函数的奇偶性问题解决评价单1
“函数的奇偶性”教学实录与感悟
“函数的奇偶性”教学实录与感悟函数的奇偶性是高中数学中涉及比较重要的一个概念，它是描述函数性质的一种方式，也是解决数学问题的重要方法之一、在教学过程中，我发现学生对于函数的奇偶性往往感到困惑，因此我在教学实践中尝试了一些方法，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
以下是我的教学实录与感悟。
教学实录：一、引入在开始教学之前，我通常会引入一些生活中的例子，让学生了解函数的奇偶性是如何存在于我们周围的。
比如，我会让学生思考一些自然现象或物体的特点是奇数还是偶数，激发学生的兴趣和想象力。
二、定义接着我会向学生介绍函数的奇偶性的定义，以及如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。
我会让学生通过观察函数的图像或算出函数的奇偶性来认识这一概念，并带领他们实际操作一些例题，加深他们的理解和记忆。
三、性质在介绍完函数的奇偶性的定义后，我会向学生讲解函数的奇偶性的性质，包括奇函数的性质、偶函数的性质以及两个奇函数相加、两个偶函数相加的规律。
我会通过具体的例子来说明这些性质，并鼓励学生独立思考和验证。
四、应用最后，我会与学生一起解决一些实际问题，应用函数的奇偶性来解决实际问题，让学生感受到函数的奇偶性在解决数学问题中的重要性和实用性。
我会鼓励学生提出自己的问题和想法，引导他们运用函数的奇偶性来解决不同类型的问题。
教学感悟：通过以上的教学实录，我发现学生在理解函数的奇偶性时，往往存在以下几个问题：1.定义理解不清晰：学生对于奇函数和偶函数的定义理解不清晰，容易混淆两者的概念。
因此在教学中我会着重强调奇函数和偶函数的定义，让学生明确两者的区别。
2.性质记忆不牢固：学生在学习函数的奇偶性时，往往容易忽略函数的奇偶性的性质，导致无法正确应用这些性质来解决问题。
因此我在教学中会加强性质的讲解和演示，帮助学生牢固掌握函数的奇偶性的性质。
3.应用能力欠缺：学生在学习函数的奇偶性时，往往缺乏实际应用这一概念解决问题的能力，容易在数学计算上犯错误。
函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一 函数奇偶性的判断万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1) 22()99f x x x =--(2) 1()(1)1x f x x x -=++(3)24()33x f x x -=+-.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-090922x x 得3±=x ，所以函数的定义域为{}33，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{}33，-，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-99992222第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式011≥+-xx得11≤<-x ，所以函数的定义域为(]11，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(]11，-，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-033042x x 得02<≤-x 或20≤<x ，所以函数的定义域为[)⋃-02，或(]20， 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[)⋃-02，或(]20，，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()x f xx x x x f -=--=---=-2244第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。
高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习 含答案
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。
判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。
在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。
本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。
其中，D表示函数的定义域。
接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。
方法一，利用函数图像判断。
对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。
具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。
例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。
方法二，利用函数的性质判断。
除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。
以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。
对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
方法三，利用导数判断。
另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。
具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。
浅谈用好单调性和奇偶性解决数学常规题
