量子力学知识点总结
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
量子力学基础 知识点
量子物理知识点小结一、普朗克能量子假说1、黑体辐射的实验定律2、普朗克能量子假说2)维恩位移定律：T λm = b1)斯特藩-玻耳兹曼定律： M (T ) = σT 4对频率为ν 的谐振子, 最小能量 ε 为: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,3,2,εεεεn νh =ε谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍，二、爱因斯坦光量子假说1、光量子假说 W m h νm+=221v 2、光电效应方程： 光具有“波粒二象性”光子的动量： λhp =光子的能量： h ν=ε碰撞过程中能量守恒： 2200mc h νc m h ν+=+v m e h e h n +=λλ00碰撞过程中动量守恒：波长的偏移量:)cos 1(0θλλλλ-=-=∆c nm 00243.0m 10432120=⨯⋅≈=-cm h c λ康普顿波长: 三、康普顿效应（X 射线光子与自由电子碰撞）四、玻尔氢原子理论一切实物粒子都具有波粒二象性 2)角动量量子化条件假设； 1)定态假设； 3)频率条件假设h νmc E ==2λh m p ==v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆⋅∆≥∆⋅∆≥∆⋅∆222 z y x p z p y p x 2≥∆⋅∆t Ε五、德布罗意假说六、不确定性关系：七、波函数2、波函数满足的条件1、波函数的统计意义1)归一化条件t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的概率， 与波函数模的平方成正比。
*2),(ΨΨt r ΨdVdW w === 概率密度： 12=⎰⎰⎰dV Ψ粒子在整个空间出现的总概率等于 1 , 即： 2)标准化条件：单值、连续、有限一维情况： 1)(2=⎰+∞∞-dx x Ψ八、定态薛定谔方程1、定态：若粒子的势能 E P (x ) 与 t 无关，仅是坐标的函数， 微观粒子在各处出现的概率与时间无关2、一维定态薛定谔方程： 0)()()(=-+x E E 2m dx x d P 222ψψ九、氢原子,3,2,1,1)8(22204=⋅-=n nh me E n ε1、能量量子化和主量子数n 2、角动量量子化和角量子数l)1(2)1(+=+=l l h l l L π1,,3,2,1,0-=n l 3、角动量空间量子化和磁量子数m ll m m L l l z ±±±==,,2,1,0, 4、自旋角动量和自旋量子数 21,)1(=+=s s s S 21,±==s s z m m S十、原子的电子壳层结构1、原子中电子状态由四个量子数(n 、l 、m l 、 m s )决定用 K , L , M , N , O , P , …. 表示 2、原子的壳层结构主量子数 n 相同的电子属于同一壳层壳层n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层 支壳层 用 s , p , d , f , … , 表示l = 0， 1 , 2 , 3 , … , n －13、原子的壳层结构中电子的填充原则1) 泡利不相容原理2) 能量最小原理。
关于量子力学的知识点总结
关于量子力学的知识点总结量子力学是现代物理学的一个重要分支，研究微观世界的行为规律。
它涉及到很多的知识点，下面将对其中的一些重要知识点进行总结。
1. 波粒二象性：量子力学中的基本粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波动的性质。
例如，电子、光子等粒子既可以像粒子一样具有位置和动量，又可以像波动一样具有频率和波长。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性的存在，无法同时准确测量粒子的位置和动量，因为测量其中一个属性会对另一个属性造成不确定性。
这是因为波粒二象性使得微观粒子的位置和动量不能同时具有确定值。
3. 波函数：在量子力学中，波函数描述了一个量子系统的状态，其平方表示在不同位置寻找粒子的概率。
波函数形式为ψ(x)，其中x代表位置。
4. 叠加原理：当两个或多个波函数重叠时，它们可以相互叠加形成新的波函数。
这种叠加可以导致干涉现象，即波的相位相加或相减，形成波纹增强或波纹消除的现象。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是描述量子系统随时间演化的基本方程。
它能够确定系统的波函数随时间的变化，并给出粒子的能量以及其他物理量。
6. 量子态与态矢量：量子力学描述粒子的态称为量子态，用态矢量表示。
一个粒子的量子态是一个复数的线性组合，它确定了粒子在不同物理量上的测量结果的概率。
7. 纠缠：当两个或多个粒子通过量子力学的相互作用使得它们的量子态互相关联时，就产生了纠缠现象。
纠缠态的特点是不能将其视为单个粒子的状态，而必须将其作为整个系统的态来描述。
8. 可观测量与算符：在量子力学中，物理量的观测结果用可观测量表示。
每个可观测量都有对应的算符，通过作用于波函数求得其期望值。
例如，位置可观测量对应位置算符，动量可观测量对应动量算符。
