势能函数与保守力的关系
从保守力概念的引入到势能公式的推导
从保守力概念的引入到势能公式的推导
存在势能的力不一定是保守力。
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，且该作用力所做的功不因为路径的不同而改变，则称此力为保守力。
保守力判断方法
充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称作无旋场。
比如静电场就是无旋场，因此
就是激进场。
1、对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的'弹性
力f=f(x)=-k(x-x0)是x的单值函数，故它是保守力。
2、对于一维以上运动，大小和方向都与边线毫无关系的力，例如重力g=mg，就是保
守力。
3、若在空间中存在某个中心o，物体（质点）p在任何位置上所受的力f都与“向量op”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量op的单值函数，则
这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力。
势能概念的进一步讨论
势能概念的进一步讨论
(1)势能是状态的函数。
在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。
所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，即。
前面还说过，动能亦是状态的函数，。
(2)势能的相对性。
势能的值与势能零点的选取有关。
一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。
当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。
所以，通常说势能具有相对意义。
但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。
(3)势能是属于系统的。
势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。
因而它是属于系统的。
单独谈单个物体的势能是没有意义的。
例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。
如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。
同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。
应当注意，在平常叙述时，常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的，这只是为了叙述上的简便，其实它是属于地球和物体系统的。
至于物体的引力势能和弹性势能，也都是这样。
),,(P P z y x E E =),,(z y x k k v v v E E =。
保守力做功公式(一)
保守力做功公式(一)保守力做功公式在物理学中, 保守力做功公式是一个重要的概念。
保守力是指做功与路径无关的力，而做功则是力对物体做的功。
在这篇文章中，将介绍保守力做功公式以及一些相关的公式，并通过举例进行解释说明。
保守力和非保守力•保守力：保守力是指在特定路径下，力所做的功与路径无关。
它只与起点和终点的位置有关。
例如，重力和弹簧力都是保守力。
保守力与势能（potential energy）密切相关。
•非保守力：非保守力是指在特定路径下，力所做的功与路径有关。
摩擦力和空气阻力都是非保守力。
非保守力导致系统的机械能发生改变。
保守力做功公式保守力做功公式可以表示为：W=−ΔU其中： - W表示力所做的功； -ΔU表示势能的变化。
根据这个公式，如果势能增加，力所做的功为负；如果势能减少，力所做的功为正。
示例示例 1：重力做功考虑一个物体沿直线向上抛掷并上升到最高点。
在上升过程中，重力对物体做的功为负。
我们可以使用保守力做功公式来计算。
假设物体的质量为m，上升的高度为h，重力加速度为g。
在最高点，物体的势能为0。
因此，势能的变化为ΔU=−mgℎ其中h为负值。
根据保守力做功公式，重力对物体做的功为W=−(−mgℎ)=mgℎ可以看到，重力对物体做的功为正，这也符合我们的直觉。
物体上升时，重力做正功，输给了物体。
示例 2：弹簧力做功考虑一个弹簧振子，当振子从一个最大幅度位置经过过盪点后，达到另一个最大幅度位置。
在振子的运动过程中，弹簧力对振子做的功既正也负。
假设振子相对过盪点的位移为x，弹簧的劲度系数为k。
在过盪点，势能为0。
因此，势能的变化为ΔU=−12kx2根据保守力做功公式，弹簧力对振子做的功为W=−(−12kx2)=12kx2可以看到，当振子从最大幅度位置向过盪点运动时，弹簧力对振子做的功为正；当振子从过盪点向最大幅度位置运动时，弹簧力对振子做的功为负。
这也符合我们对弹簧振子运动过程的直观理解。
总结在这篇文章中，我们介绍了保守力做功公式以及与之相关的概念。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
保守力与势能
内容摘要详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。
定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
