圆柱齿轮传动的强度计算
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析图6-6所示为齿轮啮合传动时主动齿轮的受力情况，不考虑摩擦力时，轮齿所受总作用力f n将沿着啮合线方向，f n称为法向力。
f n在分度圆上可分解为切于分度圆的切向力f t和沿半径方向并指向轮心的径向力f r 。
圆周力f t=n径向力 f r= f t tg n (6-1)法向力 f n=n式中:d1为主动轮分度圆直径,mm；为分度圆压力角，标准齿轮=20°。
设计时可根据主动轮传递的功率p1（kw）及转速n1(r/min)，由下式求主动轮力矩t1=9.55×106×（n mm）（6-2）根据作用力与反作用力原理，f t1=-f t2，f t1是主动轮上的工作阻力，故其方向与主动轮的转向相反，f t2是从动轮上的驱动力，其方向与从动轮的转向相同。
同理，f r1=-f r2，其方向指向各自的轮心。
二、载荷与载荷系数由上述求得的法向力f n 为理想状况下的名义载荷。
由于各种因素的影响，齿轮工作时实际所承受的载荷通常大于名义载荷，因此，在强度计算中，用载荷系数k 考虑各种影响载荷的因素，以计算载荷f nc 代替名义载荷f n 。
其计算公式为(6-3)式中：k 为载荷系数，见表6-3。
表6-3 载荷系数k二、齿根弯曲疲劳强度计算齿根处的弯曲强度最弱。
计算时设全部载荷由一对齿承担，且载荷作用于齿顶，将轮齿看作悬臂梁，其危险截面可用30o 切线法确定，即作与轮齿对称中心线成30o 夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线，连接两切点的截面即为齿根的危险截面，如图6-7所示。
运用材料力学的方法，可得轮齿弯曲强度校核的公式为= ≤或σf =≤（6-4）或由上式得计算模数m的设计公式m≥ (6-5)式中:=b/d1称齿宽系数（b为大齿轮宽度），由表6-4查取；称为齿形系数，由图6-8查取；[]为弯曲许用应力，由式6-8计算。
表6-4齿宽系数=b/d1三、齿面接触疲劳强度计算齿面接触疲劳强度计算是为了防止齿间发生疲劳点蚀的一种计算方法，它的实质是使齿面节线处所产生的最大接触应力小于齿轮的许用接触应力，齿面接触应力的计算公式是以弹性力学中的赫兹公式为依据的，对于渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，其齿面接触疲劳强度的校核公式为≤或≤ (6-6)将上式变换得齿面接触疲劳强度的设计公式d1≥ (6-7)式中：“±”分别用于外啮合、内啮合齿轮；z e为齿轮材料弹性系数，见表6-5；z h为节点区域系数，标准直齿轮正确安装时z h =2.5；[σh]为两齿轮中较小的许用接触应力，由式6-9计算；u为齿数比，即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比。
15直齿圆柱齿轮传动的强度计算
二、齿轮传动的强度计算
齿轮传动的强度计算是根据轮齿可能出现的失效形式和 设计准则来进行的，由于轮齿的主要失效形式是齿面疲劳点 蚀和轮齿疲劳折断，因此只讨论齿面接触疲劳强度和齿根弯 曲疲劳强度的计算
1.齿面接触疲劳强度计算 1.齿面接触疲劳强度计算
针对齿面点蚀失效进行的 齿面点蚀是因为接触应力过大引起的。 接触应力过大引起的 齿面点蚀是因为接触应力过大引起的。齿轮啮合可看 作是分别以接触处的曲率半径ρ 作是分别以接触处的曲率半径ρl、ρ2为半径的两个圆柱 赫兹应力公式计算 体的接触，其最大接触应力可由赫兹应力公式计算， 体的接触，其最大接触应力可由赫兹应力公式计算，即
10.10 直齿圆柱齿轮传动的强度计算 一、轮齿的受力分析与计算载荷
轮齿的受力分析
以主动轮O1为受力体，受Fn、T1，见右图 主动轮O 为受力体， 可分解为两个相互垂直的力： Fn可分解为两个相互垂直的力： Ft——圆周力 圆周力 Fr——径向力 径向力 根据力的平衡，有：
其中： 其中： 主动轮传递的转矩Ｎ mm Ｔ1 －主动轮传递的转矩Ｎ·mm 主动轮分度圆直径mm; mm;非标准时用节圆直径代替 ｄ1 －主动轮分度圆直径mm;非标准时用节圆直径代替
对于斜齿圆柱齿轮传动从前端面进入啮合到后端面脱离啮合其在啮合线上的长度比直齿圆柱齿轮增加了btg斜齿圆柱齿轮的啮合面斜齿圆柱齿轮传动的重合度端面重合度附加重合度附加重合度是由于齿的倾斜而产生它随齿宽b和的增大而增大这是斜齿轮传动平稳承载能力较高的原因之一当量齿轮及当量齿数在研究斜齿轮法面齿形时可以虚拟一个与斜齿轮的法面齿形相当的直齿轮称这个虚拟的直齿轮为该斜齿的当量齿轮其齿数则称四斜齿圆柱齿轮的当量齿数和最小齿数在进行强度计算和用成形法加工齿轮选择铣刀时必须知道斜齿轮的法面齿形通常用近似的方法来分析做法如图所示过斜齿轮分度圆柱上齿廓的任一点c作齿的法面nn该法面与分度圆柱面的交线为一椭圆椭圆的长半轴为
(整理)标准斜齿圆柱齿轮传动的强度计算
研究，可用
式中为斜齿轮传动的端面重合度
图<标准圆柱齿轮传动的端面重合度>
斜齿轮的纵向重合度可按以下公式计算:
斜齿轮计算中的载荷系数，其中使用系数
与齿向载荷分布系数的查取与直齿轮相同；动载系数可由图<动载系数值>中查取；齿间载荷分配系数与可根据斜齿轮的精度等级、齿面硬化情况和载荷大小由表<齿间载荷分配系数>中查取。
(三)齿根弯曲疲劳强度计算
