典型例题：常用逻辑用语

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常用逻辑用语-知识点+习题+答案

常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

常用逻辑用语试题及答案

第一章常用逻辑用语一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b B x x a+=-,则A 是B 的条件。

3．用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件； ③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

常用逻辑用语习题及答案

常用逻辑用语习题及答案1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论实行否认．∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.【答案】A2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．【答案】A3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，所以ab＝0且a＋b≥0.∴a≥0，b≥0且ab＝0，“a与b”互补．则φ(a，b)＝0是a与b互补的充分条件．显然a≥0，b≥0，且ab＝0时，有a2＋b2＝(a＋b)2，∴φ(a，b)＝a2＋b2－(a＋b)＝a＋b－(a＋b)＝0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a . 当a ＝1时，1＜x ＜3，又⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3. 由p ∧q 为真．∴x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.即2＜x ＜3.所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知 q 是p 的充分不必要条件，由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}， ∴B A .所以a ≤2且3＜3a .所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．5.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】化简，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎨⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎨⎧a ＜13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得a ＝－1. 故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．6.(2011·山东高考)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由y ＝f (x )是奇函数⇒y ＝|f (x )|是偶函数；但y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称y ＝f (x )为奇函数．∴“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要不充分条件，选B. 7．(2011·陕西高考)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b8．(2011·浙江高考)设a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号，且ab ＜1. ∴当a ＞0，b ＞0时，b ＜1a ；当a ＜0，b ＜0时，b ＞1a .∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的不充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b ＜1a ，但不能推出0＜ab ＜1， ∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的不必要条件9．(2011·辽宁高考)已知命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，2n ≤1 000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1 000 C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000 D ．∃n ∈N ，2n ＜1 000【解析】因为特称命题的否认是全称命题，因而綈p 为∀n ∈N ，2n ≤1 000. 【答案】 A10．(2012·郑州一中月考)已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，3)D ．(2，4)【解析】由p 是假命题可知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立，故Δ＝4a 2－4a ＜0，解之得0＜a ＜1. 【答案】 A11.(2012·南京模拟)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则以下选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【思路点拨】由2ax 0＋b ＝0，知f (x )在x ＝x 0处取得极小值，从而做出判断．【解析】由f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，知f ′(x )＝2ax ＋b . 依题意f ′(x 0)＝0，又a ＞0，所以f (x )在x ＝x 0处取得极小值．所以，对∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，C 为假命题．【答案】 C12.(2011·中山模拟)设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由N是M的真子集，则“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，应选B.答案：B13.(2009·天津)命题“对任意x∈R,2x>0”的否认是( )A.不存有x0∉R,2x0>0 B．存有x0∈R,2x0>0C.存有x0∈R,2x0≤0 D．对任意x∈R,2x≤0解析：全称命题的否认为特称命题，“对任意x∈R,2x>0”的否认是“存有x0∈R,2x0≤0”．答案：C14.(2010·全国新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x 在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4关键提示：先判断出p1，p2的真假，然后再实行相关的判断．解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1是真命题，p2是假命题，故q1，q4是真命题．答案：C15.[2011·湖南卷。

典型例题：常用逻辑用语主要题型及解题指导

《常用逻辑用语》主要题型及解题指导常用逻辑用语在各级考试中主要以考查基本概念、基本关系与其它知识相结合为主的客观题形式出现，难度低，重基础学习中只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、全称量词与特称量词的关系、充要条件的意义、四种命题及相互关系，针对不同试题，应用不同的求解策略，解题时才会得心应手1、命题的真假判断此类问题包括四种类型：1一般命题的真假判断，可根据定义直接判断；2四种命题的真假判断，可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解；3命题p∨q”﹑“p∧q”﹑“p”的真假判断：首先要确定命题的构成形式，然后指出其中子命题p与q 的真假，最后利用真值表获得命题的真假性；4含有量词的命题的真假判断，注意反例的应用例1命题p：若a、b、c∈R，则“y＝a2＋b＋c为二次函数”是“y＝a＋b为一次函数”充要条件．命题q：函数y＝的定义域是－∞，－1∪3，＋∞则A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真分析：根据一次函数与二次函数的解析式的结构特点就可判断命题p的真假，根据根式满足的条件，通过解绝对值不等式可确定命题q的真假．解：当y＝a2＋b＋c为二次函数时，a≠0，则y＝a＋b为一次函数反过来，当y＝a＋b为一次函数时，a≠0，则y＝a2＋b ＋c为二次函数，故命题p真由|－1|－2≥0可得≤－1或≥3，即q为真命题，∴“p且q”为真，故选A．点评：本题解答关键是要对一次函数与二次函数的定义理解透彻及掌握函数定义域的求法，同时把握住复合命题真假的判断规律．2、命题的合成与分解主要有两种题型：一是利用基本简易逻辑词将子命题合成为p∧q﹑p∨q﹑p的命题形式；二是将具有p∧q﹑p∨q﹑p形式的命题分解为子命题p与q，此类题型要注意有些命题中没有明显的逻辑联结词，解答时要首先对命题进行适当的改写例2命题p：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝；命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－，则命题p∨q为_______________分析：根据p∨q定义复合原则直接合成即可解：命题p∨q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝或命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－点评：本题易错写为直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝或－，＝或－，因此命题p与命题q都是假命题，于是p∨q假，也就是说解答此类试题，可以利用复合命题的真值表进行验证3、对全称命题和存在性命题的否定一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称命题与存在性命题互为否定，肯定与否定互为否定．而对一个命题的否定时，注意区分命题的“否定”与“否命题”，命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件，否命题则是既要否定结论，又要否定条件例2 命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是A奇函数的图象不关于原点对称B任意奇函数的图象关于原点对称C存在一个奇函数图象不关于原点对称D存在奇函数的图象关于原点对称分析：此题实际上也是一道对全称命题的否定，因为原命题省略了全称量词“所有的”，同时命题中省略了判断词“是”，因此命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”后再否定解：命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”，由此对全称量词“所有的”与判断词“是”进行否定即可得到原命题的否定：存在一个奇函数的图象不关于直线y＝对称，故选C点拨：解答本题的关键就是要找出命题中省略了的全称量词“所有的”与判断“是”4、充要条件主要有三类题型一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，主要分为四种关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是根据探求某结论成立时的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题而充要条件判断主要有定义法、集合法、命题法三种方法，同时判断时要做到：①确定命题的条件和结论；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件例4已知条件p：|＋1|＞2，条件q：＞a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥－1 D．a≤－1分析：首先通过解不等式确定p，进而确定p，然后结合条件要求，利用集合关系，结合数轴可得a的取值范围解析：解不等式|＋1|＞2，得条件p：＜－3或＞1，则p：－3≤≤1，又q：≤a，则要使p是q的充分不必要条件必有a≥1，故选A点评：与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，根据集合与充要条件之间的关系来求解一般地，若集合A、B满足：AB，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件5、四种命题的关系改写注意三点，一是如果命题中无明显的“若p，则q”形式，可以先对命题形式进行改写，再进行四种命题之间的转换；二是注意区分命题的否定形式与否命题；三是四种形式的命题中，逆命题、否命题、逆否命题都是针对原命题而言的，所涉及的四种命题，谁是原命题是相对的例5命题“若2＜1，则3＜＜4”的逆否命题是A．“若≤3或≥4，则2＞0”B．“若3＜＜4，则2≥0”C．“若≤3或≥4，则2＜0”D．“若≤3或≥4，则2≥0”分析：对原命题既向要进行逆向叙述，又要同时否定条件和结论，但要注意将条件“3＜＜4”改写为“＞3且＜4”，同时注意“且”的否定是用“或”解：根据逆否命题的定义，得逆否命题：若“若≤3或≥4，则2≥0”，故选D．点评：本题主要考查命题四种命题形式之间的转换转换时要注意两点：①如果命题中无明显的“若p，则q”形式,可以先对命题进行改写；②“或”与“且”的互否性．。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语经典大题例题