关键词：保守力势能势能零点平衡AbstractDetailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methodsKey words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance内容摘要引言 (1)1.保守力 (2)1.1保守力的定义 (2)1.2保守力的性质 (2)1.3保守力的证明 (2)2.势能 (3)2.1势能的定义 (3)2.2势能的性质 (4)2.3势能零点 (5)2.4物体在势能场中的平衡 (7)3.几种常见势能的计算 (7)3.1引力势能 (7)3.2重力势能 (8)3.3弹性势能 (9)3.4电势能 (9)3.5分子势能 (10)4.结束语 (12)5.参考文献 (13)6.致谢 (14)引言保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
保守力-势能
注意：摩擦 力作负功！
(2)对链条应用动能定理：
A ＝ A P ＋ A f 1 2m2 v1 2m0 2v
v00 AP ＋ Af 1 2m2v
A P a lP • d r a lm l xg d m x ( l2 2 l g a 2 )
前已得出：
Af
mg (la)2
2l
m(lg 2 a 2)m(lg a )21m 2v
A非保－摩擦力的功
A 非 保 fd r
B
C
A fd s B f d s ( m g c o s) s m g s
m g s c o s m g s m g h
三、能量守恒定律 能量都有哪些形式呢？机械能，热能，电磁能，化学 能，原子能，……
（1）能量可以相互转换； （2）孤立系统，能量的总量保持不变。
As (12kxb2 12kxa2)
mgz GMm
r 1 kx2 2
A 保 F 保 • d r E P 0 E P E p
保守力所作的功等于势能增量的负值。
势能的值与零点的选择有关
零势能点
势能为零
A 保 a b F 保 • d r E P a E P b
零
E Paa F 保 •dr
❖保守力：作功的大小只与物体的初末位置有关，而 与所经历的路径无关。
例如：重力、万有引力、弹性力。
A F d r 0
在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做的 功为零。
❖非保守力：作功与路径有关的力。 例如：摩擦力。
A F d r0
二、势能
✓势能——是与有相互作用的物体构成的系统的位形 相联系的能量。
2、势能曲线上任意一点的斜率 dP Edl的负值，
4保守力势能功能原理
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
论保守力与势能的一般关系
论保守力与势能的一般关系梅超【摘要】从数学角度讲,力做功表现为空间第二型曲线积分.保守力做功当然满足积分性质,并有其特殊性质.保守力在一维条件下,表现为力仅是位置坐标的函数.本文讨论了在二维和三维情况下,保守力的一般判别方法及势能的计算.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2006(021)001【总页数】2页(P108-109)【关键词】保守力;做功;势能;第二型曲线积分【作者】梅超【作者单位】宿州学院,物理系,安徽,宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】O31在普通物理课本中，保守力的定义为：保守力做功只与物体的始末位置有关，而与物体所经历的路径无关，或保守力沿任意闭合路径积分一周为零。
势能是与保守力对应的、物体在保守力场中所具有的能量。
课本上的讨论仅限于几种常见力，如重力、弹簧弹力、万有引力、分子力等几种具体情况。
而对于更一般的力是否是保守力，其势能表达式如何则未涉及。
1 做功的数学表述从本质上讲，力做功为空间第二型曲线积分。
即此处fx= fx(x,y,z),fy=fy(x,y,z),fz=fz(x,y,z)为力在直角坐标系坐标轴上的投影。
2 保守力的一般情况在实际物理模型中，我们总认为力在其立场中处处连续、可积、有一阶连续偏导数。
2.1 二维保守力设力力沿任意闭合路径L一周做功由格林公式[1]得：(L为D的正向边界曲线)。
可知W=0的充分必要条件为考虑到保守力做功等与势能的减少，可得出以下等价命题：(1)力为保守力。
积分与路径无关。
(保守力做功与路径无关)。
(3)∮L(fxdx+fydy)=0。
(沿任意闭合路径一周保守力做功为零)。
(5)力为某一标量函数V(x,y)的梯度的负值，由命题(4)和(5)，根据高等数学上有关定理[1]可知：保守力一定具有势能函数，而非保守力一定没有势能函数。
2.2 三维保守力对于一个三维矢量力沿闭合曲线L做功根据斯托克斯公式[1]得：做功W=0的充分必要条件为：(6)可以推知，三维保守力也有与二位保守力类似等价命题。
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
保守力场名词解释
保守力场名词解释
保守力场（Conservative Force Field）是一个常用的物理学名词，在物理学中常常用于描述物体之间的相互作用。
保守力场通常指的是一种与路径无关的力场，也就是说，物体在这种力场中沿不同路径移动所做的功相同。
在这种力场下，力场对物体所做的功与物体的起始位置和结束位置有关，而与物体沿着路径的形状和方向无关。
