2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析

第八章平面解析几何

第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程

[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)

2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）

[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。直线的斜率

(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．

（2)斜率公式

给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.

2．直线方程的五种形式

名称已知条件方程适用范围

点斜式斜率k与点（x1，

y1）

错误!y－y1＝k（x－

x1)

直线不垂直于x

轴

斜截式斜率k与直线在y

轴上的截距b错误!

y＝kx＋b

直线不垂直于x

轴

两点式两点（x1,y1），(x2，

y2）

错误!错误!＝错误!

（x1≠x2,y1≠y2)

直线不垂直于x

轴和y轴

截距式直线在x轴、y轴

上的截距分别为

a，b

错误!错误!＋错误!＝1

（a≠0，b≠0)

直线不垂直于x

轴和y轴,且不过

原点

一般式—错误!Ax＋By＋C＝

0（A2＋B2≠0）

任何情况

1．概念辨析

（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。( )

（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )

(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）

(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√

2．小题热身

(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°

C．135°或225° D．60°

答案A

解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.

(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)

A.错误!B。错误!

C。错误! D.错误!

答案D

解析直线错误!x＋y－3＝0的斜率为－错误!,所以倾斜角为错误!.

(3)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－错误!，则直线l的方程为（)

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

答案A

解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－错误![x－(－2)］，整理得3x＋4y－14＝0.

（4）已知直线l过点P(1,3），且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是（）

A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0

答案A

解析设直线l的方程为错误!＋错误!＝1（a〉0，b>0)．

由题意，得解得a＝2,b＝6.故直线l的方程为错误!＋错误!＝1,即3x＋y－6＝0。故选A。

题型一直线的倾斜角与斜率

1．(2019·长春模拟）设直线y＝2x的倾斜角为α,则cos2α的值为( ）

A．－错误!B．－错误!

C．－错误!D．－错误!

答案C

解析由题意，知tanα＝2,所以cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A（1，－a),B（2，a2），C（3，a3)共线,则a＝( )

A．1±错误!或0 B。错误!或0

C。错误!D。错误!或0

答案A

解析若A，B,C三点共线，则有k AB＝k AC，即错误!＝错误!，整理得a(a2－2a－1）＝0,解得a＝0或a＝1±2。

3．直线l过点P(1,0），且与以A（2，1），B(0，错误!)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

答案(－∞，－错误!]∪［1，＋∞)

解析如图,∵k AP＝错误!＝1，

k BP＝

3－0

0－1

＝－3，

∴k∈(－∞，－3］∪［1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系

斜率k

k＝

tanα〉0

k＝

k＝

tanα〈0

不存

在

倾斜

角α

锐角0°钝角90°

2．倾斜角变化时斜率的变化规律

根据正切函数k＝tanα的单调性,如图所示：

(1)当α取值在错误!内，由0增大到错误!错误!时，k由0增大并趋向于正无穷大；

（2）当α取值在错误!内，由错误!错误!增大到π(α≠π）时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.

3．三点共线问题

若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线