9. 自旋：自旋是粒子特有的内禀角动量，与其自身特性相关。
自旋可能采取离散值，如电子的自旋即为1/2。
10. 荷质比：荷质比是粒子带电性质与其质量的比值。
根据量子力学理论，荷质比具有量子化的性质。
量子力学知识点总结
从第一激发态转变到基态所放出的能量为：
n=3
E2 E1 13.21013 3.31013[J]
n=2
9.91013[J] 6.2[MeV]
n=1
讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般 就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。
3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态：
Uc[V]
(2) 由图求得直线的斜率为 0.5
K 3.911015[V s]
1 2
mv
2 m
eUc
eKv
eU0
对比上式与
1 2
mv
2 m
hv
A
0.0
4.0
5.0
6.0
1014Hz
图 Uc和 的关系曲线
有 h eK 6.261034[J s]
~ 1 Eh El c hc
~
1 R( n2
1 m2 )
里德伯常数：
R
mee4
8
2 0
h3c
1.097373
107
m
1
3、 四个量子数：描述原子中电子的量子态。
（1） 主量子数 n 1,2,3,4, ，它大体上决定原子
中电子的能量。
En
me4
(4 0 )2
pn2 2m
22 2ma 2
n2
n= 1,2,3…
(2) 由上式，质子的基态能量为(n=1):
E1
π 22 2m pa2
π2 1.051034 2 21.67 1027 1.01014
量子力学知识点
量子力学知识点量子力学是20世纪初发展起来的一种物理学理论，它主要描述微观粒子如原子、电子等的行为。
量子力学的核心概念包括波函数、量子态、不确定性原理、量子纠缠等。
以下是量子力学的一些主要知识点总结：1. 波函数：量子力学中，一个粒子的状态由波函数描述，波函数是一个复数函数，其模的平方给出了粒子在某个位置被发现的概率密度。
2. 薛定谔方程：这是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。
薛定谔方程是量子力学的核心，它是一个偏微分方程，能够预测粒子的行为。
3. 量子态：量子系统的状态可以由波函数表示，这些状态是离散的，并且遵循一定的量子数规则。
4. 量子叠加原理：量子系统可以同时处于多个可能的状态，这些状态的叠加构成了系统的总状态。
5. 不确定性原理：由海森堡提出，指出无法同时精确测量粒子的位置和动量。
这是量子力学与经典力学的一个根本区别。
6. 量子纠缠：两个或多个粒子可以处于一种特殊的相关状态，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变也会立即影响到另一个粒子的状态。
7. 量子隧道效应：粒子有可能穿过一个经典力学中不可能穿越的势垒，这是量子力学中的一个非直观现象。
8. 波粒二象性：量子力学中的粒子既表现出波动性也表现出粒子性，这种性质由德布罗意提出。
9. 量子力学的诠释：包括哥本哈根诠释、多世界诠释等，不同的诠释试图解释量子力学中观察到的现象。
10. 量子计算：利用量子力学原理进行信息处理的技术，量子计算机能够执行某些特定类型的计算任务，速度远超传统计算机。
11. 量子纠缠与量子通信：量子纠缠是量子通信的基础，可以实现安全的信息传输。
12. 量子退相干：量子系统与环境相互作用，导致量子态的相干性丧失，是量子系统向经典系统过渡的过程。
13. 量子场论：将量子力学与相对论结合起来，描述粒子的产生和湮灭过程。
14. 量子信息：研究量子系统在信息处理中的应用，包括量子密码学、量子通信等。
15. 量子测量：量子力学中的测量问题涉及到波函数的坍缩，即测量过程会导致量子态的不确定性减少。
量子力学知识点
量子力学知识点量子力学是描述微观世界中物质和能量行为的理论框架，是现代物理学中最重要的分支之一。
早在20世纪初，物理学家们就开始探索微观世界的奥秘，并提出了量子力学的理论基础。
本文将为您介绍一些关于量子力学的基本知识点。
一、光的粒子性和波动性在经典物理学中，光被视为电磁波，具有波动性质。
然而，在实验中发现光也具有粒子性，即光子。
根据光的粒子性和波动性，量子力学引入了波粒二象性的概念。
二、波函数和不确定原理波函数是量子力学中用来描述粒子行为的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、能量等信息。
根据不确定原理，无法同时准确确定粒子的位置和动量，这是量子力学中的基本原理之一。
三、叠加原理和量子纠缠量子力学中的叠加原理指出，处于未观测状态的粒子可以同时存在于多个可能状态之中。
当进行观测时，波函数会坍缩为某一确定状态。
这种现象被称为量子纠缠，即两个或多个粒子之间的状态相互依赖，无论它们之间有多远。
四、量子力学的定态和非定态在量子力学中，定态表示粒子处于稳定状态，其波函数不随时间变化。
非定态则表示粒子的状态会随时间演化。
通过薛定谔方程，我们可以描述粒子在不同状态下的演化过程。
五、测量和观测量子力学中的测量和观测与经典物理学中有所不同。
测量过程会导致波函数坍缩，粒子的状态被确定下来。
而在观测之前，粒子处于叠加态，可能处于多个不同状态。
六、量子力学的应用量子力学的应用涉及到许多领域。