保守力场的一个重要特点是，它可以用势能函数来描述。
也就是说，对于一个保守力场，存在一个势能函数，当物体在该力场中移动时，力对物体所做的功等于势能函数的负梯度。
这个势能函数的存在使得我们可以更加方便地分析和计算物体在保守力场中的运动。
同时，由于保守力场的路径无关性，我们可以通过简单地计算起始位置和结束位置的势能差来确定物体在该力场中的位移和速度变化。
保守力场在物理学中有着广泛的应用，例如在天体力学、电磁学和力学中都有着重要的地位。
在天体力学中，行星围绕太阳的运动通
常被认为是在保守力场中的运动，这使得我们可以通过势能函数来描述行星的轨道。
在电磁学中，静电场和静磁场都被认为是保守力场，这使得我们可以通过势能函数来描述电荷和磁场中的粒子的运动。
在力学中，重力场也是一个典型的保守力场，这使得我们可以通过势能函数来描述物体在重力场中的自由落体运动。
总之，保守力场是物理学中非常重要的概念，它在描述和分析物体之间相互作用的过程中起着重要的作用。
通过对保守力场的理解，我们可以更加深入地理解物体在力场中的运动规律，这对于科学研究和工程应用都具有着重要的意义。
需要强调的关于保守力(对)做功特点、势能的特征.doc
需要强调的关于保守力（对）做功特点、势能的特征摘要：本文从大学物理力学教程中关于保守力做功以及势能的内容出发，进一步强调说明势能的重要特征：势能属于相互作用的两物体；势能实质反映两相互作用保守力做功能力的总和。
为方便阐述这两特点及其关联性提出不同的教学思路。
关键词：保守力；内力；势能中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）15-0189-02在大学物理课程中，保守力做功以及势能的引入在力学章节中是重要而基础的一部分内容。
而在大部分现用新教材中，相关内容介绍往往是这样的：第一步先讲保守力的特点是只与过程的初末位置有关，与中间路径无关，并举例说明重力、万有引力、弹簧力等做功符合这一特点，是保守力；第二步引入势能函数来表示保守力做功，同时强调该势能属于相互作用物体所共有的；第三步，之后对质点系运用质点的动能定理A外+A内=■■m■v■■■-■■m■v■■■=E■-E■（1），其中A外表示所有外力对系统做功，A内表示系统所有内力做功。
两者之和为系统动能增加。
内力做功分为保守力和非保守力做功两项，其中保守力做功可用势能变化表示，即A内=A非+A保守=A非+（Ep0-Ep）（2），将（2）式代入（1）得质点系的动能定理与功能原理A外+A非=Ek+Ep-Ek0-Ep0=E-E0（3）。
学生会遇到两个不甚明了的问题：其一，为什么在引入保守力势能时必须说明势能是属于两相互作用的物体的。
其二，保守力为什么必须是内力而不能是外力。
针对第一个问题有一种显而易见、权宜的解释，如文献说明：“势能是由于系统内各物体间有保守力作用而产生的，因此属于系统，单独谈哪个物体的势能没有意义。
”我们认为这种说法并不全面。
一般物理学研究系统的方法不排斥外部条件，并视之为环境或者外界。
其实这两个问题是相互关联的，根据定义保守力就属于质点系的内力，外力不存在此说法。
势能所要刻化的是质点系中一对相互作用保守力做功潜力。
由势能求保守力守恒定律
Aext Aint,cons Aint,ncons EkB EkA
Aint,cons EpA EpB Aext Aint,ncons EB EA
1、系统的功能原理 当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的
增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个 结论叫做系统的功能原理。
f
A
1 2
mv02 (e2
1)
m 证明一：由动能定理得
v
v0 No
A
1 2
mv2
1 2
mv02
由牛顿定律 法向力：N m v2
R
切向力： f N m dv
dt
两式联立： v2 dv dv d dv v dv R dt d dt d R d
dv v d
v
dv
d
v v0
0
守力的大小和方向。
B B
φF
AAB
F dl
A
F cosdl
A
(EpB EpA) Ep
d A Fl d l dEp
●
A dl
●
Fl B
Fl
d Ep dl
l
保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的
导数的负值。
例如：
引力沿r方向的投影：Fr
d dr
( Gm1m2 ) r
Gm1m2 r2
B A Fi drC
B A Fi
dri
'
i
i
i
B
A fij drC
ji
i
B A
fij
dr
' i
ji
B
( A B
( A
第三节势能与保守力
定义： 定义：引力势能 弹簧弹力作功： 弹簧弹力作功： WA→ B
1 2 1 = kx A − kxB 2 2 2
1 E p = −GMm r
定义：弹性势能（ 定义：弹性势能（满 足胡克定律的弹簧） 足胡克定律的弹簧）
Hale Waihona Puke 1 2 E p = kx 2
第三章 守恒定律
3. 势能零点选择 重力势能零点：随便选。 重力势能零点：随便选。 引力势能零点：一般选无穷远处为势能零点。 引力势能零点：一般选无穷远处为势能零点。 选无穷远处为势能零点 弹性势能零点：一般选弹簧原长处为势能零点。 弹性势能零点：一般选弹簧原长处为势能零点。 选弹簧原长处为势能零点 注意：若同时有重力、弹力， 注意：若同时有重力、弹力，一般选弹簧原长处为势 能零点。 能零点。 说明： 说明： 1. 单位：焦耳，J 单位：焦耳， 2. 势能属于系统，如说物体的势能不确切。 势能属于系统，如说物体的势能不确切。 3. 弹性势能总是大于等于 。 弹性势能总是大于等于0。 4. 势能的绝对的值没有意义，只关心势能的相对值。 势能的绝对的值没有意义，只关心势能的相对值。
