初中数学第十九章 一次函数教案人教版
初中数学人教八年级下册(2023年新编)第十九章 一次函数《一次函数》教案
第十九章一次函数一次函数一教学目标知识与技能：1 理解一次函数和正比例函数的图像是一条直线；2 熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握 k与b的取值对直线位置的影响。
过程与方法：1 经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点；2 体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂。
情感态度与价值观：1 体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
2 在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
二.教学重点和难点教学重点：理解掌握一次函数的图像的特征和相关的性质。
教学难点：理解一次函数的概念。
三教学用具多媒体课件，教学用直尺、三角板等。
四教学过程（一）复习引入：师：上节课我们学习了正比例函数，知道正比例函数也是一次函数，是特殊的一次函数，而且我们也知道正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象是什么（二）情境创设师：前面我们学习了用描点法画函数图象的方法，下面请同学们根据画图象的步骤：列表、描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像。
画出函数y=-6x与y=-6x+5 y=6x与y=6x+5的图象请同学们观察并互相讨论，并回答：你所画出的图象是什么形状？和前面我们学过的正比例的函数图象相同吗？这就是我们这一节课要学到的内容：一次函数。
板书：第十九章一次函数一次函数（三）探索新知1 一次函数的概念师：观察上面四个函数的图象，发现它们都是直线。
你能说出哪些是正比例函数的图象吗若把另外两个叫做一次函数，你能类比正比例函数的定义给出一次函数的定义吗？学生独立思考后进行小组交流，探讨、然后小组汇报讨论结果。
师：参与学生的活动，了解各小组的讨论情况，了解同学质疑，并适时点拨，共同概括出一次函数的概念。
提示学生，类比一次方程、一次不等式等知识。
总结并板书：【板书】一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
【人教版】数学八下：第19章《一次函数》全章名师教学设计
【人教版】数学八下：第19章《一次函数》全章名师教学设计一. 教材分析人教版数学八下第19章《一次函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步深入学习一次函数的知识。
一次函数是实际问题中应用最广泛的一种函数，本章内容主要包括一次函数的定义、性质、图像以及一次函数在实际问题中的应用。
通过本章的学习，使学生能理解和掌握一次函数的基本概念和性质，能运用一次函数解决一些简单的实际问题，为后续学习其他函数知识打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念，对函数有一定的认识。
但在实际应用中，对一次函数的理解和运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生理解和掌握一次函数的知识，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数的图像。
3.能够运用一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数图像的绘制。
3.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握一次函数的知识。
2.实践操作法：让学生动手绘制一次函数的图像，提高学生的实践能力。
3.问题驱动法：提出实际问题，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的相关课件，包括图片、动画等。
2.练习题：准备一些一次函数的相关练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一次函数的概念。
例如：某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）讲解一次函数的定义和性质，通过课件展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生动手绘制一次函数的图像，加深对一次函数的理解。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
人教版初中数学八年级下册第十九章：一次函数(全章教案)
第十九章一次函数教材简析本章的主要内容有：(1)函数、一次函数与正比例函数的概念；(2)函数的表示方法；(3)一次函数的图象与性质；(4)一次函数的应用．函数是刻画各种运动变化的常用模型，其中最为简单的是一次函数，它可以解决现实生活中的许多问题，本章将主要向学生讲授一次函数的相关知识．本章是中考中的必考内容，主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，结合函数图象对简单的实际问题进行信息分析，通过分析函数关系式对变量的变化规律进行预测等，题型多样．教学指导【本章重点】通过学习变量间的关系初步体会函数的概念，明确函数的三种表示方法，一次函数的图象、性质及其应用．【本章难点】函数的概念和一次函数的应用．【本章思想方法】1．分类讨论思想：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得出结论．在本章中，有时确定一次函数的表达式时，要根据一次函数所对应的直线位置来求解，做到不重复、不遗漏．2．数形结合思想：本章在解决与一次函数有关的函数值大小比较时，利用数形结合解决这类问题最快最优．另外解决一次函数图象的综合题时，也常用数形结合法．3．函数与方程思想：将具体问题抽象为函数模型，根据函数之间的关系建立方程，通过方程解决问题的方法称为函数与方程思想．在本章中，经常根据实际问题抽象出一次函数模型，并根据函数图象的交点建立一元一次方程来求某些特殊值．课时计划19.1函数4课时19.2一次函数6课时19.3课题学习选择方案1课时19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .x 与y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数．2．进一步掌握确定函数关系式的方法．3．会确定自变量的取值范围．【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯．二、重难点目标【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法．2．确定自变量的取值范围．【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式．3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，y＝b，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b叫做x＝a时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是v随着t的增大而增大．