在材料科学中，量子力学可以解释材料的电子结构和导电性质。
在计算机科学中，量子计算机的发展有望在处理复杂问题上实现超高速计算。
此外，量子力学还在量子通信、量子密码等领域有重要应用。
七、量子纠缠和量子隐形传态量子纠缠是量子力学中的一个重要概念，也是量子计算和量子通信的基础。
量子隐形传态则指通过纠缠态将信息传递到另一个位置，实现“隐形传输”。
结语量子力学作为一门复杂而深奥的学科，对我们理解微观世界的本质和开展科学研究具有重要意义。
本文对量子力学的一些基本知识点进行了梳理和介绍，希望能对读者理解量子力学产生帮助，并引发对这一领域更深入的探索与思考。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
高等量子力学考试知识点
1、 黑体辐射：任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体 上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
如果一个物体能吸收投射到它表面上的 全部辐射，即吸收系数为 1 时，则称这个物体为黑体。
光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量 hv 的过程就是 发射或吸收光子的过程。
2、 光电效应（条件）：当光子照射到金属的表面上时，能量为 hv 的光子被电子吸收。
12临界频率 v 0 满足2 = ℎ −0 = 0⁄ℎ（1）存在临界频率 v 0，当入射光的频率 v<v 0 时，无论光的强度多大，都无光电 子逸出。
只有在 v≥v 0 时，即使光的强度较弱，但只要光照到金属表面上，几乎 在 10-9s 的极短时间内，就能观测到光电子；（2）出射的光电子的能量只与入射光的频率 v 有关，而与入射光的强度无关； （3）入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上 逸出的光电子的数目。
3、由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有2 = 2 4 + 2 2C 是光速， m 0 是光子的静质量，为零，因此得到光子的能量和动量的关系是=4、康普顿效应的推导（ P7）：康普顿效应还证实： 在微观的单个碰撞事件中， 能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。
5、薛定谔方程：6、概率流守恒定律概率流密度 7、一维无限深势阱（P31）0 2= − ( ∗ − ∗ )+ ∇ ∙ =ℎ22 +ℎ0 −=2ℎ8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从（2.4.6）式还可证明，当 n 分别是奇数和偶数时，满足{( −) = ( ) （n 为奇数）( −) = −( ) （n 为偶数）即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是 x 的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。
物理学的量子力学知识点总结
物理学的量子力学知识点总结量子力学是现代物理学的重要分支，它探讨了微观领域中物质和能量的行为规律。
在本文中，我们将对量子力学的一些基本知识点进行总结。
1. 波粒二象性量子力学的一个核心概念是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质。
例如，光既可以被视为波动的电磁波，也可以被视为由光子组成的粒子流。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念，由海森堡提出。
它表明，在测量某个量（如位置和动量）时，我们无法同时精确地知道这两个量的值。
这意味着，精确测量一个粒子的位置将导致动量的不确定性增大，反之亦然。
3. 波函数和量子态波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它包含了关于粒子位置、动量和能量等信息。
根据波函数的模的平方，我们可以计算出粒子在某个位置上的概率分布。
量子态则是描述粒子整体状态的概念，可以用波函数来表示。
4. 叠加原理和干涉叠加原理指出，当存在多个可能的量子态时，系统可以同时处于这些态的叠加态。
这意味着，微观粒子可以同时处于多个位置或状态。
干涉现象是叠加原理的重要应用，它描述了波动性质导致的波的叠加和相消的现象。
5. 测量和观测量子力学中的测量过程是一个重要的概念。
测量会导致系统从叠加态坍缩到一个确定的态，这被称为量子态的坍缩。
观测结果是测量的物理量的一个确定值，它是通过与系统相互作用来得到的。
6. 量子纠缠量子纠缠是一种特殊的量子态，其中两个或多个粒子之间的状态是相互关联的。
当两个纠缠粒子之一发生测量时，另一个粒子的状态会立即坍缩，无论它们之间的距离有多远。
这种纠缠关系被广泛应用于量子通信和量子计算领域。
7. 施特恩-盖拉赫实验施特恩-盖拉赫实验是对量子力学基本原理的重要验证。
该实验通过将束缚电子通过磁场进行分离，观察到了电子的自旋量子态分裂成两个不同方向的束缚束缚态，从而证明了电子具有自旋的概念。
8. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了量子态随时间演化的规律。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==v v h3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()i p r Et Aeψ⋅-=v vh5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψv 的统计解释2(,)r t d t r ψτv v 表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理： 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂h vh 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J ti J mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψv v h 注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学知识点总结
1、光子的能量和动量是：E=ℎ v=ћw、p=ℎvn/c=ℎn/λ=ћk2、量子现象：由以上两个公式可以看出，在宏观现象中，h和其他物理量相比较可以略去，因而辐射的能量可以连续变化，因此凡是h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
3、量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h的整数倍4、量子化条件的推广：∮pdq=(n+1/2)ℎ, n是0和正整数，称为量子数。
5、德布罗意公式：E=ℎv=ћw、p=ℎ/λn=ћk6、波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成比例。
dw(x,y,z,t)= C∣Φ（x,y,z,t）∣²dτ7、态叠加原理：对于一般的情况，如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2(c1,c2是复数)，也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理。
态叠加原理还有一个含义：当粒子处于态Ψ1和态Ψ2的线性叠加态Ψ时，粒子时既处在态Ψ1又处在态Ψ2.注意：态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线性叠加，而不是概率的叠加8、波函数的标准条件：有限性、连续性、导致可测量的单值性9、什么是定态定态：体系处于Ψ（r,t）=ψ(r)e~-iEt/ћ所描写的状态时，能量具有确定性，这种状态称为定态。
Ψ（r,t）=ψ(r)e~-iEt/ћ称为定态波函数10、定态薛定谔方程：−ћ²/2m▽²ψ+U(r)ψ=Eψ11、本征值方程：ĤΨ=EΨ,E称为算符Ĥ的本征值,Ψ称为算符Ĥ属于本征值E的本征函数12、薛定谔波动方程的一般解可以写为这些定态波函数的线性叠加：13、束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态14、隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象15、厄米算符：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。
算符F̂满足下列等式：∫ψ∗F̂φdx=∫(F̂ψ)∗φdx16、力学量与算符的关系的一个基本假设：量子力学中，表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系当体系处于波函数ψ（x）所描写的状态时，测量力学F所得的数值，必定是算符F^的本征值之一，测得λn的概率是|Cn∣²17、对易与不对易的关系：如果两个算符F̂和Ĝ，有一组共同本征函数φn而且φn组成完全系，则算符F̂和Ĝ对易。
量子力学复习资料
量⼦⼒学复习资料第⼀章知识点：1. ⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体.2. 处于某⼀温度 T 下的腔壁，单位⾯积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与⿊体的绝对温度 T 有关⽽与⿊体的形状和材料⽆关。
4. 光电效应---光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率⼤于某⼀定值ν0时，才有光电⼦发射出来.若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有电⼦产⽣.光的这⼀频率ν0称为临界频率。
2.光电⼦的能量只是与照射光的频率有关，与光强⽆关，光强只决定电⼦数⽬的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当⼊射光的频率⼤于ν0时，不管光有多么的微弱，只要光⼀照上，⽴即观察到光电⼦（10-9s ）6. 光的波粒⼆象性：普朗克假定a.原⼦的性能和谐振⼦⼀样，以给定的频率ν振荡;b.⿊体只能以 E = h ν为能量单位不连续的发射和吸收能量，⽽不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7. 总结光⼦能量、动量关系式如下：把光⼦的波动性和粒⼦性联系了起来8.波长增量 Δλ=λ′–λ随散射⾓增⼤⽽增⼤.这⼀现象称为康普顿效应.散射波的波长λ′总是⽐⼊射波波长长（λ′ >λ）且随散射⾓θ增⼤⽽增⼤。
