上海市2021届高三数学二模试题(含解析)
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。
2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷(含答案)
2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B = ___________.2.复数2z i =-，则z =___________.3.直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4.()1012x +的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5.若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6.函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7.设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a bc d的值为___________.8.已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2limnn S n →∞=__________.10.已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP xAB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11.设点P是曲线y =(0,F，)A满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12.函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.“0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.下列不等式恒成立的是（）A.x y x y +≥-B.x +>C.12x x+≥ D.x y x y x y++-≤+15.上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒.立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A.总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒B.总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒C.总体中位数为23C ︒，众数为25C︒ D.总体均值为25C ︒，总体方差为21C︒16.记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x .判断如下两个命题真假①函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意0p >，()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹函数()2f x ；则下列选项正确的是（）A.①真②假B.①假②真C.①②全假D.①②全真FED 1C 1B 1A 1DCBA 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =，()2f A =，求当t =ABC ∆的面积.北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角.（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）.（2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8.椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ，n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分1.()0,12.3.24.1805.12π6.110x -7.38.389.12-10.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.,44⎫⎪⎪⎝⎭12.29π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13.A 14.B 15.D 16.D三、解答题17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行.（2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2x y z ==不妨取1z =，则()2,2,1n =（4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D与平面BDE所成的角为θ故11sin9n DBn DB⋅θ===（2分）直线1B D与平面BDE所成的角为arcsin9.（2分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）()sin cosf x t x x=+，x∈RⅠ0t=时，()cosf x x=()()()cos cosf x x x f x-=-==∴偶函数（2分）Ⅱ0t≠时， ()010f=≠∴不是奇函数（2分）1 , 122f t f tππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f fππ⎛⎫⎛⎫≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数（2分）∴函数()f x非奇非偶函数；（2）由t=，()2f A=cos2A A+=，因为2a b=<=，所以0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3Aπ=（4分）由2222cosa b c bc A=+-，解得12c±=（2分）1sin28ABCS bc A∆==.（2分）北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则()1,2MA =- ,()3,3MB =（2分）10cos 10MA MBAMB MA MB⋅∠==（2分）故观测角71.610AMB ∠=≈︒（2分）（2）设()(),0 0M x x >①4x =时，tan 2AM B ∠=，arctan 245AMB ∠=>︒（2分）②4x ≠时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角,设tan y AMB=∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+--（2分）当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+45A M B ∠≥︒ ，1y ∴≥整理得2520x x --≤（2分）502x +<≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，则 4c a ===（2分）椭圆Γ：221164x y +=（2分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQy yk k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++（2分）222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得221216x x +=（2分）代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值.（2分）（3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y --()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y yl y y x x x x +-=-+，故()211121Ny y y y x x x -=+--，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=-⋅-=-（2分）又1122122112101PQR OPQ x y S S x y x y x y ∆∆===-（2分）代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =-代入得()2211162x x -=-.若()2211162x x -=-，化简得2113320x-+=，方程无解；若()2211216x x -=-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4.（2分）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =-（2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-；（2分）（2）首先证明：pa q 和q a p 中至少一个等于1.（2分）反证法：设pa q 和qa p 都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！（2分）所以pa q 和qa p 中至少一个等于1.不妨设1qa p=，则211q p -=，即21p q =-那么214334pa p q q q q q--===-，所以83,5,15p q q p a a +====.（2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列；（3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期.分如下三步证明1下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+（2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=.（1分）2下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-.1分3由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥.由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合.1分。
2021年高考数学试卷含解析(新高考II)
C. 5,6
【答案】B
【解析】∁ UB = 1,5,6 ,A ∩ ∁ UB = 1,6 , 选 B
D. 1,3
(
)
3. 抛物线 y2 ＝ 2pxp > 0 的焦点到直线 y ＝ x + 1 的距离为 2, 则 p =
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
【答案】B
(
)
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果 . 在卫星导航系统中, 地球静止同步卫星的轨
B. ω(2n + 3) = ω(n) + 1 D. ω(2n - 1) = n
【答案】ACD 【解析】令 n = a0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 2n = 0 ∙ 20 + a0 ⋅ 21 + a1 ⋅ 22 +⋯+ak-1 ⋅ 2k + ak ∙ 2k+1,ω(2n) = 0 + a0 + a1 +⋯+ak = ω(n),A 正确 . 下证明 : 若 n 为偶数 n ∈ N * , 则 ω(n + 1) = ω(n) + 1. 证明 : 因为 n 为偶数, 所以 n = 0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 n + 1 = 1 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 所以 ω(n) = 0 + a1 +⋯+ak,ω(n + 1) = 1 + a1 +⋯+ak = ωn + 1. 选项 B, 取 n = 2 可排除 . 或者 ω(2n + 3) = ω2n + 1 + 1 = ω2n + 1 + 1 = ωn + 1 + 1, 不能保 证与 ω(n) + 1 恒等 .B 错误 . 选项 C,ω(8n + 5) = ω(8n + 4 + 1) = ω(8n + 4) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(2n) + 2 = ω(n) + 2;ω(4n + 3) = ω(4n + 2) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(n) + 2.C 正确 . 选项 D, ∵ 2n - 1 = 20 + 21 + 22 +⋯+2n-1, ∴ ω(2n - 1) = n. 或者, 当 n ≥ 2 时,ω(2n+1 - 1) = ω22n - 1 + 1 = ω22n - 1 + 1 = ω(2n - 1) + 1. 又 ∵ ω(3) = 2,ω(1) = 1, ∴ ω(3) = ω(1) + 1. 即对 ∀ n ∈ N * 有 ω(2n+1 - 1) = ω(2n - 1) + 1, ∴ ω(2n - 1) 为首项为 1, 公差为 1 的等差数列 . ∴ ω(2n - 1) = n.D 正确 . 故选 ACD.
2021届上海市普陀区高三二模数学试题(解析版)
2021届上海市普陀区高三二模数学试题一、单选题1．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b --> B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【分析】利用作差法逐项进行判断即可.【详解】A ．因为()()22222222b a b a b a a b a b a b---+--==，+a b 的正负无法确定，故错误； B ．因为11b aab ab----=，ab 的正负无法确定，故错误； C ．因为()()22a b a b a b -=+-，+a b 的正负无法确定，故错误；D ．因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2230,024b b a b a ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭ ，所以330a b ->，所以33a b >，故正确，故选：D.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.2．设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是（ ）A ．()4,0±B ．()3,0±C ．(0,5)±D ．()0,4±【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置，求出c 的值，即可得出双曲线的焦点坐标. 【详解】716m <<，则160m ->，70m -<，所以，双曲线的标准方程为221167x y m m -=--，所以该双曲线的焦点在x 轴上，且216a m =-，27b m =-，则3c =， 因此该双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B.3．设,αβ是两个不重合的平面，,l m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是（ ）A ．l ⊂α，m ⊂α且l β//，//m βB ．l ⊂α，m ⊂β，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m【答案】C【分析】根据线面垂直的性质和面面平行判定定理的推论，可得由C 项的条件能证出//αβ，由面面平行判定定理和空间线面位置关系，对A 、B 、D 各项的条件加以推理，可得都有可能,l m 平行于,αβ的交线，得它们不正确.【详解】对于A ，若l α⊂，m α⊂且l β//，//m β，若,l m 是平行直线，则它们可能都平行于,αβ的交线，所以A 不正确； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，且//l m ，可得,l m 都平行于,αβ的交线，所以B 不正确；对于C ，l α⊥且//l m ，可得m α⊥，再由m α⊥，m β⊥，得到//αβ， 所以l α⊥，m β⊥且//l m 是//αβ的一个充分非必要条件，所以C 正确； 对于D ，由//l α，//m β，且//l m ，可能有,l m 都平行于,αβ的交线，所以D 不正确； 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题给出几个位置关系的条件，求能使//αβ的一个充分条件，正确解题的关键是要明确面面平行的判定定理.4．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-， 所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示， ①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x fx f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>， 即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>， 所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.二、填空题5．设全集U ={}1,0,1,2-，若集合{}1,0,2A =-，则UA___________．【答案】{1}【分析】根据集合的补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，全集U ={}1,0,1,2-，集合{}1,0,2A =-， 根据集合补集的概念及运算，可得{1}UA =.故答案为：{1}. 6．若复数2iz i+=（i 表示虚数单位），则Im z =__________． 【答案】2-【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后可直接判断出z 的虚部.【详解】因为()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，所以z 的虚部为2-， 所以Im 2z =-， 故答案为：2-. 7．函数1y x x=的零点为___________． 【答案】1【分析】令10y x ==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1. 故答案为：1.8．曲线24y x =的顶点到其准线的距离为__________． 【答案】1【分析】根据抛物线的定义求出顶点坐标和准线方程，求出其到准线的距离即可. 【详解】因为曲线24y x =，所以其顶点为(0,0)，准线方程为：1x =-， 所以曲线24y x =的顶点到其准线的距离为1， 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，正确解题的关键是要理解抛物线的性质，明确抛物线的顶点和焦点坐标. 9．若cos()13πθ+=，则cos θ=__________．【答案】12【分析】根据cos cos()33ππθθ=+-，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以cos cos()33ππθθ=+-cos()cos sin()sin 3333ππππθθ=+++1102=⨯+12=. 故答案为：1210．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______. 【答案】12π【分析】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是2r r ==∴球的表面积是4212ππ⨯⨯=.