2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析

第八章平面解析几何
第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)
2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率
(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
（2)斜率公式
给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.
2．直线方程的五种形式
名称已知条件方程适用范围
点斜式斜率k与点（x1，
y1）
错误!y－y1＝k（x－
x1)
直线不垂直于x
轴
斜截式斜率k与直线在y
轴上的截距b错误!
y＝kx＋b
直线不垂直于x
轴
两点式两点（x1,y1），(x2，
y2）
错误!错误!＝错误!
（x1≠x2,y1≠y2)
直线不垂直于x
轴和y轴
截距式直线在x轴、y轴
上的截距分别为
a，b
错误!错误!＋错误!＝1
（a≠0，b≠0)
直线不垂直于x
轴和y轴,且不过
原点
一般式—错误!Ax＋By＋C＝
0（A2＋B2≠0）
任何情况
1．概念辨析
（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )
（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）
(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√
2．小题热身
(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°
C．135°或225° D．60°
答案A
解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.
(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案D
解析直线错误!x＋y－3＝0的斜率为－错误!,所以倾斜角为错误!.
(3)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－错误!，则直线l的方程为（)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案A
解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－错误![x－(－2)］，整理得3x＋4y－14＝0.
（4）已知直线l过点P(1,3），且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是（）
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案A
解析设直线l的方程为错误!＋错误!＝1（a〉0，b>0)．
由题意，得解得a＝2,b＝6.故直线l的方程为错误!＋错误!＝1,即3x＋y－6＝0。

故选A。

题型一直线的倾斜角与斜率
1．(2019·长春模拟）设直线y＝2x的倾斜角为α,则cos2α的值为( ）
A．－错误!B．－错误!
C．－错误!D．－错误!
答案C
解析由题意，知tanα＝2,所以cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A（1，－a),B（2，a2），C（3，a3)共线,则a＝( )
A．1±错误!或0 B。

错误!或0
C。

错误!D。

错误!或0
答案A
解析若A，B,C三点共线，则有k AB＝k AC，即错误!＝错误!，整理得a(a2－2a－1）＝0,解得a＝0或a＝1±2。

3．直线l过点P(1,0），且与以A（2，1），B(0，错误!)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案(－∞，－错误!]∪［1，＋∞)
解析如图,∵k AP＝错误!＝1，
k BP＝
3－0
0－1
＝－3，
∴k∈(－∞，－3］∪［1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k
k＝
tanα〉0
k＝
k＝
tanα〈0
不存
在
倾斜
角α
锐角0°钝角90°
2．倾斜角变化时斜率的变化规律
根据正切函数k＝tanα的单调性,如图所示：
(1)当α取值在错误!内，由0增大到错误!错误!时，k由0增大并趋向于正无穷大；
（2）当α取值在错误!内，由错误!错误!增大到π(α≠π）时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.
3．三点共线问题
若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线
的条件解决．如举例说明2.
1．直线x ＋（a 2＋1）y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ） A ．错误!
B. 错误!
C ．［0，π
4]∪错误! D. 错误!∪错误!
答案 B
解析 ∵直线的斜率k ＝－错误!，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是错误!。

2.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ,Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1,－1），则直线l 的斜率为( ）
A.13 B ．－1
3
C ．－错误!
D 。

错误!
答案 B
解析 依题意，设点P (a ，1），Q （7，b ），则有
错误!
解得错误!
从而可知直线l 的斜率为错误!＝－错误!.
题型二 直线方程的求法
1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B（3，－3)，C（0,2），则BC边上的中线所在的直线方程为________．
答案x＋13y＋5＝0
解析BC的中点坐标为错误!，∴BC边上的中线所在的直线方程为错误!＝错误!，即x＋13y＋5＝0.
2．（1）求过点A（1，3），且斜率是直线y＝－4x的斜率的错误!的直线方程；
（2)求经过点A(－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
解（1）设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×1
3
＝－错误!。

又直线经过点A(1，3),
因此所求的直线方程为y－3＝－错误!（x－1），
即4x＋3y－13＝0。

（2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为错误!＋错误!＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－错误!，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2
,所以直线方程为y＝－错误!x，即2x＋5y＝0。

