高考数学复习等差数列及其前n项和

第2讲 等差数列及其前n 项和

最新考纲

考向预测

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系．

命题趋势

等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，

也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档.

核心素养

数学抽象、逻辑推理

1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义：

①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．

(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）

2．

3．等差数列的性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论

1．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．

(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋

⎝ ⎛

⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.

2．两个常用结论

(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

；

②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n

n －1.

(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n

b n .

常见误区

1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．

2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )

(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋

2.(

)

(5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×

2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( ) A ．32 B ．39 C ．42

D ．45

解析：选B.设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2，

4a 1＋4×3

2d ＝14，

解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝3，

所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.

3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析：选C.因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）

2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解

得n ＝8(负值舍去)．故选C.

4．(易错题)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1

2(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________．

解析：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，所以{a n }是首项为1，公差为1

2的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋1

2.

答案：a n ＝12n ＋1

2

5．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．

解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