172单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有着密切的联系：（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；（2）偶函数 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决比较函数值的大小、求函数的最值、解抽象函数不等式等诸多函数问题。
现就函数单调性与奇偶性的题型分类举例浅析如下。
1 比较大小利用函数的单调性比较几个函数值的大小是函数问题中的最常见的题型，用此法时先要将函数的自变量通过函数的其他性质如奇偶性、周期性等化到同一个单调区间内。
例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )A．f(0)>f(log32)>f(－log23)B．f(log32)>f(0)>f(－log23)C．f(－log23)>f(log32)>f(0)D．f(－log23)>f(0)>f(log32)解析：∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)>f(log32)>f(0)．答案 C评注 比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．2 求函数最值求函数的最值是函数内容必考的题型，这种题型对同学们有一定的难度。
用单调性求最值，首先要判断函数在所求区间上的单调性，尤其在求关于原点对称的对称区间上的单调性或最值时，可能要结合函数的奇偶性。
例2 若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上( )A．最小值是9 B．最小值是－9C．最大值是－9 D．最大值是9解析 因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.答案 D评注 应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要注意奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
《3.3.2 函数的奇偶性》作业设计方案
《函数的奇偶性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解和掌握函数的奇偶性概念；2. 能够根据概念判断函数的奇偶性；3. 培养数学思维能力和分析问题能力。
二、作业内容：1. 理论作业：（1）请列举几个函数，并分析它们的奇偶性。
例如：f(x) = x^2, f(x) = x+1, f(x) = -x等。
（2）阅读教材，理解奇偶性的概念，并用自己的话进行描述。
（3）根据定义，说明下列函数是否为奇函数：f(x) = x^3, g(x) = 2x^2 + 3, h(x) = x^2 - x + 1。
（4）请举出一些满足某种奇偶性特性的函数例子，并尝试解释其特性原因。
2. 实践作业：（1）自行设计一个简单的数学问题，要求该问题需要用到函数的奇偶性。
例如：求一个奇函数在某一点的导数值等。
（2）尝试解决一些实际生活中的数学问题，例如：设计一个简单的测量工具，用于测量一个圆形物体的直径等，需要用到函数的奇偶性。
三、作业要求：1. 严格按照作业要求完成作业，注意作业的格式和规范；2. 遇到问题时，积极思考、查阅资料，或与同学讨论，解决问题；3. 按时提交作业，不得拖延。
四、作业评价：1. 评价标准：作业完成情况、问题解决能力、思考深度等；2. 评价方式：学生自评、小组互评、教师评价相结合。
五、作业反馈：1. 请同学们在完成作业后，将作业结果进行整理，并附上自己的感想和收获；2. 小组内可以互相交流、讨论，共同提高；3. 对于无法解决的问题，可以向老师请教，寻求帮助。
通过本次作业，希望同学们能够更好地理解和掌握函数的奇偶性这一知识点，培养数学思维能力和分析问题能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
同时，也希望同学们能够积极思考、勇于探索，将所学知识应用到实际生活中，提高自己的数学应用能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对函数奇偶性的理解，加深对奇偶性概念、性质及图形特征的认识。
2. 通过作业实践，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
函数的奇偶性是函数的重要性质,也是每年高考的重要内容和热点内容之一,函数的奇偶性可以解决下列几类问题.
一、利用奇偶性的定义判断
【点评】解抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法,即赋予恰当的数值,利用定义经过运算与推理,最后得出结论.
【点评】本题考查函数奇偶性的判定,注意要先分析函数的定义域.定义域不对称,则非奇非偶.
【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论.
【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法,解决本题的关键是利用奇函数的性质把自变量转化为
四、利用奇偶性的对称性解题
【点评】本题考查了偶函数的性质,以及函数的单调性的应用,一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.
【点评】本题以不等式为载体,考查函数的单调性和奇偶性,由题意可得 f (x) 为R上的奇函数和增函数,故脱掉“f ”,问题转化为解一元不等式问题解决.
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,考查计算能力.一般设出所求自变量解析式所在的范围,把所求范围转化为已知解析式的定义域,利用函数的奇偶性化简即可求出解析式.
七、利用函数的性质求恒成立问题
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件及偶函数在对称区间上单调性相反,得到函数的单调性是解答本题的关键.
