dijkstra算法步骤例题表格
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
15.2-3哈密顿图-dijkstra算法
1
2
3
p4=1 4
3
5 6 p6=3
7
2
6
4
p7=3
min {c23,c25,c47,c67}=min {2+6,2+5,1+2,3+4}=min {8,7,3,7}=3
X={1,2,4,6,7}, p7=3
X={1,2,4,6,7}
p1=0 p2=2 2 1 10 6 5 9
1
2
Hale Waihona Puke 3p4=1 4p5=6 5
推论 n(n≥3)阶有向完全图为哈密尔顿 图.
思考:
一个售货员希望去访问n个城市的每 一个,开始和结束于v1城市。每两城市间 都有一条直接通路,我们记vi城市到vj城市 的距离为W(i,j),问题是去设计一个算法, 它将找出售货员能采取的最短路径。
数学问题:
用图论术语叙述就是:G=〈V,E,W〉是n个顶点 的无向完全图,其中W是从E到正实数集的一个函 数,对在V中任意三点 vi, vj, vk 满足 W(i,j)+W(j,k)≥W(i,k) 试求出赋权图上的最短哈密尔顿回路。
至今未找出有效的方法,但已找到了若干近似算 法. 最邻近算法,它为巡回售货员问题得出近似解。 选任意点作为始点,找出一个与始点最近的点,形成 一条边的初始路径。 设x表示最新加到这条路径上的点,从不在路径上的 所有点中,选一个与x最邻近的点,把连接x与此点的边 加到这条路径中。 重复这一步,直至G中所有顶点包含在路径中。 把始点和最后加入的顶点之间的边放入,这样就得出 一个回路。
T (v j ) min[ (v j ) , P(vi ) li j ] T
3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：
Dijstra算法
最短路径之Dijkstra算法标签：dijkstra数据结构图2014-06-09 16:37 7464人阅读评论(0) 收藏举报分类：数据结构（24）目录(?)[+]Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
1、算法思想令G = （V，E）为一个带权有向网，把图中的顶点集合V分成两组：已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；未确定最短路径的顶点集合V-S。
在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到V-S中任何顶点的最短路径长度。
2、算法描述（1）S为已经找到的从v出发的最短路径的终点集合，它的初始状态为空集，那么从v出发到图中其余各顶点（终点）vi（vi∈V-S）可能达到的最短路径长度的初值为：d[i] = arcs[LocateVex(G, v)][i]，vi∈V（2）选择vj，使得d[j] = Min{d[i]|vi属于V-S}，vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。
令S=S∪{j}；（3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。
如果d[j] + arcs[j][k] < d[k]，则修改d[k]为：d[k] = d[j] + arcs[j][k]；（4）重复（2），知道所有顶点都包含在S中，此时得到v到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。
具体图例与算法执行步骤：（从A开始，到各节点的最短路径）具体执行步骤如下图所示：PS：图片右下角是原作者的博客地址。
3、算法具体实现[cpp]view plain copy[cpp]view plain copy下面是根据路径数组PathMatrix得到具体的路径序列：[cpp]view plain copy以上面的无向网为例，运行结果截图：dijkstra算法两个应用题：HDOJ 1874 畅通工程续，现有解法：/?p=1894HDOJ 2544 最短路，现有解法：/?p=1892参考：/zealot886/item/c8a499ee5795bcddeb34c950数据结构（C语言版）/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html 推荐几篇搜索算法相关的非常好的博文：一、A*搜索算法一（续）、A*，Dijkstra，BFS算法性能比较及A*算法的应用二、Dijkstra 算法初探（Dijkstra算法系列4篇文章）二（续）、彻底理解Dijkstra算法二（再续）、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现二（三续）、Dijkstra 算法+Heap堆的完整c实现源码。
最短路径dijkstra算法例题
最短路径dijkstra算法例题最短路径问题是图论中的一个重要问题，它的解决方法有很多种，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。
本文将介绍Dijkstra算法的基本思想和实现过程，并通过一个例题来展示其具体应用。
一、Dijkstra算法的基本思想Dijkstra算法是一种贪心算法，它以起点为中心向外扩展，每次选择当前距离起点最短的点作为下一个扩展点，并更新其周围节点到起点的距离。
这个过程不断重复直至所有节点都被扩展完毕。
具体实现时，可以使用一个数组dist来存储每个节点到起点的距离，初始时所有节点到起点的距离都设为无穷大（表示不可达），起点到自己的距离设为0。
同时还需要使用一个visited数组来记录每个节点是否已经被扩展过。
在每次扩展时，从未被扩展过且与当前扩展节点相邻的节点中选择距离起点最短的节点作为下一个扩展节点，并更新其周围节点到起点的距离。
这个过程可以使用优先队列来实现。
二、Dijkstra算法实现例题下面我们通过一个例题来演示Dijkstra算法的具体实现过程。
例题描述：给定一个有向带权图，求从起点s到终点t的最短路径。
解题思路：根据Dijkstra算法的基本思想，我们可以使用一个优先队列来实现。