(3)当t每增加1秒，v的变化情况不相同，在第9秒时，v的增加量最大．(4) 120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)．(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升．(3)令y＝0，即200－2t＝0，解得t＝100.100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分，故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x的值，实际上就是解方程．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！19.1函数19.1.2函数的图象第1课时函数的图象教学目标一、基本目标【知识与技能】1．学会用列表、描点、连线画函数图象．2．学会观察、分析函数图象信息．【过程与方法】在研究函数图象的过程中体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力．【情感态度与价值观】1．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．2．认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．二、重难点目标【教学重点】1．函数图象的画法．2．观察分析图象信息．【教学难点】分析概括图象中的信息．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P75～P79的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．什么是函数图象？解：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．2．在学习函数图象时，可以通过以下两点帮助理解：(1)函数图象上的任意点P(x，y)中的x、y都满足其函数解析式；(2)满足函数解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上．3．用函数图象描述实际问题时，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．4．如何作函数图象？具体步骤有哪些？画函数的图象，一般运用描点法．用描点法画函数图象的一般步骤：(1)列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．自变量的取值不应使函数太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜；(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连结起来．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的大致函数图象是()A BC D【互动探索】(引发学生思考)行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加，但增加的比高速路上慢，故B 符合题意．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息及生活实际，判断图象各阶段的变化情况和特征．【例2】作出函数y ＝－6x的图象．【互动探索】(引发学生思考)先列表取值，再描点，最后连线． 【解答】列表：【互动总结】(学生总结，老师点评)画函数图象要经过列表、描点、连线三个步骤，列表时自变量取值要有代表性(自变量不可以只取正数，也不可以只取负数)．自变量不为0，表示图象不是连续的，在自变量为0时，图象断开，分为两段．活动2 巩固练习(学生独学)1．周末小石去博物馆参加综合实践活动，先骑行共享单车前往，0.5小时后到达公交车站，他在公交车站等了一段时间，遇到了叔叔，搭上了叔叔的电瓶车前往．已知小石离家的路程s (单位：千米)与时间t (单位：小时)的函数关系的图象大致如图．则小石叔叔电瓶车的平均速度为( C )A．30千米/小时B．18千米/小时C．15千米/小时D．9千米/小时2．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是(B)A B C D3．在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝－2x＋2的图象，并根据图象回答问题：(1)当x＝－1时，y的值；(2)当x为何值时，y＞0?(3)若0≤x≤3，求y的取值范围．解：列表如下：(1)根据表格，当x＝－1时y＝4.(2)根据图象，观察可得，当x＜1时，y＞0.(3)根据图象，观察可得，若0≤x≤3，则－4≤y≤2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小明从家到学校的路程是多少米？(2)小明在书店停留了多久？(3)本次上学途中，小明一共骑行了多少米？一共用了多长时间？(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全范围．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全范围内吗？【互动探索】根据图象，获取其中的信息，图象中横、纵坐标表示的是什么？函数值随自变量的变化趋势是怎么样的？【解答】(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米．(2)根据图象，从8分钟到12分钟这段时间内距离不变，故小明在书店停留了4分钟． (3)一共骑行的总路程为1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)，共用了14分钟．(4)由图象可知：0～6分钟时，平均速度为12006＝200(米/分)；6～8分钟时，平均速度为1200－6008－6＝300(米/分)；12～14分钟时，平均速度为1500－60014－12＝450(米/分)．所以，12～14分钟时，小明骑车速度最快，不在安全范围内．【互动总结】(学生总结，老师点评)解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数的图象⎩⎪⎨⎪⎧作法意义应用练习设计请完成本课时对应训练！第2课时函数的三种表示方法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．总结函数三种表示方法，并总结三种表示方法的优缺点．2．会根据具体情况选择适当方法．【过程与方法】经历回顾思考训练提高归纳总结能力．【情感态度与价值观】1．积极参与活动，提高学习兴趣．2．在数学活动过程中形成合作交流意识及独立思考习惯．二、重难点目标【教学重点】函数三种表示方法．【教学难点】会根据具体情况选择适当方法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．函数的三种表示方法分别是解析式法、列表法、图象法．2．用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法．3．把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．4．用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．5．函数的三种表示方法的优缺点有哪些？