1996考研数一真题及解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设2lim()8xx x a x a→∞+=-,则a =___________. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为___________.(3) 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为___________. (4) 函数22ln()u x y z =++在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数为___________.(5) 设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则()r AB =___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,则a 等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设()f x 有二阶连续导数,且(0)0f '=,0()lim 1||x f x x →''==,则 ( ) (A) (0)f 是()f x 的极大值 (B) (0)f 是()f x 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) (0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3) 设0(1,2,)n a n >=,且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑( )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关(4) 设()f x 有连续的导数,(0)0f =,(0)0f '≠,220()()()xF x x t f t dt =-⎰,且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(5) 四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于 ( ) (A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b +(C) 12123434()()a a b b a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2) 设110x =,16(1,2,)n n x x n +=+=,试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分(2)Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2) 设变换2,u x y u x ay=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂化简为20zu v ∂=∂∂,求常数a ,其中(,)z z x y =有二阶连续的偏导数.五、(本题满分7分)求级数221(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰,求()f x 的一般表达式.七、(本题满分8分)设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|()|f x a ≤,|()|f x b ''≤,其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任一点,证明|()|22b fc a '≤+.八、(本题满分6分)设T A E ξξ=-,其中E 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置,证明： (1) 2A A =的充要条件是1T ξξ=；(2) 当1Tξξ=时,A 是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2.(1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是__________. (2) 设ξ、η是两个相互独立且均服从正态分布2)2N 的随机变量,则随机变量 ξη-的数学期望()E ξη-=__________.十一、(本题满分6分.)设ξ、η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布律为{}13P i ξ==, i =1,2,3,又设max(,)X ξη=,min(,)Y ξη=.(1) 写出二维随机变量(,)X Y 的分布律： XY1231 2 3(2) 求随机变量X 的数学期望()E X .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 2【解析】这是1∞型未定式求极限.方法一： 3323lim()lim(1)x a axx a xax x x a a x a x a-⋅-→∞→∞+=+-- ,令3at x a=-,则当x →∞时,0t →, 则 1303lim(1)lim(1)x aa t x t a t e x a -→∞→+=+=-, 即 33lim lim 312lim()x x ax ax a x a x x a e e e x a→∞→∞-→∞+===-. 由题设有38ae=,得1ln8ln 23a ==.方法二：2223()2221lim 112lim lim lim 11lim 1x xa xaxa x a x x a x x x a a x a a a x a e x x x e a x a e a a x x x ⋅→∞-→∞→∞→∞-⋅-→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭===== ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由题设有38ae=,得1ln8ln 23a ==.(2)【答案】2230x y z +-=【解析】方法一：所求平面过原点O 与0(6,3,2)M -,其法向量{}06,3,2n OM ⊥=-；平面垂直于已知平面428x y z -+=,它们的法向量也互相垂直：{}04,1,2n n ⊥=-；由此, 00//632446412ij kn OM n i j k ⨯=-=--+-.取223n i j k =+-,则所求的平面方程为2230x y z +-=.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M -的向量{}06,3,2OM =-,另一是平面428x y z -+=的法向量{}04,1,2n =-)平行的平面,即 6320412xy z-=-,即 2230x y z +-=.(3)【答案】12(cos sin 1)xe c x c x ++【解析】微分方程22xy y y e '''-+=所对应的齐次微分方程的特征方程为2220r r -+=,解之得1,21r i =±.故对应齐次微分方程的解为12(cos sin )x y e C x C x =+.由于非齐次项,1xe αα=不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xy x ae =,代入22x y y y e '''-+=得1a =(也不难直接看出*()x y x e =),故所求通解为1212(cos sin )(cos sin 1)x x x y e C x C x e e C x C x =++=++.【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.③ 对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (4)【答案】12【分析】先求方向l 的方向余弦和,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=-单位化，即得 {}{}12,2,1cos ,cos ,cos 3||AB l AB αβγ==-=. 将函数22ln(u x y z =++分别对,,x y z 求偏导数得22112Au x x y z ∂==∂++,22220()Au yy x y z y z∂==∂+++,2222(1,0,1)12()Au zzx y z y z ∂==∂+++, 所以cos cos cos AA A A u u u ulx y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1221110()233232=⨯+⨯-+⨯=. (5)【答案】2【解析】因为10220100103B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得 22()()()x ay dx ydydu x y x y +=+++,由可微与可偏导的关系,知2()u x ay x x y ∂+=∂+,2()u yy x y ∂=∂+, 分别对,y x 求偏导数,得2243()()2()(2)()()u a x y x ay x y a x ayx y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++, 232()u yy x x y ∂-=∂∂+. 