如下图所示，斜齿轮齿面上的接触线为一斜线。
受载时，齿轮的失效形式为局部折断。
斜齿轮的弯曲强度，若按轮齿局部
斜齿轮的计算载荷要比直齿轮的多计入一个参数劳强度公式为：
、
ZH称为区域系数。
上右图为法面压力角αn=20°的标准齿轮的ZH值。
于是得
同前理，由上式可得
应该注意，对于斜齿圆柱齿轮传动，因齿面上的接触线是倾斜的（如右图），所以在同一齿面上就会有齿顶面(其上接触线段为e1P)与齿根面(其上接触线段为e2P)同时参与啮合的情况(直齿轮传动，齿面上的接触线与轴线平行，就没有这种现象)。
如前所述，齿轮齿顶面比齿恨面具有较高的接触疲劳强度。
设小齿轮的齿面接触疲劳强度比大齿轮的高(即小齿轮的材料
较好，齿面硬度较高)，那么，当大齿轮的齿根面产生点蚀，e2 P一段接触线已不能在承受原来所分担的载荷，而要部分地由齿顶面上的e1P一段接触线来承担时，因同一齿面上，齿顶面的接触疲劳强度较高，所以即使承担的载荷有所增大，只要还
为，当>1.23应取=1.23。
标准直齿圆柱齿轮传动强度
标准直齿圆柱齿轮传动的强度可以根据以下步骤进行计算：
1.确定齿轮上所受的力。
这包括圆周力（Ft）、径向力（Fr）和法向力
（Fn）。
2.根据圆周力和齿轮的节圆直径（d1），计算出转矩（T1）。
转矩可以用公
式T1 = 2 × Ft × tanα来表示，其中α是啮合角，通常取值为20°。
3.根据转矩和齿宽，计算出弯曲应力。
弯曲应力可以用公式σ= Ft/Wb来表
示，其中Wb是齿宽。
4.根据齿根处的弯曲应力，计算出弯曲疲劳强度系数。
这个系数通常由实验
确定，也可以通过查阅相关设计手册获得。
5.根据弯曲疲劳强度系数和弯曲应力，计算出弯曲疲劳极限。
弯曲疲劳极限
可以用公式σHlim = k × Wb × Ft来表示，其中k是弯曲疲劳强度系数。
6.根据弯曲疲劳极限，计算出安全系数。
安全系数可以用公式H=σHlim/σH
来表示，其中σH是工作应力。
7.根据安全系数和弯曲应力，计算出许用弯曲应力。
许用弯曲应力可以用公
式σH=σHlim/S来表示，其中S是安全系数。
以上是标准直齿圆柱齿轮传动强度的计算步骤，希望能对您有所帮助。
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则 为了保证在预定寿命内齿轮不发生轮齿断裂失效，应进行轮齿弯曲强度计算。
直齿圆柱齿轮传动的轮齿弯曲强度计算准则为：齿根弯曲应力σF 小于或等于许用弯曲应力[σF ]，即σF ≤[σF ]轮齿弯曲强度计算公式轮齿弯曲强度的验算公式计算弯曲强度时，仍假定全部载荷仅由一对轮齿承担。
显然，当载荷作用于齿顶时，齿根所受的弯曲力矩最大。
图 11-8 齿根危险截面计算时将轮齿看作悬臂梁(如图11-8所示)。
其危险截面可用切线法确定，即作与轮齿对称中心线成夹角并与齿根圆角相切的斜线，而认为两切点连线是危险截面位置(轮齿折断的实际情况与此基本相符)。
危险截面处齿厚为。
法向力Fn 与轮齿对称中心线的垂线的夹角为，Fn 可分解为 使齿根产生弯曲应力，则产生压缩应力。
因后者较小故通常略去不计。
齿根危险截面的弯曲力矩为式中：K 为载荷系数；为弯曲力臂。
危险截面的弯曲截面系数W 为故危险截面的弯曲应力为 3030F s F α1F 2F F h F σ令式中称为齿形系数．．．．。
因和均与模数成正比，故值只与齿形中的尺寸比例有关而与模数无关，对标准齿轮仅决定于齿数。
由此可得轮齿弯曲强度的验算公式Mpa (a)通常两齿轮的齿形系数和并不相同，两齿轮材料的许用弯曲应力[]和[]也不相同，因此应分别验算两个齿轮的弯曲强度。
轮齿弯曲强度设计公式引入齿宽系数，可得轮齿弯曲强度设计公式为mm (b)上式中的负号用于内啮合传动。
内齿轮的齿形系数可参阅有关书籍。
式（a ）和(b)中为小齿轮齿数；的单位为N ·mm ；b 和m 的单位为mm ；和[]的单位为MPa 。
式(b)中的应代入和中的较大者。
算得的模数应圆整为标准模数。
传递动力的齿轮，其模数不宜小于1.5mm 。
26()cos ()cos F F F F h m Y s m αα=F Y F h F s F Y 1112122[]F F F F KTY KTY bd m bm z σσ==≤1F Y 2F Y 1F σ2F σa ba ψ=m ≥1z 1T F σF σ[]F F Y σ11[]F F Y σ22[]F F Y σ在满足弯曲强度的条件下可适当地选取较多的齿数，因齿数增多可使传动平稳；在中心距a 一定时，齿数增多则模数减小，顶圆尺寸也随之减小，有利于节省材料和加工工时。
10-05 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
受载分析及应力计算公式
当齿顶受载时，轮齿根部
的应力如图。载荷 pca 对危险 截面产生的应力有弯曲应力和 压应力。 注意：在齿根危险截面处
的压应力仅为弯曲应力的百分
之几，故可忽略。计算时仅考 虑水平分力产生的弯曲应力。
受载分析及应力计算公式
取h = Khm，S = KSm，并将
代入，得：
齿形系数YFa及应力校正系数YFs
YFa是一个无量纲系数，它只与轮齿的齿廓形状有关，而与 齿的大小（模数m）无关。 在实际计算时，还应计入齿根危险截面处的过渡圆角所引 起的应力集中作用以及弯曲应力以外对齿根应力的影响，因此， 引入应力校正系数YSa。 齿根弯曲疲劳强度校核计算公式 ：