活动1小组讨论(师生互学)【例1】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：(1)(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．【互动探索】(引发学生思考)能从表格中直接读出挂重物体的质量与对应的弹簧总长度的值吗？如何根据表格写出所挂物体的质量与弹簧的总长度之间的函数关系？【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．【互动总结】(学生总结，老师点评)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如成绩表、银行的利率表等．【例2】如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：(1)汽车一共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？【互动探索】(引发学生思考)从函数图象中我们得到哪些信息？这些信息与所求问题有何关系？【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)①由纵坐标看出汽车到达B 点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B 点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)；②由纵坐标看出汽车从B 到C 没动，此时速度为0千米/时；③由横坐标看出汽车从C 到D 用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．【互动总结】(学生总结，老师点评)图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．【例3】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y (升)，行驶路程为x (千米)．(1)写出y 与x 的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？【互动探索】(引发学生思考)剩余油量为y(升)与行驶路程为x(千米)之间满足什么样的等量关系？根据自变量的取值怎样求函数值？由函数值怎样求出自变量的取值？【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶80 km.【互动总结】(学生总结，老师点评)解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．活动2巩固练习(学生独学)1．下面说法中正确的是(C)A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的函数关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对2．某学习小组做了一个实验：从一幢100 m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：A．苹果每秒下落的路程越来越长B．苹果每秒下落的路程不变C．苹果下落的速度越来越快D．可以推测，苹果落到地面的时间不超过5秒3．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为(B)。
八年级数学下册 第十九章 一次函数数学活动教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学
第十九章一次函数数学活动【教学目标】知识与技能1．会根据两个变量的部分对应值建立函数模型；2．会用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律；过程与方法经历根据两个变量的部分对应数据建立函数模型的过程，体会函数建型过程中的归纳思想、数形结合思想；情感、态度与价值观初步体会函数模拟思想并形成节约用水的意识．【教学重难点】重点：根据两个变量的部分对应值建立函数模型难点：用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律；【导学过程】【新知探究】活动1（1）根据下表数据，在平面直角坐标系中画出世界人口增长曲线图；（2）选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的函数解析式；（3）按照这样的增长趋势，估计2020 年的世界人口总数．活动2、一个水龙头漏水，有人认为漏这一点水没有什么大不了，你也这样认为吗？水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的试验与研究：（1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5分钟记录一次容器中的水量。
并填写下表。
（2）建立直角坐标系，以横轴表示时间t,纵轴表示水量w，描出以上述试验所得数据位坐标的各点，并观察它们的分布规律。
（3）试写出w关于t的函数解析式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量。
为了估计一个水龙头一个月（30 天）漏水量、一年（365 天）漏水量，大家在课前进行了必要的数据收集，现在请各研究小组展示自己获得的数据．为了估计一月和一年的漏水量，我们能收集该水龙头一个月和一年的漏水量吗？这样做可行吗？有了变量之间的部分对应值，要求其余对应值，我们需要做什么？这是什么函数？怎样求函数解析式？请在平面直角坐标系中画出相应的点．从图象上看，这个函数应该是什么函数？能求出这个函数的解析式吗？各小组通过努力，解决了问题，发现滴水之漏，随着时间累积，浪费巨大．刚才交流过程中，各小组得到的函数解析式不尽相同，结果也不尽相同，为什么？怎样检验得到的函数解析式是否符合实际意义？解决这个问题分哪几步进行？【知识梳理】本课我们解决了一类新问题，请带着下面问题总结经验：1.这一类新问题有什么特点？2.怎样解决这类问题？分了哪些步骤？3.从这类问题的解决过程中，你对应用函数解决问题有哪些体会？【随堂练习】1.某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？（2）当x＝12时，请设计最省钱的购买方案.2.我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.3.“一方有难，八方支援”.在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y.求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费.。
人教版八年级数学下册 第19章 一次函数 全章优秀教案
第19章一次函数19.1.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。
能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。
难点：正确理解函数的概念。
教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。
教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。
行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。