5
故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
给定条件求直线方程的思路
（1）求直线方程常用的两种方法
①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2（1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组），求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2（2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．（2）设直线方程的常用技巧
①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b。

②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a。

③已知直线过点(x0，y0），且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0）．
1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB,点O（0，0）,A（1,3）,点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（）
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3（x－1）D．y－3＝－3（x－1)
答案D
解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y －3＝－3(x－1）．故选D。

2．求适合下列条件的直线方程：
(1）过点P（2,3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A（－1,－3),倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍;
(3)直线过点（－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解(1)当直线过原点时，方程为y＝错误!x，
即3x－2y＝0。

当直线l不过原点时，设直线方程为错误!－错误!＝1.
将P（2,3）代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
（2）设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α。

因为tanα＝3，所以tan2α＝错误!＝－错误!.
又直线经过点A（－1，－3），
因此所求的直线方程为y＋3＝－错误!(x＋1）,
即3x＋4y＋15＝0.
(3）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为
x
a＋错误!＝1，
又直线过点(－3,4）,从而－错误!＋错误!＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求的直线方程为
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
题型三直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( ）
A．[－2，2］B．(－∞，－2]∪［2，＋∞)
C．［－2,0）∪(0,2] D．（－∞，＋∞）
答案C
解析令x＝0,得y＝错误!,令y＝0，得x＝－b,所以所求的三角形面积为错误!错误!｜－b|＝错误!b2,且b≠0，因为错误!b2≤1，所以b2≤4,所以b的取值范围是［－2，0)∪（0,2]．
角度2 与直线方程有关的最值问题
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R)．
(1）证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程．
解(1)证明：直线l的方程可化为k（x＋2)＋(1－y）＝0,
令错误!解得错误!
∴无论k取何值,直线总经过定点（－2，1)．
(2）由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为－错误!，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有错误!解得k＞0；当k＝0时,直线为y＝1,符合题意，故k的取值范围为［0，＋∞)．(3）由题意，知k≠0，再由直线l的方程,得
A错误!，B（0，1＋2k)．
依题意得错误!解得k＞0.
∵S＝错误!·｜OA|·｜OB|＝错误!·错误!·｜1＋2k｜
＝错误!·错误!＝错误!错误!
≥错误!×（2×2＋4)＝4,
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝错误!，即k＝错误!，
∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略（1）求参数值或范围．注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
（2）求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.
1．若方程(2m2＋m－3)x＋（m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( ）
A．m≠－错误!B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案D
解析由错误!解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
2．(2019·济南模拟）已知直线l过点M（2,1),且与x轴，y轴的正半轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求当|错误!｜·｜错误!｜取得最小值时直线l的方程．
解设A（a，0)，B（0,b)，则a〉0，b〉0，
直线l的方程为错误!＋错误!＝1，所以错误!＋错误!＝1。

｜错误!|·|错误!｜＝－错误!·错误!
＝－(a－2，－1）·（－2，b－1)
＝2(a－2）＋b－1＝2a＋b－5
＝（2a＋b) 错误!－5＝错误!＋错误!≥4,
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0。

组基础关
1．过点M(－2，m),N(m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案A
解析由题意知错误!＝1（m≠－2),解得m＝1。

2．(2019·郑州一模）已知直线l的斜率为3,在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( ）A．y＝错误!x＋2 B．y＝错误!x－2
C．y＝错误!x＋错误!D．y＝－错误!x＋2
答案A
解析∵直线x－2y－4＝0的斜率为错误!，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝错误!x＋2.
3．如图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2,k3，则( )
A．k1〈k2<k3
B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1
D．k1〈k3〈k2
答案D
解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0〈α3
〈α2<π
2
<α1〈π,所以k1<0<k3〈k2。

4．(2019·沈阳模拟)若直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( ）
A．ab>0，bc〈0 B．ab〉0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc〈0
答案A
解析由题意，知a≠0，b≠0，已知直线方程可化为y＝－错误!x －错误!，若此直线同时经过第一、二、四象限，则错误!即ab>0，bc<0。