齿形系数YFa及应力校正系数YSa 表
齿根弯曲疲劳强度公式
10-5 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（1）轮齿的受力分析
（2）齿根弯曲疲劳强度计算
（3）齿面接触疲劳强度计算
（4）齿轮传动的强度计算说明
轮齿的受力分析
• 法向载荷Fn • 圆周力Ft • 径向力Fr
T1——小齿轮传递的转矩，N.mm； d1——小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分 度圆直径，mm； α——啮合角，对标准齿轮，α=20°。
齿根弯曲疲劳强度校核计算公式 ：
按齿根弯曲疲劳强度设计齿轮的计算公式：
按齿根弯曲疲劳强度设计时，[σ]F1/(YFa1YSa1)或 [σ]F2/(YFa2YSa2)中较小的数值代入设计公式进行计算。
齿宽系数
装置 状况 φd 两支承相对小 齿轮对称布置 0.9-1.4 (1.2-1.9) 两支承相对小齿 轮不对称布置 0.7-1.15 (1.1-1.65) 小齿轮作 悬臂布置 0.4-0.6
圆柱齿轮强度计算与校核(可编辑修改公式)
弹性模量 E(MPa)
齿轮材料
灰铸铁 11.8x104
锻钢
铸钢
球墨铸铁
灰表铸中铁夹布塑胶泊 松比0.5，其余均
配对齿轮材料
球墨铸铁 17.3x104
铸钢 20.2x104
锻钢 20.4x104
162
181.4
188.9
161.4
180.5
188
156.6
173.9
143.7
189.8
Ysa 1.625 1.65 1.67 1.68 1.7 1.73
转速n（r/min）
应力循环次数N 寿命系数KN
齿面硬度（HBS） 疲劳极限σFE 许用应力[σF] Yfa*Ysa/[σF]
960 4.15E+09
0.9
300 400 240 0.0170
300 1.30E+09
0.95
250 380 240.67 0.0162
N=60njL 表6
表8中ML与MQ
手附动录分1割各线 类机器所 用齿轮传动的精度
机器名称
精度等级
汽轮机
3~6
金属切削机床 3~8
航空发动机
4~8
轻型汽车
5~8
载重汽车
7~9
机器名称 拖拉机 通用减速器 锻压机床 起重机 农业机器
精度等级 6~8 6~8 6~9 7~10 8~11
附录2 齿形系数YFa
Z
YFa
Ysa
Z
YFa
17
2.97
小齿轮传递功率与 若已知P(kw)
转矩2选1输入
若已知T(N.mm)
数值 1 1.2 1.2
1.347 1
3.2 20 14 1.90 0.88 1.64
直齿圆柱齿轮传动强度计算
直齿圆柱齿轮传动的强度计算齿面接触强度计算闭式齿轮传动的主要失效形式之一是齿面点蚀，故需进行齿面接触疲劳强度计算。
齿面的 疲劳点蚀与齿面接触应力有关，齿面的最大接触应力可用赫兹公式计算如下：222121211111E E bF n H μμρρπσ-+-±⋅=式中 Fn 为法向力；b 为两轮齿的接触宽度；E1,E2为两齿轮材料的弹性模量；12,μμ为两齿轮材料的泊松比；12,ρρ为两齿面接触点处的曲率半径；“+”号用于外啮合，“一”号用于内啮合。
前已述及，齿根部分靠近节线处最易发生点蚀，故常取节点处的接触应力为计算依据。
由图11．4，a 可知，节点处的齿廓曲率半径为111sin 2N C d αρ==111sin 2N C d αρ==取传动比i=z 2/z 1≥l ，式中z 2为大齿轮齿数，z 1为小齿轮齿数，则12(1)ad i =±方向相同。
径向力F ，6勺方向由作用点指向轮心。
2.计算载荷上述的法向力Fn 为名义载荷。
理论上Fn 应沿齿宽均匀分布，但由于轴和轴承的变形，传动装置的制造，安装误差等原因，载荷沿齿宽的分布并不是均匀的，因此会出现载荷集中现象。
如图9．29所示，齿轮位置对轴承不对称时，由于轴的弯曲变形齿轮将互相倾斜，这时，轮齿左端载荷增大。
轴和轴承的刚度越小，齿宽B 越宽，载荷集中越严重。
此外，由于各种原动机和工作机特性不同，齿轮制造误差以及轮齿变形等原因，还会引起附加动载荷。
精度越低，圆周速度越高，附加动载荷就越大。
因此，计算齿轮强度时，通常用计算载荷KFn 代替名义载荷Fn ，以考虑载荷集中和附加动载荷的影响。
其中K 为载荷系数，其值可由表9．6查取。
图9．29 载荷集中现象表9.6 载荷系数K9．11．2 载荷计算1．受力分析在图9．30中，当不计齿面间的摩擦力时，作用于主动轮齿上的总压力将垂直于齿面，即为图中法向力芦n 。
芦n 可分解为圆周力F ，和径向力芦r 。
齿轮传动的强度设计计算
1. 齿面接触疲劳强度的计算齿面接触疲劳强度的计算中，由于赫兹应力是齿面间应力的主要指标，故把赫兹应力作为齿面接触应力的计算基础，并用来评价接触强度。
齿面接触疲劳强度核算时，根据设计要求可以选择不同的计算公式。
用于总体设计和非重要齿轮计算时，可采用简化计算方法；重要齿轮校核时可采用精确计算方法。
分析计算表明，大、小齿轮的接触应力总是相等的。
齿面最大接触应力一般出现在小轮单对齿啮合区内界点、节点和大轮单对齿啮合区内界点三个特征点之一。
实际使用和实验也证明了这一规律的正确。
因此，在齿面接触疲劳强度的计算中，常采用节点的接触应力分析齿轮的接触强度。
强度条件为：大、小齿轮在节点处的计算接触应力均不大于其相应的许用接触应力，即：⑴圆柱齿轮的接触疲劳强度计算1）两圆柱体接触时的接触应力在载荷作用下，两曲面零件表面理论上为线接触或点接触，考虑到弹性变形，实际为很小的面接触。