先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：2.已知每张电影票的售价为10元。
如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。
动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。
设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。
通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。
第十九章--一次函数全章教案
第十九章--一次函数全章教案人教版义务教育教材◎数学八年级下册第十九章一次函数本章概述本章主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系．以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习．全章包括三节：第19.1节变量与函数是全章的基础部分；第19.2节是全章的重点部分；第19.3节是全章的拓展提高部分，通过两个典型问题的讨论，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义．教学目标1. 以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建1人教版义务教育教材◎数学八年级下册立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.2. 结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4. 结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.5. 通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.2人教版义务教育教材◎数学八年级下册6. 进行探究性课题学习，以选择方案为问题情境，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.课时安排本章教学时间约需17课时，具体分配如下：19.1 变量与函数6课时19.2 一次函数6课时19.3 课题学习选择方案3课时教学活动小结2课时3人教版义务教育教材◎数学八年级下册19.1 函数教案A第1课时教学内容变量与函数．教学目标1. 结合实例，了解常量、变量的意义，体会“变化与对应”的思想．2. 通过动手实践与探索，让学生参与变量发现的过程，以提高分析问题和解决问题的能力．3. 引导学生探索实际问题中的数量关系，4人教版义务教育教材◎数学八年级下册1人教版义务教育教材◎数学八年级下册（2）电影票的售价为10元/张．第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x 的值的变化而变化吗？（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r 分别为10cm，20cm，30cm 时，圆的面积S 分别为多少？S 的值随r 的值的变化而变化吗？（4）用10 m长的绳子围一个矩形．当矩形的一边长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？设计意图：让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个1人教版义务教育教材◎数学八年级下册变化的量．教师引导学生思考这些问题，通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．可以分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报．最后教师进行点评．通过动手实验，调动学生的学习积极性，使学生进一步深刻体会了变量间的关系，学会运用表格形式来表示实验信息．2. 变量与常量的概念（1）在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：这些问题反映了不同事物的变化过程．其中有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s；售出票数x，票房收入y……有些量的数值是始终不变的，例如速度60 km/h，票价10元/张……在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．（2）请具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量．2人教版义务教育教材◎数学八年级下册（3）举出一些变化的实例，指出其中的变量和常量．学生先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选派代表汇报．通过活动，培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力．三、课堂练习指出下列问题中的变量和常量：1. 某市的自来水价为4元／t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．2. 某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π．4. 把10本书随意放入两个抽屉（每个抽3人教版义务教育教材◎数学八年级下册屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．练习答案：1. 变量x，y；常量4．2. 变量t，w；常量0.2，30．3. 变量r，C；常量π．4. 变量x，y；常量10．四、课堂小结对本节课进行总结、理清脉络．五、布置作业教材第71、72页练习．第2课时教学内容变量与函数．教学目标1. 了解函数的概念．2. 能结合具体实例概括函数的概念．3. 在函数概念的形成过程中体会运动变4人教版义务教育教材◎数学八年级下册化与对应的思想．教学重点函数的概念．教学难点函数概念中的“单值对应”．教学过程一、导入新课教师：我们首先回顾一下上节课中的四个问题．问题（1）～（4）中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？通过挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验．归纳出变量间的单值对应关系．二、新课教学学生1：在问题（1）中，有t和s 是两个变量，每当t 取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应．学生2：在问题（2）中，有x和y是两个5人教版义务教育教材◎数学八年级下册变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．学生3：在问题（3）中，有r和S是两个变量，每当r 取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S 分别为100 πcm2，400 πcm2，900 πcm2．学生4：在问题（4）中，有x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为y＝5－x．据此可以算出x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m 时，y分别为2m，1.5m，1m，0.5m．教师：同学们说的很好，我们为他们鼓掌．