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语经典大题例题单选题1、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D2、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．3、已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1}D．{0,1,2}答案：A分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可. 不等式x2≤1，即−1≤x≤1，B=[−1,1]，A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}；故选：A．4、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．5、已知非空集合A 、B 、C 满足：A ∩B ⊆C ，A ∩C ⊆B ．则（）．A ．B =C B ．A ⊆(B ∪C )C ．(B ∩C )⊆AD ．A ∩B =A ∩C答案：C分析：作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图即可判断.解：因为非空集合A 、B 、C 满足：A ∩B ⊆C ，A ∩C ⊆B ，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A ∩B =A ∩C ．故选：D ．6、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]答案：B分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0或a <0即可. 若a =0时，不等式ax 2+2x +1<0等价为2x +1<0，解得x <−12，结论成立.当a ≠0时，令y =ax 2+2x +1，要使ax 2+2x +1<0成立，则满足{a >0Δ>0或a <0，解得0<a <1或a <0，综上a <1，小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.7、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可. 根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.9、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.10、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.解：①当a=0时，A={−12}，此时满足条件；②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．多选题11、下列四个选项中正确的是（）A．{∅}⊆{a,b}B．{(a,b)}={a,b}C．{a,b}⊆{b,a}D．∅⊆{0}答案：CD分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.对于A选项，集合{∅}的元素是∅，集合{a,b}的元素是a,b，故没有包含关系，A选项错误；对于B选项，集合{(a,b)}的元素是点，集合{a,b}的元素是a,b，故两个集合不相等，B选项错误；对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.12、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．13、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．∃x∈R，x2−x+14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC14、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A 中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m −3)2−4m ≥0，解得m ≤1或m ≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m ∈{m|m ≤1或m ≥9}，故A 错误；在B 中，二次方程有一正一负根，等价于{(m −3)2−4m >0m <0，解得m <0，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0 }，故B 错误；在C 中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m −3)2−4m ≥03−m >0,m >0,解得0<m ≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}，故C 正确；在D 中，方程无实数根，等价于Δ=(m −3)2−4m <0得1<m <9，而{m |1<m <9 }⊆{m |m >1 }，故m ∈{m|m >1}是方程无实数根的必要条件，故D 正确；故选：CD ．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的充分条件，则p 可推出q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集；（2）若p 是q 的必要条件，则q 可推出p ，即q 对应集合是p 对应集合的子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p ，q 可互推，即p 对应集合与q 对应集合相等.15、下列四个条件中可以作为方程ax 2−x +1=0有实根的充分不必要条件是（）A ．a =0B ．a ≤14C ．a =−1D ．a ≠0答案：AC分析：先化简方程ax 2−x +1=0有实根得到a ≤14，再利用集合的关系判断得解.当a =0时，方程ax 2−x +1=0有实根x =1；当a ≠0时，方程ax 2−x +1=0有实根即Δ=1−4a ≥0,∴a ≤14. 所以a ≤14且a ≠0.综合得a ≤14.设选项对应的集合为A , 集合B =(−∞,14],由题得集合A 是集合B 的真子集，所以只能选AC.所以答案是：AC小提示：方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.16、设A ={x |x 2−9x +14=0 }，B ={x |ax −1=0 }，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0答案：BCD分析：先求出集合A ，再由A ∩B =B 可知B ⊆A ，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案. 集合A ={x|x 2−9x +14=0}={2，7}，B ={x|ax −1=0}，又A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当a =0时，B =∅，符合题意，当a ≠0时，则B ={1a }，所以1a =2或1a=7，解得a =12或a =17，综上所述，a =0或12或17,故选：BCD17、已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且A ⊆∁U B ，则下列关系一定正确的是（）A ．∃x ∈U ，x ∉A 且x ∈B B ．∀x ∈A ，x ∉BC ．∀x ∈U ，x ∈A 或x ∈BD ．∃x ∈U ，x ∈A 且x ∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且A ⊆∁U B ，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x ∈U ，x ∉A 且x ∈B ，A 正确；因A ∩B =∅，必有∀x ∈A ，x ∉B ，B 正确；若A∁U B ，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x ∈U ，x ∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x ∉A 且x ∉B ，C 不正确；因A ∩B =∅，则不存在x ∈U 满足x ∈A 且x ∈B ，D 不正确.故选：AB18、下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（）A ．若x 2>y 2，则x >yB ．若x >5，则x >10C ．若ac =bc ，则a =bD ．若2x +1=2y +1，则x =y答案：BCD分析：利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.对于A 选项，取x =1，y =−1，则x >y ，但x 2=y 2，即“x 2>y 2”不是“x >y ”的必要条件；对于B 选项，若x >10，则x >5，即“x >5”是“x >10”的必要条件；对于C 选项，若a =b ，则ac =bc ，即“ac =bc ”是“a =b ”的必要条件；对于D 选项，若x =y ，则2x +1=2y +1，即“2x +1=2y +1”是“x =y ”的必要条件.故选：BCD.19、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（）A ．13B ．−12C ．−13D ．0答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ，因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题20、下列四个命题中正确的是（）A．∅={0}3所组成的集合最多含2个元素B．由实数x，－x，|x|，√x2，−√x3C．集合{x|x2−2x+1=0}中只有一个元素∈N}是有限集D．集合{x∈N|5x答案：BCD分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；3=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当对于B，由于√x2=|x|，−√x3x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；∈N}={1,5}是有限集，故D正确．对于D，集合{x∈N|5x故选：BCD．填空题21、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).22、已知集合A=(−3,3)，集合B={0,1,2,3,4,5}，则A∩B＝_______．答案：{0,1,2}分析：根据集合交集运算求解.因为集合A=(−3,3)，集合B={0,1,2,3,4,5}，所以A∩B={0,1,2}.所以答案是：{0,1,2}23、满足{1}⊆A{1，2，3}的所有集合A是___________．答案：{1}或{1，2}或{1，3}分析：由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 因为{1}⊆A{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，所以答案是：{1}或{1，2}或{1，3}。

常用逻辑用语练习题

常用逻辑用语练习题逻辑用语是数学和哲学中非常重要的工具，它帮助我们清晰地表达思想和论证。

以下是一些常用的逻辑用语练习题，旨在帮助学生熟悉和掌握这些基础概念。

# 练习题1：命题逻辑1. 给出命题P：今天是星期三。

命题Q：明天是星期四。

写出这两个命题的逻辑表达式。

2. 判断命题P和Q的逻辑关系，是互斥的、等价的还是既不互斥也不等价？3. 写出命题P或Q的逻辑表达式。

4. 写出命题P且Q的逻辑表达式。

5. 写出命题非P的逻辑表达式。

# 练习题2：条件语句1. 将“如果今天是星期三，那么明天是星期四”这个条件语句转化为逻辑表达式。

2. 给出一个条件语句的例子，并说明其真假条件。

3. 判断以下条件语句的真假：如果今天是星期一，那么明天是星期二。

# 练习题3：逻辑等价1. 证明以下两个逻辑表达式是等价的：(P → Q) ≡ ¬P ∨ Q。

2. 给出一个逻辑表达式，并找出它的逻辑等价表达式。

3. 使用逻辑等价规则简化以下表达式：(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q)。

# 练习题4：逻辑推理1. 已知命题P：如果下雨，我就不去跑步。

命题Q：今天下雨了。

请使用逻辑推理判断我今天是否去跑步。

2. 给出一个包含两个前提的逻辑推理问题，并解答它。

3. 使用逻辑推理证明以下命题：如果所有的人都是动物，那么苏格拉底是动物。

# 练习题5：逻辑运算1. 给出命题P：今天是晴天。

命题R：我会去公园。

写出命题P且R的逻辑表达式。

2. 写出命题P或R的逻辑表达式。

3. 使用逻辑运算符，将命题P和R组合成一个复合命题，并判断其真假。

# 练习题6：逻辑谬误1. 识别并解释以下论证中的逻辑谬误：所有的鸟都会飞，企鹅是鸟，所以企鹅会飞。

2. 给出一个常见的逻辑谬误的例子，并解释为什么它是谬误。

3. 判断以下论证是否包含逻辑谬误：如果一个学生学习努力，他就会取得好成绩。

小明学习努力，所以小明会取得好成绩。

# 练习题7：量化逻辑1. 将“有些学生喜欢数学”这个命题转化为量化逻辑表达式。

常用逻辑用语(解析版)