9.波尔假定：1.原⼦具有能量不连续的定态的概念. 2.量⼦跃迁的概念. 10.德布罗意：假定：与⼀定能量 E 和动量 p 的实物粒⼦相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = h ν ? ν= E/h ? P = h/λ ? λ= h/p ? 该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：ψde Broglie 关系：ν= E/h ?ω = 2πν= 2πE/h = E/ λ= h/p ?k = 1/ = 2π /λ = p/n k h k n n h n C h n C E p h E ==========πλπλνων22其中波长。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: 2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅νh =εh νmc E ==2λh m p ==v有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值既然 表示 粒子出现在点 0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ2|(,,)|x y z ψ2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y zτ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __，由概率论，有 又如，势能V是 的函数：，其平均值由概率论，可表示为 再如，动量 的平均值为： 为什么不能写成因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。
研究生量子力学知识点归纳总结
研究生量子力学知识点归纳总结量子力学是现代物理学的基石之一，其研究对象为微观世界中的微粒。
作为研究生学子，掌握量子力学的关键知识点对于进一步深入研究和应用具有重要意义。
本文将对研究生量子力学的知识点进行归纳总结，以便学子们能够更好地理解和运用量子力学的基本概念和理论。
一、波粒二象性1. 波动性与粒子性的基本概念波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性又表现出粒子性的特点。
波动性体现为粒子的波函数，而粒子性则表现为粒子的位置和动量等可测量的物理量。
2. 德布罗意假设德布罗意假设指出，所有物质粒子，无论是宏观还是微观，都具有波动性。
其核心思想是将物质粒子的动量与波长相联系，可以通过波动性来解释一系列的实验现象。
二、量子力学的数学基础1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述了物质粒子的波函数随时间的变化规律。
薛定谔方程是一个协调波动性与粒子性的方程，体现了波函数在空间中的传播和演化。
2. 波函数与概率解释波函数是描述微观粒子状态的数学函数，含有物质的波动性信息。
通过波函数的模的平方，可以得到微观粒子在空间中出现的概率密度分布。
三、量子力学的基本原理1. 粒子的定态与态矢量量子力学中，粒子的波函数可以表示为多个定态的叠加，每个定态都对应着一个特定的能量。
态矢量是描述粒子状态的数学工具，用于表示粒子处于某一定态下的状态信息。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，指出了测量一个粒子的位置和动量的不确定度之间的关系。
简而言之，通过测量粒子的位置，其动量的确定性将降低，而通过测量动量，其位置的确定性将降低。
四、量子力学的应用1. 简谐振子简谐振子是量子力学中的一个重要模型，可以用于描述原子中的电子、光子的运动状态等。
其基态和激发态能级之间的能量差与频率有关，为量子力学应用提供了基础。
2. 粒子的相互作用量子力学可以描述粒子之间的相互作用，并具备解释分子结构、原子核稳定性等问题的能力。
它通过研究波函数的变化，揭示了微观粒子的交互规律。
生僻知识点总结
生僻知识点总结量子力学是20世纪最重要的科学理论之一，在物理学、化学、材料科学和信息技术等领域取得了巨大的成就。
本文将对量子力学的基本概念、发展历程以及应用进行系统的总结。
一、量子力学的基本概念1. 波粒二象性20世纪早期，科学家们发现了微粒在一些实验中表现出波动性质，而在另一些实验中表现出粒子性质。
经典力学无法解释这种现象，因此量子力学提出了波粒二象性概念，即微粒既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
2. 不确定性原理根据量子力学的不确定性原理，无法准确测定微观粒子的位置和动量。
即使在完美的实验条件下，我们也无法同时准确测定一个粒子的位置和动量，这是量子世界的固有特性。
3. 波函数在量子力学中，波函数是描述微观粒子状态的数学工具。