上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题：6人教版义务教育教材◎数学八年级下册（1）下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？（2）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y．对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？中国人口数统计表学生：我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯7人教版义务教育教材◎数学八年级下册一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．教师：说的很好．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．从这个意义看，我们前面学习的问题中，自变量、函数和函数值分别是什么？学生1：在汽车行驶中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t＝1时，函数值s＝60，当t＝2时，函数值s＝120．学生2：在心电图中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数．学生3：在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x＝2010时，函数值y＝13.71．8人教版义务教育教材◎数学八年级下册教师：从上面可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示．三、课堂练习教材第74、75页练习．四、课堂小结今天学习了什么？还有什么问题？五、布置作业习题第19.2第1、2题．第3课时教学内容变量与函数．教学目标1. 初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数．2. 能举出生活中函数的实例，并能初步形9人教版义务教育教材◎数学八年级下册成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．3. 经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力和从图象中获取信息的能力．教学重点了解函数的意义，会求函数值．教学难点函数概念的抽象性．教学过程一、导入新课上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗？二、实例探究例1 汽车油箱中有汽油50 L．如果不再10人教版义务教育教材◎数学八年级下册加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．（1）写出表示y与x的函数关系的式子；（2）指出自变量x的取值范围；（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）行驶路程x 是自变量，油箱中的油量y是x 的函数，它们的关系为y＝50－0.1x．（2）仅从式子y＝50－0.1x 看，x 可以取任意实数．但是考虑到x 代表的实际意义为行驶路程，因此x 不能取负数．行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x ≤50．因此，自变量狓的取值范围是0≤x≤500．（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油11人教版义务教育教材◎数学八年级下册量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x ，得y＝50－0.1×200＝30．汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数的解析式．三、拓展应用例2 自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元．（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，12人教版义务教育教材◎数学八年级下册试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．解：（1）y＝0.3x＋0.5×(3500―x)＝―0.2x＋1750(x是正整数，0≤x≤3500) .（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3500×(1―40%)≤x≤3500×(1―25%).∴y max＝―0.2×3500×(1―40%) ＋1750＝1330.y min＝―0.2×3500×(1―25%) ＋1750＝1225.∴该保管站这个星期日收入保管费总数的范围在1225元至1330元之间.总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义．这样，就要求联系实际，具体问题具体分析．四、课堂练习1. 学校计划组织一次春游，学生每人交3013人教版义务教育教材◎数学八年级下册14 元，求总金额y （元）与学生数n （个）的关系．2. 为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n （个）与单价（a ）元的关系．答案：1. y ＝30n ；y 是函数，n 是自变量． 2. 100n a ，n 是函数，a 是自变量．五、布置作业习题第19.2第4、5题．人教版义务教育教材◎数学八年级下册第4课时教学内容函数的图象．教学目标1. 学会用描点法画出简单函数的图象，初步了解函数关系式与函数图象之间的关系．2. 学会观察、分析函数图象信息．3. 提高识图能力、分析函数图象信息能力．4. 体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．教学重点1. 函数图象的画法．2. 观察分析图象信息．15人教版义务教育教材◎数学八年级下册教学难点分析概括图象中的信息．教学过程一、导入新课教师指导学生在网上打开天气预报页面，引导学生学生阅读气温变化图，体会图象的直观和简单．随着计算机的普及，很多软件都可以做到输入解析式后，立刻显示出函数图象来，这样看图、识图就变得相当重要了．从上题就可以看出，图形的表示更直观，一目了然．也便于分析结论.数学不仅有数的一面，也有“形”的一面．二、新课教学例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量x 的取值范围是x＞0．我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x 的关系．16人教版义务教育教材◎数学八年级下册计算并填写下表．如下图，在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点．所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示当x＝2时，S＝4．注意：（1）要根据表格中的数值画出合适的直角坐标系．（2）描点法画函数的图象时，要描出的点的个数应取值适当．一般地，如果函数在描出的两点之间是连续的，那么已17人教版义务教育教材◎数学八年级下册描出的点之间的连线要光滑，不要出现明显的拐弯点．在完成图象后，教师引导学生得出概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．