两圆柱体接触时的接触面尺寸和接触应力可按赫兹公式计算。
两圆柱体接触，接触面为矩形（2axb），最大接触应力σHmax位于接触面宽中线处。
计算公式为：接触面半宽:最大接触应力:•F——接触面所受到的载荷•ρ——综合曲率半径，（正号用于外接触，负号用于内接触）•E1、E2——两接触体材料的弹性模量•μ1、μ2——两接触体材料的泊松比2）齿轮啮合时的接触应力两渐开线圆柱齿轮在任意一处啮合点时接触应力状况，都可以转化为以啮合点处的曲率半径ρ1、ρ2为半径的两圆柱体的接触应力。
在整个啮合过程中的最大接触应力即为各啮合点接触应力的最大值。
节点附近处的ρ虽然不是最小值，但节点处一般只有一对轮齿啮合，点蚀也往往先在节点附近的齿根表面出现，因此，接触疲劳强度计算通常以节点为最大接触应力计算点。
参数直齿圆柱齿轮斜齿圆柱齿轮节点处的载荷为综合曲率半径为接触线的长度为，3）圆柱齿轮的接触疲劳强度将节点处的上述参数带入两圆柱体接触应力公式，并考虑各载荷系数的影响，得到：接触疲劳强度的校核公式为：接触疲劳强度的设计公式为：•KA——使用系数•KV——动载荷系数•KHβ——接触强度计算的齿向载荷分布系数•KHα——接触强度计算的齿间载荷分配系数•Ft——端面内分度圆上的名义切向力，N；•T1——端面内分度圆上的名义转矩，N.mm；•d1——小齿轮分度圆直径，mm；•b ——工作齿宽，mm，指一对齿轮中的较小齿宽；•u ——齿数比；•ψd——齿宽系数，指齿宽b和小齿轮分度圆直径的比值（ψd=b/d1）。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（4）齿数比u。齿数比u不宜过大， 以免因大齿轮的直径大而使整个齿轮传 动尺寸过大。通常直齿圆柱齿轮取u≤5， 斜齿圆柱齿轮取u≤7。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
3. 齿轮传动的设计计算步骤
（1）选择齿轮材料、热处理及许用应力。通过分析齿 轮的工作条件，选择材料牌号与热处理的方法。
应注意，通常两个相啮合的齿轮齿数是不相等的，因此YF和 YS都不相等，而且两轮材料的弯曲疲劳许用应力也不一定相等。因 此，在进行强度校核时，必须分别校核两齿轮的齿根弯曲强度，应
将两齿轮的
值进行比较，只需将其中较大者代入设计公式。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
2. 齿轮传动主要参数的选择
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（2）模数m。m应圆整，对传递动力的闭式齿轮传动，应使 圆整后的m≥2 mm；对开式齿轮传动，应使圆整后的m值大于初 算值的10%～20%，并使m≈0.02a，a为齿轮传动的中心距。
（3）齿宽系数∮d和齿宽b。增大齿宽可使齿轮的径向尺寸缩 小，但齿宽越大，载荷沿齿宽分布越不均匀。动力传动齿轮取∮ d=0.4～1.4，常用范围取∮ d=0.8～1.2。 ∮ d的选择可见表1-10。
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
（4）齿根弯曲疲劳强度计算。齿轮受载时，轮齿齿根受弯曲应力 最大，为了防止轮齿根部的疲劳折断，在进行齿轮设计时，必须计算 齿根弯曲疲劳强度。为简化计算并考虑安全性，假定载荷作用于齿顶， 且全部载荷由一对轮齿承受，此时齿根部分产生的弯曲应力最大。
经推导可得轮齿齿根弯曲疲劳强度的计算公式：
渐开线标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
应用式（1-15）、式（1-16）时应注意以下几点：
直齿圆柱齿轮传动的强度计算
2.14
YS 1.44 1.47 1.51 1.53 1.54 1.55 1.56 1.58 1.59 1.61 1.63 1.65 1.67 1.69 1.71 1.73 1.77 1.80
1.88
返回
机械设计基础
Machine Design Foundation
直齿圆柱齿轮传动的强度计算
对于一对齿轮啮合传动而言，因为两齿轮的齿数一般不相同，所
越小，轮齿的弯曲强度越低。因此，应当在满足轮齿弯曲强度的前提
下，尽可能选取较多的齿数。对于闭式硬齿面齿轮传动或开式齿轮传
动，通常取z1=17~20；对于闭式软齿面齿轮传动，通常取z1=20~30。 当z1确定后，即可按传动比i=z2/z1，求出z2。为使两个齿轮的轮齿磨 损均匀，应尽可能使z1和z2互为质数。
按式（10-21）计算所得各力均为作用在轮齿上的名义载荷。进 行齿轮的强度计算时，要考虑由于原动机和工作机的工作特性所引起 的动力过载、齿轮副的啮合误差所引起的附加动载荷、轴的变形和齿 轮制造误差所引起的载荷沿齿宽分布不均匀、同时啮合的各对轮齿间 载荷分配不均匀等因素对轮齿受载的影响，应将名义载荷Fn修正为计 算载荷FnC，即
面，由工程力学可推得齿根弯曲疲劳强度的校核公式为
F
2FT1 bm2 z1
YFYS
[ F ]
（10-25）
σF——齿根处产生的最大弯曲应力，MPa ；
YF——反映轮齿形状对齿根弯曲应力影响的齿形系数，见表10-5；
YS——反映齿根圆角引起的应力集中和危险截面压应力等其他应力