故答案为：12π.11．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】令0x =，所以()8011a -==， 令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nnax b ax bx ca b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果.12．设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，则公比q =_________．【答案】12【分析】根据无穷等比数列的求和公式和极限的运算公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，可得1111li +131m 1n n a S S a q q→∞=+=+-=-，解得12q =. 故答案为：12.13．设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -≤⎧⎨+-≤⎩，则3x y -的最小值为__________．【答案】3-【分析】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3x y -的最小值.【详解】记3z x y =-，由条件可知,x y 满足：02200,0x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：由图可知，当直线3z x y =-经过点A 时，此时纵截距最大，所以z 有最小值，又0220x x y =⎧⎨+-=⎩，所以01x y =⎧⎨=⎩，所以()0,1A ，所以min 0133z =-⨯=-， 故答案为：3-.【点睛】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤： （1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；（3）通过平移直线确定出直线纵截距取最值时直线所过可行域内的点的坐标，从而目标函数最值可求.14．某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为____________（结果用最简分数表示）． 【答案】47【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为114327124217C C P C ===. 故答案为：47. 15．设(),M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x ≤≤值为_________．【分析】233xy =+-32t ⎤=⎥⎦，分析函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32⎤⎥⎦上的单调性，求出()max f t ，即可得解.【详解】211x y x y =+++-3333x y x y xy xyxy +=++-=+-=+-，令32t ⎤===⎥⎦， 设()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()1g t t t=+32t ≤≤， 任取1t 、232t ⎤∈⎥⎦且12t t<1232t t ≤<≤，所以，()()()()12121212121221121111t t g t g t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121t t t t t t --=，12322t t ≤<≤，则120t t -<，121t t >，()()12g t g t ∴<，所以，函数()1g t t t =+在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2max 6332962232222f t f-⎛⎫-∴==+-+== ⎪ ⎪⎭，所以，11x y y x +-+的最大值为63632-=-. 故答案为：63-. 【点睛】关键点点睛：本题求解代数式最值的求解，解题的关键就是将代数式平方后，利用换元法将代数式的最值转化为函数的最值来处理. 16．如图，在△ABC 中，2C π=，3AC =，1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:1【分析】根据已知的向量关系先分析出120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒，然后通过设OCB θ∠=，根据相似三角形以及正弦定理找到,,OA OB OC 的关系，从而可求解出::OA OB OC 的结果.【详解】因为0OA OB OC OAOBOC++=，所以OA OB OC OAOBOC=+，所以22OA OB OC OA OB OC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以111211cos ,OB OCOB OC=++⋅⋅⋅<>，所以,1cos 2OB OC OB OC <>=-，所以120,OB OCOB OC<>=︒，即120BOC ∠=︒，同理可知：120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒， 不妨设OCB θ∠=，所以60OBC θ∠=︒-， 又因为2C π=，3AC =，1BC =，所以2,60AB ABC =∠=︒，所以()6060OBA θθ∠=︒-︒-=，所以18012060OAB θθ∠=︒-︒-=︒-，所以AOBBOC ，所以AO BOBO CO=，所以2OA OC OB ⋅=； 在BOC 中，sin sin sin BC OB OCBOC OCB OBC==∠∠∠，所以()1sin120sin sin 60OB OC θθ==︒︒-，所以23sin 3OB θ=， 又在AOB 中，sin sin OB ABOAB AOB=∠∠，所以()2sin 60sin120OB θ=︒-︒，所以()43sin 603OB θ=︒-， 所以()2343sin sin 60θθ=︒-，所以()sin 2sin 60θθ=︒-， 又因为()sin sin 60OB OC θθ=︒-，所以2OB OC=， 又因为2OA OC OB ⋅=，所以4OAOC=， 所以::4:2:1OA OB OC =. 故答案为：4:2:1.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到,,BOC AOB AOC ∠∠∠的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的O 点要注意和“内心”作区分.三、解答题17．如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径．点C 位于底面圆周上，且90BOC ∠=．异面直线PA 与CB 所成角的大小为60．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O --的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）83π；（2）3arccos（或写成arctan 2）． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线PA 与CB 所成角的大小为60求解出圆锥的高OP ，再根据圆锥的体积公式求解出其体积；（2）根据空间直角坐标系，分别求解出平面PBC 和平面OBC 的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC O --的大小.【详解】解：（1）设圆锥的高为h ．以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题设条件，可得(2,0,0)C 、(0,0,)P h 、(0,2,0)A -、(0,2,0)B ．(0,2,)PA h =--，(2,2,0)CB =-由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60， 得01cos602PA CB PA CB⋅⨯===，解得2h =． 圆锥的体积V =211822333Sh ππ=⨯⨯⨯=． （2）方法一：由（1）知()()()0,0,2,0,2,0,2,0,0P B C , 所以()0,2,2PB =-，()2,2,0BC =-， 设平面PBC 一个法向量为(),,m x y z =，所以00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00y z x y -=⎧⎨-=⎩，令1x =，所以()1,1,1m =，取平面BCO 一个法向量为()0,0,1n =， 所以cos ,13m n m n m n⋅<>===⋅ 结合图形可知二面角P BC O --为锐二面角， 所以二面角P BC O --的大小为arccos3； 方法二：取BC 的中点D ，连接OD 、PD ． 由OB OC =，得ODBC ；再由PB PC =，得PD BC ⊥．所以PDO ∠即为二面角P BC O--的平面角．PO ⊥圆锥的底面，所以PO OD ⊥，故POD 为直角三角形．在△POD 中，12OD BC==2PO =，故tan PDO ∠PO OD==即PDO ∠=P BC O --的大小为【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 18．设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -．（1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．【答案】（1）原方程的解集为{}2；（2）()28log 105g =-． 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当01x <<时，()2xg x =，通过计算得出()22258log 10log log 85g g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.【详解】（1）()()()22220log 22log 0f x f x x x +-=⇔+-=，则()222log 2log x x +=即220x x --=，解得2x =或1-．由20x x +>⎧⎨>⎩可得0x >，2x ∴=，所以，原方程的解集为{}2； （2）()2log f x x =，其中0x >，令2log y x =，可得2y x =，即()12x f x -=，所以当01x <<时，所以，()2xg x =，由于()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有()()2g x g x +=，()()g x g x -=-．342102<<，则23log 104<<，故()()()222225log 10log 104log 10log 16log 8g g g g ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 又因为15128<<，所以251log 08-<<，故28log 522588log log 2855g g ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()28log 105g =-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.19．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA （1,2,3,4i =），1230A A =米，214120A A A ∠=，D 为对角线24A A 和13A A 的交点．他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ．设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ．对于条件（1）中的L ，当11320.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由． 【答案】（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析． 【分析】（1）在△124A A A 中，根据正弦定理求出1423A A A ∠=公式可求出结果；（2）利用余弦定理求出1A D ，可得13A A ，利用三角形面积公式和扇形的面积公式求出1S ，2S ，可得1132||S LA A S -，再通过近似计算可得答案. 【详解】（1）根据题设条件，可得在△124A A A 中，24122A A A A =．由正弦定理，得2412214142sin sin A A A A A A A A A A =∠∠，即142123sin sin 234A A A π∠==．所以1423arcsinA A A ∠=，所以3arcsin 3πθ=-， 所以12260L A A θθ=⋅==360arcsin 3π⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭≈36米． 答：甬路L 的长约为36米．（2）由（1）得60L θ=，在△12A A D 中，由余弦定理，得21221800180303023030c cos 0os A D θθ=+-⨯⨯⨯=-，所以13022cos A D θ=-， 故13A A =6022cos θ-，所以13LA A =22cos θ-，2112002930S θθ==⨯⨯，2914303000(2s )sin 90n 0i 2S θθθθ=⨯⨯⨯-=-，故122sin S S θθθ=-， 当3arcsin34πθ=-时，0.11810.122sin 22cos θθθθθ-≈<--．所以此人的设计是“用心”的．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理、弧长和扇形的面积公式、三角形的面积公式求解是解题关键.20．已知曲线Γ：223412x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点．（1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）1)y x =+；（3）存在；4(,0)19M -． 【分析】（1）根据椭圆方程求出,a c ，再根据椭圆的定义可求出结果；（2）圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），根据弦长求出r ，再根据直线l 与圆2F 相切可出k ，从而可得直线l 的方程；（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，满足题意，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理求出AB 的中点坐标，利用AB 的中垂线方程求出M ，再根据点到直线的距离公式求出点M 到直线l的距离，再根据tan MAB ∠=可求出结果. 【详解】（1）根据题设条件，可得22143x y +=，故2a =，根据椭圆定义，可知12||||24AF AF a +==，1c =，12||22F F c ==，由12126AF AF F F ++=，得△12F AF 的周长为6．（2）设圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），令0x =，得y =，故=r = 由l 与圆2F 相切，得2(1,0)F 到直线l ：(1)y k x =+的距离d ==k =故直线l的方程为1)y x =+．（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 并整理，得2222(34)84(3)0k x k x k +++-=，42226416(34)(3)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>，令11(,)A x y ，11(,)B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，AB ==2212(1)34k k++， 121212(1)(1)()2y y k x k x k x x k +=+++=++2228623434k kk k k=-+=++， 故线段AB 的中点C 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段AB 中垂线1l 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =，得0x =2234k k -+，点M 22,034k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭到直线l的距离d =， 又因为||||MA MB =，所以tan 12d MAB AB ∠===2212(1)1034k k ++，k =，解得24k =，故4(,0)19M -．所以在x 轴上是否存在一点4(,0)19M -，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=. 【点睛】关键点点睛：设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），利用直线l 的方程与椭圆方程联立求出AB 的中点坐标，再根据AB 的中垂线方程得到M ，再根据点M 到直线l的距离与tan MAB ∠=建立方程求出2k 是解题关键， 21．记实数a 、b 中的较大者为max{,}a b ，例如{}max 1,22=，{}max 1,11=．对于无穷数列{}n a ，记{}212max ,k k k c a a -=（*N k ∈），若对于任意的*N k ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②sin 2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．【答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）12d <-；（3）证明见解析．【分析】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”可得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=，①若12S S ≥，推出1d ≤-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”； ②若12S S <，推出112d -<<-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解】（1）①中，由2121102k k a --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22102k k a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得14kk c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（k 为正整数），因为11131044414k k kk k c c ++⎛⎫⎛-⎫=-⎝⎛⎪⎫-=⎝ < ⎪⎭⎪⎝⎭⎭，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由121(1)k k a +-=-，20k a =，所以0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），因为3210c c =>=，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”，得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=． ①若12S S ≥，则212S S a -==10a d +≤，即10d +≤，也即1d ≤-， 此时{}n a 为递减数列，故230n a a a ≥>>>>．所以1234n S S S S S ≥>>>>>，故21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件． ②若12S S <，则20a >，则10d +>，即1d >-， 由{}{}112234max ,,c S S c S S =>=得23S S >， 则3320a S S =-<，则120a d +<， 即120d +<，解得12d <-，所以112d -<<-．此时{}n a 为递减数列， 所以1230n a a a a >>>>>>， 所以1234n S S S S S <>>>>>，所以当2k ≥且*k N ∈时，21211k k k k c S S c -++=>=，又12c c >， 所以21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件， 由①②可得，12d <-． （3）先证明必要性：用反证法．假设存在正整数m (3)m ≥，使得0m d =，21||0m m m d d d --=-=，令12m m d d a --==， 因为120,0d d >>，且21n n n d d d ++=-，所以0n d ≥，故0a ≥， 则数列{}n d 从1m d -项开始以后的各项为,,0,,,0,a a a a ，则当211k m -≥-时，212max{,)k k k c d d a -==，所以12122max{,}k k k c d d a +++==， 所以1k k c c a +==，与{}n d 是“趋势递减数列”矛盾． 故假设不成立，故{}n d 的项中没有0. 再证明充分性：由21n n n d d d ++=-，得{}21max ,n n n d d d ++<，因为{}n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠．于是230k d +≠（k 为正整数），所以2122k k d d ++≠，①当2122k k d d ++>时，{}{}1212221212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， ②当2122k k d d ++<时，{}{}1212222212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， 所以均有1k k c c +<，故{}n d为“趋势递减数列”的充要条件是数列{}n d的项中没有0．【点睛】关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.第 21 页共 21 页。