八、变形构造奇偶函数求参数。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性是两个极为重要的概念。
它们不仅在数学理论中占据着关键的地位，还在解决实际问题时发挥着巨大的作用。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是描述函数值随着自变量的变化而变化的趋势。
想象一下，你沿着一条笔直的道路行走，你的位置就好比是函数的自变量，而你行走的速度就像是函数值的变化。
如果你的速度一直保持增加，那就是单调递增；要是速度一直减少，那就是单调递减。
举个具体的例子，比如函数 f(x) ＝ x²，当 x 在区间（∞， 0) 时，函数值随着 x 的增大而减小，所以它在这个区间是单调递减的；而当 x 在区间（0, ＋∞）时，函数值随着 x 的增大而增大，这时候它就是单调递增的。
那么怎么来判断一个函数的单调性呢？通常有两种常见的方法，一种是利用定义，另一种是通过求导。
利用定义来判断单调性，就是设出定义域内的两个自变量的值 x₁和 x₂，然后比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小关系。
如果对于定义域内的任意两个自变量 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么函数就是单调递增的；反过来，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那就是单调递减的。
而对于学过导数的同学来说，求导就会更加方便快捷。
如果函数的导数大于零，那么函数在相应的区间就是单调递增的；导数小于零，就是单调递减的。
比如说函数 f(x) ＝ 2x³ 3x²＋ 1 ，对它求导得到 f'（x) ＝ 6x² 6x ，通过分析导数的正负，就能很容易地判断出函数的单调性。
函数的单调性在实际生活中也有很多应用。
比如在经济学中，成本函数的单调性可以帮助企业判断生产规模的变化对成本的影响，从而做出最优的生产决策。
接下来，咱们再谈谈函数的奇偶性。
奇偶性反映的是函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数。
分析函数的奇偶性与周期性的分析方法
分析函数的奇偶性与周期性的分析方法函数的奇偶性与周期性是数学中的重要概念，对于分析函数的性质和实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍分析函数奇偶性与周期性的方法与技巧，并探讨如何利用这些方法来解决一些实际问题。
首先，让我们来讨论函数的奇偶性。
一个函数被称为奇函数，如果对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数被称为偶函数，如果对于任意实数x，有f(-x)=f(x)成立。
根据这一定义，我们可以得到以下结论：1. 如果一个函数是奇函数，那么如果在定义域内存在一个数a，使得f(a)=0，那么函数在关于原点的中心对称轴上具有零点。
这是因为f(-a)=-f(a)=0。
2. 如果一个函数是偶函数，那么如果在定义域内存在一个数a，使得f(a)=0，那么函数在关于y轴的中心对称轴上具有零点。
这是因为f(-a)=f(a)=0。
通过判断函数的奇偶性，我们可以更好地了解函数的性质。
例如，如果一个函数是奇函数，那么在计算积分时可以利用对称性简化计算。
此外，如果我们知道一个函数是奇函数，并且已知函数在某一点的取值，那么我们可以根据奇函数的性质推导出其在其他点的取值。
接下来，我们来讨论函数的周期性。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)成立。
在分析函数的周期性时，我们可以采取以下方法：1. 如果一个函数的图像在x轴上以T为周期重复出现，那么该函数是周期函数，并且T是其最小正周期。
根据这一性质，我们可以通过观察函数的图像来判断其是否具有周期性。
2. 如果一个函数满足f(x+T)=f(x)，那么对于任意整数n，也有f(x+nT)=f(x)成立。
这是因为当n为正整数时，f(x+nT)=f((x+T)+(n-1)T)=f(x+T)=f(x)，同理可证当n为负整数时也成立。
根据这一性质，我们可以通过将函数的自变量进行平移来判断其是否具有周期性。
利用函数的周期性，我们可以更好地理解函数的行为。
高中数学教学课例《函数的奇偶性》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《函数的奇偶性》
称
函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为
函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角
函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;本节主 教材分析
要内容是学习其（对称性及其奇偶性判断）
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断