影响的应力修正系数，见表10-5；
向转动，故[σH] 1= [σH] 2=0.9σHlim=0.9×1450=1305MPa。
齿轮传动_标准直齿圆柱齿轮传动强度计算
FYSaF0KtF b YFm Y aSa 其中：
Ft=2T1／d1 m=d1／z1
齿宽系数 ：Φd=b／d1 （ 重要） 表10—7
弯曲强度校核公式：
F 2K dm 1TY3Fz1aY2SaF
弯曲强度设计公式：
m3
2KT1
d z12
YFaYSa
F
★ 由公式计算出 模数去套标准
微型电子机械系统的研究的计划，从2019年 开始， 资助MIT，加 州大学 等8所大 学和贝 尔实验 室从事 这一领 域的研 究与开 发，年 资助额
从100万、200万加到1993年的500万美 元。1994年发 布的《 美国国 防部技 术计划 》报告 ，把M EMS列 为关键 技术项 目。美 国国防 部高级 研
标准直齿圆柱齿轮传动强度计算
(一) 轮齿的受力分析
假设：单齿对啮合，力作用在节点Ｐ，不计Ｆf 轮齿间的法向力Ｆn, 沿啮合线指向齿面
1. Ｆn 的分解：
Ｆn －圆周力Ｆt ：沿节圆切线方向指向齿面 ＼径向力Ｆr ：沿半径方向指向齿面（轮心）
2. 作用力的大小： Ｆt＝2Ｔ1／ｄ1 Ｆr＝Ｆt·ｔgα
后再将其装配在一起。火车的车轮外 圈也是 用加热 的方法 将其套 在基体 上，冷 却时即 可保证 其结合 的牢固 性（此 种方法 现在依 旧应用
于某些零部件的转配过程中）。
机械加工包括：灯丝电源绕组、激 光切割 、重型 加工、 金属粘 结、金 属拉拔 、等离 子切割 、精密
焊接、辊轧成型、金属板材弯曲成型 、模锻 、水喷 射切割 、精密 焊接等 。
前面"，建议中央财政预支费用为五年 5000万 美元， 得到美 国领导 机构重 视，连 续大力 投资， 并把航 空航天 、信息 和MEMS作为 科技发 展
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算 工程
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算工程（一）轮齿的受力分析进行齿轮的强度计算时，首先要知道齿轮上所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析，齿轮传动一般均加以润滑，啮合轮齿间的摩擦力通常很小，计算轮齿受力时，可不予考虑。
沿啮合线作用在齿面上的法向载荷Fn垂直于齿面，为了计算方便，将法向载荷Fn在节点P处分解为两个相互垂直的分力，即圆周力Ft与径向力Fr, 。
由此得Ft=2T1/d1 ；Fr=Fttanα ；Fn=Ft/cosα (a)式中：T1—小齿轮传递的转矩，N·mm；d1—小齿轮的节圆直径，对标准齿轮即为分度圆直径，mm；α—啮合角，对标准齿轮，α=20°。
（二）齿根弯曲疲劳强度计算轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大，因此齿根处的弯曲疲劳强度最弱。
当轮齿在齿顶处啮合时，处于双对齿啮合区，此时弯矩的力臂虽然最大，但力并不是最大，因此弯矩并不是最大。
根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点位于单对齿啮合区最高点。
因此，齿根弯曲强度也应按载荷作用于单对齿啮合区最高点来计算。
由于这种算法比拟复杂，通常只用于高精度的齿轮传动（如6级精度以上的齿轮传动）。
对于制造精度较低的齿轮传动（如7，8，9级精度），由于制造误差大，实际上多由在齿顶处啮合的轮齿分担较多的载荷，为便于计算，通常按全部载荷作用于齿顶来计算齿根的弯曲强度。
当然，采用这样的算法，齿轮的弯曲强度比拟充裕。
右边动画所示为齿轮轮齿啮合时的受载情况。
动画演示为齿顶受载时，轮齿根部的应力图。
在齿根危险截面AB处的压应力σc仅为弯曲应力σF的百分之几，故可忽略，仅按水平分力pcacosγ所产生的弯矩进行弯曲强度计算。
假设轮齿为一悬臂梁，那么单位齿宽（b＝1）时齿根危险截面的弯曲应力为取，并将(a)式代入。
对直齿圆柱齿轮，齿面上的接触线长L即为齿宽b(mm)，得令YFa是一个无量纲系数，只与齿轮的齿廓形状有关，而与齿的大小（模数m）无关。
直齿圆柱齿轮强度计算
直齿圆柱齿轮强度计算一、轮齿的失效齿轮传动就装置形式来讲，有开式、半开式及闭式之分；就利用情形来讲有低速、高速及轻载、重载之别；就齿轮材料的性能及热处置工艺的不同，轮齿有较脆（如经整体淬火、齿面硬度较高的钢齿轮或铸铁齿轮）或较韧（如经调质、常化的优质钢材及合金钢齿轮），齿面有较硬（轮齿工作面的硬度大于350HBS或38HRC，并称为硬齿面齿轮）或较软（轮齿工作面的硬度小于或等于350HBS或38HRC，并称为软齿面齿轮）的不一样。
由于上述条件的不同，齿轮传动也就显现了不同的失效形式。
一样地说，齿轮传动的失效主若是轮齿的失效，而轮齿的失效形式又是多种多样的，那个地址只就较为常见的轮齿折断和工作面磨损、点蚀,胶合及塑性变形等略作介绍，其余的轮齿失效形式请参看有关标准。
至于齿轮的其它部份（如齿圈、轮辐、轮毂等），除对齿轮的质量大小需加严格限制外，通常只需按体会设计，所定的尺寸对强度及刚度均较富裕，实践中也极少失效。