2021年上海市高考数学试卷(学生版+解析版).docx
2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分，满分54分）1.（4 分）已知 zi = l+z', Z2=2+3Z',求 zi+z2=.2.（4 分）已知 A={x|2xWl}, B={-1, 0, 1},贝i| .3.（4分）若^+y2 -2x~ 4y=0,求圆心坐标为 .4.（4分）如图正方形ABCD,求百.5.（4 分）已知f（x）+2,则广1 （1） =.x6.（4分）已知二项式（x+a） 5展开式中，x2的系数为80,则a=.x<37.（5分）已矢小2x-y-2》o, z=x-y,则z的最大值为 .3x+y-8》08.（5分）已知{a”}为无穷等比数列，671=3, S的各项和为9, bn=ain,则数列化”}的各项和为.9.（5分）己知圆柱的底面圆半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .10.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A, B, C, D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.11.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）,若第一象限的A, B在抛物线上，焦点为F, |时| =2,|BF|=4, |AB|=3,求直线AB的斜率为.12.（5 分）已知 a庭N* （z=l, 2,…，9）对任意的k€N* （2WZW8）, ak=ak-l+]或破=ak+i - 1中有且仅有一个成立，ai—6, <29=9,则ai+---+a9的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y= - 3xB. j=x3C. y=log3xD. y=3xx=3t~4t314.（5分）已知参数方程< * 二_, re[-i, 1],以下哪个图符合该方程（）.y=2tVl-t2三、解答题17. （14 分）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2, 441=3.(1) 若F 是棱A L D I 上的动点，求三棱锥C-PAD 的体积;(2) 求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.18. （14 分）在△ABC 中，已知 Q =3, b=2c.（1）若 A = 求 S/VlBC.(2) 若 2sinB - sinC= 1,求 C MBC .19. (14分)已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增 长4%.A. C. 15. （5 分） 已知 f （x ） =3sinx+2,对任意的 xi£[O,=2/-(x+0) +2成立，则下列选项中，。
2022届上海市金山区高三数学二模试卷(含答案)
2022届上海市金山区高三数学二模试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{1,3,0}A =-，2{3,}B m=，若B A ⊆，则实数m 的值为．2．已知(1i)2i z +=(i 为虚数单位)，则z=．3．已知等比数列{}n a 各项均为正数，其中11a =，2312a a +=，则{}n a 的公比为．4．4(12)x -的二项展开式中2x 项的系数为．(结果用数字作答)5．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则顶点A 到平面11BB D D 的距离为．6．不等式组3,+0,40x y x y x -⎧⎪⎪⎩+⎨表示的平面区域的面积等于．7．已知向量(sin 2,2cos )a x x =，)b x = ，则函数()1f x a b =⋅- ，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为．8．将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为．(结果用最简分数表示)9.过抛物线22y px =(0p >)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若||||8AF BF ⋅=，则p 的值为．10.已知平面向量OA 、OB 满足||||1OA OB == ，若关于x 的方程1||4x OA OB ⋅-= 有实数解，则△AOB面积的最大值为．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231n n S a =-(*n ∈N )，函数()f x 定义域为R ，对任意x ∈R都有1()(1)1()f x f x f x ++=-.若(2)1f =，则2022()f a 的值为．12．设()sin f x a x =+，若存在12π5π,,,,36n x x x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使121()()()()n n f x f x f x f x -+++= 成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是_______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,m n ∈R ，则“0m n ⋅<”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的()．(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件14．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为()．(A )若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B )若m α⊥，n α⊥，则m ∥n (C )若m ∥α，m ∥β，则α∥β(D )若m α⊥，αβ⊥，则m ∥β15．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是()．(A )所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业(B )该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%(C )估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时(D )估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间16．对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足：(1)对任意的x D ∈，均有()()0f x f x -+=；(2)对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，且21x x ≠-，使得1122()()f x x x f x -=-成立，则称函数()y f x =为“等均”函数.下列函数中：①()f x x =；②1()1x f x x -=+；③2()f x x =；④()sin f x x =，“等均”函数的个数是()．(A )1(B )2(C )3(D )4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，SA ⊥平面ABCD ，1SA BC ==，2AD =，AB =．(1)求四棱锥S ABCD -的体积；(2)求直线BS 与平面SCD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知02sin b A =，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若33c a =+，证明△ABC 是直角三角形.19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月(30天)内的日销售量()m t (百件)与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310…30日销售量()m t （百件）236.5…16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润1()f t (元)与时间第t 天的函数关系式为1()388f t t =-+(115t ，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润2()f t (元)与时间第t 天的函数关系式为2600()2f t t=+(1630t ，且t 为整数).(1)现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+(k b 、为常数)；②()t m t b a =⋅(a b 、为常数，0a >且1a ≠).分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R .(1)求△12PQ F 的周长；(2)当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；(3)记△11F Q R 与△22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最大值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于集合123{,,,,}n A a a a a = ，2n 且*n ∈N ，定义{|},A A x y x A y A x y +=∈+∈≠且.集合A 中的元素个数记为||A ，当(1)||2n n A A -+=时，称集合A 具有性质Γ.(1)判断集合1{1,2,3}A =，2{1,2,4,5}A =是否具有性质Γ，并说明理由；(2)设集合{1,3,,}B p q =(,p q ∈N ，且3p q <<)具有性质Γ，若B B +中的所有元素能构成等差数列，求p 、q 的值；(3)若集合A 具有性质Γ，且A A +中的所有元素能构成等差数列，问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．0；2．1i+；3．3；4．24；5．；6．25；7．6π,3π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；8．19；9．2；10．18；111-；12．151773,,1416167⎡⎫⎛⎤----⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．C；14．B；15．D；16．B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)1(2212)S=+⨯=梯形.………2分又SA⊥平面ABCD，所以1133122V S h⨯==⨯⋅=梯形.………5分即四棱锥S ABCD-的体积为2.………6分(2)以A为原点，射线AB、AD、AS分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(BS=，(0,2,1)SD=-，(CD=.………8分设(,,)n u v w=是平面SCD的一个法向量，则由0n SD⋅=,0n CD⋅=，得20,0,v wv-=⎧⎪⎨+=⎪⎩取v=n=.………11分设直线BS与平面SCD所成的角为θ，向量BS与n所成的角为ϕ，则|||cos |248||si |n |BS n BS n θϕ⋅====⨯⋅ ，………13分3arcsin8θ∴=.故直线BS 与平面SCD 所成角的大小为3arcsin8.………14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由正弦定理可知，sin sin a bA B=，2sin 0b A -=,2sin sin B A A ∴=，………2分又在△ABC 中，sin 0A >，2sin B ∴=，即sin 2B =，………5分B 为锐角，π3B ∴=．………6分（2）33c a =+ ，∴由正弦定理得：1sin sin sin sin 32C A B A =+=+，………8分又()πA B C =-+，π111sin sin cos sin 32222C C C C ⎛⎫∴=++=++⎪⎝⎭，即11sin cos 222C C -=，π1sin 32C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，………11分2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，故可得ππ36C -=，………13分即π2C =，∴△ABC 为直角三角形．………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)若选择模型（1），将()1,2以及()3,3代入可得233k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()322t m t =+，经验证，符合题意；………2分若选择模型（2），将()1,2以及()3,3代入可得323b a b a ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得62a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()26632t m t ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，………4分当10t=时，()1012.4m ≈，故此函数模型不符题意，………5分因此选择函数模型（1），其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）………6分(2)记日销售利润为y ，当115t 且t 为整数时，()()()2133793881322222t y m t f t t t t ⎛⎫=⋅=+⋅-+=-++ ⎪⎝⎭，对称轴796t =，故当13t =时，利润y 取得最大值，且最大值为392（百元）………9分当1630t 且t 为整数时，()()23600900230322ty m t f t t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1630t 时，利润y 单调递减，故当16t=时取得最大值，且最大值为375.25（百元）………12分所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型．………14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：(1)由椭圆的定义知，12||||4PF PF +=，1112||||4Q F Q F +=，………2分故△12PQ F 的周长为8.………4分(2)因1(1,0)F -、2(1,0)F ，故3(1,)2P 、23(1,)2Q -，直线1PF 的方程为3(1)4y x =+.………6分联立223(1),41,43y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或13,79,14x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1139(,)714Q --.………8分从而，直线12Q Q 的方程为33(1)210y x +=--，即310120x y ++=.………10分(3)设00(,)P x y (00x >，00y >)、111(,)Q x y 、222(,)Q x y .设直线1PF 的方程为1x ty +=，其中001x t y +=.联立221,1,43x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690t y ty +--=.………11分则20012220099343(1)4y y y t x y --==+++.又2200143x y +=，即2203412x y +=，故00012200009933(1)4126352y y y y x y x x ---===+++++.同理，00022200009933(1)4126352y y y y x y x x ---===-+-+-.于是21211221Q F F Q F F S S S S ∆∆-=-00001221212000331211||||||||225252254y y x y F F y F F y x x x =⋅-⋅=-=-+-.………13分又2222220000000025925254(34)41243x x y x x y y =-=+-=+，故00212512254x y S S x -==-,………15分当且仅当220092543x y =，即53417x =，34y =时等号成立.故21S S -的最大值为435.………16分另解：令02cos x θ=，0y θ=，π02θ<<，则00212222012122cos 2542516co s 25sin n cos 9cos x y S S x θθθθθθθ⋅=+-==--.5=.………15分当且仅当2225ns si 9co θθ=，即3tan 5θ=.故21S S -的最大值为435.………16分21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：(1)11{3,4,5}A A +=，11||3A A +=，故集合1A 具有性质Γ.