具体实现步骤如下：1. 初始化dist数组和visited数组。
2. 将起点s加入优先队列，并将其距离起点的距离设为0。
3. 重复以下步骤直至优先队列为空：（1）取出优先队列中距离起点最近的节点u。
（2）如果该节点已经被扩展过，则跳过此节点，否则将其标记为已扩展。
（3）如果该节点就是终点t，则返回其到起点的距离。
（4）否则，遍历该节点的所有邻居节点v，并更新它们到起点的距离。
如果某个邻居节点v之前未被扩展过，则将其加入优先队列中。
更新dist[v]后，需要将v加入优先队列中以便后续扩展。
4. 如果经过以上步骤仍然没有找到终点t，则表示不存在从起点s到终点t的路径。
代码实现：```#include <iostream>#include <queue>#include <vector>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 1005;int n, m, s, t;int dist[MAXN], visited[MAXN];vector<pair<int, int>> graph[MAXN];void dijkstra() {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, s));dist[s] = 0;while (!pq.empty()) {pair<int, int> p = pq.top();pq.pop();int u = p.second;if (visited[u]) {continue;}visited[u] = 1;if (u == t) {return;}for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {int v = graph[u][i].first;int w = graph[u][i].second;if (!visited[v] && dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;pq.push(make_pair(dist[v], v));}}}}int main() {cin >> n >> m >> s >> t;for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].push_back(make_pair(v, w));}memset(dist, INF, sizeof(dist));memset(visited, 0, sizeof(visited));dijkstra();if (dist[t] == INF) {cout << "No path from " << s << " to " << t << endl;} else {cout << "Shortest path from " << s << " to " << t << ": " << dist[t] << endl;}}```代码解析：首先定义了一些常量和全局变量，其中n表示节点数，m表示边数，s 表示起点，t表示终点。
gis迪杰斯特拉算法题
gis迪杰斯特拉算法题题目：GIS迪杰斯特拉算法一、问题描述给定一个有向图，其中每条边都有一个正的权重，表示从一个城市到另一个城市的距离。
现在给定两个城市A和B，找出从A到B的最短路径。
你可以选择任何路径，只要它始终从一个城市出发，最终到达B。
二、算法思路为了解决这个问题，可以使用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法。
该算法的基本思想是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到起始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
具体步骤如下：1. 初始化一个数组dist[]，用于存储从起始点到每个顶点的最短距离。
将所有顶点的距离初始化为无穷大，将起始点到自己的距离初始化为0。
2. 初始化一个优先队列pq，用于存储待处理的顶点。
将起始点加入到优先队列中。
3. 当优先队列不为空时，从优先队列中取出距离起始点最近的顶点u，并从优先队列中删除该顶点。
4. 对于顶点u的每个邻接点v，如果通过u到达v的距离小于dist[v]，则更新dist[v]，并将v加入到优先队列中。
5. 重复步骤3和4，直到优先队列为空或者找到终点为止。
6. 返回dist[B]，即为从A到B的最短路径长度。
三、代码实现以下是使用Python实现GIS迪杰斯特拉算法的示例代码：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start, end):初始化距离数组和优先队列dist = [float('inf')] len(graph)dist[start] = 0pq = [(0, start)](pq)while pq:取出距离起始点最近的顶点u(d, u) = (pq)如果u不是终点，则继续处理u的邻接点vif u != end:for v, w in graph[u]:如果通过u到达v的距离小于已知最短距离，则更新最短距离和邻接点堆if d + w < dist[v]:dist[v] = d + w(pq, (dist[v], v))return dist[end] 返回最短路径长度```其中，graph表示有向图的邻接表表示，start和end分别表示起始点和终点。
dijkstra表格标准写法
题目：Dijkstra表格标准写法一、简介Dijkstra算法是一种用来解决单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。
该算法通过逐步发现从源点到所有其他顶点的最短路径来求解。
二、Dijkstra表格标准写法在使用Dijkstra算法解决最短路径问题时，经常需要将算法的执行过程记录在表格中，以便更直观地观察每一步的计算结果。
以下是Dijkstra表格的标准写法：1. 表格标题在表格上方居中位置填写“Dijkstra算法最短路径表”。
2. 第一行第一行第一列填写“被标记定点”，其余列填写其他顶点的标号。
3. 第二行第二行第一列填写“最短距离”，其余列填写顶点到源点的当前最短距离。