上图的曲线即函数S＝x2（x＞0）的图象．思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？18人教版义务教育教材◎数学八年级下册设计目的：由图象分析函数的变化趋势．由图象分析数量变化的规律是研究问题的方法之一．这里的气温变化情况难以用确切的解析式来表达．只能通过分析仪器自动绘制的气温变化曲线得到相关信息．可以认为，气温T是时间t 的函数，上图是这个函数的图象．由图象可知：（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）．（2）从 0 时至4 时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．（3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．三、实例探究例某河流受暴雨影响，水位不断上涨，19人教版义务教育教材◎数学八年级下册20下面是某天此河流的水位记录：时间/时0 4 8 12 16 2024 水位/米 2 2.5 34 5 6 8 （1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么？（2）根据表格画出表示两个变量的河流水位变化图． （3）哪段时间水位上升得最快？解：（1）表格反映的是时间与水位之间的关系．自变量是时间，因变量是水位．（2）河流水位变化图如下：（3）在20～24小时内，水位上升得最快．人教版义务教育教材◎数学八年级下册评注：表格中的数据不断变化的量即为变量，时间就是自变量，水位即为因变量．根据表格中的具体数据即可画出折线统计图．在统计图中，倾斜最厉害的那一段就是变化最大的．四、课堂小结总结所学内容，深化学生理解．五、布置作业习题第19.2第6题．21人教版义务教育教材◎数学八年级下册第5课时教学内容函数的图象．教学目标1. 学会用列表、描点、连线画函数图象，知道画函数图象的一般步骤．2. 学会观察、分析函数图象信息，提高识图能力、分析函数图象信息能力．3. 体会数形结合思想，并利用它解决实际生活中的问题，提高解决问题能力．4. 使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．教学重点通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转22人教版义务教育教材◎数学八年级下册23换这一数形结合的思想．教学难点通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．教学过程一、导入新课问题 上节课我们从气温曲线上获得了许多信息，知道了一些问题．现在让我们来看看下图，如何从图上找到各个时刻的气温？分析：图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t 轴，表示时间；它的纵轴是T 轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t （时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是人教版义务教育教材◎数学八年级下册24 可以找到这样的对应点，它的坐标是(10，2)．实质上也就是说，当t ＝10时，对应的函数值T ＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t ，T )，表示时间为t 时的气温是T ．二、新课教学例1 如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．右图反映了这个过程中，小明离家的距离x 与时间y 之间的对应关系．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？人教版义务教育教材◎数学八年级下册（4）小明读报用了多少时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？教师首先要引导学生观看函数的图象：这个函数的图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动，这条线段的左右端点是横坐标的差，对应相应活动所用的时间．分析：小明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x 轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．解题过程见教材．例2 在式子y＝x＋0.5中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x 的函数，画出这个函数的图象.解：从式子y＝x＋0.5可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以y 的取值范围是全体实数.25人教版义务教育教材◎数学八年级下册从x的取值范围中选出一些数值，算出y 的对应值，列表如下.根据表中数值描点（x，y），并用平滑的曲线连接这些点（下图）.从函数的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝x＋0.5随之增大．通过对函数S＝x2（x＞0）和y＝x＋0.5的具体分析和讨论，让学生经历列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，即加深了对图象意义的认识，了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备．26人教版义务教育教材◎数学八年级下册归纳：描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．三、课堂练习教材第79页练习1、2．四、布置作业习题第19.2第7、8、9、10题．第6课时教学内容函数的图象．27人教版义务教育教材◎数学八年级下册教学目标1. 总结函数三种表示方法．2. 了解三种表示方法的优缺点．3. 会根据具体情况选择适当方法．教学重点1. 认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．2. 能按具体情况选用适当方法．教学难点函数表示方法的应用．教学过程一、导入新课我们在前几节课里知道函数解析式、列表格、画函数图象，都可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法．思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？28人教版义务教育教材◎数学八年级下册这就是我们这节课要研究的内容．二、新课教学从前面几节课所见到的或自己做的练习可以看出．列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系．解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系．至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系．相比较而言，列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象；而解析式法却不如列表法直观，不如图象法形象；图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面．从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．