轮齿折断轮齿折断有多种形式，在正常情况下，主要是齿根弯曲疲劳折断，因为在轮齿受载时，齿根处产生的弯曲应力最大，再加上齿根过渡部分的截面突变及加工刀痕等引起的应力集中作用，当轮齿重复受载后，齿根处就会产生疲劳裂纹，并逐步扩展，致使轮齿疲劳折断（见）。
此外，在轮齿受到突然过载时，也可能出现过载折断或剪断；在轮齿受到严重磨损后齿厚过分减薄时，也会在正常载荷作用下发生折断。
在斜齿圆柱齿轮（简称斜齿轮）传动中，轮齿工作面上的接触线为一斜线（参看），轮齿受载后，如有载荷集中时，就会发生局部折断。
若制造或安装不良或轴的弯曲变形过大，轮齿局部受载过大时，即使是直齿圆柱齿轮（简称直齿轮），也会发生局部折断。
为了提高齿轮的抗折断能力，可采取下列措施：1）用增加齿根过渡圆角半径及消除加工刀痕的方法来减小齿根应力集中；2）增大轴及支承的刚性，使轮齿接触线上受载较为均匀；3）采用合适的热处理方法使齿芯材料具有足够的韧性；4）采用喷丸、滚压等工艺措施对齿根表层进行强化处理。
圆柱齿轮强度计算与校核
表1 使用系数K A数值备注使用系数K A 1表1动载系数K V1.27级精度均匀平稳齿间载荷分布K α 1.27级表面硬斜齿 8级表面软斜齿轻微冲击1.93968齿向载荷分布K β 1.347表4中等冲击齿宽系数Φd 齿宽b/小齿d11表5严重冲击3.220一般为20表2 动载系数Kv(锥形齿按低14直齿轮为01.900.318*Φd*Z 1*tan β0.881.64公式很打脑壳若已知P(kw)10若已知T(N.mm)99468.75参数小齿轮大齿轮备注齿数z 2477Z2=Z1*u斜齿轮当量齿数Z V 26.2784.29Zv=Zcos 3β齿形系数Y Fa 2.567 2.202应力矫正系数Y sa 1.59 1.77Y Fa *Y sa4.07 3.90相配合的齿轮数j11工作寿命L（h）班次*班时*天数*年限表3 齿间载荷分布K α转速n（r/min）960300应力循环次数N 4.15E+09 1.30E+09N=60njL 寿命系数K N 0.90.95表6齿面硬度（HBS）300250疲劳极限σFE 400380表8中ML与MQ表4 齿向载荷分布K β（8级精许用应力[σF ]240240.67[σ]=K N *σFE /S，Yfa*Ysa/[σF ]0.01700.0162选大的带入计算斜齿轮最小模数m1.79参数小齿轮大齿轮备注应力循环次数N 4.15E+09 1.30E+09N=60njL 寿命系数K N 0.950.95表7齿面硬度（HBS）300250疲劳极限σHlim 620550表9许用应力[σH ]589522.5[σ]=KN*σHlim/S,S取1圆柱齿轮强度计算与校核按齿根弯曲疲劳强度计算最小模数参数与条件载荷状态载荷分布系数K=K A *K V *K α*K β=齿间载荷分布Kα（β≤30°）传动比u压力角α斜齿轮螺旋角β(推荐8~20°)动载系数Kv斜齿轮纵向重合度εβ斜齿轮螺旋角影响系数Y β斜齿轮端面重合系数εα小齿轮传递功率与转矩2选1输入72000按齿面接触疲劳强度计算最小分度圆[]32112F SaFa d Y Y Z KT m σφ•≥取[σH ]小值取[σH ]小值189.8表102.448级精度直接查表；高于8级，斜齿轮最小分度圆d162.31表5 齿宽系数Φd（b/d1）小齿轮装置状况直齿和斜齿开式齿轮m≥ 2.06放大1.1~1.15倍人字齿轮m≥1.79d1≥62.31表8 弯曲疲劳强度极限σFE齿宽b=Φdxd1小齿轮一般+5~10表6 弯曲疲劳寿命系数K FN表9 接触疲劳强度极限σHlim表7 接触疲劳寿命系数K HN522.5弹性影响系数Z E (MPa1/2)斜齿轮区域系数Z H （α=20°时）根据工作环境确定最小模数与最小分度圆、齿宽闭式齿轮[]3211232.21⎪⎪⎭⎫⎝⎛•+•≥H E d Z u u KT d σφ。
直齿圆柱齿轮传动的弯曲强度计算.
危险截面
危险截面：用30°切线法确定。 作与轮齿对称中线成30°角并 与齿根过渡圆角相切的切线， 通过两切点作平行于轴线的截 面即为危险截面（左图所示）。
d1
3
2KT1 1 Z E Z H d H
2
mm
2KTY 2KTY 1 FaYSa 1 FaYSa F [ F ] 2 bmd1 bm z1
MPa
硬齿面闭式齿轮传动： 按弯曲强度进行设计，按接触强度校核 :
2 KT1 YFaYsa m . 2 d Z1 [ ]F
hF 6( ) cos F F KFt m bm ( sF ) 2 cos m
∵hF和SF与模数m相关， 故YF与模数m无关。 对于标准齿轮, YFa仅取决于齿数Z，取值见图11-8。
考虑在齿根部有应力集中，引入应力集中系数Ysa，图形11-9
轮齿弯曲强度计a 1 FaYSa F [ F ] 2 bmd1 bm z1
MPa
以b=φd1代入得
2 KT1 YFaYsa . 得设计公式： m 2 d Z1 [ ]F
3
mm
二. 说明
1.一般YFa1 ≠ YFa2， 故[σF1 ] ≠ [σF2]
YFa1YSa1 YFa 2YSa 2 2．计算时取： [ F1 ] [ F 2 ]
较大者．
3．对于传递动力的齿轮模数一般应大于1.5～2mm。 4．对于开式传动，为考虑齿面磨损，可将算得模 数值加大10％～ 15％。
§11-6 直齿圆柱齿轮传动的弯曲强度计算
一.受力分析 轮齿受载后，相当于悬臂梁
Pca
故齿根部分弯曲应力最大，是危险截面
为防止轮齿折断，必须保证： σF≤[σF]