………2分22{3,5,6,7,9}A A +=,2243||52A A ⨯+=<，故集合2A 不具有性质Γ.………4分(2)因集合B 具有性质Γ，故||6B B +=，{4,1,1,3,3,}B B p q p q p q +=+++++.(i)若41133p q p q p q <+<+<+<+<+，则13,2(1)4(1),2(1)(1)(3),q q p q q p p +<+⎧⎪+=++⎨⎪+=+++⎩解得4,5.p q =⎧⎨=⎩………6分经检验，符合题意.故p ，q 的值分别为4，5.………7分(ii)若41313p p q q p q <+<+<+<+<+，则31,2(1)4(3),2(3)(1)(1),q q p p p p q +<+⎧⎪+=++⎨⎪+=+++⎩解得5,9.p q =⎧⎨=⎩………9分经检验，符合题意.故p ，q 的值分别为5，9.………10分(3)不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ .又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则131212()()()()n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，故3221n n a a a a --+=+.当5n >时，2a ，3a ，2n a -，1n a -是集合A 中互不相同的4项，从而(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………13分当5n =时，3242a a a =+，即2a ，3a ，4a 成等差数列，且公差也为d ，故A A +中的元素从小到大的前三项为12a a +，13a a +，14a a +，………14分且第四项只能是15a a +或23a a +.(i)若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，故(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………15分(ii)若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，故122a d a +=.另一方面，4512()()9a a a a d +-+=，即517a a d =+.于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，故(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………16分因此，4n .由(2)知，4n =时，存在集合A 具有性质Γ，………17分故集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.………18分另解：当5n =时，3242a a a =+.若此时集合A 具有性质Γ，对集合A A +的所有元素求和，则有1234512454()5()a a a a a a a a a ++++=+++，化简，得2415a a a a +=+，故(1)||2n nA A-+<，与集合A具有性质Γ矛盾.………16分第7页共6页。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月高考模拟测试数学试卷含详解
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。
上海市各区高三二模数学试题分类汇编立体几何
20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（ B ）．15、（上海市奉贤区20XX 年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ）（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试理科) 四棱A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视左视B ．C ．D ．第17题图锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD内的轨迹一定是（ B ）17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A ．33；B ．3；C ．3；D ．3.17．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4 B ．6 C ．8 D ． 1014．（上海市闸北区20XX 年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 A 】[AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABCDD.15．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （20XX 年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（B ）.(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 二、填空题：6．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留π）．10．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．128π7[第1010、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1.下列计算正确的是（）A。
1-1=-1B。
1+1=2C。
(-1)-1=-2D。
(-1)×(-1)=12.如果关于x的方程x²-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A。
m>9B。
m≥9C。
m<9D。
m≤93.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限4.对于等边三角形，下列说法正确的为（）A。
既是中心对称图形，又是轴对称图形B。
是轴对称图形，但不是中心对称图形C。
是中心对称图形，但不是轴对称图形D。
既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5.某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，2，2，3，4，3.那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A。
2.5与1.5B。
2与1.5C。
2.5与2D。
2与66.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离。
下列判断正确的是（）A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①、②都是真命题D。
①、②都是假命题二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.化简：|4-7|÷|3-6|=1/3.8.计算：x÷(x²-x)=1/(x-1)。
9.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为(-∞,1]∪[3,∞)。
10.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小。
11.方程组2x-3y=7，3x+2y=1的解为x=-5，y=-9.12.从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是1/3.13.为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计。
2021年上海市宝山区高考数学二模试卷(解析版)
2021年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（本题1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离为．2．不等式|x﹣1|＜2的解集为．3．若关于x、y的方程组有无穷多组解，则m+n的值为．4．若﹣1+2i（i是虚数单位）是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c﹣b＝．5．已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝．6．设无穷等比数列{x n}的公比为m，若（x6+x7+…+x n）＝x4，则m＝．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为．8．在（1+x）8（1﹣x）9的展开式中，x4项的系数为.（结果用数值表示）9．如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，AB＝1，BC＝2，将矩形ABCD绕直线AD 旋转所得到的几何体体积记为V1，将△MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为V2，则的值为．10．为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为.（结果用最简分数表示）11．设函数f（x）＝（a∈R），若函数y＝4f（x）+5的零点为4，则使得8f（n2﹣3）+63≥0成立的整数n的个数为．12．如图，若同一平面上的四边形PQRS满足：mn（m＞0，n ＞0），则当△PRS的面积是△PQR的面积的倍时，的最大值为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设x∈R，则“x＞3”是“x2＞9”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（）A．12B．13C．14D．1515．在平面直角坐标系中，角θ（π＜θ＜）的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数f（x）＝﹣2x与g（x）＝﹣（﹣x）的交点，角α∈（0，），则（）A．﹣1＜cot（θ+α）＜﹣B．﹣1＜tan（θ+α）＜﹣C．﹣1＜cos（θ+α）＜﹣D．﹣1＜sin（θ+α）＜﹣16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）u i∈Z（i＝1，2，……，10）；（2）点（u5，）在函数y＝4x的图像上；（3）向量＝（1，u1）与＝（3，u10）互相平行；（4）u i+1﹣u i与的等差中项为（i＝1，2，……，9）；那么，这样的数列u1，u2，…，u10的个数为（）A．78B．80C．82D．90三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PA＝4，M为侧棱PA的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求直线PD与平面MBC所成角的正弦值．18．将关于x的函数y＝（m∈R）的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为C，并设C所对应的函数为f（x）．（1）当m＞0时，试直接写出函数f（x）的单调递减区间；（2）设f（4）＝8，若函数g（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）对于任意t1∈[0，1]，总存在t2∈[0，1]，使得g（t2）＝f（t1）成立，求a的取值范围．19．某地区的平面规划图中（如图），三点A、B、C分别表示三个街区，∠ABC＝，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1，到街区A、C的距离相等．（1）若线段AD的长为3，求sin∠BCD的值；（2）若△BCD的面积为，求点A到直线BC的距离．20．（16分）设平面直角坐标系中的动点P到两定点（﹣2，0）、（2，0）的距离之和为4，记动点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点Q作圆x2+y2＝1的两条切线切点为Q1、Q2，直线Q1Q2与x、y轴的交点依次为异于坐标原点O的点Q3、Q4，试求△Q3OQ4的面积的最小值；（3）过点（2，0）且不垂直于坐标轴的直线l交Γ于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，是否存在λ（λ＞），使得＝0成立？请说明理由．21．（18分）若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的λ（λ∈R）倍，则称该数列具有性质P（λ）．（1）已知数列﹣1，2﹣x，3﹣x具有性质P（4），求实数x的取值范围；（2）删除数列31，32，…，3n，…中的第3项，第6项，…，第3n项，…，余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，且数列{t n}的前n项和为T n，若数列{T n}具有性质P（λ），试求实数λ的最大值；（3）记＝u m+u m+1+u m+2+…+u n（m∈N），如果a k＞0（k＝1，2，…，2021），证明：“＞1”的充要条件是“存在数列{x n}具有性质P（1），且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列{x n}的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数A＞0，使得数列{x n}收敛于A；（Ⅲ）x n﹣x n﹣1＝（n＝1，2，…，这里x n＝0）”．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离为4．解：抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离为p，因为2p＝8，所以p＝4．故答案为：4．2．不等式|x﹣1|＜2的解集为（﹣1，3）．解：由不等式|x﹣1|＜2可得﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，故不等式|x﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．3．若关于x、y的方程组有无穷多组解，则m+n的值为2．解：关于x、y的方程组有无穷多组解，则直线x+y＝m和直线x+ny＝1重合，故m＝1，n＝1，所以m+n＝2．故答案为：2．4．若﹣1+2i（i是虚数单位）是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c﹣b＝3．解：因为﹣1+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，故﹣1﹣2i是方程的另一个根，所以（﹣1+2i）+（﹣1﹣2i）＝﹣b，（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝c，解得b＝2，c＝5，所以c﹣b＝3．故答案为：3．5．已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝0．解：由反函数的定义可知，函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则函数f（x）经过点（2，4），所以22﹣m＝4，解得m＝0．故答案为：0．6．设无穷等比数列{x n}的公比为m，若（x6+x7+…+x n）＝x4，则m＝．解：数列{x n}是无穷等比数列，且（x6+x7+…+x n）存在，则公比m满足|m|＜1，且m≠0，由（x6+x7+…+x n）＝x4，得，即，∴m2+m﹣1＝0，解得m＝或m＝（舍去）．故答案为：．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体A﹣BCDE；如图所示：故AE＝．即最大棱长为．故答案为：．8．在（1+x）8（1﹣x）9的展开式中，x4项的系数为28.（结果用数值表示）解：∵（1+x）8（1﹣x）9＝（1﹣x2）8（1﹣x），∴其展开式中，x4项为：（﹣x2）2•16＝x4，∴x4项的系数为＝28，故答案为：28．9．如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，AB＝1，BC＝2，将矩形ABCD绕直线AD 旋转所得到的几何体体积记为V1，将△MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为V2，则的值为6．解：由题意得：V1＝π×12×2＝2π，V2＝＝，∴＝＝6．故答案为：6．10．为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为.（结果用最简分数表示）解：某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，基本事件总数n＝＝1365，选择的4天恰好为连续4天包含的基本事件个数m＝12，则选择的4天恰好为连续4天的概率为P＝＝＝．故答案为：．11．设函数f（x）＝（a∈R），若函数y＝4f（x）+5的零点为4，则使得8f（n2﹣3）+63≥0成立的整数n的个数为14．解：因为函数y＝4f（x）+5的零点为4，所以4f（4）+5＝0，即，即，解得a＝9，所以f（x）＝，x≥0，故＝，因为，所以f'（x）＜0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减，因为8f（n2﹣3）+63≥0，所以f（n2﹣3），由f（x）＝＝，令，t≥0，则x＝t2，所以8（t3+8t﹣9）＝63（t2+8），整理可得（t﹣8）（8t2+t+72）＝0，因为8t2+t+72＞0，所以t﹣8＝0，即t＝8，所以x＝t2＝64，故f（64）＝，所以f（n2﹣3）≥f（64），所以0≤n2﹣3≤64，解得或，因为n为整数，所以n的值为：﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，2，3，4，5，6，7，8，共14个．故答案为：14．12．如图，若同一平面上的四边形PQRS满足：mn（m＞0，n ＞0），则当△PRS的面积是△PQR的面积的倍时，的最大值为5（2﹣）．解：因为mn（m＞0，n＞0），所以，如图所示，过点S作SA⊥PR于A，过点Q作QB⊥PR于B，因为△PRS的面积是△PQR的面积的倍，所以QB＝3SA，从而，在的两边同时点乘，得0＝，又，从而0＝，即0＝，整理可得，所以＝＝5（2﹣），当且仅当时取等号，此时的最大值为5（2﹣），故答案为：5（2﹣）．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设x∈R，则“x＞3”是“x2＞9”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：解不等式x2＞9得x＞3或x＜﹣3，则x＞3⇒x2＞9，而x2＞9推不出x＞3．故“x＞3”是“x2＞9”的充分不必要条件．故选：A．14．某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（）A．12B．13C．14D．15解：某班有学生40人，现将所有学生按1，2，3，…，40随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），∴抽样间隔f＝＝10，∵编号为3、23、33号学生在样本中，∴样本中另一个学生的编号为3+10＝13．故选：B．15．在平面直角坐标系中，角θ（π＜θ＜）的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数f（x）＝﹣2x与g（x）＝﹣（﹣x）的交点，角α∈（0，），则（）A．﹣1＜cot（θ+α）＜﹣B．﹣1＜tan（θ+α）＜﹣C．﹣1＜cos（θ+α）＜﹣D．