4. 第三行第三行第一列填写“路径”，其余列填写当前最短路径中的上一个顶点。
5. 填充数据依据Dijkstra算法的执行过程，逐步填充表格中的数据。
每一步都需更新“最短距离”和“路径”两行的内容。
6. 表格样式表格内的内容应该整齐划一，对齐排列。
可以使用横线和竖线来区分不同的数据项。
7. 表格标题下方在表格标题下方，可以适当使用注释或者说明来解释表格中的数据含义，以便读者能够更好地理解表格的内容。
三、示例下面是一个使用Dijkstra算法求解最短路径问题的表格示例：Dijkstra算法最短路径表被标记定点 A B C D E最短距离 0 3 7 7 11路径 - A A B C注：该示例是求解顶点A到其他顶点的最短路径，最终得出的结果是A到A的最短距离为0，到B的最短距离为3，到C和D的最短距离为7，到E的最短距离为11。
路径则表示每个顶点在最短路径中的上一个顶点。
四、总结通过Dijkstra表格标准写法的介绍和示例，我们可以清晰地了解如何使用表格记录Dijkstra算法的执行过程及结果。
正确的表格写法不仅有助于理解算法的执行过程，还能为问题的求解提供可视化的工具。
希望本文的内容能够帮助读者更好地应用Dijkstra算法解决最短路径问题。
有向图（4.dijkstra算法详解）
有向图（4.dijkstra算法详解）在图的应⽤中，有⼀个很重要的需求：我们需要知道从某⼀个点开始，到其他所有点的最短路径。
这其中，Dijkstra算法是典型的最短路径算法。
它的关键思想是以起始点为中⼼，向外⼀层层扩散，直到扩展到终点为⽌。
Dijkstra算法能够得出最短路径的最优解，不过它需要遍历计算的节点相当多，所以效率不⾼。
⾸先，⽤最通俗的语⾔解释。
假定有3个顶点，A、B、C，如图：要求A到其余各点的最短路径。
很明显，A到C⽐A到B更短。
有疑惑的是从A->B的最短距离，要么是直接A->B的边，要么是A经过C到B的边更短。
我们⾸先找到最短的边（A->C),然后在此基础上扩展，于其余边去对⽐找到最⼩值。
顶点再进⼀步扩充增加，按照这个思想，我们总可以找到A到所有点的最短路径。
算法描述：从节点1开始到其余各点的dijkstra算法，其中Wa->b表⽰边a->b的权，d(i)即为最短路径值，顶点集合为V={1,2,3...n}1.置集合S={1}，置顶点集合U={2,3,4...n}，数组d(1)=0,d(i)=W1->i（1，i之间存在边）or ⽆穷⼤（1，i之间不存在边）；2.在U中，令d(j)=min{d(i),i属于U}，将j从U中移⾄S中，若U为空集则算法结束，否则转3；3.对全部i属于U，如果存在边j->i,那么置d(i)=min{d(i), d(j) + Wj->i},转2Dijkstra算法的思想为;设G=(V, E)是⼀个带权有向图，把图中顶点集合V分为两部分，第⼀组为已求出最短路径的顶点集合（⽤S表⽰，初始时S中只有源点，以后每求出⼀条最短路径，就将顶点加⼊到S中，直到所有顶点都加⼊到S中，算法结束），第⼆组为其余未求出最短路径的顶点集合（⽤U表⽰），按最短路径的长度次序依次将第⼆组中的顶点加⼊到第⼀组中。
在加⼊过程中，总保持着从源点v到S中各顶点的最短路径不⼤于从源点v到U中各顶点的最短路径长度。
Dijkstra算法的流程图
Dijkstra算法的流程图Dijkstra算法的流程图需求和规格讲明：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于运算一个节点到其他所有节点的最短路径。
要紧特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历运算的节点专门多，因此效率低。
算法本身并不是按照我们的思维适应——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点动身的各有向路径的从小到大的排列，然而算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，能够讲这是个副产品，关于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。
清晰了算法的这种巧妙构思后，明白得算法本身就不是难题了。
实现注释：想要实现的功能：Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。
在该实验中，我们用邻接矩阵来储备图。
在该程序中设置一个二维数组来储备任意两个顶点之间的边的权值。
用户能够将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序能够自动求出这两个顶点之间的最短路径。
差不多实现的功能：在该实验中，我们用邻接矩阵来储备图。
在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来储备任意两个顶点之间的边的权值。
然后通过最短路径的运算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。
用户手册：关于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，立即要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。
如此程序就能够自动的运算出任意两个顶点之间的最短路径同时进行输出。
设计思想：s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果储存在dist[]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。
循环n-1次：1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)
数学建模迪杰斯特拉算法例题
1, ∞
2 3
v1
0,0 1
v3
2
1,3 6 4
3
10
v4
1,1
10
v6
4,11
2
v7
4
v8
1, ∞
1, ∞
图上标号法:
v2
6
1,5 3,5
1
v5
1, ∞ 2 6
v9
3
1, ∞
2 3
v1
0,0 1
v3
2
1,3 6 4
3
10
v4