第三章 守恒定律
第三节
势能与保守力
如果一块石头放在地 面你对它并不关心。 面你对它并不关心。 如果把石头放在楼顶， 如果把石头放在楼顶， 并摇摇欲坠， 并摇摇欲坠，你就不会 不关心它， 不关心它，你可能要离 它远些， 它远些，因为它对你的 生命安全造成威胁。 生命安全造成威胁。
第三章 守恒定律
一. 保守力 若力所作的功只与质点的始末位置有关， 若力所作的功只与质点的始末位置有关，而与经过 只与质点的始末位置有关 的路径无关，这种力叫保守力 反之为非保守力。 保守力， 的路径无关，这种力叫保守力，反之为非保守力。 万有引力做功: 万有引力做功 重力作功： 重力作功： 弹簧弹力作功： 弹簧弹力作功：
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】本文将探讨物理学中的保守力和势能的概念。
在我们将介绍保守力和势能的基本概念。
接着，在我们将解释保守力的定义、势能的概念、保守力和势能之间的关系、不同类型的势能以及保守力和非保守力的区别。
在我们将探讨保守力和势能的重要性，它们在物理学中的应用以及研究它们的意义。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解保守力和势能在物理学中的重要性，以及它们对于理解物体运动和相互作用的作用。
【关键词】保守力、势能、物理学、定义、关系、种类、区别、重要性、应用、研究、意义。
1. 引言1.1 物理学中的保守力和势能概念物理学中的保守力和势能概念是指在物体运动过程中存在的一种重要物理现象。
保守力是指只与路径无关的力，即在物体沿着闭合路径作用力时所做的功为零的力。
而势能则是描述物体在受到保守力作用时所具有的能量状态。
保守力和势能之间存在着密切的关系，它们是描述物体运动的重要概念。
保守力和非保守力的区别在于前者所做的功只与初末位置有关，而后者所做的功与路径有关。
保守力和势能在物理学中具有重要的作用，它们能够描述物体的运动规律，并为我们理解自然界提供了重要的依据。
在物理学中，研究保守力和势能的重要性不言而喻。
它们的应用涵盖了多个领域，如力学、热力学等。
对保守力和势能进行深入研究有助于我们更好地理解物理世界，推动科学技术的发展。
保守力和势能的研究具有重要的意义，将为我们带来更多的探索和发现。
2. 正文2.1 保守力的定义保守力是指对物体做功与物体路径无关的力，即沿任意闭合路径对物体作用的保守力所做的功为零。
这意味着保守力是一种和路径无关的力，只与物体的起始位置和终止位置有关。
在物理学中，保守力的定义是指只有静力场才是保守场，即保守力是一种具有势能的力。
势能是指物体由于位置而具有的能量，是力的势能可以表示为能够做功的能量。
保守力的一个重要特征是它可以通过梯度形式的势能函数来描述，即保守力的大小等于势能函数的负梯度。
1-4-2 保守力的功、势 能
保守力的功势能（1）重力的功XYZOa b∙∙∙gm rd m 在重力作用下由a 运动到b ，取地面为坐标原点⎰⋅=bard g m W ⎰++⋅-=ba )k dz j dy i dx (k )mg (⎰-=b az z mgdza b mgz mgz =-=初态量-末态量（2）万有引力的功rdr rMm G Wbar r ∙-=⎰3rdrr Mm G b ar r 3⎰-=)()(ba r Mm G r Mm G ---==初态量-末态量两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为位矢的正方向。
m 受的引力方向与位矢方向相反。
rdr r d r r d r ==∙θcos rrMm G F3-=Mr abm（3）弹力的功∙∙∙弹簧振子ikx F-=221122()b ax x b a W kxi dxikx kx=-∙=--⎰222121b a kx kx -==初态量-末态量某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关,而与路径无关,这种力称为保守力。
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、电场力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力、粘滞阻力、磁力势能AB功是能的量度，给定两点A 、B ，保守力所做的功是一定的，即对应能量差是一定的，对应的这种能定义为势能，只与质点的位置有关。