﹣1＜sin（θ+α）＜﹣解：函数g（x）＝﹣（﹣x）＝log2（﹣x），所以函数f（x）＝﹣2x与g（x）＝log2（﹣x）互为反函数，则f（x）与g（x）的交点在直线y＝x上，由题意可知，角θ的终边在直线y＝x上，又π＜θ＜，则角θ＝，又角α∈（0，），所以θ+α∈（，），所以cot（θ+α）＞0，tan（θ+α）＞0，故选项A，B错误；函数y＝cos x在（，）上单调递增，故＜cos（θ+α）＜0，故选项C错误；函数y＝sin x在（，）上单调递减，故﹣1＜sin（θ+α）＜﹣，故选项D正确．故选：D．16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）u i∈Z（i＝1，2，……，10）；（2）点（u5，）在函数y＝4x的图像上；（3）向量＝（1，u1）与＝（3，u10）互相平行；（4）u i+1﹣u i与的等差中项为（i＝1，2，……，9）；那么，这样的数列u1，u2，…，u10的个数为（）A．78B．80C．82D．90解：由（1）可得，u i∈Z（i＝1，2，……，10），由（2）可得，u2+u8＝2u5，由（3）可得，u10＝3u1，由（4）可得，，所以u i+1﹣u i＝1或u i+1﹣u i＝2，从而u10﹣u1＝2u1∈[9，18]，故u1＝5，6，7，8，9，考虑u1→u2→u3→u4→u5→u6→u7→u8→u9→u10的变换，每一步变换均为+1或+2，且u2→u3→u4→u5和u5→u6→u7→u8所加之和相等，①若u1＝5，则u10＝15，则9步中只有1步为+2，且只能在2边，故由3种；②若u1＝6，则u10＝18，则9步中有3步为+2，6步+1，共有1+3×3×3＝28种；③若u1＝7，则u10＝21，则9步中有5步为+2，4步+1，共有种；④若u1＝8，则u10＝24，则9步中有7步为+2，2步+1，共有种；⑤若u1＝9，则u10＝27，则9步都为+2，共有1种．综上所述，共有3+28+36+12+1＝80种．故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PA＝4，M为侧棱PA的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求直线PD与平面MBC所成角的正弦值．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，则PA为棱锥P﹣ABCD的高，ABCD是边长为2的正方形，所以S＝22＝4，PA＝4，故＝；（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，4），D（2，0，0），M（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0），所以，设平面MBC的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝0，z＝1，故，所以＝，故直线PD与平面MBC所成角的正弦值为．18．将关于x的函数y＝（m∈R）的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为C，并设C所对应的函数为f（x）．（1）当m＞0时，试直接写出函数f（x）的单调递减区间；（2）设f（4）＝8，若函数g（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）对于任意t1∈[0，1]，总存在t2∈[0，1]，使得g（t2）＝f（t1）成立，求a的取值范围．解：（1）由题意知，f（x）＝＝，定义域为{x|x≠2}，∴f'（x）＝＝，令f'（x）≤0，∵m＞0，∴0≤x≤4且x≠2，∴函数f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，4]．（2）∵f（4）＝8，∴＝8，解得m＝1，∴f（x）＝，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递减，∴f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（1）＝﹣1，∵g（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴为x＝a＞1，且开口向上，∴g（x）在[0，1]上单调递减，∴g（x）max＝g（0）＝5，g（x）min＝g（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，∵对于任意t1∈[0，1]，总存在t2∈[0，1]，使得g（t2）＝f（t1）成立，∴f（x）max≤g（x）max，且f（x）min≥g（x）min，即﹣1≤5，且﹣1≥6﹣2a，∴a≥，故a的取值范围为[，+∞）．19．某地区的平面规划图中（如图），三点A、B、C分别表示三个街区，∠ABC＝，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1，到街区A、C的距离相等．（1）若线段AD的长为3，求sin∠BCD的值；（2）若△BCD的面积为，求点A到直线BC的距离．解：（1）连接CD，∵AD＝CD＝3，DB＝1，在△CDB中，∠ABC＝＝60°，由正弦定理得：＝，即＝，解得sin∠BCD＝＝；（2）∵S△BCD＝BD•BC sin60°＝×1×BC×＝，∴BC＝4．故由余弦定理得：CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC cos∠CBD＝12+42﹣2×1×4cos60°＝13，∴AD＝CD＝，过A作AF⊥BC于F，过D作DE⊥BC于E，则DE∥AF，故，即，由S△BCD＝BC•DE＝×4DE＝，解得DE＝．∴AF＝•（1+）＝，即点A到直线BC的距离为．20．（16分）设平面直角坐标系中的动点P到两定点（﹣2，0）、（2，0）的距离之和为4，记动点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点Q作圆x2+y2＝1的两条切线切点为Q1、Q2，直线Q1Q2与x、y轴的交点依次为异于坐标原点O的点Q3、Q4，试求△Q3OQ4的面积的最小值；（3）过点（2，0）且不垂直于坐标轴的直线l交Γ于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，是否存在λ（λ＞），使得＝0成立？请说明理由．解：（1）根据题意，设点P（x，y），F1（﹣2，0），F2（2，0），则有|PF1|+|PF2|＝∵∴结合椭圆的定义和性质，可得点P的轨迹即为以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆，且有a＝，c＝2，⇒b2＝a2﹣c2＝4故可得点P的轨迹方程即为：；（2）根据题意，作图如下：设点Q（x0，y0），Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则根据题意可得QQ1⊥OQ1，QQ2⊥OQ2，∴，∴直线⇔x1x+y1y＝1，直线⇔x2x+y2y＝1，由QQ1与QQ2相交于点Q，则可得，由此可得直线Q1Q2：x0x+y0y＝1⇒点，∴⇒，∴；（3）设存在λ，则，设直线的斜率为k（k≠0），则直线l的方程即为：y＝k（x﹣2），联立椭圆方程可得，整理可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，由（2，0）在椭圆内部可得，△＞0，∴，∴＝，故可得线段MN的中点坐标即为H（），MN的中垂线方程即为，令y＝0，则可得点D的坐标即为（），则|DH|＝，∴＝，由k≠0可得，⇒，故不存在．21．（18分）若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的λ（λ∈R）倍，则称该数列具有性质P（λ）．（1）已知数列﹣1，2﹣x，3﹣x具有性质P（4），求实数x的取值范围；（2）删除数列31，32，…，3n，…中的第3项，第6项，…，第3n项，…，余下的项按原来顺序组成一个新数列{t n}，且数列{t n}的前n项和为T n，若数列{T n}具有性质P（λ），试求实数λ的最大值；（3）记＝u m+u m+1+u m+2+…+u n（m∈N），如果a k＞0（k＝1，2，…，2021），证明：“＞1”的充要条件是“存在数列{x n}具有性质P（1），且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列{x n}的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数A＞0，使得数列{x n}收敛于A；（Ⅲ）x n﹣x n﹣1＝（n＝1，2，…，这里x n＝0）”．解：（1）由题意可知解得．（2）当n＝3k，k∈N时，T n＝＝，T n≤λT n﹣1，3n ﹣1≤λ3n﹣1﹣λ，∴≤＝4，当n＝3k+1，k∈N时，T n＝3＝，T n≤λT n﹣1，∴λ≤≤＝11．当n＝3k+2，k∈N时，T n＝＝，T n≤λT n﹣1，∴λ≤＝7，综上：λ的最大值为11．（3）证明：令x n＝1﹣，显然x n，具有性质P（1），且满足条件Ⅰ，当x→∞，x n→1，满足条件Ⅱ，x n﹣x n﹣1＝，⇒x n﹣x n﹣1＝），⇒1﹣＝＝＝2，即证：“＞1．。
2020-2021学年上海市中考数学二模试卷及答案解析A
上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。
【高三二模】2023届上海市浦东新区高三二模数学试卷及答案
浦东新区2022学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合2{|60,}R A x x x x =+-<∈，{0,1,2}B =，则A B = ．2.若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =．3.若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为．（结果保留π）4.5(3)x +的二项展开式中2x 项的系数为．5.设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >=．6.双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为．7.投掷一颗骰子，记事件{2,4,5}A =，{1,2,4,6}B =，则(|)P A B =．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，若5cos cos cos a A b C c B =+，则sin 2A =.9.函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为．10.已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω=-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为．11.已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅ 的最大值是．12.已知01a b <<<，设()()()3W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k-=-，其中k 是整数. 若对一切k ∈Z ，()k y f x =都是区间(),k +∞上的严格增函数. 则ba的取值范围是__________ .二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分．13.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件.14.某种产品的广告支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系，y 与x 的线性回归方程为10.5 5.4y x =+，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）.x2 4 5 6 8 y3040607080A. 1.6B.8.4C.11.6D.7.415.在空间中，下列命题为真命题的是（）.A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.16.已知函数()()y f x x R =∈，其导函数为()y f x '=，有以下两个命题：①若()y f x '=为偶函数，则()y f x =为奇函数；②若()y f x '=为周期函数，则()y f x =也为周期函数.那么（）.A.①是真命题，②是假命题B .①是假命题，②是真命题C .①、②都是真命题D .①、②都是假命题三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111a a a a a ++++的值； （2）设数列3{log }n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值，并指出n S 取最大值时n 的取值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，三角形EAD 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AE AD ⊥，AB AD ⊥，//BC AD ，2AB AE BC ===，4AD =，F 、H 分别为ED 、EA 的中点． （1）求证：//BH 平面AFC ；（2）求平面ACF 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题. （1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率； （2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是35，答对地理环境题的概率都是13.请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.椭圆C 的方程为2234x y +=，A 、B 为椭圆的左右顶点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上的动点.（1）求椭圆的离心率；（2）若12PF F ∆为直角三角形，求12PF F ∆的面积；（3）若Q 、R 为椭圆上异于P 的点，直线PQ 、PR 均与圆222(01)x y r r +=<<相切，记直线PQ 、PR 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在位于第一象限的点P ，使得121k k =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设P 是坐标平面xOy 上的一点，曲线Γ是函数()y f x =的图像. 若过点P 恰能作曲线Γ的k 条切线（k ∈N ），则称P 是函数()y f x =的“k 度点”.（1）判断点(0,0)O 与点(2,0)A 是否为函数ln y x =的1度点，不需要说明理由；（2）已知0m <<π，()sin g x x =. 证明：点()0,B π是()(0)y g x x m =<<的0度点；（3）求函数3y x x =-的全体2度点构成的集合.浦东新区2022学年度第二学期教学质量检测高三数学答案一、填空题1．{0,1}． 2．1322i -+．3．40 π． 4．270． 5．0.1． 6．2．7．12．8．9．1．10．5π11π[,)66． 11．14．12． (]1,3．二、选择题13． B14． A 15． D 16．D三、解答题17．【解析】（1）由题1319()33n n n a --=⋅=，则313n na -=，212123451111112133133.9a a a a a --++++=++++=（2）记3log n n b a =，由（1）知3n b n =-，所以22(3)51222n n S n n n +-=⋅=-，22511525()22228n S n n n =-=--+，当n =2或3时，n S 取得最大值3.（由3n b n =-得4n ≥时，0n b <分析得n S 最大值亦可）18．【解析】（1）证明：联结FH ，因为F 、H 分别为ED 、EA 的中点，所以//HF AD 且12HF AD =， 又因为//BC AD ，且12BC AD =，所以//HF BC 且HF BC =，即四边形BCFH 为平行四边形，所以//BH CF ，又BH 不在平面AFC 上，CF ⊂平面AFC ，所以//BH 平面AFC ．（建系也可）（2）因为三角形EAD 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AE AD ⊥，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AE AB ⊥，所以AB ，AD ，AE 两两互相垂直．如图所示建立直角坐标系，则有关点的坐标为()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,2,1F ．所以()2,2,0AC = ，()0,2,1AF =，由题意知，平面EAB 的法向量()10,1,0n =，设平面AFC 的法向量()2,,n x y z =， 由22220202n AC x y x yy z z y n AF ⎧⊥+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⊥⎩⎩⎪⎩ ， 令1y =-，得()21,1,2n =-，设平面ACF 与平面EAB 所成锐二面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅ ．19．【解析】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为410C ，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A ，事件A 的对立事件A 为“某代表队抢到至少1道地理环境题”.则()45410142C P A C ==，()()411.42P A P A =-=（分类讨论同等给分）（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题,设该代表队必答环节的得分为X ，则X 的分布为02471026621525252525⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭此时得分期望12[].5E X =情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题,设该代表队必答环节的得分为Y ，则Y 的分布为0368102222139457525⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭此时得分期望116[].75E Y =由于12116575>，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题.20．【解析】（1）由椭圆C 的方程为2234x y +=，得标准方程为221443x y +=，离心率c e a ==.（2）设11PF r =，22PF r =当122F PF π∠=时，2221212121232328()2=333r r r r r r r r =+⇒=+-⇒此时121211842233PF F S r r ==⨯= ；（或者可由122124tan 23PF F F PF S b ∠== ）由对称性，不妨设122PF F π∠=，且P在第一象限，则2)3P此时121223PF F S == ；综上，12PF F 的面积为43.（3）设00()P x y ，则直线010:()PQ y y k x x -=-，22222010010()20r x r k x y k y r ⇒--+-=. 同理：22222020020()20x r k x y k y r --+-=. 因而1k ，2k 是方程22222000()20x r k x y k y r --+-=的两根，所以220122201y r k k x r -==-.得 2200x y = ，由P 在第一象限得(1,1)P . 21．【解析】(1) 设0t >，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.则该切线过点O 当且仅当ln 1t -=-，即e t =. 故原点O 是函数ln y x =的一个1度点. (2)设0t >，则曲线sin y x =在点(),sin t t 处的切线方程为()sin cos y t t x t -=-.则该切线过点()0,π当且仅当sin cos t t t π-=-（*）.设G (t = )sin t -t cos t π -，则当0 <t π <时，G ('t = )t sin t >0 ，故 y =G (t )在区间(0 )π ,上严格增.因此当0 <t <m π <时，G (t < )0 ，（*）恒不成立，即点(0 )π ,是 y =g (x )的一个0 度点. (3) 对任意t ∈R ，曲线y =x 3 -x 在点(t , t 3 -t )处的切线方程为y ( -t 3 -t ( = )3t 2 -1()x -t ).故 点 (a , b )为 函 数 y =x 3 -x 的 一 个 2 度 点 当 且 仅 当 关 于 t 的 方 程()()()3231b t t t a t --=--恰有两个不同的实数解.设()()3223h t t at a b =-++. 则点(),a b 为函数3y x x =-的一个2度点当且仅当有()y h t =两个不同的零点.若0a =，则()32h t t b =+在R 上严格增，只有一个实数解，不合要求.若0a >，因为()266h t t at '=-，解得()y h t =有两个驻点0,t t a ==.由0t <或t a >时()0h t '>得()y h t =严格增；而当0t a <<时()0h t '<，得()y h t =严格减. 故()y h t =在0t =时取得极大值()0h a b =+，在t a =时取得极小值()3h a b a a =+-.又因为30h ⎛=-< ⎝，(30h a a ≥>，所以当()()00h h a >>时，由零点存在定理，()y h t =在(),0-∞、()0,a 、(),a +∞上各有一个零点，不合要求；当()()00h h a >>时，()y h t =仅(),a +∞上有一个零点，不合要求；当()()00h h a >>时，()y h t =仅(),0-∞上有一个零点，也不合要求.故()y h t =两个不同的零点当且仅当()00h =或()0h a =.若0a <，同理可得()y h t =两个不同的零点当且仅当()00h =或()0h a =.综上，3y x x =-的全体2度点构成的集合为(){}3,,0a b b a b a a a =-=-≠或.。