常用逻辑用语【考纲要求】1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否一、充分条件与必要条件【思维导图】【考点总结】一、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件二、全称量词与存在量词【思维导图】【考点总结】一、全称量词与全称量词命题1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x ,验证p (x )成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个0x ∈M ,使得p (0x )不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:存在M 中的一个0x ,使p (0x )成立,可简记为:∃0x ∈M ,p (0x ),读作“存在M 中的元素0x ,使p(0x )成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,能找到一个0x ,使得命题p (0x )成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 【常用结论】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；【易错总结】(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况； (3)对充分必要条件判断错误．【题型汇编】题型一：充分条件与必要条件题型二：全称量词与存在量词【题型讲解】题型一：充分条件与必要条件一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.2．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3．（2022·全国·一模（理））设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂C ．//l n ，n α⊥D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量(1,),(2,4)a k b ==，则“12k =-”是“222a b a b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由222a b a b +=+，得22222a a b b a b +⋅+=+，得0a b ⋅=，得(1，k )·(2，4)＝0，解得12k =-，反之，当12k =-时，0a b ⋅=，所以22222a a b b a b +⋅+=+，所以222a b a b +=+，所以“12k =-”是“222a b a b +=+”的充要条件.故选：C. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题 5．（2022·全国·模拟预测（理））设a >0，b >0，则“94a b +≤”是“49ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由均值不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为a >0，b >0，所以4929=6a b a b ab ≥+≥⋅则49ab ≤，当且仅当9=2a b =时，等号成立，所以94a b +≤可以推出49ab ≤，所以充分性成立. 当1=981a b =，，满足49ab ≤，但19=9+9481a b +⨯>，所以49ab ≤推不出94a b +≤，所以必要性不成立.故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．7．（2022·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断. 【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选B.8．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论. 【详解】因为A 、()0,B π∈，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，在ABC 中，cos cos sin sin A B A B a b A B >⇔<⇔<⇔<. 因此，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件. 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）“1a b +>”是“2221a b b -+>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从而确定充分性和必要性．【详解】若2221a b b -+>成立，则2212a b b >-+成立，即()221a b >-，即1a b >-，由1a b +>可得1a b >-，但不一定得到1a b >-，相反由1a b >-也不一定能得出1a b >-，故选:D ．10．（2022·全国·模拟预测）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的．故选：A. 【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数0a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由方程表示圆可构造不等式求得a 的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程2230x y x y a +-++=表示圆，则()221341040a a -+-=->，解得：52a <； 502a a <⇒<，502a a <<，∴甲是乙的充分不必要条件.故选：A.12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“20a b +=”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出20a b +=，不满足充分性；当20a b +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“20a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2022·全国·模拟预测）设R x ∈，则“215x -≤”的必要不充分条件是（） A ．[)2,3- B ．(),3-∞C ．[]2,4-D ．[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合[]2,3-，由此可判断答案. 【详解】由215x -≤，得5215x -≤-≤，即23x -≤≤，则选项是“23x -≤≤”的必要不充分条件，即[]2,3-是选项中集合的真子集，结合选项，A,B 中集合都不含3，不符合题意，D 中集合[)3,+∞不能包含[]2,3-，不符合题意，而C 集合满足[][]2,32,4--，故选：C.14．（2022·全国·模拟预测）已知m ，n ，p 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（） A ．“m α∥”是“m 平行于平面α内的任意一条直线”的充分不必要条件 B ．“m α∥，//n α”是“//m n ”的必要不充分条件C ．“p m ⊥，p n ⊥”是“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”的必要不充分条件D ．已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.解：对于A 选项；“m 平行于平面α内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的；对于B 选项：“//m α，//n α”是“m n ∥”的既不充分也不必要条件；对于C 选项：“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”可以证明“p m ⊥，p n ⊥”，由“p m ⊥，p n ⊥”要证明“p α⊥”，还需添加条件“m α⊂，n ⊂α，且m 和n 相交”，所以C 正确；对于D 选项：已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充分不必要条件. 故选：C15．（2022·全国·模拟预测（文））已知0,0m n >>，条件:53p m n mn +=，条件:3564q m n +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；【详解】解：因0,0m n >>，由53m n mn +=，得：531n m +=，则()531515353464m n m n n m n m ⎛⎫+⋅+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当8m n ==时取等号，因此p 推得出q ，即充分性成立，取2,12m n ==，满足3564m n +≥，但53m n mn +≠，即q 推不出p ，即必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A16．（2022·全国·模拟预测（理））“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l 平行，故充分条件成立；当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立．故选：A ．17．（2022·上海奉贤·二模）在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（）．A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】C 【解析】【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为sin sin A B >，可得a b >.故充分性满足；必要性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为a b >，可得sin sin A B >.故必有性满足. 故α是β的充要条件. 故选：C18．（2022·上海普陀·二模）“0x y >>”是“11x y x y->-”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】由221111(1)()()x y xy x y x y x y x y xy--+----=-=，又0x y >>，所以11()0x y x y --->，即11x y x y->-，充分性成立；当11x y x y ->-时，即(1)()0xy x y xy+->，显然2,1x y ==-时成立，必要性不成立. 故“0x y >>”是“11x y x y->-”的充分非必要条件. 故选：A19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若0,0a b >>，则“222a b +≥”是“2a b +≥”的（）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分也非必要【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答. 【详解】依题意，取12,2a b ==，满足222a b +≥，而2a b +<，当2a b +≥时，()()()22222122a b a b a ba b ++-+=≥+，当且仅当a b =时取“=”，则222a b +≥， “222a b +≥”是“2a b +≥”的必要不充分条件. 故选：B20．（2022·北京·北大附中三模）已知ABC ，则“sin cos 1A A +<”是“ABC 是钝角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在三角形中，由sin cos 1A A +<先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角A 为钝角成立，反之举反例得出必要性不成立，从而得出结论.【详解】解：ABC 中，0A π<<，sin cos 2)14A A A π++<，2sin()4A π∴+<444A ππππ<+<+，344A ππ∴+>，2A π∴>，所以ABC 是钝角三角形，充分性成立；若ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：6A π=,此时sin cos =sincos166A A ππ++>，必要性不成立；故选：A.21．（2022·海南海口·二模）已知x ，R y ∈且0x ≠，则“x y >”是“21yx x>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为0x ≠，所以20x >，则“x y >”两边同除以2x 即可得到“21yx x>”，反过来同乘以2x 即可，故“x y >”是“21yx x >”的充要条件．故选：C.22．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据1n n a a +>，求得21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，进而得到32λ<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则221(1)2(1)22120n n a a n n n n n λλλ+=+-+-+=+->-，即21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，当1n =时，1n 2+取得最小值32，所以32λ<，所以“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的充分不必要条件. 故选：A.23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：①命题：“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”； ②抛物线216y x =的焦点坐标为(0,4)；③已知x ∈R ，则|1|3x +>是24x >的必要不充分条件； ④在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件. 其中真命题的个数为（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】①；因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”，因此本说法正确；②：2211616y x x y =⇒=，因此该抛物线的焦点坐标为：1(0,)64，所以本说法不正确； ③：由|1|32x x +>⇒>，或4x <-，由242x x >⇒>，或2x <-，因此由|1|3x +>能推出24x >，但是由24x >不一定能推出|1|3x +>，所以|1|3x +>是24x >的充分不必要条件，因此本说法不正确；④：在ABC 中，一方面，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >；另一方面，由sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，所以在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，因此本说法正确，所以真命题的个数为2个，24．（2022·山东烟台·三模）若a 和α分别为空间中的直线和平面，则“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答. 【详解】若a α⊥，则a 垂直α内所有直线，因此，命题“若a α⊥，则a 垂直α内无数条直线”正确，a 垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a 可以在平面α内，即不能推出a α⊥，所以“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A25．（2022·山东淄博·三模）已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断【详解】当直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行时，21112a a +=≠，解得12a =-，当1a =时，直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=重合，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，二、多选题1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（） A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若0MN >，则log log log a a a MN M N =+ D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：求出不等式11a<的解集，即可判断出两个命题的关系；对于B ：根据命题的否定规则即可判断；对于C ：根据对数定义域的限制条件即可判断；对于D ：根据不等式的性质即可进行判断. 【详解】因为11a <，1110aa a --=<，解得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 错误；命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”，所以选项B 正确；当0M <且0N <时，log a M 与log a N 没有意义，所以选项C 错误；若22ac bc >，可得20c >，则a b >，所以选项D 正确.故选：BD.2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．n S 是关于n 的二次函数C ．{}n na 不可能是等差数列D ．“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解：由11(1)2n S na n n d =+-知，11(1)2n S a n d n =+-，则1112+-=+n n S S d n n ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故A 正确；当0d =时，1n S na =不是n 的二次函数，故B 不正确；当0d =时，11,n n a a na na ==，则()111n n n a na a ++-=，所以{}n na 是等差数列，故C 不正确；当0d >时，1102n n n S S d S -+=->+，故112n n n S S S -++>，11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d -++-+++>⇔->-⇔>⇔-=>，所以“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件，故D 正确. 故选：AD.3．（2022·江苏南京·三模）设2P a a=+，a ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．22P ≥B ．“a ＞1”是“22P ≥的充分不必要条件 C ．“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件 D ．∃a ∈（3，＋∞），使得P ＜3 【答案】BC 【解析】【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解. 【详解】解：A 错误，当0a <时，显然有P 小于0B 正确，1a >时，22222P a a a a=+⋅≥22P ≥0a >即可；C 正确，23P a a=+>可得01a <<或2a >，当2a >时3P >成立的，故C 正确； D 错误，因为3a >有22333a a +>+>，故D 错误；故选：BC.4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( ) A ．“5x >是“25x >”的充分不必要条件B ．2πtan 18π21tan 8=+ C ．已知在前n 项和为Sn 的等差数列{n a }中，若75a =，则1375S = D ．已知001a b a b >>+=，，，则14ba b-+的最小值为8【答案】AD 【解析】【分析】A ：求解不等式25x >，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；B ：根据同角三角函数的商数关系、平方关系、正弦的二倍角公式即可化简求值；C ：根据等差数列与下标和有关的性质及等差数列前n 项和公式即可求解判断；D ：()14141411b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++- ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解判断．【详解】对于A ，由255x x >⇔>5x <-A 正确；对于B ，22222πsin8ππππtancossin cos 1π28888sin ππππ241tan sin sin cos88881πcos 8====+++B 错误；对于C ，11313713()13652a a S a +===，故C 错误；对于D ，()14141444114248b b a b a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++-=++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1233a b ==，时取等号，故D 正确﹒ 故选：AD ．5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B ．在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．两个向量,a b 共线的充要条件是存在实数，使b a λ=D ．对于非零向量,a b ，“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案. 【详解】对于A ：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；对于B ：若sin2sin2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=即ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于C ：若0,0b a ≠=，满足向量,a b 共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确；对于D ：若“0a b +=”，则“//a b ”；若“//a b ”，则“0a b +=”不一定成立.所以该命题正确；故选：AD6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线,m n 和两个平面,αβ，则αβ⊥”的充分条件是（）A ．,m mα⊥βB ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥C ．,m mα⊂,n n β⊥D ．,,m n m n αβ⊥⊥⊥ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可. 【详解】对于选项A ，m β ，则有m β内的一条直线,l 因为m α⊥，所以,l α⊥ 又,l β⊂所以αβ⊥，即条件“,m m α⊥β”能够得到αβ⊥,所以选项A 是αβ⊥的充分条件；对于选项B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥不一定能够得出结论αβ⊥，,βα 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项C ，n β⊥，m n ，所以m β⊥，又因为,m α⊂所以αβ⊥，因此该选项正确；对于选项D ，因为,,m n m α⊥⊥ 所以,n α或,n α⊂又因为n β⊥，所以αβ⊥.故选：ACD.7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A ：由a b =有ac bc =，当ac bc =不一定有a b =成立，必要性不成立，假命题；B ：若12a b =>=-时22a b <，充分性不成立，假命题；C ：5a <不一定3a <，但3a <必有5a <，故“5a <”是“3a <”的必要条件，真命题；D ：5a +是无理数则a 是无理数，若a 是无理数也有5a +是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦【答案】AC【解析】【分析】当1a =-时，可判断直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相平行，判断A;根据直线的方程可求得斜率，进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a 的值，判断C;求出曲线234y x x =-数形结合，求得b 的范围，判断D.【详解】对于A,当1a =-时，30x y ++=与直线10x y --+=互相平行，即“1a =-”不是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分条件，故A 错误；对于B, 直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ满足tan cos [1,1]θα=∈- ，故30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故B 正确；对于C ，圆221:64120C x y x y +-++=的圆心为3,2-（），半径1r =，圆222:1420C x y x y a +--+=的圆心为(7,1) ，半径50,(50)R a a =-<，两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，()()223721550a -+--==-()()2237215150a -+--==-，解得34a = 或14a = ，故C 错误；对于D, 曲线234y x x =-22(2)(3)4,(3)x y y -+-=≤ ，表示以(2,3) 为圆心，半径为2 的半圆，如图示：直线y x b =+与曲线234y x x =-y x b =+与圆相切或过点(0,3), 22= 22= ，解得122b =-，当直线过点(0,3)时，3b = ，则数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦，故D 正确，故选：AC9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x R ∃∈，00e 1x x <+”，则P ⌝：“x R ∀∈，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()23E ξ= D ．已知随机变量()23,XN σ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a = 【答案】BCD【解析】【分析】选项A ：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B ：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C ：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D ：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项A ：若αβ=，则sin sin αβ=；若sin sin αβ=，则2k αβπ=+，k Z ∈，从而“αβ=”是“sin sin αβ=”的充分不必要条件，故A 错误；选项B ：由特称命题的否定的概念可知，B 正确；选项C ：因为12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12233E ξ=⨯=，故C 正确；选项D ：结合已知条件可知，正态曲线关于3x =对称，又因为()()213P X a P X a >-=<+，从而21323a a -++=⨯，解得43a =，故D 正确. 故选：BCD10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称量词命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.题型二：全称量词与存在量词1．（2022·全国·模拟预测（理））若“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【解析】【分析】写出全称量词命题为真命题，利用辅助角公式求出()[]2,2f x ∈-，从而求出实数a 的取值范围.【详解】因为“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则“x ∀∈R ，使得sin 3x x a ≠”为真命题，因为()[]πsin 32sin 2,23f x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+故选：D2．（2022·全国·模拟预测）命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x <C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x <【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（）A ．2x ∀≥，2440x x -+<B ．2x ∃<，2440x x -+<C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<【答案】D【解析】【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<.故选：D.4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“0x R ∃∈，00e 1x x -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1x x -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】命题“0R x ∃∈，00e 1x x -≥”为特称量词命题，其否定为R x ∀∈，e 1x x -<；故选：D5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是（）A ．R x ∀∈，20x <B ．R x ∀∈，20x ≥C ．0R x ∃∈，200x < D ．0R x ∃∈，200x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.【详解】由全称量词命题的否定为特称命题，所以原命题的否定为：0R x ∃∈，200x <. 故选：C6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是（）A ．00x ∃<，001x e x -<B ．00x ∃≥，001x e x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<【答案】D【解析】【分析】将特称命题的否定改为全称量词命题即可【详解】命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D7．（2022·全国·模拟预测）命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（）A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +> 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可判断A ,由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ,通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”,正确；B. 在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a b R R≥(R 为外接圆半径)，a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；。