从所填表中可清楚看到三种表示方法各29人教版义务教育教材◎数学八年级下册有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．例4 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米．解：（1）如下图，描出上表中数据对应的点．可以看出，这 6 个点在一条直线上．再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如30人教版义务教育教材◎数学八年级下册31t ＝2.5 h 等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．（2）由于水位在最近5 h 内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度y 都有唯一的值与其对应，所以y 是t 的函数．开始时水位高度为3 m ，以后每小时水位上升0.3 m ．函数y ＝0.3t ＋3（0≤t ≤5）是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h 水位上升0.3t m ，即水位 y 为（0.3t ＋3）m ．其图象是下图中点A （0，3）和点B （5，4.5）之间的线段AB ．如果在这5 h 内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h ，那么函数y ＝0.3t ＋3（0≤t ≤5）。
最新人教版八年级数学下册 第十九章《一次函数》教案
最新人教版八年级数学下册第十九章《一次函数》教案教案：一次函数第一课时：一次函数概念新课标要求：1.知道一次函数的有关概念；2.知道正比例函数是特殊的一次函数。
教学重点：一次函数的概念。
教学难点：实际问题用一次函数解析式表示出来。
教学方法：教师提出问题、引导，学生观察、思考、阅读、讨论。
引入新课：教师活动：出示问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温降低6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系。
学生活动：认真思考问题，作出解答，并在小组内讨论交流。
教师活动：1.根据学生解答情况作适当点评；2.给出问题：下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示？1）有人发现，在20—25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值；3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按1元/分收取；4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单2位：cm）随x的值而变化。
先作出来的同学将函数关系式写在黑板上，其他同学写在练本上。
学生活动：按要求做思考题。
教师活动：提出要求：仔细观察黑板上的解析式，归纳他们的共同点。
学生活动：认真观察总结。
教师活动：让学生阅读下面的“归纳”部分和以下内容，以掌握一次函数的概念。
根据“归纳”部分，我们可以发现，一次函数的形式都是自变量x的k（常数）倍与一个常数的和。
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠０）的函数，叫做一次函数。
当b＝０时，y=kx+b即y=kx，因此正比例函数是一种特殊的一次函数。
学生活动：学生应按要求阅读教材，理解并记忆一次函数的概念和一般形式。
第二课时一次函数图像新课标要求一）知识与技能1．知道一次函数的图像是直线，会用两点法画一次函数的图像。
人教版八年级数学册下第十九章;一次函数单元教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一次函数的定义、图像与性质，以及一次函数在实际问题中的应用。
2.难点：
-斜率k和截距b对一次函数图像的影响，特别是如何通过斜率判断图像的走势。
-将实际问题抽象为一次函数模型，建立数学模型解决实际问题。
-理解一次函数与线性方程、不等式之间的关系，并能灵活运用。
9.教学反思：在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和手段，根据学生的实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：教师以生活中的一次函数实例作为导入，例如“同学们，你们坐出租车的时候，有没有注意过计费方式？其实，出租车计费就涉及到了我们今天要学习的一次函数。”通过这个实例，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
7.评价与反馈：在教学过程中，教师应及时关注学生的学习情况，通过提问、练习、讨论等方式，了解学生的掌握程度，给予针对性的指导和鼓励。
8.课后作业设计：课后作业应注重巩固基础知识，同时兼顾拓展提高。布置一定数量的基础题，确保学生掌握一次函数的基本概念和性质；适当布置一些综合题，培养学生的解题能力和创新意识。
2.提出问题：请同学们思考，一次函数在我们的生活中还有哪些应用？这个问题旨在引导学生关注一次函数在现实生活中的作用，激发学生学习兴趣。
3.过渡语：接下来，我们就一起走进一次函数的世界，探索它的奥秘。
（二）讲授新知
1.讲解一次函数的定义：教师以简洁明了的语言，向学生讲解一次函数的定义，即y=kx+b（k≠0），并解释其中k和b的含义。
1.学生对函数的概念理解尚不深入，需要通过具体的一次函数实例，帮助他们巩固和拓展对函数的认识。
2.学生在图像识别和性质分析方面存在一定难度，特别是斜率k和截距b对图像影响的理解，需要教师耐心引导和实例演示。
人教版数学八年级下册教学设计：第19章 一次函数(一)
人教版数学八年级下册教学设计：第19章一次函数（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第19章一次函数（一）是学生对一次函数的定义、性质和图像的深入学习。
本章内容主要包括一次函数的定义，一次函数的图像，一次函数的性质，以及一次函数的应用。
这些内容在学生的数学学习中起着承前启后的作用，为后续学习更高级的数学知识奠定基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一次函数的基本概念，对本章内容有初步的了解。
但他们对一次函数的性质和图像的深入理解还有待提高。
此外，学生对于实际问题中的一次函数应用还不够熟练。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的性质。
2.学会绘制一次函数的图像，并能分析图像的性质。
3.能够将实际问题转化为一次函数问题，并运用一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数图像的绘制和分析。
3.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题驱动引导学生思考，案例教学法帮助学生理解和应用知识，小组合作学习法鼓励学生互相交流和合作。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实际问题。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）引导学生回顾已学过的一次函数的基本概念，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.讲解一次函数的定义，通过PPT展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的特点。