2021年上海市崇明区中考数学二模试卷(解析版)
2021年上海市崇明区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）﹣8的立方根是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．【分析】利用立方根定义判断即可．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选：B．【点评】本题考查了立方根的理解，解决本题的关键是熟记立方根的定义．2．（4分）下列方程中，没有实数根的是（）A．x+1＝0B．x2﹣1＝0C．+1＝0D．＝0【分析】逐个求解方程，得结论．【解答】解：方程x+1＝0的解是x＝﹣1，故选项A有实数根；方程x2﹣1＝0的解是x＝±1，故选项B有实数根；方程+1＝0移项后得＝﹣1，因为算术平方根不能为负，故选项C没有实数根；方程＝0的解为x＝﹣1，故选项D有实数根．故选：C．【点评】本题考查了方程的解法，掌握求解无理方程、一元一次方程、一元二次方程的步骤是解决本题的关键．3．（4分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】因为k＝﹣2＜0，b＝﹣1＜0，根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x﹣1，∵k＝﹣2＜0，∴图象经过第二、四象限；又∵b＝﹣1＜0，∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，∴一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．故选：A．【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当k＞0，经图象第一、三象限，y随x的增大而增大；当b＞0，一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方；当b＜0，一次函数的图象与y轴的交点在x 轴下方．4．（4分）将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变改变，即可得出答案．【解答】解：将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比波动幅度一致，即两组数据的方差相等，故选：D．【点评】本题考查了方差和平均数、中位数、众数，一般地设n个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．5．（4分）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（）A．这两个图形都是轴对称图形B．这两个图形都不是轴对称图形C．这两个图形都是中心对称图形D．这两个图形都不是中心对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了不可能事件以及轴对称图形和中心对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．6．（4分）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：4a3÷2a＝2a2．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：4a3÷2a＝2a2．故答案为：2a2．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（4分）化简：＝．【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．9．（4分）不等式组的解集是2＜x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式x﹣3＜0，得：x＜3，则不等式组的解集为2＜x＜3，故答案为：2＜x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（4分）如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根，那么k＝0．【分析】先把x＝1代入方程，两边平方求出k的值．【解答】解：把x＝1代入方程，得＝1，两边平方，得1+k＝1，解得k＝0．经检验，k＝0符合题意．故答案为：0．【点评】本题考查了无理方程，掌握解无理方程的方法是解决本题的关键．11．（4分）如果一个反比例函数的图象经过点（2，3），那么它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），∵反比例函数图象过点（2，3），∴k＝2×3＝6＞0，∴反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．12．（4分）某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为10%．【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：（110﹣100）÷100＝10÷100＝10%，则该件商品的利润率为10%．故答案为：10%．【点评】此题考查了有理数的混合运算，列出正确的算式是解本题的关键．13．（4分）在一所有1500名学生的中学里，调查人员随机调查了50名学生，其中有40人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．14．（4分）正五边形的中心角的度数是72°．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【解答】解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．15．（4分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为13厘米．【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长．【解答】解：∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，∴两底的和＝50﹣12×2＝26（厘米），∴这个梯形的中位线长为×26＝13（厘米），故答案为：13．【点评】本题主要考查了梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．16．（4分）在△ABC中，点G为重心，点D为边BC的中点，设，那么用表示为+．【分析】利用三角形法则求出AD，再利用三角形重心的性质求出即可．【解答】解：如图，∵D是BC的中点，∴＝＝，∴＝+＝+，∵G是重心，∴GD＝AD，∴＝+，故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝．【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【解答】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴CQ＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用二次根式的性质以及分母有理化、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+2﹣﹣（2﹣）﹣1＝2+2﹣﹣2+﹣1＝1．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．（10分）解方程组：．【分析】因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再重新与①组成方程组，求解即可．【解答】解：由②，得（x+3y）（x﹣y）＝0，所以x+3y＝0③或x﹣y＝0④．由①③、①④可组成新的方程组：，．解这两个方程组，得，．所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了解二元二次方程组，掌握十字相乘法，把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sin B＝．（1）求边AC的长；（2）求⊙O的半径长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，由锐角三角函数和勾股定理可求BH的长，由勾股定理可求AC的长；（2）利用勾股定理列出方程，可求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H，∵sin B＝＝，AB＝5，∴AH＝3，∴BH＝＝＝4，∵CH＝BC﹣BH，∴CH＝4，∴AC＝＝＝5；（2）如图2，连接OB，OC，AO，AO交BC于点E，∵AB＝AC＝5，OC＝OB，∴AO是BC的垂直平分线，∴BE＝EC＝4，∴AE＝＝＝3，∵BO2＝BE2+OE2，∴BO2＝16+（OB﹣3）2，∴BO＝．【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，圆的有关知识，勾股定理，锐角三角函数，利用勾股定理列出方程是本题的关键．22．（10分）为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？【分析】（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，根据“培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设黄老伯应该培育甲种花木m株，则应该培育乙种花木（3m﹣10）株，根据“培育成本不超过30000元，且销售后获得的总利润不少于18000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，依题意得：，解得：．答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元．（2）设黄老伯应该培育甲种花木m株，则应该培育乙种花木（3m﹣10）株，依题意得：，解得：≤m≤30，由∵m为整数，∴m＝29或30，∴3m﹣10＝77或80．答：黄老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED ＝∠B．（1）求证：CE•AD＝DE2；（2）求证：．【分析】（1）通过证明△ADE∽△DEC，可得，即可得结论；（2）由相似三角形的性质可得＝，即可得结论．【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE•AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴＝，∴＝，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△P AC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据一次函数y＝x﹣3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明△ABD是直角三角形，从而可以求出∠BAD的正切值；（3）先通过计算得出∠AED＝135°，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，x＝0时，y＝﹣3，y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝，BD＝，AB＝，∵，，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴tan∠BAD＝；（3）∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，又∵DE∥OB，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠AED＝135°，又∵△P AC与△AED相似，∠1＝45°，∴点P在x轴上方，且或，在y＝x﹣3中，x＝1时，y＝﹣2，在y＝x2﹣2x﹣3中，y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴E（1，﹣2），C（﹣1，0），∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，DE＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，AE＝，∴或，解得：AP＝2或，过点P作PQ⊥x轴于点Q，又∵∠4＝∠1＝45°，∴△P AQ是等腰直角三角形，当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理以及勾股定理逆定理、锐角三角函数、相似三角形的性质、分类讨论思想，灵活运用相关知识和方法是解决问题的关键．25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．【分析】（1）延长FE交BC的延长线于点M，设正方形ABCD的边长为k，根据即可得到答案；（2）延长FE交BC的延长线于M，根据tan∠ADB＝tan∠DEF即可以得到答案；（3）设⊙F的半径为rcm，根据⊙A与⊙B的位置关系以及⊙F与⊙A、⊙B的位置关系，可以用含r的式子表示出AF和BF的长度，再根据勾股定理可以求得r的值，最后根据tan∠ADB＝tan∠DEF建立方程即可得到答案．【解答】解：（1）如图，延长FE交BC的延长线于点M，设正方形ABCD的边长为k，则AB＝BC＝CD＝AD＝k，∵E为CD中点，∴DE＝CE＝，∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，∴∠BDC＝45°，∵EF⊥BD，∴∠DEF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴DF＝DE＝k，∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴，∴，∵AD∥BC，∴；（2）如图，延长FE交BC的延长线于M，设DF＝a，则CM＝a，∵，，∴BM＝5a，BC＝4a，∴AF＝x＝3a，∴a＝，∴DF＝，∵AB＝y，∴DE＝，∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，∴∠ADB＝∠DEF，∴tan∠ADB＝tan∠DEF，∴，∴，∴，∵x＞0，y＞0，∴y与x的函数关系式为，函数定义域为：x＞0；（3）设⊙F的半径为rcm，则根据题意得：⊙B的半径为1cm，AF＝cm，BF＝cm，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，∴AF2+AB2＝BF2，∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，∴r＝6，即⊙F的半径为6cm，∴AF＝3cm，∵tan∠ADB＝tan∠DEF，∴，∴AD2﹣3AD﹣8＝0，∴或（舍去），∴＝．【点评】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的性质、锐角三角函数、圆与圆的位置关系，合理作出辅助线并能灵活地将题中的等量关系转化为方程是解决问题的关键．。
上海市闵行区2021年高三数学高考二模卷带解析 2021年4月
闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设集合2{|340}A x x x =--<，{|22}B x x =-<<，则A B = ．2．复数12i(i iz +=为虚数单位）的共轭复数为 ． 3．在无穷等比数列{}n a 中，2511,,27a a ==则12lim()n n a a a →∞+++= ．4．已知函数13sin 1()1x f x x =，若()2021f a =，则()f a -= ． 5．已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α= ．6．若直线l 的参数方程为1,()13x t t y t =+⎧⎪∈⎨=+⎪⎩R ，则直线l 的倾斜角为 ．7．在621x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，中间一项的系数为 ．（用数字作答）8．如右图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 ．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，2PF x ⊥轴，且2PF 是1PF 与12F F 的等差中项，则双曲线的渐近线方程为 .10．若四边形ABCD 是边长为4的菱形，P 为其所在平面上的任意点，则PA PC PB PD ⋅-⋅的取值范围是 .11．已知函数()ππ2π3πtan ,,,233263π2π33,π33x x f x x x ⎧⎛⎤⎛⎫∈- ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，，，若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式[){}[]{}0,3,2K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是 .12．已知数列{}n a （*n ∈N ）满足121321n n n a a a a a a a +-=-+-++-（2n ≥）,且11a =，()21a a a =>，则12324=a a a a ++++ ．(结果用含a 的式子表示)二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设2:log 0p x <，:q 1x <，则p 是q 成立的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分亦非必要条件14．右图是函数()πsin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C 、D ，i 为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅=（ ） (A) 1- (B) 56- (C) 56 (D) 5315．已知函数()+af x x x=（0a >），120x x <<， 且()()12f x f x =，给出以下结论: ①122x x a +>恒成立；②()()122f a x f x -<恒成立.则（ ） (A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②错误(C) ①错误，②正确 (D) ①错误，②错误16．在直角坐标平面上，到两条直线0y =与y x =的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是（ ）(A) 18 (B) 182 (C) 36 (D) 362三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()2()log 21x f x =+．(1) 证明()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；(2) 若函数()()F x m f x =+在区间[0,2]上存在零点，求实数m 的取值范围．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===． (1) 求四棱锥M ABCD -的体积；(2) 求直线MC 与平面ADM 所成的角．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某植物园中有一块等腰三角形ABC 的花圃，腰长为20米，顶角为30，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE 表示（D E 、两点分别在腰AB AC 、上，以下结果精确到0.01）． (1) 如果曲线DE 是以A 为圆心的一段圆弧（如图1），求AD 的长；(2) 如果曲线DE 是直道（如图2），求AD AE +的最小值，并求此时直道DE 的长度．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，已知椭圆22:14x y Γ+=的左右顶点分别为A B 、，P 是椭圆Γ上异于A B 、的一点，直线:4l x =，直线AP BP 、分别交直线l 于两点C D 、，线段CD 的中点为E .(1)设直线AP BP 、的斜率分别为AP BP k k 、，求AP BP k k ⋅的值；(2)设ABP ABC △、△的面积分别为12S S 、，如果212S S =，求直线AP 的方程；(3) 在x 轴上是否存在定点(),0N n ，使得当直线NP NE 、的斜率NP NE k k 、存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由.21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于有限集{}1231,,,,,m m S a a a a a -=（*,3m m ∈≥N ），如果存在函数()f x （()=f x x 除外），其图像在区间D 上是一段连续曲线，且满足()f S S =，其中()(){},f S f x x S S D =∈⊆，那么称这个函数()f x 是P 变换，集合S 是P 集合，数列1231,,,,,m m a a a a a -是P 数列.例如，{}=1,2,3S 是P 集合，此时函数()4f x x =-是P 变换，数列1,2,3或3,2,1等都是P 数列．(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P 数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数列{}n a （*12021,n n ≤≤∈N ）是P 数列，若P 变换()9f x x=，求122021a a a ⋅⋅⋅的值； (3)元素都是正数的有限集{}1231,,,,,m m S a a a a a -=（*,3m m ∈≥N ），若i j a a <，总有j ia S a ∈，其中1,i j m ≤≤．试判断集合S 是否是P 集合？请说明理由．闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．()1,2-； 2．2i +； 3．92； 4．2021-； 5．725-； 6．3π；7．160-；8．1651；9．22y x =±； 10．[)0,16； 11．47912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，；12．23210a +. 二. 选择题 13．A ； 14．D ； 15．A ； 16．B ．三. 解答题17．[证明]（1）任取12x x <，则:()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，…………2分1212,02121x x x x <∴<+<+11222212101,log 02121x x x x ++∴<<<++， ………………………4分12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增. …… 6分[解]（2）()2()log 21x F x m =++在[0,2]上存在零点所以只需求函数()2log 21x m =-+在[0,2]上的值域， ……………8分 由（1）可知函数()2log 21x m =-+在[0,2]上是减函数， …………10分 所以()()2022log 21log 21m -+≤≤-+， ………………………12分 即2log 51m -≤≤-，所以m 的取值范围为[]2log 5,1--． ………………………14分18．[解]（1）在梯形ABCD 中，2AB =，2CD AB =，则1CD =所以1()=32ABCD S AB CD AD =+⋅，………………………2分又四棱锥M ABCD -的高2h AM ==，所以棱锥M ABCD -的体积123ABCD V S h =⋅=．…………6分（2）AM ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD 内所以AM CD ⊥， ………………………8分 ,//AB AD AB CD ⊥，CD AD ∴⊥．所以CD ⊥面ADM ，所以CMD ∠为直线MC 与平面ADM 所成的角．………………………10分 Rt CDM △中，1CD =，22MD =12tan 422CMD ∠==, ………………………12分所以2arctan4CMD ∠= 即直线MC 与平面ADM 所成的角为2arctan4.………………………14分 19．[解]（1）设AD x =，依题知，扇形DAE 的面积为21=26DAE S x π⋅⋅扇形……2分 又ABC △的面积为2120sin301002ABC S =⋅=△ 由1=2ABC DAE S S △扇形得 21=5026x π⋅⋅ ………………………4分 解得2600=x π，13.82x ≈（米）故AD 的长约为13.82米 ………………………6分（2）如图2，线段DE 平分ABC △的面积.设y AE x AD ==,，由ABC ADE S S ∆∆=21知200xy = ………………………8分又2202AD AE x y xy +=+≥=(当且仅当=102x y =时取等号)，……10分 此时20228.28AD AE +=≈（米）， ………………………12分22=22cos307.32DE x x -≈（米）综上，AD AE +的最小值约为28.28米，此时直道DE 的长度约为7.32米．…14分20．[解]（1）可求点A B 、的坐标分别为(2,0)(2,0)-、， 2分 设(,)P x y ，则2214x y =-，所以222211422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；…4分（2）设点()2cos ,sin (sin 0)P θθθ≠，则直线AP 的方程为()sin 22cos 2y x θθ=++………………………6分令4x =得3sin cos 1y θθ=+，所以点C 的坐标为3sin 4,cos 1θθ⎛⎫⎪+⎝⎭………8分由212S S =得3sin 2sin cos 1θθθ=+，所以13cos ,sin 22θθ==±，所以直线AP 的方程为()326y x =±+.………………………10分（3）同（2），设点()2cos ,sin (sin 0)P θθθ≠，直线AP 的方程为()sin 22cos 2y x θθ=++同理可求直线BP 的方程为：()sin 22cos 2y x θθ=--，令4x =得sin cos 1y θθ=-， 所以点D 的坐标为sin 4,cos 1θθ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ CD 中点24cos 4,sin E θθ-⎛⎫⎪⎝⎭………………………12分24cos sin sin 2cos 4NP NE k k n n θθθθ-⋅=⋅--()()()()24cos 24cos 2cos 4424cos n n n n n θθθθ--==---+-………………………14分 要使NP NE k k ⋅为定值，只需()()24424n n n -=--， 解得1n =，此时23NP NE k k ⋅=-所以在x 轴上存在定点()1,0N ，使得NP NE k k ⋅为定值23-.………16分21． [解]（1）记{}1,2,5,8,9S =，存在函数()10f x x =-，……………2分 使得()f S S =，所以数列1,2,5,8,9是P 数列．………………………4分 （2）因为函数()9f x x =在区间()0,+∞上是减函数， 所以1232020202199999a a a a a >>>>>，………………………6分 因为递增数列{}n a （*12021,n n N ≤≤∈）是P 数列， 所以20212020202221122020202199999,,,,,,n na a a a a a a a a a -=====……8分记122021A a a a =⋅⋅⋅，则()()()()2202112021220202022202119n n A a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅=所以202112320213a a a a =． ………………………10分(3)不妨设1231m m a a a a a -<<<<<1°当11a ≠时，考察312411111m m a a a a aa a a a a -<<<<<因为312411111,m m a a a a a S a a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭,,,,，故11a >，且31241232111111,m m m m a a a a aa a a a a a a a a a ---=====,,,,，…………12分 即()112n n a a n m a -=≤≤所以{}()1n a n m ≤≤是等比数列，()11n n a a n m =≤≤， 此时存在P 变换()11m a f x x+=，使得()f S S =，故集合S 是P 集合．………14分2°当11a =时，考察3141222221,m m a a a a a a a a a a -=<<<<< 因为3142222m m a a a a S a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭,,,,，故31423212222m m m m a a a aa a a a a a a a ---====,,,,，………………………16分 即()213n n a a n m a -=≤≤，所以{}()1n a n m ≤≤是等比数列，()121n n a a n m -=≤≤，此时存在P 变换()12m a f x x-=，使得()f S S =，故集合S 是一个P 集合．综合1°2°可知，集合S 是一个P 集合．………………………18分。
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题(含答案解析)
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，B 是偶数集，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,2-C ．{}0,2D ．{}2,0,2-2．已知复数z 满足i i 1zz +=-，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,1--D ．33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．函数()2exx xf x +=的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =- ，()1,1b = ，则AB与a b - 的夹角的余弦值为（）A ．5-B ．5-C D 5．已知M 是双曲线C 上的一个动点，且点M 到C 的两个焦点距离的差的绝对值为6，C 的焦点到渐近线的距离为4，则C 的离心率为（）A ．35B ．53C ．45D ．546．某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于30C 的月份有3个B ．平均高温的中位数是21CC ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有5个7．若实数x ，y 满足约束条件10,20,0,x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =--的最大值为（）A ．4B．5C ．2D8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．记数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+．若等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．332n-B ．1332n +-C ．1511623n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D ．111223n⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭10．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是1BB ，11B C ，1AA 的中点，M 是线段BF 上的动点，则下列结论中正确的个数是（）①1BF B C ⊥；②1//BF C D ；③11A E B C ⊥；④1//C M 平面1A DE ．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点均在半径为2的球的O 球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形．若三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r ，则r =（）A ．1B ．14C ．32D ．)3114二、填空题13．记函数()()n f x x nx n n *=+-∈N 在1x =处的导数为n a ，则()4216log a a =________．14．写出以原点为圆心且与圆C ：22430x y y +-+=相切的一个圆的标准方程为________．15．已知实数a ，b ，m ，n 满足20a b --=，240m n -=，则()()22m a n b -+-的最小值为________．三、双空题16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222x xf x -=+，当0x <时，()22x x f x m n -=⋅+⋅，则m n +=________；若方程()()R f x a a =∈有两个不同的实数根，则a 的取值范围是________．四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．18．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82819．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．20．已知函数()()ln R f x x ax a =+∈，()f x 的导函数为()f x '．(1)讨论()f x 的极值点的个数；(2)当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E 有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB=．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin xy αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()22sin sin 12m m θρθ⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)写出1C 的普通方程；(2)若曲线1C 与2C 有两个交点,M N ，则当m 为何值时，MN 最大？并求出MN 的最大值．23．已知a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=．证明：(1)3331113a b c ++≥；(2)()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．参考答案：1．D【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.【详解】因为在集合{}2,1,0,1,2A =--中，－2，0，2是偶数，所以{}2,0,2A B =- ．故选：D.2．B【分析】根据复数的运算求出z ，即可得出z 在复平面内所对应的点.【详解】由i i 1zz +=-，得()()()()i 1i 2i 1i 2i 2i 2z +++===--+13i 55--，所以z 在复平面内所对应的点是13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选：B.3．C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由1110242f ⎛⎫⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎭，故D 错误，当x →+∞时，()0f x →，A ，B 错误．故选：C.4．A【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，a b - ，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =- ，()3,0a b -=-，则AB与a b - 的夹角的余弦值为()AB a b ABa b ⋅-==- ．故选：A ．5．B【分析】不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得到3a =，再利用点到直线的距离公式求出b ，从而求出c ，即可得解.【详解】解：不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，由双曲线的定义知，26a =，所以3a =，由双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为44b ==，所以5c =，所以C 的离心率53ce a==．