常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题1、下列语句中，属于命题的是（填序号）（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a 是素数，则a 是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2(-=2；（6）若x+y 是有理数，则x ，y 都是有理数；（7）一个整数不是合数就是质数.2、把下列命题改成“若p 则q ”的形式，并判断命题的真假（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）角的平分线上的点道角的两边的距离相等；（3）当ac>bc 时，a>b ；（4）当m>41时，方程mx 2-x+1=0没有实数根. 3、以下列命题为原命题，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断所有命题的真假.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，若b 2-4ac<0，则该二次函数的图像与x 轴有交点.4、已知命题P:若x=-1，则向量a=（1，x ）与b=（x+2,x ）共线，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为个5、求证：若p 2+q 2=2，则p+q ≤2.6、已知函数f(x)在R 上是增函数，a ，b ∈R,对命题“若a+b ≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.7、已知命题甲：关于x 的不等式x 2+(a-1)x+a 2≤0的解集为φ；命题乙：函数y=(2a 2-a)x 为增函数.当甲、乙两个命题中有且只有一个为真命题时，求实数a 的取值范围.练习：1、下列句子或式子中，命题的个数是（）（1）语文与数学；（2）x 2-3x-4=0;（3）把门关上；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（5）一个数不是合数就是质数.A.1B.5C.3D.22、若命题p 的否命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 与r 的关系时3、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断所有命题的真假.（1）实数的平方是非负数；（2）弦的垂直平分线经过圆心；（3）若2)1(2++-y x =0，则x=2，y=-1.4、命题“若m>0,则方程x 2+x-m=0有实数解”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论.5、若下列方程：x 2+4ax-4a+3=0，x 2+(a-1)x+a 2=0，x 2+2ax-2a=0，至少有一个方程有实数根，试求实数a 的取值范围.二、充分条件与必要条件1、在下列各题中，指出p 是q 的什么条件.（1）p:x-2=0；q:（x-2）（x-3）=0.（2）P:两个三角形相似；q:两个三角形全等.（3）P:m<-2；q:x 2-x-m=0没有实数根.（4）p:一个四边形是矩形；q:四边形的对角线相等.（5）P:32πθ=;q:)2cos(2tan θπθ+=. （6）P:0)3|(|log 21>-x ;q:061652>+-x x . 2、已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么（1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？3、下面四个条件中，使“a>b ”成立的充分不必要条件是（）A. a>b+1B.a>b-1C.a 2>b 2D.a 3>b 34、设x ∈R,则使“x>2”成立的必要不充分条件是（）A.x>1B.x<1C.x>3D.x<35、已知p:2a ≤x ≤a 2+1，q:x 2-3(a+1)x+6a+2≤0<0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.6、已知p:A={x|x 2-(a+1)x+a ≤0}，q:B={x|x 2-3x+2≤0},问当a 为何值时：（1）p 是q 的充分不必要条件？（2）p 是q 的必要不充分条件？（3）p 是q 的充要条件？7、求证：一元二次方程02=++c bx ax 有一个正跟和一个负根的充要条件是0<ac .8、证明：“0≤a ≤61”是“函数f(x)=ax 2+2(a-1)x+2在区间（-∞,4]上为减函数”的充分不必要条件.9、求“方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实数根”的充要条件.练习：1、设p:x<3，q:-1<x<3，则p 是q 成立的条件2、已知直线a ，b 分别在两个不同的平面βα,内，则“直线a 与直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的条件3、在△ABC 中，“sin （A-B ）cosB+COS （A-B ）sinB ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的条件4、“πϕ=”是“y=sin(2x+ϕ)”过坐标原点的条件5、已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ,则“-a m <a 1<-a m+1”是“S m >0,S m+1<0”的条件6、圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A. ()2,2-∈kB. ()3,3-∈kC.()()+∞⋃-∞-∈,22,kD.()()+∞⋃-∞-∈,33,k 7、“x ∈{a,3}”是不等式2x 2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为8、是否存在实数P ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围.9、已知p ：|1-31-x |≤2，q:x 2+2x+1-m 2≤0（m>0）,若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.10、已知p ：x 2-8x-20≤0，q:x 2-2x+1-m 2≤0（m>0）,若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.三、全程量词与存在量词1、判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假（1）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（2）有一个实数a ，a 不能取对数；（3）自然数的平方是正数；（4）二次函数都存在零点.2、用量词符号“∀”“∃”表达下列命题（1）实数都能写成小数的形式；（2）任意一个实数乘以-1都等于它的相反数；（3）存在实数x ，使得x 3>x 2;（4）至少有一个实数x ，使x 3+1=0.3、写出下列命题的否定并判断其真假（1）对任意的x ∈R ，都有x 2+x+1=0；（2）存在x ∈R ，使得x 2+2x+1=0；（3）∃x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3；（4）∀x ∈R ，x 2+2x+2>0.4、已知命题“∃x ∈R ，使2x 2+(a-1)x+21≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是 5、若“∀x ∈[0，4π]，x tan ≤m ”是真命题，则实数m 的取值范围是 6、已知命题p:对任意m ∈[-1,1]，都有a 2-5a-3≥82+m ；命题q:存在x ∈R ，使得x 2+ax+2<0.若p 是真命题，q 是假命题，求实数a 的取值范围.练习：1、判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假（1）所有对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；2、下列命题中的假命题是（）A. ∀x ∈R ，2x-1>0B.∀x ∈N *，（x-1）2>0C.∃x ∈R ，lgx<1D.∃x ∈R ，x tan =23、写出下列命题的否定（1）设命题p:∃n ∈N ，n 2>2n ，则命题p 的否定为（2）命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定为（3）命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定为4、若命题p:∀x ∈R ，ax 2+4x+a ≥-2x 2+1是真命题则实数a 的取值范围是5、若“∃x 0∈R ，使得032020<-++m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是6、已知在（-∞,3]上的单调函数f(x)，满足f(a 2-sinx)≤f(a+1+cos 2x)对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范四、逻辑连接词“且”“或”“非”1、分别指出下列命题构成的“P 且q ”“P 或q ”“非p ”形式的复合命题，并判断其真假（1）p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.（2）p:函数y=x 2+x+2的图像与x 轴没有公共点，q:方程x 2+x+2=0没有实数根；（3）p:直线x=1与圆x 2+y 2=1相切；q:直线x=21与圆x 2+y 2=1相交. （4）设，，是非零向量.p:若⋅=0，⋅=0，则⋅=0；q:若//，//，则//.2、给出下列两个命题：命题p:“a =0”是“函数b ax x y ++=2为偶函数”的必要不充分条件；命题q:函数xx y +-=11ln 是奇函数.下列命题为真命题的是（） A.p ∧q B.p ∨⌝q C.p ∨q D.p ∧⌝q3、已知命题p:若=（1,2）与=（-2，λ）共线，则λ=-4；命题q:∀k ∈R,直线y=kx+1与圆x 2+y 2-2y=0相交.则下面结论正确的是（）A.p ∧q 为假B.p ∧⌝q 为真C.⌝p ∨q 为真 D.p ∨q 为假 4、已知命题p:若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α//平面γ.命题q:若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α//平面β.对以上两个命题，下列结论：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④⌝p ∨⌝q 为假.其中正确的是 5、已知p:05<-xx ，；q:函数)12(log 22--=x x y 有意义. （1）若p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ∨⌝q 为假，求实数x 的取值范围.6、已知命题p:函数x a x f )62()(-=在R 上单调递减，命题q:关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若“P 或q ”为真，“P 且q ”为假，求实数a 的取值范围.7、设p:关于x 的不等式1>x a （a >0,且a ≠1）的解集是{x |x <0}；q:函数a x ax y +-=2的定义域为R.若“P 或q ”为真，“P 且q ”为假，求实数a 的取值范围.练习：1、写出下列命题构成的“P 且q ”“P 或q ”“非p ”形式的复合命题，并判断其真假（1）p:梯形有一组对边平行；q:梯形有一组对边相等.（2）p:集合中的元素是确定的；q:集合中的元素是无序的.2、已知命题p:∃x ∈R ，x-2>lgx ，命题q:∀x ∈R ，sinx<x ，则（）A. p ∧q 为真B.p ∧⌝q 为真C.p ∨⌝q 为假D.p ∨q 为假3、若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则（）A.命题p ，q 都是真命题B.命题p ，q 中至少有一个是真命题C.命题p ，q 都是假命题D.命题p ，q 中只有一个是真命题4、给定命题p:函数)]1)(1ln[(x x y +-=为偶函数；命题q:函数11+-=x x e e y 为偶函数.下列说法正确的是（） A.p ∧q 为真 B.⌝p ∧q 为假 C.⌝p ∨q 为真 D.p ∨q 为假5、已知命题p:m<0，命题q:∀x ∈R ，x 2+mx+1>0成立，若“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围是6、已知c>0，且c ≠1.设p:函数y=c x 在R 上单调递减；q:函数f(x)=x 2-2cx+1在区间（21，+∞）上为增函数，若“p ∧q ” 为假；“p ∨q ” 为真，则实数c 的取值范围是7、已知命题p:函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q:关于x 的不等式a x x <-93对一切正实数均成立.（1）若p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“P ∨q ”为真，“P ∧q ”为假，求实数a 的取值范围.。