的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容
1、借助多媒体和几何画板软件；
教学策略选
2、以引导发现法为主、直观演示为辅的教学模式；
择与设计
3、尊寻研究函数的三部曲；
4、培养学生自主学习，发现问题，解决问题的能
力及数形结合的思想。
判断函数的奇偶性：
首先求函数的定义域（是否关于原点对称）
教学过程
接着判断函数的对称性
（偶函数关于 y 轴对称；奇函数关于原点对称）
让学生理解并能正确判断
课例研究综
教师引导，以学生为主体，让学生动起来，让课堂
述
活起来，让 40 分钟的课堂真正有效。
难点：函数奇偶性概念的探究与理解
1、理解函数偶性的概念；
教学目标
2、能利用定义判断函数的奇偶性； 3、渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,
再从具体到一般的研究方法。
1、高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻
学生学习能 性及稳定性也都还有待于提高；
力分析
2、高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确
函数奇偶性的心得体会
函数奇偶性的心得体会函数奇偶性是数学中经常遇到的一个概念，在学习函数的性质和特点时，对函数的奇偶性进行分析可以帮助理解和解决问题。
通过学习、总结与实践，我对函数奇偶性有了一些心得体会。
以下是我对函数奇偶性的心得体会的详细阐述。
首先，函数奇偶性的定义。
一个函数在自变量取负值和正值时的函数值是否相等，可以决定一个函数的奇偶性。
如果一个函数满足$f(-x) = f(x)$，则该函数被称为偶函数；如果一个函数满足$f(-x) = -f(x)$，则该函数被称为奇函数。
同时，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，我们称之为非奇非偶函数。
其次，函数奇偶性的简便判断方法。
对于一个已知函数，若能够通过一些简单的变换后使得该函数具有奇偶性，那么我们可以直接判断该函数的奇偶性。
例如，若给定函数$f(x)$，我们通过对该函数进行适当的变换$f(-x)$，如果$f(-x) = f(x)$，则可以判定该函数为偶函数；如果$f(-x) = -f(x)$，则可以判定该函数为奇函数。
此外，我们还可以通过观察函数的图像，以及利用函数的特殊性质进行奇偶性的判断。
接下来，函数奇偶性与函数性质的关系。
函数的奇偶性与函数的其他性质密切相关。
首先，对于奇函数来说，其图像关于原点对称，也就是说函数图像在原点上下对称。
而对于偶函数来说，其图像关于y轴对称，也就是说函数图像在y轴左右对称。
其次，对于偶函数来说，如果在一个点$x$上函数图像与某条水平线的交点为$(x, y)$，那么该函数图像在点$(-x, y)$也和该水平线有交点；而对于奇函数来说，如果在一个点$x$上函数图像与某条水平线的交点为$(x, y)$，那么该函数图像在点$(-x, -y)$也和该水平线有交点。
此外，奇函数和偶函数在某些运算和性质上也有所区别，例如，两个奇函数之积是一个偶函数，两个偶函数之积是一个偶函数；而奇函数与奇函数之积是一个奇函数，偶函数与偶函数之积是一个偶函数。
最后，函数奇偶性的应用。
函数奇偶性，解题妙应用
２０２３年１１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数奇偶性,解题妙应用◉江苏省海安高级中学㊀许㊀陈㊀㊀摘要:利用函数的奇偶性来解决函数的一些相关问题,是函数问题中最常见的一类基本类型．通过归纳,利用函数的奇偶性,来巧妙解决函数中的函数值㊁解析式㊁图象㊁最值以及不等式等相关问题,总结规律,以指导数学教学与复习备考．关键词:函数;奇偶性;函数值;解析式;图象㊀㊀函数的奇偶性是函数的基本性质之一,反映了函数图象的对称性特征,同时兼备函数自身中 数 与 形 的双重性质,是研究数学的一个基本工具,也是历年高考数学试卷中比较常见的一个重要知识点．同时,函数的奇偶性又可以很好地交汇与融合函数的基本知识,以及数学中的其他基本知识点,是充分体现高考 在交汇知识点处命题 指导思想的重要平台,倍受各方关注．１结合奇偶性确定函数值直接利用函数的奇偶性求解函数值及其相关应用是比较常见的一类问题,难度比较小,关键是合理应用函数奇偶性加以分析㊁转化与处理．例１㊀已知函数y＝f(x)是R上的奇函数,当x＞０时,满足f(x)＝x２－２x－１,则f(－３)的值是．分析:结合奇函数的定义,合理构建关系式f(－x)＝－f(x),取特殊值代入得到f(－３)＝－f(３),即可求解．解析:由于函数y＝f(x)是奇函数,则利用函数的奇偶性的定义,可知f(－３)＝－f(３)＝－(３２－２ˑ３－１)＝－２．故填答案:－２．点评:以上问题还可以先由f(３)＝３２－２ˑ３－１＝２,再结合函数y＝f(x)是奇函数,可得f(－３)＝－f(３)＝－２．正确把握函数的奇偶性,以及对应的自变量与函数值之间的关系,是分析与解决此类问题的关键所在．