波函数的平方代表了粒子出现在某一位置的概率，而波函数本身则包含了粒子的全部信息。
波函数的演化遵循薛定谔方程，描述了粒子在外势场中的运动规律。
4. 波粒对应量子力学中，波动方程和粒子方程之间存在着对应关系，即波动方程描述了粒子的波动性质，而粒子方程描述了粒子的运动规律。
薛定谔方程就是典型的波动方程，描述了微观粒子的波动性质；而德布罗意方程则是粒子方程，描述了波粒二象性中粒子的动力学特性。
二、量子力学的发展历程1. 量子力学的萌芽量子力学的开始可以追溯到19世纪末的黑体辐射问题。
玻尔基于普朗克的量子假设对黑体辐射的能量分布进行了解释，提出了能级分立的概念，为量子力学的诞生奠定了基础。
2. 波恩和海森堡的矩阵力学1925年，波恩和海森堡分别提出了矩阵力学和矩阵力学的基本原理。
他们认为运动的粒子是不能同时具有确定的位置和动量的，而是以一种非常规的方式运动。
这两种力学的理论形式不同，但给出的结果是等价的，进一步推动了量子力学的发展。
3. 薛定谔的波动力学1926年，薛定谔提出了波动力学，这被认为是现代量子力学的基石。
他通过薛定谔方程描述了微观粒子的波动性质，成功解释了原子的能级结构和光谱现象，为量子力学的发展奠定了坚实的理论基础。
量子力学知识点总结
量子力学知识点总结量子力学是20世纪初建立的一种物理学理论，它描述了微观世界中粒子的行为，对于理解原子和分子的结构和性质至关重要。
量子力学的提出不仅改变了我们对自然规律的认识，更为科技的发展和应用带来了深远的影响。
本文将对量子力学的基本概念、发展历程、重要实验和应用进行总结。
1. 基本概念量子力学的建立是对经典物理学的一次革命性挑战。
在经典物理学中，粒子被认为是具有确定位置和动量的点状物质，在运动过程中遵循牛顿的经典力学定律。
然而，20世纪初的实验结果却显示了微观世界中粒子的行为与经典物理学的预期有所不同。
最典型的例子是黑体辐射实验和光电效应实验，它们无法用经典物理学的理论解释。
为了解决这些实验结果的困扰，物理学家们提出了一系列新的概念和理论。
其中最重要的是惠尔的波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，又可以表现为波，具有双重性质。
这一概念的提出为理解微观世界的行为提供了新的思路。
另一个重要概念是量子化。
根据量子化理论，微观粒子的能量和动量是量子化的，即只能取一系列特定的值，而不能连续取值。
这一概念的提出进一步解释了一些实验结果，如光谱线的离散性。
2. 发展历程量子力学的发展历程可以分为几个阶段。
最早的是波动力学的提出，它是基于波动方程来描述微观粒子的行为。
波动力学最早应用于原子结构的研究，成功地解释了氢原子的光谱线。
另一个重要的发展是矩阵力学的建立，矩阵力学是基于算符代数而不是波函数的形式，它提供了一种不同的描述微观粒子行为的视角。
最终，波动力学和矩阵力学被统一为量子力学，由狄拉克和薛定谔等人提出了薛定谔方程，成为现代量子力学的基础。
3. 重要实验量子力学的建立离不开一系列重要的实验。
其中最具代表性的实验之一是双缝实验。
在双缝实验中，粒子通过两个狭缝后在屏幕上形成干涉条纹，类似于光的干涉现象。
这一实验结果表明微观粒子也具有波动性质，支持了波粒二象性的假设。
其次是光电效应实验，它表明光子的能量具有量子化的特性，与经典物理学的预期不同。
物理量子力学知识点速记
物理量子力学知识点速记1. 波粒二象性：量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
实验观测到的粒子行为有时像粒子，有时又像波动。
2. 波函数：波函数是量子力学中对一个系统状态的数学描述。
波函数的平方代表了在不同位置上发现粒子的概率。
3. 量子叠加原理：量子力学中，一粒子可以存在于多个状态的叠加态中，直到被观测或测量时才会坍塌成确定的状态。
4. 测量：量子力学中的测量不同于经典物理的测量。
测量会导致系统的状态坍塌成一个确定的值，而不是连续的测量结果。
5. 不确定性原理：由于测量会造成波函数坍塌，量子力学中存在不确定性原理，即无法同时精确测量粒子的位置和动量。
6. 干涉：量子力学中，波函数可以产生干涉现象，即波函数叠加导致的波峰和波谷的相遇。
著名的双缝干涉实验就是典型的例子。
7. 纠缠：两个或多个粒子之间可以产生纠缠态，即它们的状态是相互关联的，一方的状态改变会立即影响到其他粒子的状态，无论它们之间有多远的距离。
8. 原子：原子是物质的基本构建单位，由核和绕核运动的电子组成。
量子力学成功解释了原子的结构和性质。
9. 光子：光子是光的基本单位，也是电磁波的量子。
光子的能量和频率成正比。
10. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述了系统的波函数随时间的演化。
它是对经典力学中的运动方程的量子版本。
11. 哥本哈根解释：哥本哈根解释是对量子力学中测量和观测问题进行的解释。
它强调了量子世界中的概率性和不确定性。
12. 自旋：自旋是粒子的一种内在性质，类似于粒子的旋转。
自旋决定了粒子的很多性质，如磁性和角动量。
13. 跃迁：原子或分子中的电子在不同能级之间的能量差跃迁。
跃迁会伴随辐射或吸收特定频率的光。
14. 微观世界：量子力学是研究微观世界的物理学，描述了分子、原子和基本粒子的行为。
15. 康普顿散射：康普顿散射是光子与物质中自由电子碰撞后的散射现象，从而证明了光的粒子性。
16. 德布罗意波：德布罗意提出了与物质粒子相关的波动性，即波粒二象性的基础。