通用版高中数学必修一常用逻辑用语典型例题

(每日一练)通用版高中数学必修一常用逻辑用语典型例题单选题1、已知命题p:“∀x∈R，ax2+bx+c>0”，则¬p为（）A．∀x∈R，ax2+bx+c≤0B．∃x0∈R，ax2+bx+c≥0C．∃x0∈R，ax2+bx+c≤0D．∀x∈R，ax2+bx+c<0答案：C解析：由全称命题的否定可得出结论.命题p为全称命题，该命题的否定为¬p:∃x0∈R，ax2+bx+c≤0.故选：C.2、设曲线C是双曲线，则“C的方程为y28−x24=1”是“C的渐近线方程为y=±√2x”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：根据C的方程为y 28−x24=1，则渐近线为y=±√2x；若渐近线方程为y=±√2x，则双曲线方程为x2−y22=λ（λ≠0）即可得答案.解：若C的方程为y 28−x24=1，则a=2√2，b=2，渐近线方程为y=±abx，即为y =±√2x ，充分性成立；若渐近线方程为y =±√2x ，则双曲线方程为x 2−y 22=λ（λ≠0）， ∴“C 的方程为y 28−x 24=1”是“C 的渐近线方程为y =±√2x ”的充分而不必要条件.故选：B.小提示：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p ⇒q,q ⇒p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3、已知实数x ､y ，则“|x |+|y |≤1”是“{|x |≤1|y |≤1.”的（）条件 A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要答案：B解析：根据充分必要条件的定义判断．若|x |+|y |≤1，则|x |≤1且|y |≤1，否则|x |+|y |≤1不成立，是充分的，若|x |≤1且|y |≤1，|x |+|y |≤1不一定成立，如x =y =1，满足已知，但|x |+|y |>1，因此不必要． ∴就是充分不必要条件，故选：B ．解答题4、已知p:关于x 的方程x 2−2ax +a 2+a −2=0有实数根，q:m −1≤a ≤m +3．（1）若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．答案：（1）{a|a>2}；（2）{m|m≤−1}.解析：（1）根据题意得到p是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解；（2）由p是q的必要不充分条件，得到{a|m−1≤a≤m+3}⊊{a|a≤2}，即可求解.（1）因为命题¬p是真命题，所以p是假命题，所以对于方程x2−2ax+a2+a−2=0，有Δ=(−2a)2−4(a2+a−2)<0，即4a−8>0，解得a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}．（2）由命题p为真命题，根据（1）可得{a|a≤2}，又由p是q的必要不充分条件，可得那么q能推出p，但由p不能推出q，可得{a|m−1≤a≤m+3}⊊{a|a≤2}，则m+3≤2，解得m≤−1，所以实数m的取值范围是{m|m≤−1}．5、设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R).答案：(1)a≥13(2)答案见解析解析：（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.（2）由f(x)<a-1得ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)<a-1的解集.(1)∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立.当a=0时，x≥0，不满足题意；当a≠0时，知{a>0，Δ≤0，即{a>0，(1-a)2-4a2≤0，解得a≥13.故实数a的取值范围为a≥13.(2)∵f(x)<a-1(a∈R)，∴ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0⇒(ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-1a，1，∵-1a <1，∴不等式的解集为{ x|-1a<x<1}，当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，①当a=-1时，-1a=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；②当-1<a<0时，-1a >1，此时不等式的解集为{ x|x>−1a或x<1}；③当a<-1时，-1a <1，此时不等式的解集为{ x|x>1或x<−1a}。