由于2u y x ∂∂∂与2u x y∂∂∂连续,所以22u uy x x y ∂∂=∂∂∂∂,即 33(2)2()()a x ay y x y x y ---=++2a ⇒=, 故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()lim10,||x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有()0||f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增. 又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).(3)【答案】(A) 【解析】若正项级数1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑也收敛,且当n →+∞时,有tanlim (tan )limn n n n n nλλλλλ→+∞→+∞=⋅=. 用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nn nn a na λλ→+∞=>.因为21n n a ∞=∑收敛,所以2lim tann x n a nλ→+∞也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1) 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3) 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知 220()()()xxF x xf t dt t f t dt =-⎰⎰,对该积分上限函数求导数,得220()2()()()2()x xF x x f t dt x f x x f x x f t dt '=+-=⎰⎰,所以 0010002()2()()lim lim lim x xk k k x x x x f t dt f t dt F x x x x-→→→'==⎰⎰ 23002()2()limlim (1)(1)(2)k k x x f x f x k x k k x --→→'---洛洛.因为()F x '与kx 是同阶无穷小,且(0)0f '≠,所以302()lim(1)(2)k x f x k k x -→'--为常数,即3k =时有 300()2()limlim (0)0(1)(2)k k x x F x f x f x k k x-→→'''==≠--, 故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,2222133133440000a b a b D a b a b b a a b =- 22221414232314143333()()a b a b a a b b a a b b a a b b b a b a =-=--,所以选(D).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得2222()()(1cos )sin ds r r d a d θθθθθθ'=+=++2(1cos )2cos2a d a d θθθθ=+=.由于()(1cos )r r a θθ==+以2π为周期,因而θ的范围是[0,2]θπ∈. 又由于()()r r θθ=-,心形线关于极轴对称.由对称性,24cos 8sin 822s ds a d a a πππθθθ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有0n x >,数列{}n x 有下界.证明n x 单调减：用归纳法.21166104x x x +=+=<；设1n n x x -<,则1166n n n n x x x x +-+<+=.由此,n x 单调减.由单调有界准则,lim n n x →+∞存在.设lim ,(0)n n x a a →+∞=≥,在恒等式16n n x x +=+两边取极限,即1lim lim 66n n n n x x a a +→+∞=+⇒=+解之得3a =(2a =-舍去).xyz1O xyOxy DyOz 12z y =yz D【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2. 收敛数列的保号性推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥(或0n x ≤),且lim n n x a →∞=,那么0a ≥(或0a ≤).四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为22:1xy D x y +≤；2:11,1yz D y y z -≤≤≤≤,或01,z z y z ≤≤≤≤ 图1求Szdxdy ⎰⎰,自然投影到xOy 平面上.求(2)Sx z dydz +⎰⎰时,若投影到xOy 平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,,)2,(,,)0,(,,)P x y z x z Q x y z R x y z z =+==,则SI Pdydz Rdxdy =+⎰⎰.这里,213P Q R x y z∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则22(2)[(2)()()]xySD zI x z dydz zdxdy x z x y dxdy x∂=++=+-++∂⎰⎰⎰⎰, 其中22z x y =+,22:1xy D x y +≤.把2zx x∂=∂代入,得 2222242()()xyxyxyD D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由对称性得222()0xyD x x y dxdy +=⎰⎰,22242()xyxyD D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰, 所以 22()xyD I xy dxdy =-+⎰⎰.利用极坐标变换有121340001242I d r dr r ππθπ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.投影到yOz 平面时S 要分为前半部分21:S x z y =-22:S x z y =--(见图1),则12(2)(2)S S SI x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I 化成二重积分得2222222(2)(2)()4().yzyzxyyzxyD D D D D I z y z dydz z y z dydz x y dxdyz y dydz x y dxdy =--+--++=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰221311122221131242200sin 2()344(1)cos 3343,34224yzz y D z y y t z y dydz dy z y dz z y dyy dy tdt πππ=--==-=-=-=-=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或21122001.24yzzzD z y dydz dz z y dy zdz ππ--=-==⎰⎰⎰⎰(这里2zzz y dy --z 的圆面积的一半.)22()2xyD x y dxdy π+=⎰⎰(同方法一).因此, 4.422I πππ=-⋅+=- 方法三：添加辅助面221:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则11(2)1S S Dx z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：221x y +≤.S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上满足高斯公式的条件,所以1(2)3S S x z dydz zdxdy dV Ω++=-⎰⎰⎰⎰⎰11()3332D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰, 其中,()D z 是圆域：22x y z +≤,面积为z π. 因此,133(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=--++=---=-⎰⎰. (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得z z u z v z zx u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂, 2z z u z v z z a y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂, 所以 22222222()()z z z z u z v z v z ux x u x v u x u v x v x v u x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222z z zu u v v ∂∂∂=++∂∂∂∂, 2222222()()z z z z u z v z v z u x y y u y v u y u v y v y v u y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222(2)z z za a u u v v∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,222222222222222()()2()()44.z z z a y y u y vz u z v z v z ua u y u v y v y v u yz z z a a u u v v ∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂代入2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂,并整理得 2222222226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂. 