1,1
10
பைடு நூலகம்
v6
4,11
2
v7
4
v8
1, ∞
1, ∞
图上标号法:
v2
6
3,5
如i=m，表示vs到vj的最短路上vj前一点是vm。
图上标号法:
v2
6
1,6
1
v5
1, ∞ 2 6
v9
3
1, ∞
2 3
v1
0,0 1
v3
2
1,3 6 4
3
10
v4
1,1
10
v6
1, ∞
2
v7
4
v8
1, ∞
1, ∞
图上标号法:
v2
6
1,6
1
v5
1, ∞ 2 6
v9
3
1, ∞
2 3
v1
0,0 1
v3
1
2
3
3
7
6
min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1
最短路径dijkstra算法例题
最短路径dijkstra算法例题简介最短路径问题是在图中寻找两个节点之间最短路径的问题，其中最短路径可以根据不同的评估标准来定义，比如路径中经过的边的权重之和。
dijkstra算法是解决最短路径问题的一种经典算法，它能够在具有非负权重的有向图或无向图中找到最短路径。
问题描述假设我们有一个有向图，图中的每个节点表示一个城市，图中的边表示两个城市之间的道路，每条边都有一个非负的权重表示两个城市之间的距离。
我们需要从给定的起始城市出发，找到到达目标城市的最短路径。
算法步骤1.创建一个节点集合，其中包含了所有的图中的节点。
2.初始化起始节点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
3.从起始节点开始，计算起始节点到所有邻接节点的最短路径，并更新最短路径和前驱节点。
4.将未被访问的节点中最短路径最小的节点标记为已访问，将其加入到已访问节点集合中。
5.重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或者所有节点都被标记为已访问。
6.如果目标节点被标记为已访问，则从目标节点逆向遍历前驱节点，即可得到最短路径。
例题解析假设我们有以下的有向图，其中的节点表示城市，边表示距离，权重表示距离的大小。
A --4-->B --1--> C\ | |\--6--> D --3--> E| |\--2--/我们需要从城市A出发，找到到达城市E的最短路径。
1.初始化起始节点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
节点起始节点到该节点的最短路径A 0B ∞C ∞D ∞E ∞2.从起始节点开始，计算起始节点到所有邻接节点的最短路径，并更新最短路径和前驱节点。
节点起始节点到该节点的最短路径前驱节点A 0 NoneB 4 AC ∞NoneD 6 AE ∞None3.将未被访问的节点中最短路径最小的节点标记为已访问，将其加入到已访问节点集合中。
当前最短路径最小的节点是B，将其标记为已访问。
4.重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或者所有节点都被标记为已访问。
最短路径算法——Dijkstra 算法
最短路径算法——Dijkstra算法一、最短路径问题最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
在带权图（即网络）G=（V,E）中，若顶点v i，v j是图G的两个顶点，从顶点v i到v j 的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。
从顶点v i到v j可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点v i到v j的最短路径。
求最短路径具有很高的实用价值，在各类竞赛中经常遇到。
一般有两类最短路径问题：一类是求从某个顶点（即源点）到其他顶点（即终点）的最短路径；另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。
本讲主要讲述一种单源最短路径（Single source shortest path）算法——Dijkstra 算法，用于解决非负权有向图的单源最短路径问题。
二、Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率偏低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想对于图G=（V，E），假设（u，v）是E中的边，c u,v是边的长度（即边权）。
如果把顶点集合V划分为两个集合S和T：S中所包含的顶点，他们到u的距离已经确定；T中所包含的顶点，他们到u的距离尚未确定。
最短路问题Dijkstra算法
2-
0-
vs
v1
2
27
- 54
5 v2 5
- ∞9
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-4
-∞
考察v1 , T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]= min[5,2+2]=4 T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=97
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 2
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
14
最短路
2-
v1
2
27
0-
4-
8-
13 -
vs
5 v2 5
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
4-
7-
• Dijkstra算法不仅找到了所求最短路，而且找到 了从 vs 点到其他所有顶点的最短路；这些最短 路构成了图的一个连通无圈的支撑子图，即图 的一个支撑树。
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9
(5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4, 记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