常用逻辑用语(讲义)

常用逻辑用语(讲义)1.下面是常用逻辑用语的总结：1.四种命题的形式：1) 原命题：若 p，则 q2) 逆命题：若 q，则 p3) 否命题：若 p，则 ~q~4) 逆否命题：若 ~q~。

则 ~p~2.四种命题之间的相互关系：互为逆否的两个命题具有相同的真假性；互逆或互否的两个命题真假性没有关系。

3.四种命题的真假关系：1) 互为逆否的两个命题具有相同的真假性。

2) 互逆或互否的两个命题真假性没有关系。

4.充分条件与必要条件的判断方法：I) 定义法：①若p→q，q→p，则说 p 是 q 的充分不必要条件；②若q→p，p→q，则说 p 是 q 的必要不充分条件；③若p→q，q→p，则说 p 是 q 的充分必要条件；④若p→q，q→p，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

II) 集合法：对于集合 A={x|x满足条件 p}，B={x|x满足条件 q}，则：①若 A⊂B，则说 p 是 q 的充分不必要条件，p 是 q 的必要不充分条件；②若 B⊂A，则说 q 是 p 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；③若 A=B，则说 p 是 q 的充分必要条件；④若 A 与 B 无包含关系，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

III) 等价转换法：把判断“p 是 q 的什么条件”转化为判断“ ~q~ 是 ~p~ 的什么条件”。

这种方法特别适合以否定形式给出的命题。

5.复合命题：p∨~q 是 ~p 的什么条件”（正难则反），q，p∧q，~p 的真假性判断。

1) 当 p,q 中有一个为真时，则 p∨q 为真；当 p,q 中有一个为假时，则 p∧q 为假。

2) p 与 ~p 的真假性相反。

6.全称命题与特称命题：1) 全称命题的否定是特称命题；2) 特称命题的否定是全称命题。

基础巩固：1.下列命题中的真命题为 (C)。

2(A) 若 x=y，则 x=y；(B) 若 x=1，则 x=1；(C) 若 x=y，则 x=y；(D) 若 x<y，则 x<y。

1.2常用逻辑用语(新高考专用)(原卷版)

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.第一章集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1．命题能判断真假的语句叫做命题．2．量词(1)全称量词与全称命题①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．②全称命题：含有全称量词的命题．③全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．②特称命题：含有存在量词的命题．③特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．(3)命题的否定①条件不变，改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．【注】原命题与命题的否定真假性相反3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．【注】集合中，子集可以推出另一个集合.题型一. 真假命题的判定1．关于x 的方程x 2+ax +b ＝0，有下列四个命题：甲：该方程两根之和为2；乙：该方程两根异号；丙：x ＝1是方程的根；丁：x ＝3是方程的根．如果只有一个假命题，则该命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．下列命题中正确的是（） A ．若x ∈C ，x 2+1＝0，则x ＝iB ．若复数z 1，z 2满足z 12+z 22＝0，则z 1＝z 2＝0C ．若复数z 为纯虚数，则|z |2＝z 2D ．若复数z 满足z （2+i ）＝|3﹣4i |，则复数z 的虚部为﹣1 3．给出下列命题：①若空间向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，则a →=b →； ②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c →，由a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →； ④在向量的数量积运算中(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)．其中假命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥α，且m ⊂β，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β题型二.量词与命题的否定1．命题“∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ．∃n 0∈N ∗，f(n 0)∉N ∗且f （n 0）＞n 0 D ．∃n 0∈N ∗，f(n 0)∈N ∗或f （n 0）＞n 02．已知f （x ）＝sin x ﹣x ，命题P ：∀x ∈（0，π2），f （x ）＜0，则（）A ．P 是假命题，￢P ：∀x ∈(0，π2)，f(x)≥0B ．P 是假命题，￢P ：∃x 0∈(0，π2)，f(x 0)≥0C ．P 是真命题，￢P ：∀x ∈(0，π2)，f(x)＞0D ．P 是真命题，￢P ：∃x 0∈(0，π2)，f(x 0)≥03．对于下列四个命题，其中的真命题是（）p 1：∃x 0∈（0，+∞），（12）x 0＜（13）x 0；p 2：∃x 0∈（0，1），log 12x 0＞log 13x 0；p 3：∀x ∈（0，+∞），（12）x ＞log 12x ；p 4：∀x ∈（0，13），（12）x ＜log 12x ．A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为． 5．已知p ：存在x ∈R ，使mx 2+1≤0；q ：对任意x ∈R ，恒有x 2+mx +1＞0．若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为（） A ．m ≥2B ．m ≤﹣2C ．m ≤﹣2，或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2题型三.充分必要条件1．（2015•福建）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020•天津）设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log a 3＞log b 3＞1”是“3a ＜3b ”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．设a ，b 是实数，则“a ＞0，b ＞0”是“ba +a b≥2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，设命题p ：a sinC=b sinA=c sinB，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2019•北京）设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知“x 2﹣x ﹣2＞0”是“2x +p ＞0”的必要条件，则实数p 的取值范围是． 8．设命题p ：|4x ﹣3|≤1；命题q ：x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）≤0．若￢p 是￢q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是．题型四.存在问题、恒成立问题1．不等式mx 2﹣mx ﹣2＜0对任意x ∈R 恒成立的充要条件是m ∈ ． 2．若“对任意实数x ∈[0，π2]，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为．3．已知命题p ：∃x ∈R ，使得e x ≤2x +a 为假命题，则实数a 的取值范围是． 4．已知函数f （x ）＝log 2x ，g （x ）＝2x +a ，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则a 的取值范围是（） A ．[﹣5，0] B ．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞） C ．（﹣5，0）D ．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果m ∥α，n ⊂α，那么m ∥n ；②如果m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果α⊥β，m ⊂α，那么m ⊥β．其中正确的命题是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．不等式2x 2﹣5x ﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（） A ．x ＜0或x ＞2B ．x ≥0或x ≤﹣2C ．x ＜﹣1或x ＞4D ．x ≤−12或x ≥33．已知α∈R ，则“tanα＝2”是“tan2α=45”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b ，c ∈R ，在下列条件中，使得a ＜b 成立的一个充分而不必要条件是（） A ．a 3＜b 3B ．ac 2＜bc 2C ．1a＞1bD ．a 2＜b 25．等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．已知函数f（x）=32sin x，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件。