２结合奇偶性确定函数解析式直接利用函数奇偶性的定义,得到所对应的函数解析式之间的关系f(－x)＝－f(x),或f(－x)＝f(x),前者是奇函数的基本性质,后者是偶函数的基本性质,进而通过已知函数解析式的变形与转化,可以很好地确定一些相关函数的解析式问题．例２㊀已知函数f(x)是奇函数,且当x＞０时, f(x)＝x|x－２|,求当x＜０时,函数f(x)的解析式．分析:结合奇函数的定义,得到关系式f(－x)＝－f(x),通过已知解析式的合理转化,确定x＜０时f(x)的解析式．解析:当x＜０时,－x＞０,则有f(－x)＝－x|(－x)－２|．又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝x|(－x)－２|＝x|x＋２|．故当x＜０时,f(x)＝x|x＋２|．点评:利用函数奇偶性的定义来解决一些相关的函数解析式问题时,关键要注意函数自变量的正负取值情况以及变量之间的对应关系,合理替代,巧妙代换,通过整体思维㊁对应思维来分析与应用,从而解决一些涉及函数解析式以及对应的应用问题．３结合奇偶性判断函数图象利用函数基本性质奇偶性,通过结构特征来判断与之对应的函数图象的对称性问题,是函数奇偶性的一个非常直观形象的应用,可以便捷且直观地从函数图象来确定与函数奇偶性对应的性质[１]．例３㊀函数f(x)＝x l n|x|的图象可能是(㊀㊀)．分析:结合条件中给出的函数解析式来分析与判断已知函数的奇偶性,通过函数的奇偶性所对应的图象的对称性来分析排除相关的选项;在此基础上利用特殊点进一步合理排除相关的选项,巧妙判断．解析:对于函数f(x)＝x l n|x|,由于f(－x)＝７７解法探究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀－x l n |－x |＝－x l n |x |＝－f (x ),则知函数f (x )＝x l n |x |是奇函数,可以排除选项A ,C ;又由于f(１e )＝１e l n |１e |＝－１e,其对应点在x 轴下方,因此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:具体判断函数的图象以及相关问题时,可以借助函数的奇偶性来判断整个函数图象的对称性问题,而具体的一些细节,还要综合特殊函数值的确定㊁函数的极值与最值以及其他的一些基本性质与特征来综合处理．４结合奇偶性求解最值函数的奇偶性具有一定的对称性与反射性,由此可以通过函数图象的对称性与对应的函数值来解决一些与之相关的函数最值问题,从而判断一些与最值有关的函数问题[２]．例４㊀若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝f (x )＋g (x )＋２在(０,＋ɕ)上有最大值８,则在(－ɕ,０)上F (x )有(㊀㊀)．A．最小值－８㊀㊀㊀㊀㊀B ．最大值－８C ．最小值－６D．最小值－４分析:先根据条件确定函数关系式f (x )＋g (x )的最大值,结合函数f (x )和g (x )都是奇函数,可以确定函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上的最小值,进而确定函数F (x )在对应区间上的最小值问题．解析:根据题意可知函数f (x )＋g (x )在(０,＋ɕ)上有最大值６．又因为函数f (x )和g (x )都是奇函数,所以函数f (x )＋g (x )是奇函数,则函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６,即函数F (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６＋２＝－４．故选择答案:D ．点评:在实际求解一些相关函数的最值问题时,经常要借助函数在相应区间上最值的确定,以及函数奇偶性的判定,从而综合交汇,创新应用．当然,具体解决问题时,可以借助特殊函数(如一次函数等)来直观分析,更加简单快捷来处理此类函数最值问题㊁函数对称性问题等．５结合奇偶性求解不等式在解决一些抽象函数对应的不等式问题时,经常要借助函数的奇偶性等基本性质及结构特征来巧妙转化,进一步确定所要求解的不等式,这是解决问题的关键所在．在一些具体应用中,经常要与函数的解析式㊁单调性以及其他的相关知识加以交汇与融合,从而实现问题的创新性㊁综合性与应用性[３]．例５㊀已知函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x,其中e 是自然对数的底数,若f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,则实数a 的取值范围是．分析:根据函数奇偶性的定义来确定函数f (x )是奇函数,为进一步的变形与转化相应的不等式提供条件,利用求导处理以及基本不等式的应用来确定函数的单调性,从而巧妙转化不等式,进而通过解一元二次不等式来确定参数的取值范围问题．解析:由函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x ,可得f (－x )＝(－x )３－２(－x )＋e －x －e x ＝－x ３＋２x －e x ＋e －x＝－f (x )．