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1 直齿圆柱齿轮传动的强度计算1.齿面接触疲劳强度计算为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算。
因此，齿轮接触疲劳强度计算准则为：齿面接触应力σH小于或等于许用接触应力σHP，即σH≤σHP赫兹公式由于直齿轮在节点附近往往是单对齿啮合区，轮齿受力较大，故点蚀首先出现在节点附近。
因此，通常计算节点的接触疲劳强度。
图a表示一对渐开线直齿圆柱齿轮在节点接触的情况。
为了简化计算，用一对轴线平行的圆柱体代替它。
两圆柱的半径ρ1、ρ2分别等于两齿廓在节点处的曲率半径，如图b所示。
由弹性力学可知，当一对轴线平行的圆柱体相接触并受压力作用时，将由线接触变为面接触，其接触面为一狭长矩形，在接触面上产生接触应力，并且最大接触应力位于接触区中线上，其数值为式中σH-接触应力〔Mpa〕Fn-法向力〔N〕L-接触线长度〔mm〕rS-综合曲率半径〔mm〕；±-正号用于外接触，负号用于内接触ZE-材料弹性系数〔〕，，其中E1、E2分别为两圆柱体材料的弹性模量〔MPa〕；m1、m2分别为两圆柱体材料的泊松比。
上式说明接触应力应随齿廓上各接触点的综合曲率半径的变化而不同，且靠近节点的齿根处最大〔图c、d〕。
但为了简化计算，通常控制节点处的接触应力。
节点处的参数〔1〕综合曲率半径由图可知，，代入rE公式得式中：，称为齿数比。
对减速传动，u=i；对增速传动，u=1/i。
因，则有〔2〕计算法向力〔3〕接触线长度L引入重合度系数Ze，令接触线长度将上述参数代入最大接触应力公式得接触疲劳强度计算公式令，称为节点区域系数。
则得(1) 齿面接触疲劳强度的校核公式齿面接触疲劳强度的校核公式为(2) 齿面接触疲劳强度设计公式设齿宽系数，并将代入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式式中:d1-小齿轮分度圆直径〔mm〕；ZE-材料弹性系数()，按下表查取；注：泊松比m1＝m2＝0.3Z H-节点区域系数，考虑节点处轮廓曲率对接触应力的影响，可由下左图查取。
对于标准直齿轮，a=250，Z H=2.5Ze-重合度系数，考虑重合度对单位齿宽载荷的影响，其值可由下右图查取接触疲劳强度公式应用说明在齿面接触疲劳强度计算中，配对齿轮的接触应力应相等，即σH1=σH2。
但两齿轮的许用接触应力分别与各自齿轮的材料、热处理、应力循环次数有关，一般不相等，即σHP1=σHP2。
因此，在使用设计公式或校核公式时，应取σHP1和σHP2中较小者代入计算。
2. 齿根弯曲疲劳强度计算计算准则为了保证在预定寿命内不发生轮齿断裂失效，应进行齿根弯曲疲劳强度计算。
其计算准则为：齿根弯曲应力σF小于或等于许用弯曲应力σFP，即受力的简化由于齿轮轮体的刚度较大，因此可将轮齿看作为悬臂梁。
其危险截面可用30°切线法确定〔如下左图〕，即作与轮齿对称线成30°角并与齿根过渡圆弧相切的两条切线，通过两切点并平行于齿轮轴线的截面即为轮齿危险截面。
30°切线法确定危险截面最大弯矩的载荷作用点理论分析可知：齿根产生最大弯矩的载荷作用点应为单对齿啮合区的外界点D〔如上右图〕，但计算比较复杂，通常用于高精度齿轮传动〔6级精度以上〕的弯曲强度计算。
对于制造精度较低〔如7、8、9级精度〕的齿轮传动，为了简化计算，通常假设全部载荷作用于齿顶并仅由一对齿承担。
对由此引起的误差，用重合度系数Ye予以修正。
如上左图所示，作用于齿顶的法向力Fn，可分解为相互垂直的两个分力：切向分力FncosaF 使齿根产生弯曲应力和切应力，径向分力FnsinaF使齿根产生压应力。
其中切应力和压应力起得作用很小，疲劳裂纹往往从齿根受拉边开始。
因此，只考虑起主要作用的弯曲拉应力，并以受拉侧为弯曲疲劳强度计算的依据。
对切应力、压应力以及齿根过渡曲线的应力集中效应的影响，用应力修正系数Ysa予以修正。
齿根疲劳弯曲强度计算公式设力臂为hF，危险截面宽度为SF，齿根危险截面的名义弯曲应力为式中：，称为齿形系数。
(1)齿根弯曲疲劳强度校核公式计入载荷系数K、重合度系数Ye、应力修正系数Ysa，则得齿根弯曲疲劳强度的校核公式为将代入上式，可得齿根弯曲疲劳强度的设计公式式中YFa-为载荷作用于齿顶的齿形系数，用以考虑齿廓形状对齿根弯曲应力sF的影响。
YFa是无因次量，凡影响齿廓形状的参数〔如Z、x、α等〕都影响YFa〔下上图〕，而与模数无关。
YFa值可由下以下列图查取。
YSa-应力修正系数，其值可由以下列图查取。
Ye-重合度系数，根据重合度e a计算，按σFP-许用弯曲应力〔Mpa〕,按式计算。
弯曲强度公式应用说明在齿根弯曲疲劳强度计算中，配对齿轮的齿形系数Y Fa、应力修正系数Y sa、许用弯曲应力σFP可能不相同。
因此，在校核计算时，两齿轮要分别进行；而在使用设计公式时，应取Y Fa1Y sa1/σFP1和Y Fa2Y sa2/σFP2中的较大者代入计算。
2 齿轮传动的许用应力和设计参数选择1.许用应力〔1〕许用接触应力σHP许用接触应力为式中：σHlim-失效概率为1%时，试验的齿面接触疲劳极限，由材料的σHlim查取。
图中ML、MQ、ME表示对材料质量和热处理要求的等级〔ML-低、MQ-中、ME-高〕，一般按MQ选择σHlim。