17
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所 有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
Dijkstra算法
Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。 它是由Dijkstra于1959年提出的。实际它能出始点到 其它所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法是一种标号法：给赋权图的每一个顶 点记一个数，称为顶点的标号（临时标号，称T标号， 或者固定标号，称为P标号）。T标号表示从始顶点 到该标点的最短路长的上界；P标号则是从始顶点到 该顶点的最短路长。
Dijkstra算法步骤如下：
1/38
Dijkstra算法
(1)给顶点v1标P标号d(v1) 0，给顶点v j ( j 2,3, , n) 标T标号d (v j ) l1 j；
( 2)在所有T 标号中取最小值，譬如，d
(v
j0
)
l1
，则把
j0
v j0的T标号改为P标号，并重新计算具有T标号的其它
0 v1
2 v2
2 6
88 v3
1
7
1 v4
1 3 v5
5
3 16
v6
2
4
9 10 v7
2 5 v8
9
71 9
22
6
v9
3
14
1 ∞ v1
0
v11 14
8/38
0 v1
2 v2
2 6
87 v3
1
7
1 v4
1 3 v5
5
3
16
v6
2
4
9 10 v7
2 5 v8
9
71 9
22
6
v9
3
14
1 ∞ v1
各顶点的T标号：选顶点v j的T标号d (v j )与d (v j0 ) l j0 j
Dijkstra算法
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
6
下面给出该算法的框图：
通过框图，容易计算该算法计算量 f ( p, q) ( p
2
)
。
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7.4 .1 Dijkstra算法
下面通过一个实例来说明Dijkstra算法是如何工作的。 ∞
7
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7.4 .1 Dijkstra算法
8
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7.4 .1 Dijkstra算法
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图) {G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞} for i:＝1 to n dij L(vi)＝∞
L(a):＝0 S:＝ （初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}
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7.4 .1 Dijkstra算法
Dijkstra算法基本思想:把图中所有结点分为两组， 每一个结点对应一个距离值。 第一组：包括已确定最短路径的结点，结点对应 的距离值是由v0到此结点的最短路径长度； 第二组：包括尚未确定最短路径的结点，结点对 应的距离值是v0经由第一组结点（中间结点）至 此结点的最短路径长度。 • 按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到 第一组中去，直至v0可达的所有结点都包含于第 一组。在这个过程中，总保持从v0到第一组各结 点的最短路径长度都不大于从v0至第二组任何结 点的路径长度。
3
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7.4 .1 Dijkstra算法
4
设源点为v0 初始时v0进入第一组，v0的距离值为0；第二组包含其它所有结点， 这些结点对应的距离值这样确定（设vi为第二组中的结点）
Dijkstra算法
Dijkstra算法说明：1、本程序不仅能计算出最短路径的距离，而且能够输出距离最短时的详细路径信息。
路径信息清晰、明了，信息量大。
不足之处是本程序只能用于无向图。
2、程序中的cum2011B.xls文件是2011年全国大学生数学建模竞赛B题的附录文件（没有对原文件进行任何改动）。
3、本程序的路径信息整理段时间开销较大（约6~15S左右，具体视计算机配置而定），因此如果不需要详细路径时完全可以不要该段程序；clear;clc;tic;%开始计时，与最后的toc一起计算程序运行的时间。
%数据预处理程序段xy=xlsread('D:\我的文档\桌面\cum.xls',1,'B2:C93');%存放位置坐标allnet=xlsread('D:\我的文档\桌面\cum.xls',2,'A2:B929');%存放路线信息N=size(xy,1);%计算结点个数I=99999;%作为无穷大使用n=size(allnet,1);j=1;for i=1:n %提取A区路线if (allnet(i,1)<=N)&&(allnet(i,2)<=N)net(j,:)=allnet(i,:);j=j+1;endendnline=size(net,1);%计算A区路线条数adj=zeros(N);%创建A区相邻节点间的距离矩阵for i=1:N %初始化对角线元素赋值为0，其他元素赋值为无穷大。
for j=1:Nif i~=jadj(i,j)=I;endendendfor i=1:nline %计算相邻节点间的直接距离。
adj(net(i,1),net(i,2))=((xy(net(i,1),1)-xy(net(i,2),1))^2+(xy(net(i,1),2)-xy(net(i,2),2))^2)^0.5;adj(net(i,2),net(i,1))=adj(net(i,1),net(i,2));end%数据预处理完毕%Dijkstra算法主程序开始mark(1:N)=1;%做标记用，取值为1表示该节点还未被标记p=int8(zeros(N));%储存从s到i的最短路径中i点的前一点dis=zeros(N);%储存任意两点之间最短路径的距离for i=1:N %初始化对角线元素赋值为0，其他元素赋值为无穷大。