又x ɪR ,所以f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x是奇函数．而因为f ᶄ(x )＝３x ２－２＋e x ＋e －xȡ３x ２－２＋２e x e －x＝３x ２ȡ０,当且仅当x ＝０时等号成立,所以f (x )在R 上单调递增．结合f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,可得f (２a ２)ɤ－f (a －１),即f (２a ２)ɤf (１－a ),所以有２a ２ɤ１－a ,即２a ２＋a －１ɤ０,解得－１ɤa ɤ１２．故填答案:－１,１２éëêêùûúú．点评:此题中,巧妙融入高次函数㊁指数函数以及抽象函数类型,融合函数的奇偶性与单调性㊁导数及其应用㊁基本不等式以及二次不等式的求解等相关内容．其中确定函数的奇偶性是关键,为进一步的变形与转化指明方向,是解决问题的一个重要切入点．其实,历年高考数学试卷中,往往离不开对函数奇偶性的考查,有时直接设置相关题目,有时隐含在其他数学问题中,形式各样,变化多端．此类涉及函数奇偶性的问题通常以小题(选择题或填空题)为主,难度中等及偏下,有时单独考查函数的奇偶性,有时将函数相关概念与与函数的奇偶性加以综合,有时还融入其他模块知识,实现知识点间的交汇与融合．抓住函数奇偶性的定义及对应的函数的图象性质,合理总结规律,巧妙综合,创新应用．参考文献:[１]张召永．小妙招巧判抽象函数奇偶性[J ]．数理化学习(教研版),２０２２(７):３Ｇ４,２７．[２]林琪．深度学习觅因果,数形结合探本质 以函数奇偶性为例[J ]．中学数学研究,２０２２(６):３Ｇ４．[３]孟俊．信息技术与数学教学融合的实践探究 以 函数奇偶性 教学为例[J ]．中学数学教学参考,２０２２(２１):１２Ｇ１４．Z８７。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性就如同两颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
它们不仅是函数性质的重要组成部分，更是解决数学问题、理解数学世界的有力工具。
让我们先来聊聊函数的单调性。
单调性，简单来说，就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种上升或下降的趋势。
想象一下，你在爬山，山势逐渐升高，这就好比是一个单调递增的函数；而如果是下山，山势逐渐降低，那就是单调递减的函数。
比如，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。
当 x 增大时，y 的值也跟着增大。
我们可以通过计算斜率来判断一次函数的单调性。
斜率为正，函数单调递增；斜率为负，函数单调递减。
再看二次函数 y ＝ x²，它在 x ＜ 0 时单调递减，在 x ＞ 0 时单调递增。
这是因为在 x ＜ 0 时，x 越大，x²的值越小；在 x ＞ 0 时，x 越大，x²的值越大。
函数单调性的判断方法有很多，常见的有定义法、导数法等。
定义法就是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性。
假设函数 f(x)在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递增的；如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递减的。
导数法呢，对于可导函数，如果其导数在某个区间内大于零，则函数在该区间单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间单调递减。
函数单调性有着广泛的应用。
比如在求函数的最值问题中，通过判断函数的单调性，我们可以找到函数的最大值或最小值。
在解决不等式问题时，利用函数单调性可以将复杂的不等式转化为简单的形式。
说完单调性，咱们再来说说奇偶性。
奇偶性就像是函数的“性格特征”，它反映了函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x－1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x －1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+ >0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)对任意x∈R 都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即A={x|2<x< },∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2 <m<4+2 ,4－2 <m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3，)C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f( －+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－),f( )=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1 .(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－,－2 )关于(1，0)对称.。