Z N-接触疲劳强度的寿命系数，其值可根据所设计齿轮的应力循环次数N=60nkt h〔n为齿轮转速，k为齿轮每转一周同侧齿面啮合的次数，t h为齿轮设计的工作小时数〕，由接触疲劳强度寿命系数Z N查取。
Z W-工作硬化系数；考虑软〔大齿轮〕硬〔小齿轮〕齿面组合传动过程中，小齿轮对大齿轮齿面产生冷作硬化，使大齿轮的许用接触应力得以提高，故引进该系数。
其值可按下式计算：式中HB为大齿轮齿面的布氏硬度值；当HB≤130HBS时，取ZW=1.2；当HB≥470HBS 时，取ZW=1；ZX-接触疲劳强度的尺寸系数，考虑尺寸增大使材料强度降低的系数,其值由图查取；SH-接触疲劳强度的最小安全系数，可由最小安全系数参考值查取。
(2) 许用弯曲应力σFP许用弯曲应力为式中：σFlim-失效概率为1%时，试验齿轮的弯曲疲劳极限，由齿轮材料弯曲疲劳极限应力σFlim 查取。
当双向受载时，应将查得的σFlim值乘以0.7Y N--弯曲疲劳强度计算的寿命系数，可根据所设计的齿轮的应力循环次数N,由抗弯疲劳强度寿命系数Y N查取Y ST-实验齿轮的应力修正系数,取Y ST=2.0；YX-弯曲疲劳强度的尺寸系数，由图查取；S F-弯曲疲劳强度的安全系数，可由最小安全系数参考值查取。
2. 齿轮传动的主要参数选择几何参数的选择对齿轮的结构尺寸和传动质量有很大影响，。
在满足强度条件下，应合理选择。
(1) 齿数比u为了防止齿轮传动的尺寸过大，齿数比u不宜过大，一般取u≤7。
当要求传动比大时，可以采用两级或多级齿轮传动。
(2) 模数m和小齿轮齿数z1模数m直接影响齿根弯曲强度，而对齿面接触强度没有直接影响。
用于传递动力的齿轮，一般应使m>1.5～2mm,以防止过载时轮齿突然折断。
标准齿轮zmin≥17，假设允许轻微根切或采用变位齿轮，zmin可以少到14或更少。
对于闭式软齿面齿轮传动，按齿面接触强度确定小齿轮直径d1后，在满足抗弯疲劳强度的前提下，宜选取较小的模数和较多的齿数，以增加重合度，提高传动的平稳性，降低齿高，减轻齿轮重量，并减少金属切削量。
通常取z1=20～40。
对于高速齿轮传动还可以减小齿面相对滑动，提高抗胶合能力。
对于闭式硬齿面和开式齿轮传动，承载能力主要取决于齿根弯曲疲劳强度，模数不宜太小，在满足接触疲劳强度的前提下，为防止传动尺寸过大，z1应取较小值，一般取z1＝17～20。
配对齿轮的齿数以互质数为好，至少不要成整数比，以使所有齿轮磨损均匀并有利于减小振动。
(3) 齿宽系数Fd当载荷一定时，Fd选大值，可减小齿轮直径和中心距，使传动更紧凑。
但齿宽将增大，载荷沿齿向分布不均匀现象会更严重。
因此应合理选择Fd。
对于闭式固定传动比的齿轮传动，当齿轮精度高并轴的刚度大时，可选较大的值Fd。
一般可参考齿宽系数Fd的推荐值选取。
对于基于中心距的齿宽系数Fa〔＝b/a〕，与的关系为Fd=Fa(u+1)/2〔外啮合〕，设计时可换算。
为保证装配后的接触宽度，通常取小齿轮齿宽b1比大齿轮齿宽b2大5～10mm，强度计算时取b=b2大。
(4) 变位系数x采用变位齿轮传动的主要目的：提高齿轮强度，改善传动质量，防止根切，凑中心距等。
为了实现这些目的，必须合理选择变位系数。
以下介绍一种线图法，首先根据使用要求，以齿数和zS(=z1+z2)在图外啮合齿轮变位系数选择范围a上选择适当的总变位系数xS(=x1+x2)。
然后用图外啮合齿轮变位系数选择范围b分配变位系数x1和x2。
即以zS/2和zS/2的坐标值求得交点，过交点按相邻的两条射线L作射线，再分别过横坐标z1和z2作垂线与该射线相交，交点的纵坐标即为变位系数x1和x2的值。
3 斜齿圆柱齿轮传动的强度计算斜齿圆柱齿轮传动的强度计算是以其当量直齿轮为对象进行的。
因此，直齿圆柱齿轮的强度计算的方法原则上适用于斜齿轮传动，并考虑斜齿轮传动的特点，求出其强度计算公式。
1. 齿面接触疲劳强度计算斜齿圆柱齿轮的齿面接触应力仍按节点处计算，以法面齿形〔当量齿轮的齿形〕进行分析，并综合考虑螺旋角的影响。
斜齿轮的计算法向力为斜齿轮节点处的综合曲率半径应按法面计算，其法面曲率半径r n为于是：由于斜齿轮的接触线是倾斜的，对接触疲劳强度产生有利的影响，故引进螺旋角系数予以考虑。
斜齿轮接触线的长度L不仅要考虑端面重合度e a，还要考虑轴向重合度eβ的影响。
引入重合度Ze，则其平均长度为将上述关系式代入式得令则齿面疲劳强度的校核公式为取带入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式式中ZH-节点区域系数，按图节点区域系数ZH查取Ze-重合度系数，按图重合度系数Ze查取；Zβ-螺旋角系数，由下式计算其他参数与直齿轮相同。
2 根弯曲疲劳强度计算斜齿轮的齿根弯曲疲劳强度计算，通常按其法面当量齿轮进行，各参数均为法面参数。
由于斜齿轮的接触线是倾斜的，轮齿多为局部折断，其承载能力比直齿轮显著增加。
因此，螺旋角对齿根弯曲强度产生的有利影响，用螺旋角系数Yβ予以考虑。
则齿根弯曲疲劳强度的校核公式为取，带入上式，得齿根弯曲疲劳强度的设计公式式中YFa-齿形系数，按当量齿数，由图外齿轮的齿形系数YFa查取；YSa-应力修正系数，按当量齿数，由图应力修正系数YSa查取；Ye-重合度系数，根据端面重合度系数和轴向重合度，由下式计算式中为当量齿轮的端面重合度，Yβ-螺旋角系数，根据螺旋角β和轴向重合度eβ，由下式计算当eβ>1时，取eβ=1；当β>30°时，取β=30°。