常见的逻辑用语——选择题【100道】

常见的逻辑用语——选择题【100道】一、单选题1．命题p ：|1|1x -<，命题q ：2280x x --<，则p 是q 的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是4．“k=5”是“两直线kx+5y-2=0和（4-k)x+y-7=0互相垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线1:(1)10l x a y +--=，2:220l ax y ++=，则“1a =-”是“12l l //”的（） A ．充分非必要 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件8．如果命题“”为假命题，则A ．,p q 中至少有一个为真命题B ．,p q 均为假命题C ．,p q 均为真命题D ．,p q 中至多有一个为真命题9．下列有关命题的叙述，错误的个数为①若p q 为真命题，则p q 为真命题． ②“5x >”是“”的充分不必要条件．③命题P ：x ∈Ｒ，使得x ＋x-1<0，则p :x ∈Ｒ，使得x ＋x-1≥0．④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x 1或x 2，则”．A ．1B ．2C ．3D ．4A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．有四个命题：（1）对于任意的α、β，都有()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-；（2）存在这样的α、β，使得()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-；（3）不存在无穷多个α、β，使得()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=-；（4）不存在这样的α、β，使得()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+．其中假命题．．．的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．20,20x x x m ∀+-厔B ．20,20x x x m ∃+->…C ．20,20x x x m ∀<+-…D ．20,20x x x m ∃<+-…A ．1q ，3qB ．1q ，4qC ．2q ，3qD ．2q ，4qA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．已知命题“若p ，则q ”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝16．设命题p ：函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件18．命题“存在实数m ，使关于x 的方程210x mx +-=有实数根”的否定是（）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题20．为非零向量，“”是“函数为一次函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件21．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题22．下列命题正确的是（）A ．若p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题B ．a b >是ln ln a b ＞的充分不必要条件C ．命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠”为真命题D ．命题“00,60x R x ∃∈+<”的否定是“0060x R x ∀∉+≥，”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24．等比数列{}n a 公比为()1q q ≠，若()123n n T a a a n a *=∈N ，则“数列{}n T 为递增数列”是“10a >且1q >”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件25．下列各组命题中，满足α是β的充要条件的是26．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，“对任意正整数n ，均有0n a <”是“{}n S 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件27．已知命题p ：N⊆Q ：命题q ：∀x ＞0，e lnx x ，则下列命题中的真命题为（）A ．p q ∧B ．p q ∧￢C ．p q ∧￢D ．p q ∧￢￢28．“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数”是“φ＝”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“10a >”是“{n S }是递增数列”的（）A ．充分而非必要条件B ．必要而非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．对于平面α和直线,,a b c ，命题:p 若,,a b b c 则a c P ；命题:q 若,,a b αα 则a b ∥.则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨A ．0B ．1C ．2D ．334．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（）A ．所有的素数都是奇数B ．有些梯形是等腰梯形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．x ∃∈R ，20x <A ．1p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，3pD ．3p ，4p36．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是37．数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，那么“1k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件38．已知命题p ：{}2|02320x x x x x ∀∈≤≤-+>，，则p ⌝是（）39．“0?“00?xy x y ===是且成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件40．已知命题2:R,220p x x x ∀∈-+>，则p ⌝是（）A ．2000R,220x x x ∃∈-+≤ B ．2R,220x x x ∀∈-+≤ C ．2000R,220x x x ∃∈-+> D ．2R,220x x x ∀∈-+<41．命题:p 任意圆的内接四边形是矩形，则p ⌝为（）A ．每一个圆的内接四边形是矩形B ．有的圆的内接四边形不是矩形C ．所有圆的内接四边形不是矩形D ．存在一个圆的内接四边形是矩形 42．“0x =”是“20x x +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件43．“m>2”是“x ∃∈R ，()222110x m x m +-+-≤是假命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个45．下列命题中，属于真命题的是（）A ．四条边都相等的四边形是正方形B ．矩形的对角线互相垂直C ．三角形一条边的中线把三角形分成面积相等的两部分D ．菱形的对角线相等46．“直线,a b 不相交”是“直线,a b 为异面直线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件47．在ABC ∆中，“sin sin cos cos B C B C =”是“ABC ∆为直角三角形”（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件48．设R a ∈，复数(i)(1i)z a =+-，则“z 在复平面内对应的点位于第一象限”的一个充分不必要条件是（）A ．10a -<<B ．11a -<<C ．10a -≤<D ．11a -≤<49．设,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a b a ->”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件51．已知函数3()f x x x =-，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的（）A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝53．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且120a =-，则“35d <<”是“n S 的最小值仅为6S ”的（）A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假55．命题:“(),0,34x xx ∀∈-∞≥”的否定为（）A ．[)0000,,34x xx ∃∈+∞<B ．[)0000,,34x xx ∃∈+∞≤C ．()000,0,34x xx ∃∈-∞< D ．()000,0,34x xx ∃∈-∞≤56．已知x ，()0,y ∈+∞，则“1xy ≥”是“1x ≥且1y ≥”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件58．设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件59．已知A ，B 是平面α上的点，1A ，1B 是平面β上的点，且有11//AA BB ，则//αβ是11AA BB =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件60．“”是“”的．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件61．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）“”A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件64．下列说法正确的是A ．命题“若3320x x -+=，则1x =”的否命题是“若3320x x -+=，则1x ≠”B ．命题“n ∃∈N ，22n n >”的否定是“N n ∀∈，22n n <”65．已知命题p ：1x >，命题q ：2x x >，则q ⌝是p ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件66．已知命题p ：存在n ∈N,2n>1 000，则非p 为( )A ．任意n ∈N,2n≤1 000B ．任意n ∈N,2n>1 000C ．存在n ∈N,2n≤1 000D ．存在n ∈N,2n<1 00067．设命题:2p x ∀>，2e x x <，则命题p 的否定为（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件69．已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos 2x x +<．则p ⌝为（）．A ．0x ∃∈R ，00sin cos 2x x +>B ．x ∀∈R ，sin cos 2x x +≥C ．0x ∃∈R ，00sin cos 2x x +≥D ．x ∀∈R ，sin cos 2x x +> 70．命题“存在,使”的否定是．存在,使．不存在,使．对于任意,都有．对于任意,都有A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件72．命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是A ．2000(2,0),20x x x ∃∉-+… B ．2000(2,0),20x x x ∀∈-+… C ．2000(2,0),20x x x ∀∉-+< D ．2000(2,0),20x x x ∃∈-+…73．下列命题错误的是（）A ．命题“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”B ．若p ：∀x ≥0，sinx ≤1，则￢p ：∃x 0≥0，sinx 0＞1C ．若复合命题：“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件 74．下列命题中，真命题的是（）75．已知函数()283640f x x x =-+-在[)1,2上的值域为A ，函数()2xg x a =+在[)1,2上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞76．已知向量1e ，2e 为平面内的一组基底，12a e me =+ ，12b me e =+ ，则“a b ”是“幂函数()f x =()21mm m x +-在(0,)+∞上为增函数”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要77．命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是（）A ．25,23x x x ∀<-+<B ．25,23x x x ∃≥-+<C ．25,23x x x ∃<-+<D ．25,23x x x ∃<-+≤78．设命题2:,2021p x R x ∃∈>，则p ⌝为（）A ．2,2021x R x ∀∈≤B ．2,2021x R x ∀∈>C ．2,2021x R x ∃∈≤D ．2,2021x R x ∃∈<80．命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +≤”的否定是（）A ．(,1]x ∀∈-∞，213x x +>B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +≤C ．(,1]x ∃∈-∞，213x x +≤D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>二、多选题81．已知25a a +=，则（）A ．“x a >”是“3x >”的充要条件B ．“x a >”是“2x >”的必要不充分条件C ．“x a >”是“1x >”的充分不必要条件D ．“x a <”是“3x <”的充分不必要条件83．下列四个命题中，真命题的是（）84．下列说法中正确的有（）85．命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1a ≥B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．=1a86．下列命题中为真命题的是（）A ．若x AB ∈ ，则x A B ∈U B ．x ∀∈R ，22x x <88．21x ≤的一个充分不必要条件是（）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤89．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（）A ．7a ≥B ．8a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥90．下列命题中，真命题的是（）93．下列说法错误的是（）95．下列说法正确的是（）A ．若不等式220ax x c ++>的解集为{12}xx -<<∣，则2a c += B ．若命题:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为(0,)x ∃∈+∞，1ln x x -≤ C ．若0x >，0y >，8xy x y ++=，则+x y 的最大值为4D ．若2320mx x m ++<对[0,1]∀∈m 恒成立，则实数x 的取值范围为(2,1)-- 96．下列命题正确的是（）97．设a 、b 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（）A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在一个平面γ，满足//αγ，//βγD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 99．下列说法正确的是（）参考答案：是两直线和“”“”是一次函数若为偶函数，2则；选考点：1三角函数的性质；∴“1k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 38．B【分析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】因为命题p ：{}2|02320x x x x x ∀∈≤≤-+>，，所以p ⌝是{}2|02320x x x x x ∃∈≤≤-+≤，，故选：B 39．B【分析】根据集合之间包含关系确定充要性.【详解】因为0xy =等价于00x y ==或，所以“0?“00?xy x y ===是且成立的必要非充分条件，选B.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 40．A【分析】含有一个量词的命题的否定形式，全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，命题2:R,220p x x x ∀∈-+>，则p ⌝是2000R,220x x x ∃∈-+≤.故选：A. 41．B【分析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A ，C 不符合题意，同时对结论进行否定，所以p ⌝：有的圆的内接四边形不是矩形，故选：B.借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 59．A【分析】在前提条件下，设:p //αβ，11:AA q BB = ，然后p q ⇒和q p ⇒是否成立即可. 【详解】A ，B 是平面α上的点，1A ，1B 是平面β上的点，且有11//AA BB ，设:p //αβ，11:AA q BB =,充分性：p q ⇒，若//αβ，1,AA A α⋂= 11,AA A β⋂=1,BB B α⋂=11,BB B β⋂=且有11//AA BB ，所以11//AB A B ，所以四边形11AA B B 为平行四边形，所以11AA BB =，故充分性成立必要性：q p ⇒，若11:AA q BB =，且有11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，所以11//AB A B ，因为A ，B 是平面α上的点，1A ，1B 是平面β上的点，所以AB α⊂,11A B β⊂ ,只有两直线平行无法得出//αβ，所以必要性不成立所以//αβ是11AA BB =的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充要条件的判断，涉及立体几何知识，属于中档题. 60．B【详解】试题分析：因为，所以sin 1α=±；但，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.考点：充分、必要条件的判断. 61．B【分析】先判断AB 是全称量词命题，再判断A 为假命题，B 为真命题得到答案. 【详解】四个选项中AB 是全称量词命题对于A ：2,210x R x x ∀∈++>当=1x -时，不成立，为假命题. 对于B ：根据菱形定义知：所有菱形的4条边都相等，为真命题. 故选B“”存在,使”存在,使”的否定是：对于任意,都有．【分析】由向量共线定理，求出a b∥时m 的值，由幂函数的定义及性质，求出符合题意的m 得值，由推断关系判断充分性和必要性.【详解】因为a b ∥，所以存在实数λ使得a b λ= ，即1mm λλ=⎧⎨=⎩，解得1m =±，因为幂函数()2()1mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数，所以211m m +-=且0m >，解得1m =，又因为1m =±是1m =的必要不充分条件，所以a b ∥是幂函数()2()1mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数的必要不充分条件，故选：B. 77．C【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是“25,23x x x ∃<-+<". 故选：C 78．A【分析】由特称命题否定的定义求解即可.【详解】由特称命题否定的定义知，p ⌝为2,2021x R x ∀∈≤ 故选：A 79．C【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【详解】解：知向量(1,2)a x =- ，(2,1)b = ，//a b可得14x -=，可得5x =．故选：C ．80．D【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +≤”的否定是(1,)x ∀∈+∞，213x x +> 故选：D【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力.【详解】对于A ：若x A B ∈ ，则x A ∈且x B ∈，所以x A B ∈U ，故A 正确；对于B ：当0x =时，22x x =，故B 错误；对于C ：假设x ，y 都不大于1，即1x ≤，1y ≤，由加法的可加性可得，2x y +≤，与x ，R y ∈且2x y +>，矛盾，故若x ，R y ∈且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1，故C 正确，对于D ：若x ∃∈R ，20x m +≤，即x ∃∈R ，2m x ≤-，因为()2max0x -=，所以0m ≤，故D 正确；故选：ACD 87．BD【分析】由关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立，可求得01a <<，再由真子集关系，即可得到答案；【详解】由题意得：2(2)4001a a a ∆=--<⇒<<，∴所选的正确选项是01a <<的必要不充分条件， ∴01a <<是正确选项应的一个真子集，故选：BD 88．AC【解析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得：选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件；选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 89．CD【解析】由命题为真可得9a ≥，再由充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，则20x a -≤即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，所以22max ()39a x ≥==，直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则直线当直线和圆相切时，|23|2b -+=|2-3+，由于，所以。

