

12、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.

（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.

（2）求使1221

2x x x x +-的值为整数的整数k 的值.