量子力学知识点归纳
量子力学知识点归纳
粒子性质
- 波粒二象性：微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质。
- 粒子的量子态：用波函数描述粒子的状态。
- 粒子的叠加态：在量子力学中，粒子可以同时处于多个不同状态的叠加态。
波函数与测量
- 波函数的基本性质：波函数必须满足归一化和连续性条件。
- 算符与期望值：量子力学中的物理量用算符表示，其期望值对应其在该态下的平均值。
- 不确定性原理：海森堡不确定性原理表明，无法同时准确知道粒子的位置和动量。
Schrödinger 方程
- 定态和非定态：物理系统可以处于定态或非定态，定态由定
态方程描述，非定态由非定态方程描述。
- 离散能级和连续能谱：不同物理系统的能级结构可以是离散
的也可以是连续的。
- 波函数的时间演化：波函数随时间的演化由薛定谔方程描述。
量子力学中的操作
- 叠加和干涉：量子力学中的粒子可以叠加在一起，并在经典
中无法解释的方式上产生干涉效应。
- 量子纠缠：两个或多个粒子之间的纠缠状态是量子力学的独
特现象，纠缠态可以表现出非常特殊的相关性。
- 测量与波函数坍缩：测量一个物理量会导致波函数坍缩到一
个确定的状态，而非叠加态。
以上是量子力学知识点的一个完整归纳，展示了该领域的基本
概念和特性。
深入研究这些知识点可以更好地理解和应用量子力学。
总结量子力学知识点
总结量子力学知识点量子力学的基本概念量子力学的基本概念包括量子化、波粒二象性、不确定性原理等。
量子化是指在量子力学中，能量不是连续的，而是呈现为离散的能级。
在经典力学中，能量是连续的，可以取任意值，而在量子力学中，能量是量子化的，只能取特定的离散值。
这一现象对于原子、分子等微观粒子的行为有着重要影响，如玻尔模型中的电子能级。
波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
根据德布罗意假设，所有物质都具有波动性质，且波长和动量之间存在着一种关系。
实验表明，电子、中子等微观粒子都可以表现出干涉、衍射等波动现象，这证实了它们具有波动性质。
而在实验中，这些微观粒子又具有粒子性质，如能够具有确定的位置和动量。
不确定性原理是由海森堡在1927年提出的，它指出对于某一微观粒子，无论是位置还是动量，都无法同时确定其精确数值，只能得到它们的概率分布。
这一原理揭示了微观世界的一种本质特征，也为量子力学的发展打下了基础。
量子力学的发展历程量子力学的发展历程可以分为早期量子力学、矩阵力学和波动力学、量子力学的标准理论等阶段。
早期量子力学是在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、玻尔等人提出的，他们试图解决原子光谱、黑体辐射等实验事实所暴露出的问题。
其中，普朗克提出了能量量子化的假设，爱因斯坦用光的波粒二象性解释了光电效应，而玻尔运用量子条件解释了氢原子光谱。
这些理论为量子力学的建立提供了坚实的基础。
矩阵力学和波动力学是量子力学的两大分支，分别由海森堡和薛定谔于1925-1926年提出。
在矩阵力学中，物理量用矩阵来描述，而波动力学则是用波函数描述各种物理量。
这两者虽然表述方式不同，但实质上是等价的。
这一阶段的成果进一步完善了量子力学的理论框架。
量子力学的标准理论是在1926-1927年由海森堡、薛定谔等人提出的，这一时期形成了量子力学的标准形式。
其中，海森堡提出了量子力学的基本原理，即不确定性原理，而薛定谔提出了薛定谔方程。
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1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子
4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大
5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在
6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。
按照这种解释，描写粒子的波是几率波
7波函数的归一化条件 1),,,( 2
⎰∞
=ψτd t z y x
8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。
定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。
⑵粒子几率流密度不随时间改变。
⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变
9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
10厄密算符的定义：如果算符
F ˆ满足下列等式
() ˆ ˆdx F dx F
φψφψ*
*⎰⎰=，则称F ˆ为厄密算符。
式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。
厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。
简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。
13量子力学中力学量运动守恒定律形式是：
