指数与指数函数高考数学知识点总结高考数学真题复习

指数与指数函数高考数学知识点总结高考数学真题复习

§2.5 指数与指数函数

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

复习备考要这样做1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．

1．根式的性质

(1)(n

a )n ＝a .

(2)当n 为奇数时n

a n ＝a .

当n 为偶数时n

a n ＝{ a (a ≥0)－a (a <0) 2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n

个

(n ∈N *

)．②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．

③负整数指数幂：a －

p ＝1a

p (a ≠0，p ∈N *)．

④正分数指数幂：a m n ＝n

a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．

⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n

＝1

n

a m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①a r a s＝a r＋s(a>0，r、s∈Q)；

②(a r)s＝a rs(a>0，r、s∈Q)；

③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

[难点正本疑点清源]

1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0

3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．

1．化简[(－2)6]1

2

－(－1)0的值为________．

答案 7

解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)1

2

－1＝23－1＝7.

2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．

答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<－1.<="" bdsfid="117" p="" 或－2

<－1.<="" bdsfid="119" p="" 或－23．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.

<－1.<="" bdsfid="121" p="" 或－2答案

<－1.<="" bdsfid="123" p="" 或－23

<－1.<="" bdsfid="125" p="" 或－2解析当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]．因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0

4．(2012·四川)函数y ＝a x －1

a

(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( )

答案 D

解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1

a <1，排除A ，B.

当0<="" －1a="" ＝a="">

<="" －1a="" ＝a="">a <0，故选D.

<="" －1a="" ＝a="">5．设函数f (x )＝a

<="" －1a="" ＝a="">－|x |

<="" －1a="" ＝a="">(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ( )

<="" －1a="" ＝a="">A ．f (－2)>f (－1)

<="" －1a="" ＝a="">B ．f (－1)>f (－2)

<="" －1a="" ＝a="">C ．f (1)>f (2)

<="" －1a="" ＝a="">D ．f (－2)>f (2) 答案 A

<="" －1a="" ＝a="">解析∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝1

<="" －1a="" ＝a="">2

<="" －1a="" ＝a="">，

<="" －1a="" ＝a="">∴f (x )＝12－|x |＝2|x |

<="" －1a="" ＝a="">，∴f (－2)>f (－1)，故选A.

<="" －1a="" ＝a="">

<="" －1a="" ＝a="">

题型一指数幂的运算

例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23

)－

1；

(2)已知x 12＋x －1

2＝3，求x 2＋x －

2－2x 32＋x －3

2

－3的值．

思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；

(2)注意x 2＋x －2、x 32＋x －32与x 12＋x －1

2

之间的关系．

解 (1)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－2

3)－1

＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－2

3×(－1)

＝11＋3－312＋23－2×23×2

3

＝11＋3－3＋8－8＝11.

(2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －1

2)2＝9，

∴x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7，∴(x ＋x －1)2＝49，∴x 2＋x －2＝47，又∵x 32＋x ＋－32＝(x 12＋x －12)·(x －1＋x －1) ＝3×(7－1)＝18，∴x 2＋x －2－2x 32＋x －32

－3＝3. 探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

计算下列各式的值：