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Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。
它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。
以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。
一、算法步骤
1. 初始化
- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。
- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。
2. 更新
- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。
- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。
二、算法实例
为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。
假设有以下带权重的图，起始顶点为A：
顶点 A B C D E
A 0 3 4 ∞ ∞
B ∞ 0 ∞ 1 7
C ∞ 4 0 2 ∞
D ∞ ∞ ∞ 0 5
E ∞ ∞ ∞ ∞ 0
表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。
我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
1. 初始化
起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的
最短路径长度为∞。
将A加入已访问的顶点集合。
2. 更新
选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。
更新A到C和A到D的最短路径长度。
3. 重复更新
依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。
通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：
顶点 A B C D E
最短路径长度 0 3 4 5 9
三、总结
通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。
Dijkstra算法是一种经典的最短路径算法，它在网络路由和图像处理等领域有着广泛的应用。
希望读者通过本文的
介绍能够更加深入地理解Dijkstra算法，并在实际问题中灵活运用。
Dijkstra算法是图论中一种经典的最短路径算法，它被广泛应用于网络路由、图像处理、交通运输等领域。
通过计算图中给定顶点到其他顶点的最短路径长度，Dijkstra算法能够为我们提供在节点之间快速有效的路径。
在实际应用中，了解Dijkstra算法的步骤并通过例题加深理解是非常重要的。
Dijkstra算法的初始化是非常关键的一步。
我们需要设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大，并将起始顶点加入已访问的顶点集合。
这个步骤为后续的更新提供了基础，确保了算法正常的进行。
更新是Dijkstra算法中的核心步骤。
我们不断地从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合，并更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度。
通过对路径长度的不断更新，我们逐步确定起始顶点到各顶点的最短路径长度，确保得到正确的结果。
Dijkstra算法的执行是一个重复更新的过程，直到所有顶点都被访问过。
在这个过程中，我们需要确保每一步都得到了正确的最短路径长度，并进行对应的更新。
只有通过完整的执行过程，我们才能得到正确的最短路径长度的结果。
接下来，我们通过一个经典的Dijkstra算法例题来进一步加深对该算
法的理解。
假设有以下带权重的图，起始顶点为A：
```
A B C D E
A 0 3 4 ∞ ∞
B ∞ 0 ∞ 1 7
C ∞ 4 0 2 ∞
D ∞ ∞ ∞ 0 5
E ∞ ∞ ∞ ∞ 0
```
我们以此图为例，按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
1. 初始化
起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。
将A加入已访问的顶点集合。
2. 更新
选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。
更新A到C和A到D的最短路径长度。
3. 重复更新
依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。
通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：
```
A B C D E
最短路径长度 0 3 4 5 9
```
在这个实例中，我们清晰地展现了Dijkstra算法的具体执行过程，并获得了从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
这个例题的详细推演，可以帮助读者更好地理解Dijkstra算法在实际应用中的运行原理。
Dijkstra算法的步骤简单明了，通过不断的路径更新，能够为我们提供起始顶点到其他顶点的最短路径长度。
这种算法为我们解决网络路由、交通规划等实际问题提供了有力的工具和支持。
鉴于Dijkstra算法的重要性和广泛应用，我们希望读者通过本文对算
法的步骤和例题的介绍，能够更加深入地理解和掌握该算法，在实际
问题中能够灵活运用，并且为相关领域的发展和应用做出积极的贡献。