01=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∂∂=H F i t F dt F d ˆ,ˆ
量子力学中的能量守恒定律形式是01=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=H H i dt
H d ˆ,ˆˆ
14
15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。
17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数
的近似求解方法。
求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)
0()0(
倍
18索末非提出的广义量子化条件是pdq n
=⎰ 19一粒子有波函数由()(),,i px x t c p t e dp ψπ∞-∞=⎰描写，则(),c p t = (),i
px x t e dx ψπ∞--∞
⎰
20粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为()
222H U r m =-∇+ 21量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。
22、、厄密算符的本征值是实数，特点是本征矢是正交、归一和完备的。
23束缚态、简并态和偶宇称态？在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称（6分）
24全同玻色子的波函数特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
全同玻色子的波函数是对称波函数。
两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[]
)()()()(2
1
12212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=
数
25简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准
关系。
设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。
以F 、G 和k 依次表示F
ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF
ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆，
则有
4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。
时间t 和
能量E 之间的测不准关系为：2
≥
∆⋅∆E t 坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系为：
2ˆ ≥∆⋅∆x p
x
3德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关
系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在
x —dx 范围内的几率 。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：
[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描
写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符F
ˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E i
n n e
x t x
-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S
，它在空间任何方向上的投影
只能取两个数值为： 2
±）
利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
z
y x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =
证明：
]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z y
x p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z p
y ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p
y +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z p
y +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p
yz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x p
i y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y p
x i -= z
L i ˆ =。