故选：B 6．C【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，平均高温不低于30C 的月份有2021年6,7,8月和2022年6月，共4个，A 错误；对于B ，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C 2+= ，B 错误；对于C ，平均高温的极差为36630C -= ，平均低温的极差为()24327C --=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正确；对于D ，月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D 错误.故选：C.7．C【分析】目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=的距离l 的距离最大的点，求解即可.【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为()1,0A -，且点A 到直线l 的距离d ==则22z x y =--的最大值为4．故选：C.8．C【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.【详解】执行第一次循环，[]3.141 3.14 5.14b =-+=，[]5.1414a =-=，2n =，5.14 1.14110.2850.0544b a -=-==>；执行第二次循环，[]41 5.148.14b =-+=，[]8.1417a =-=，3n =，8.14 1.14110.1630.0577b a -=-=≈>；执行第三次循环，[]718.1414.14b =-+=，[]14.14113a =-=，4n =，14.14 1.14110.0880.051313b a -=-=≈>；执行第四次循环，[]13114.1426.14b =-+=，[]26.14125a =-=，5n =，26.14 1.14110.04560.052525b a -=-==<，退出循环，输出5n =.故选：C.9．D【分析】由1113b a S ===，24439b a S S ==-=，求出等比数列{}n b 的公比q 及n b ，数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为1113b a S ===，24439b a S S ==-=，所以等比数列{}n b 的公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=，则113nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11113n n b b +=⋅，可知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，13为公比的等比数列，所以111111333122313nnn T ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-．故选：D ．10．C【分析】连接1BC ，即可得到111A E B C ⊥，再由正三棱柱的性质得到1A E ⊥平面11BB C C ，即可得到11A E B C ⊥，从而得到1B C ⊥平面1A DE ，再由线面垂直的性质得到11B C A D ⊥，即可说明1BF B C ⊥，即可判断①、②、③，连接1C F ，通过证明平面1//A DE 平面1BFC ，即可说明④.【详解】解：连接1BC ，因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，所以111A E B C ⊥，11B C BC ⊥．又D ，E 分别是1BB ，11B C 的中点，所以1//DE BC ，所以1B C DE ⊥．因为11A E CC ⊥，1111B C CC C ⋂=，11B C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ．又1B C ⊂平面11BB C C ，所以11A E B C ⊥．又1DE A E E ⋂=，DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以1B C ⊥平面1A DE ．又1A D ⊂平面1A DE ，所以11B C A D ⊥．由题意知1//A F BD 且1A F BD =，所以四边形1A FBD 是平行四边形，所以1//BF A D ，所以1BF B C ⊥，故①、③正确；BF 与1C D 是异面直线，故②错误；连接1C F ，因为1//BF A D ，BF ⊂平面1BFC ，1A D ⊄平面1BFC ，所以1A D //平面1BFC 又1//DE BC ，同理可证//DE 平面1BFC ，又1A D DE D ⋂=，1,A D DE ⊂平面1A DE ，所以平面1//A DE 平面1BFC ．因为M 是线段BF 上的动点，所以1C M ⊂平面1BFC ，所以1//C M 平面1A DE ，故④正确．故选：C 11．D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为2M =，最小值为2m =，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．B【分析】设底面ABC 的中心为Q ，根据题意可知，当三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，PQ ⊥底面ABC ，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面ABC 的中心为Q ，连接BQ ，OQ ，则233BQ ==OQ ⊥底面ABC ，如图，延长QO 交球面于点P ，连接OB ，此时三棱锥P －ABC 的体积取得最大值，因为球O 的半径为2，所以2OB =，在Rt OQB 中，1OQ ==，所以三棱锥P －ABC 的体积的最大值为()213213V =⨯+=此时PB =所以2133312P ABCS -=+⨯⨯=，所以11434r =⨯⨯，解得r =故选：B.13．72【分析】求导后可得n a ，结合对数运算法则可求得结果.【详解】()1n f x nx n -'=+ ，()12f n '∴=，即2n a n =，()()274216427log log 432log 22a a ∴=⨯==.故答案为：72.14．221x y +=或229x y +=【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.【详解】圆C ：22430x y y +-+=的圆心为()0,2，半径为1．因为两圆圆心距为2，故若两圆外切，则所求圆的半径为211-=，其标准方程为221x y +=；若两圆内切，则所求圆的半径为213+=，其标准方程为229x y +=．故答案为：221x y +=或229x y +=15．12##0.5【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，即可求得()()22m a n b -+-的最小值.【详解】由题意知，(),a b 是直线l ：20x y --=上的点，(),m n 是抛物线21:4C y x =上的点，()()22m a n b -+-的几何意义是抛物线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．设0x y c -+=与抛物线相切，切点为0,0()P x y 则12y x '=，即0112x =，所以直线与C 切于点()2,1，所以()()22m a n b -+-的最小值为212=．故答案为：1216．5-()()5,44,5--È【分析】由()()f x f x -=-可求出m n +的值；画出()y f x =的图象，由方程()()f x a a R =∈有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与y a =的图象由两个交点，结合图象即可得出答案.【详解】令0x <，则0x ->，所以()222x xf x -+-=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()222422x x x xf x +--=--=-⨯-，所以4m =-，1n =-，则5m n +=-，故()42,020,0,14202x x x x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-⋅+< ⎪⎝⎭⎩，当0x >时，()422xx f x =+，令2xt =，则()41y t t t=+>．因为当()0,1x ∈时，2x t =单调递增，且()1,2t ∈，此时4y t t=+单调递减，所以由复合函数的单调性可知()422xx f x =+在区间()0,1上单调递减；因为当()1,x ∈+∞时，2x t =单调递增，且()2,t ∈+∞，此时4y t t=+单调递增，所以由复合函数的单调性可知()422xxf x =+，在区间()1,+∞上单调递增．由奇函数图象的特点作出()y f x =与y a =的图象如下：由图知，若()f x a =有两个不同的实数根，相当于()y f x =与y a =有两个不同的交点，则54a -<<-或45a <<．故答案为：－5；()()5,44,5--È.17．(1)π3(2)2⎛ ⎝【分析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项可得2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求出A ﹔（2）由正弦定理表示出13sin 2tan a B C ⎛==+ ⎝，结合tan y x =的单调性即可得出答案.【详解】（1）是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3a b B C ==，所以2π3sin 2sin sin C B a B b CC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===3cos 132sin 2tan C C C C+⎛==+⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ032π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan C >所以sin a B的取值范围是⎝．18．(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)35【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1））根据列联表代入计算可得：()221004030201050604050503K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯16.667 6.635>，所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙，{}4,A 甲，{}4,A 乙，{},甲乙，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{},甲乙，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率93155P ==．19．(1)证明见解析12【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=由此可确定E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠==，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯四棱锥四边形20．(1)答案见解析(2)(),ln 25-∞-【分析】（1）对()f x 求导，分0a ≥和a<0，讨论()f x 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；（2）当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，化简为1ln 22m x x x -=+++，即y m =-与1ln 22y x x x =+++的图象有两个交点，令()1ln 22h x x x x=+++，对()h x 求导，得出()h x 的单调性及最值即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1f x a x'=+．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；当a<0时，令()0f x '=，解得1x a=-，所以当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a-1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x 单调递增极大值单调递减所以()f x 有一个极大值点，无极小值点．综上，当0a ≥时，()f x 无极值点；当a<0时，()f x 有一个极值点．（2）当2a =时，方程()()0f x f x m '++=，即1ln 220x x m x++++=，则1ln 22m x x x-=+++．令()1ln 22h x x x x =+++，0x >，则()()()22121112x x h x x x x +-'=+-=．令()0h x '=，解得12x =或=1x -（舍去）．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()min 15ln 22h x h x h ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，又x 趋近于0时()h x 趋近正无穷；x 趋近于正无穷时()h x 趋近正无穷，所以5ln 2m ->-，即ln 25m <-，故m 的取值范围是(),ln 25-∞-．21．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得332p-=-，从而得出椭圆C 的焦点()11,0F -，()21,0F ，由线段1PF 的中点为()2,0-求得2a =，23b =，可得C 的方程；（2）直线l 的斜率存在，设为k ，分两种情况讨论：当0k =时，直接验证结论；当0k ≠时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的垂直平分线的方程，求得M 坐标及1F M ，利用弦长公式求得AB ，从而证得结论．【详解】（1）抛物线E 的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于其准线2p x =-的对称点为3,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以332p-=-，即12p =．因为椭圆C 与抛物线E 有一个共同的焦点，所以()11,0F -，()21,0F ，所以线段1PF 的中点为()2,0-，所以2a =，222213b =-=．故C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ．当0k =时，点A ，B 恰为椭圆C 的左、右顶点，y 轴为线段AB 的垂直平分线，()0,0M ，24AB a ==，11F M c ==，则114F M AB=．当0k ≠时，直线l 的方程为()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,x y ，(),0M M x ．联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()2222438430k x k x k +++-=，则2122843k x x k +=-+，()21224343k x x k -=+，所以212024243x x k x k +==-+，则()2002243114343k ky k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭．由题意知，线段AB 的垂直平分线的方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得200243M kx x ky k =+=-+，则221223314343k k F M k k +=-+=++．又12AB x =-=()2212143k k +=+，所以114F M AB=．综上，114F MAB =．22．(1)()(2221x y -+-=(2)当2m =-时，max 2MN =【分析】（1）消去参数方程中的参数α即可得到普通方程；（2）根据极坐标与直角坐标互化原则可确定1C 为直线，则当直线过圆心时，MN 最大，由此可求得结果.【详解】（1）由2cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：()(2221x y -+-=，即1C 的普通方程为：()(2221x y -+-=.（2）由22sin sin 12m θρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：()sin cos sin cos m ρθθρθρθ-=-=，2C ∴的直角坐标方程为：0x y m -+=；当0x y m -+=过圆1C 的圆心(时，MN 取得最大值，即MN 为圆1C 的直径，20m ∴=，解得：2m =，则当2m =时，max 2MN=.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式依次证得01abc <≤与3331113a b c ++≥即可，要特别注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式依次证得2223a b c ++≥与1113a b c++≥，从而证得()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，要特别注意等号成立的条件.【详解】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=，所以3a b c =++≥01abc <≤，所以11abc≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立，故33311133a b c abc++≥≥，当且仅当333111a b c ==且1a b c ===，即1a b c ===时，等号成立，所以3331113a b c ++≥.（2）因为()()22222222223a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，3a b c ++=，所以2223a b c ++≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立；又()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭11113a a b b c c b c ac a b ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭113a b c a c b b a a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113⎛≥++ ⎝3=，当且仅当,,a b c a c b b a a c b c ===且3a b c ++=时，即1a b c ===时，等号成立，所以1113a b c++≥；故()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。
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2021届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。