)()(b E a E W P P ab -=定义了势能差保守力做正功等于相应势能的减少保守力做负功等于相应势能的增加选择b 点为势能为零,则0)(=b E P ab P W E (a)=质点在某一点a 的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点a 移动到零势能点时保守力所做的功rd F a E ar p∙=⎰零势能点保)(mgh E =重力2kx 21E =弹性rMm GE -=引力说明：（1）只有保守力的系统，才可引入相应的势能（2）计算势能必须规定零势能参考点（3）势能仅有相对意义，它与零势能点的选取有关，但两点间势能差与零势能点选取无关（4）势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有保守力与势能函数的关系一般说来，势能是位置的函数，若用E P (x,y,z)表示，那么zE F y E F x E F pz p y p x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=++=k z E j y E i x E k F j F i F F p p p z y x p E k z j yi x )( ∂∂+∂∂+∂∂-=pp E grdE -∇=-=质点所受保守力等于质点势能梯度的负值。
3-2 保守力做功与势能
x = 0处为势能零点 z = 0处为势能零点
A A B ( E pB E pA )
定义了势能的差值
势能增量的负值
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。 设空间 r 点为势能零点，则空间任意一点 r 0 的势能为：
a x1
则
Aab
1 2
k x1
2
1 2
kx2
2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
二 势能 仍以引力为例
B
引力场
AA B
A
GmM GmM F dr rB rA
按照动能定理：若质点在引力场中运动（只受引力用）
B
AA B
GmM rB
A
F d r E kB E kA
A ACBDA
F dr
r
A
F
dr
ra
C
D
ACBDA
ACB
F dr
BDA
F dr
A AC B ABD A
0
第3章 机械能和功
A ACBDA
F dr 0
ACBDA
结 论 ： A ACBDA
3-2 保守力做功与势能 F dr 0
E kA E pA E kB E pB
(
GmM
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
5. 由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一 定的势能——与质点所处位置有关。
保守力与势能s
T=1/2mv2
Work-energy theorem: T2 T1 W.
用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。
Solution I:
In Frame M
M
m
b
a
W
b a
GrM2 mdr
GMm( 1 a
1 b
)
Solution II:
r1
r2
r1' r2 '
Re. center of mass
C
M: r1 m: r2
M:
F12
GMm r122
WAB
F
dr
A1 B
F
dr
势能的增量等
A2B
于保守力所做
VA VB V
功的负值.
If VB 0 Then VA WAB
(1)保守力做功
势能
WAB VA VB V
或
VA WAO
O
F
dr
A
Gravitational potential energy
两边分别与劲度系数(force constant,spring constant)为k1和k2的两个弹簧相联，若在右边弹簧 末端施以拉力f，问：（1）若以拉力非常缓慢地拉了 一段距离l，它做功多少？（2）若拉到距离l后突然 不动，拉力做功又如何？
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势能函数与保守力的关系
势能函数与保守力的关系
势能函数和保守力是两个重要的物理概念，它们之间有着密切的关系。
势能函数描述了物体所处的位置的势能大小，而保守力则是指一类物
理力，其做功与物体所经过的路径无关。
在本文中，我们将探讨势能
函数与保守力之间的关系。
首先，我们需要了解什么是势能函数。
如果一个物体在场中的位置发
生了变化，那么它的势能也会发生变化。
在一定条件下，物体的势能
与位置之间存在一种确定的数学关系，这种关系就是势能函数。
在物
理中，势能函数常常用U(x)来表示，其中X是物体的位置。
其次，我们需要明白什么是保守力。
保守力是指其做功与路径无关的力，也就是说，无论物体经历了怎样的路径，保守力所做的功都是相
同的。
在物理中，保守力常常被描述为一类势力，它们的势能变化与
位置之间存在确定的数学关系。
接着，我们来看一下势能函数与保守力之间的关系。
势能函数与保守
力之间存在着一种紧密的联系，也就是说，如果一个力是保守力，那
么它所描述的势能函数一定存在。
反之亦然，如果一个势能函数存在，
那么它所描述的力一定是保守力。
这是因为在物理中，只有保守力才
能描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明描述这种情形的力是保守力。
此外，我们还需要了解，保守力的势能函数在很多方面都是唯一的。
也就是说，对于一个特定的保守力，存在着唯一一个势能函数可以描
述它，并且这个势能函数的形式是确定的。
这是由保守力的基本特性
所决定的。
总结一下，势能函数与保守力之间存在着密切的关系。
保守力可以描
述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势
能函数的存在也必然说明所描述的力是保守力。
在大多数情况下，保
守力的势能函数都是唯一的，这是由保守力的基本特性所决定的。
深
入了解势能函数与保守力之间的关系有助于我们更好地理解物理学的
基本概念，进一步提高我们的学术水平。