高中数学：应用函数的奇偶性解决有关的问题
高中数学：应用函数的奇偶性解决有关的问题【“函数的奇偶性”重点难点解读】一、函数的奇偶性1、偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.2、奇函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.3、对函数奇偶性定义的理解：（1)奇函数的定义等价于f(-x)+f(x)=0．偶函数的定义等价于f(x)-f(-x)=0．（2）定义中的x具有任意性，函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质"，而函数的奇偶性则属于“整体性质”。
（3）x具有对称性.因为函数y=f(x)的奇偶性考查的是f(-x)与f(x)的关系，所以f(-x)与f(x)都应有意义，即x与-x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上必定都关于原点对称.否则，这个函数一定不具有奇偶性.例如函数y=x^2，在R上是偶函数，但在区间[一1，2 ] 上既不是奇函数，也不是偶函数。
(4)由此可知，要判断函数的奇偶性，第一步必须先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点O对称。
如果定义域不关于原点O对称，那么它就是“非奇非偶函数”了。
如果定义域关于原点O对称，那再进一步用定义来判断它的奇偶性。
二、奇函数与偶函数图象的性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点O为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数.三、函数的奇偶性的简单应用1、判断函数的奇偶性5、求函数的最大最小值6、利用奇偶性和单调性研究函数的图象。
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《1.3.2函数的奇偶性》问题解决--评价单
设计人：张娟 审核人：胡培瑞 序号：5-2
班级： 组名： 姓名： 日期：2011.
请同学们在有效的时间内高效完成下列每题（时间：40分钟 总分：50分） 题型一、函数奇偶性定义的理解？（2分/2分钟）
对于定义在R 上的函数f(x)，下列判断是否正确？
（1）若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数。
（ ）
（2）若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数。
（ ）
（3）若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数。
（ ）
题型二、函数奇偶性的判断（四种类型）（16分/12分钟）
（1）()x
x x f 12
+= （2）()123++=x x x f
（3）()R x x x f ∈=,2 （4）()[]2,1,2-∈=x x x f （5）()122++=x x x f （6）()122++=x x x f （7）()2244x x x f -+-= （8）()123--=x x
x x f
题型三、函数奇偶性的应用
A ． 求函数值（10分/8分钟）
若(),8535-++=bx x x x f 且()102=-f ，求()2f （要求：两种方法以上）
考查的知识点：
思辨：
（1）判断奇偶函数的关键步骤是什么？（2）四种类型各自的特点是什么？ 考查的知识点：
思辨方法的适用特点：
思辨：奇偶函数概念中的关键词是什么？如何理解？
B ．求解析式（10分/10分钟）
已知函数f(x)是奇函数，且当x ＞0时，2)(-=x x x f ，求当x ＜0时，f(x)的解析式。
思辨：求x ∈R 时f(x) 的解析式
变式训练：已知函数g(x)是奇函数，f(x)是偶函数，且满足f(x)+g(x)=11-x ，求f(x),g(x).
C ．解抽象函数的不等式（12分/8分钟）
设f(x)在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有
)123()12(22+-++a a f a a f ＜，求的取值范围。
自我评价 小组长评价 学科长评价
A.全会做的 A.掌握的 A.完善好的
B.粗心做错的 B.待掌握的 B.待完善的
C.全不会做的
考查的知识点：
反思：
考查的知识点：
反思：。