常用逻辑用语(命题及其关系,概念和例子)

逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数. （假）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
观察命题(1)与(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 3.
若若ff((xx))是不正是弦正函弦数函，数p 则，则f(xf)(是x)周不期是函周数期；函q数.
┐p
┐q
常把条件p的否定和结论q的否定分别记作"┐p","┐q",
对所有x, 存在某x，对任何x，
成立不成立
不成立
存在某x，成立
所有的某些
三、作业：课本P8. 习题2：1，2，3
提高练习:
已知命题 P：lg(x 2 2x 2) ≥0 的解集是 A；命题 Q：x(4 x) ≤ 0 的解集不是 B.若 P 是真命题，Q 是假命题，求 A∩B.
解：由 lg(x 2 －2x－2)≥0,得 x 2 －2x－2≥1
下列语句是不是命题？
(1) 今天天气如何？ (3) 4>3。
(2) -2不是整数。 (4) x>4。
(1)不是（疑问句） (3)是（肯定陈述句）
(2)是（否定陈述句） (4)不是（开语句）
注意：(1)命题定义的核心是判断，判断结果可真可假，但真假必居其一。
(2)有些含有变量(又未给定变量的取值)的语句，无法确定真假。
原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是
探__究_1_：_ 如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是
真命题吗？例1.等边三角形的三个内角相等.
（真）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真）
例2.若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数. （真）

常用逻辑用语典型例题

常用逻辑用语1．命题及其真假判断(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．[例1]下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．①方程x2－2x＝0的根是自然数；②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；③垂直于同一个平面的两个平面平行；④函数y＝12x＋1是单调增函数；⑤非典型肺炎是怎样传染的？⑥奇数的平方仍是奇数；⑦好人一生平安！⑧解方程3x＋1＝0；⑨方程3x＋1＝0只有一个解；⑩3x＋1＝0.[解析]①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．[点评]⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．[误区警示]含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．[例2]判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．[解析]其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，∴原命题为假．2．四种命题的关系(1)注意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．[例3]写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则∈N；(2)∀a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.[解析](1)逆命题：∀n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真)否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则n∉N.(真)逆否命题：∀n∈N，若n∉N，则n不是完全平方数．(真)(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)[误区警示]①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”．②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.3．量词与复合命题(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[例4]分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；(2)方程x2＝1的解是x＝±1；(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；(4)3≥3.[解析](1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.(3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.[误区警示]若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．[例5]写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：有些三角形是直角三角形．(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．(3)p：三角形的两边之和大于第三边．(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．[解析](1)綈p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)(2)綈p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)(3)綈p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)綈p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)4．充要条件(1)若“p⇒q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有q 成立，即使p 不成立，q 也可能成立；q 不成立，则p 一定不成立．(2)区分“p 是q 的充要条件”，“p 的充要条件是q ”说法的差异．[例6] (09·四川理)已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．[答案] B[解析] 由a －c >b －d 变形为a －b >c －d ，因为c >d ，所以c －d >0，所以a －b >0，即a >b ，∴a －c >b －d ⇒a >b .而a >b 并不能推出a －c >b －d .所以a >b 是a －c >b －d 的必要而不充分条件．故选B.[例7] 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0得p ：A ＝{x |x >10，或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得q ：B ＝{x |x >1＋a ，或x <1－a ，a >0}．依题意，p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤101－a ≥－2，且等号不同时取得，解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.5．反证法如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况[例8] 求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.[证明]假设p ＋q >2，则p 2＋q 2＝12[(p －q )2＋(p ＋q )2] ≥12(p ＋q )2>12×22＝2，即p 2＋q 2>2，这与题设矛盾．因此假设不成立．即p ＋q ≤2成立．。

历年高考数学真题之常用逻辑用语

11．（2019•北京）设点，，不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】点，，不共线，，，
当与的夹角为锐角时，，
“ 与的夹角为锐角” “ ”，
“ ” “ 与的夹角为锐角”，
设点，，不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“ ”的充分必要条件．
18．（2017•天津）设，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
19．（2016•浙江）已知函数，则“ ”是“ 的最小值与的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
20．（2016•四川）设：实数，满足，：实数，满足，则是的
25．（2015•四川）设、都是不等于1的正数，则“ ”是“ ”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
26．（2014•福建）直线与圆相交于，两点，则“ ”是“ 的面积为 ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
23．（2015•福建）“对任意， ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
24．（2015•陕西）Байду номын сангаас ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件

常用逻辑用语

经典例题精析类型一：判定复合命题的真假1. 已知下列各组命题，写出满足条件的复合形式命题，并判断真假.（1）：是方程的根，：是方程的根；p或q，（2）：，：是有理数；p且q，（3）：若，则或；非p解析：（1）p或q：或是方程的根，真命题；（2）p且：是大于3的有理数，假命题；（3）非p：若，则且，假命题；总结升华：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p和q的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.举一反三：【变式1】指出下列复合命题的形式及其构成.(1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；(2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；(3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.【答案】（1）是非P形式的复合命题；其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°.（2）是p且q形式复合命题；其中p:一个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.（3）是p或q形式的复合命题；其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形,q:有一个内角为60°的三角形是直角三角形.【变式2】若命题P：，则命题“非P”是（）A．且B．或C．D．【答案】A ；解析：∵因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，∴非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是_______________（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)；解析：由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．类型二：四种命题及其关系2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。