于是,令260a a +-=得3a =或2a =-.2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为20zu v∂=∂∂. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,212211222131111()(1)2211111111.212122n n n n n n n n n n n n A n n n n n n n ∞∞+==∞∞∞∞+++======---+=⋅-⋅=--+⋅⋅∑∑∑∑∑∑令 1221311,22n nn n A A nn ∞∞+====⋅⋅∑∑, 则 12A A A =-.由熟知ln(1)x +幂级数展开式,即11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑,得 1121111(1)1111()ln(1)ln 2242424n n n n n A n n -∞∞+==-==--=--=⋅∑∑,12331211(1)1()22(1)11111115()()ln(1)ln 2,22222288n nn n n n n n A n n n -∞∞==-∞=-==--⋅-=-----=----=-∑∑∑因此, 1253ln 284A A A =-=-.六、(本题满分7分)【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-.令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,1()()()xf t dt f x f x x x ' =-⎰. 为消去积分,两边乘以x ,得 20()()()xf t dt xf x f x x ' =-⎰, (*)将恒等式两边对x 求导,得2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,即 ()()0xf x f x '''+=.在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=, 因为0x >,所以1C y x'=, 两边积分得 12()ln y f x C x C ==+.方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1C y P x'==. 再积分得12()ln y f x C x C ==+.七、(本题满分8分)【解析】由于问题涉及到,f f '与f ''的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c 展开：2()()()()()()2!f f x f c f x x c x c ξ'''=+-+-,ξ在c 与x 之间. 分别取0,1x =得20()(0)()()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,0ξ在c 与0之间, 21()(1)()()(1)(1)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,1ξ在c 与1之间,两式相减得 22101(1)(0)()[()(1)()]2!f f f c f c f c ξξ'''''-=+--,于是 22101()(1)(0)[()(1)()]2!f c f f f c f c ξξ'''''=----.由此 221011()(1)(0)()(1)()2!2!f c f f f c f c ξξ'''''≤++-+2212[(1)]222b a bc c a ≤+-+<+.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为T A E ξξ=-,Tξξ为数,Tξξ为n 阶矩阵,所以2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,因此, 2(2)(1)0TTTTTA A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-=因为ξ是非零列向量,所以0Tξξ≠,故210,TA A ξξ=⇔-=即1Tξξ=.(2)反证法.当1Tξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121A A A A A E --===.与已知TA E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分8分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为51315333A c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.因为二次型秩 ()()2r f r A ==,由513440400153153163333336A c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得3c =.再由A 的特征多项式513||153(4)(9)333E A λλλλλλλ---=-=----求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.(2)因为二次型经正交变换可化为222349y y +,故123(,,)1f x x x =,即2223491y y +=.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个n 元二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =,存在正交变换x Qy =(Q 为n 阶正交矩阵),使得2221122()T T T n n x Ax y Q AQ y y y y λλλ==+++,其中12,,,n λλλ是实对称矩阵A 的n 个特征值,Q 的n 个列向量12,,,n ααα是A 对应于特征值12,,,n λλλ的标准正交特征向量.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1)【答案】37【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：()(|)0.60.013(|)0.60.010.40.027()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯===⨯+⨯+.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S 的一个划分,且()0,()0(1,2,,)i P A P B i n >>=,则1()(|)(|),1,2,,.()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ (*)(*)式称为贝叶斯公式. (2)2π【解析】由于ξ与η相互独立且均服从正态分布2)2N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且()0,EU E E E ξηξη=-=-=()11122DU D D D ξηξη=-=+=+=, 所以有 (0,1)UN .代入正态分布的概率密度公式,有22()2u f u du π+∞--∞=⎰. 应用随机变量函数的期望公式有22(||)(||)||2u E E U u du ξηπ+∞--∞-= =⎰2222u du π+∞-=⎰由凑微分法,有222(||)2()22u uE d ξηπ+∞--=--⎰222u π+∞-=2π=【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.十一、(本题满分6分.)【解析】易见(,)X Y 的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意{}X Y <=∅,故{}0P X Y <=,即{}{}{}1,21,32,30P X Y P X Y P X Y =========, {}{}1,1max(,)1,min(,)1P X Y P ξηξη====={}{}{}11,1119P P P ξηξη=======.类似地可以计算出所有ij p 的值列于下表中,得到随机变量(,)X Y 的联合分布律： XY1 2 3119 0 0229 19 03292919(2)将表中各行元素相加求出X 的边缘分布123135999X⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 由离散型随机变量数学期望计算公式可得135221239999EX =⋅+⋅+⋅=. 【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j ⋅=======∑∑它们分别为联合分布律表格中第i 行与第j 列诸元素之和. 2. 离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.。