5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ）
A．40° B．50°
C．130° D．140°
答案B
解析将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k＝错误!＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
6．(2019·荆州模拟）两直线错误!－错误!＝a与错误!－错误!＝a（其中a是不为零的常数）的图象可能是（)
答案B
解析已知两直线的方程可分别化为l1：错误!＋错误!＝1与l2：错误!＋错误!＝1，所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知,B符合题意．
7．直线l经过点A（1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3），则其斜率的取值范围是( )
A．－1<k〈错误!B．k>1或k<错误!
C．k〉1或k<错误!D．k>错误!或k〈－1
答案D
解析因为直线l过点A(1，2),在x轴上的截距取值范围是（－3,3），所以直线端点的斜率分别为错误!＝－1，错误!＝错误!，如图．所以k〉错误!或k<－1。

所以D正确．
8．若直线l过点（m,3)和(3，2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.
答案4
解析由在x轴上的截距是1,得m≠3，则直线方程为错误!＝错误!。

当y＝0时,则x＝6－2m＋3＝1，故m＝4.
9．若过点P（1－a,1＋a）与Q（4,2a）的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．
答案错误!
解析设直线的倾斜角为α，斜率为k,则k＝tanα＝错误!＝错误!,又α为钝角，所以错误!〈0，即(a－1）·(a＋3）〈0，故－3〈a<1。

关于a 的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－错误!＝错误!，所以3×错误! 2－4×错误!≤m〈3×（－3)2－4×（－3），所以实数m的取值范围是错误!.
10．已知直线l过点（1，0),且倾斜角为直线l0:x－2y－2＝0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为________．
答案4x－3y－4＝0
解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α,2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为错误!，则tanα＝错误!，所以直线l的斜率k＝tan2α
＝错误!＝错误!＝错误!，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝错误!(x －1），即4x－3y－4＝0.
组能力关
1．若错误!〈α〈2π，则直线错误!＋错误!＝1必不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案B
解析令x＝0，得y＝sinα〈0,令y＝0，得x＝cosα>0，所以直线过点(0,sinα），(cosα，0）两点，因而直线不过第二象限．故选B。

2．已知｛a n｝是等差数列，a4＝15,S5＝55，则过点P(3，a3），Q(4，a4）的直线斜率为（)
A．4 B。

1
4
C．－4 D．－14
答案A
解析∵{a n}为等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11,∴k PQ＝错误!＝4。

3．(2019·成都诊断)设P为曲线C:y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线
C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为（）
A．错误!B．[－1，0］
C．［0,1］D．［错误!，1]
答案A
解析由题意知y′＝2x＋2,设P（x0，y0),则k＝2x0＋2。

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－错误!.故选A.
4．函数y＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝错误!，则直线l:ax－by＋c＝0的倾斜角为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案D
解析由函数y＝f（x)＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝错误!知，f（0）＝f错误!，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为错误!.故选D.
5．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA｜·|PB｜的最大值
是________．
答案5
解析动直线x＋my＝0(m≠0）过定点A(0，0），动直线mx－y －m＋3＝0过定点B(1，3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx －y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB。

所以|PA｜·|PB|≤错误!＝错误!＝错误!＝5，即｜PA｜·|PB|的最大值为5。

6．已知直线l1:ax－2y＝2a－4，l2:2x＋a2y＝2a2＋4，当0〈a〈2时,直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
答案错误!
解析由已知画出简图，如图所示．
因为l1：ax－2y＝2a－4，
所以当x＝0时，y＝2－a，即直线l1与y轴交于点A（0，2－a)．因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，
所以当y＝0时，x＝a2＋2，
即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．
易知l1与l2均过定点（2,2），
即两直线相交于点B(2,2)．
则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC
＝错误!（2－a）×2＋错误!（a2＋2)×2＝错误!2＋错误!≥错误!。

所以S min＝错误!，此时a＝错误!.
7．如图,射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线y＝错误!x上时，求直线AB的方程．解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan（180°－30°)＝－
错误!，所以直线l OA:y＝x，l OB：y＝－错误!x。

设A(m，m),B(－错误!n，n），所以线段AB的中点C的坐标为错误!，由点C在直线y＝错误!x上，
且A，P,B三点共线得错误!解得m＝错误!，所以A（错误!，错误!）．因为
P（1，0)，所以k AB＝k AP＝错误!＝错误!，所以l AB：y＝错误!(x－1),即直
线AB的方程为（3＋错误!）x－2y－3－错误!＝0.。