2.讲解一次函数的性质，通过PPT示例展示一次函数的增减性和过原点的性质。
操练（15分钟）1.让学生独立完成教材中的例题，引导学生运用一次函数的性质解决实际问题。
2.让学生分组讨论，共同完成一个实际问题的一次函数模型建立和求解。
巩固（10分钟）1.让学生完成PPT上的练习题，检验学生对一次函数定义和性质的掌握情况。
2.教师对学生的练习情况进行反馈，针对学生的错误进行讲解和指导。
拓展（10分钟）1.让学生思考一次函数在实际生活中的应用，引导学生将所学知识与生活实际相结合。
人教版八年级数学教案：第十九章一次函数(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y = kx + b的表达式，其中k为斜率，b为截距。它是描述两个变量线性关系的重要数学工具，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明的利润与他卖出的书本数量成正比，每卖出一本书利润为5元。我们，y为获得的利润。
1.加强对重点难点的讲解，通过更多具体的例子和图形演示，帮助学生深入理解一次函数的性质和图像变换。
2.在实践活动和小组讨论中，更加关注学生的参与度和思考过程，引导他们围绕主题进行深入探讨，鼓励他们提出自己的观点和想法。
3.注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在学习过程中发现问题、解决问题，从而提高他们对一次函数知识的运用能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数学建模意识，将一次函数应用于解决实际问题，使学生能够运用数学知识构建模型，解决现实生活中的问题。
4.培养学生的数据分析能力，通过对一次函数数据的处理和分析，让学生掌握数据处理的基本方法，形成数据驱动的思维习惯。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励学生在一次函数的学习过程中提出问题、探索规律，培养创新意识和合作交流能力。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数(图象信息)教学设计
4.课后反思：请学生撰写一篇关于本节课学习的反思，内容包括：
-一次函数图象的绘制方法和注意事项；
-一次函数图象在实际问题中的应用；
-本节课的收获和仍存在的疑问。
通过课后反思，帮助学生巩固所学知识，发现自身不足，为后续学习奠定基础。
5.家长参与：鼓励家长参与孩子的学习过程，共同完成以下任务：
（四）课堂练习
1.教学活动：设计具有梯度性的课堂练习，让学生在练习中巩固所学知识。
（1）基础题：绘制给定的一次函数图象，分析斜率和截距。
（2）提高题：根据实际问题，确定一次函数的解析式，并利用图象解决问题。
2.学生练习：学生在规定时间内完成练习，教师进行个别辅导。
3.答疑解惑：针对学生存在的问题，教师进行集中讲解，帮助学生突破学习难点。
（五）总结归纳
1.教学活动：对本节课的内容进行总结，梳理一次函数图象的知识点。
（1）回顾一次函数图象的绘制方法及其性质。
（2）强调一次函数图象在解决实际问题中的应用。
2.学生总结：让学生谈谈对本节课知识的理解和感悟，提高学生的归纳总结能力。
3.教师寄语：鼓励学生在课后继续探索一次函数图象的奥秘，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
二、学情分析
八年级学生在学习了一次函数的基本概念和性质后，对本章节的图象信息有了初步的认识。在此基础上，学生对一次函数的图象信息进行深入学习，有利于巩固已学知识，提高学生的数学思维能力。然而，学生在图象信息处理方面仍存在一定的困难，如对图象的直观认识不足，对图象平移、斜率等概念的理解不够深入。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
-通过实际问题的解决，使学生认识到数学在生活中的价值，提高学生的数学素养。
初中一次函数教案优秀5篇
初中一次函数教案优秀5篇一次函数的优秀教学设计篇一课题：14.2．2一次函数课时：57教学目标（一）教学知识点１．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛２．知道一次函数与正比例函数关系．３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．４．会用简单方法画一次函数图象．（二）能力训练要求１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．教学重点１．一次函数解析式特点．２．一次函数图象特征与解析式联系规律．３．一次函数图象的画法．教学难点１．一次函数与正比例函数关系．２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．教学方法合作─探究，总结─归纳．教具准备多媒体演示．教学过程ⅰ．提出问题，创设情境问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y 与x的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：y=15-6x（x≥0）当然，这个函数也可表示为：y=-6x+15（x≥0）当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．ⅱ．导入新课我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（℃）有关，即c 的值约是t的7倍与35的差．２．一种计算成年人标准体重g（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是g的值．３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．这些问题的函数解析式分别为：１．c=7t-35．２．g=h-105．３．y=0．01x+22．４．y=-5x+50．一次函数教案篇二教材分析《一次函数》是人教版的义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第十九章的内容。
人教版八年级数学第19章一次函数复习课教学设计
2.培养学生的逻辑思维能力和批判性思维，提高学生的数学思维能力。
-在讲解与练习中，鼓励学生多角度思考问题，培养逻辑推理和批判性思维。
-引导学生通过反思、总结，形成自己的学习方法，培养独立思考和问题解决的能力。
3.培养学生的团队协作精神，学会尊重他人，发展良好的个性品质。
2.能够解决实际问题中的一次函数模型，运用一次函数的知识解释生活现象。
-学生通过实例分析，学会构建一次函数模型解决实际应用问题，如距离与速度的关系、成本与产量的关系等。
-学会在坐标轴上准确地绘制一次函数图像，并能够通过图像分析函数值的变化趋势。
3.掌握一次函数与其他数学知识（如不等式、坐标系等）的综合运用，增强解决问题的综合能力。
-例如：判断下列各题中，哪些是一次函数的图像？请给出理由。
2.实际问题应用题：布置一些与生活实际相关的一次函数应用题，让学生学会将理论知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
-例如：某商店进行促销活动，每购买100元商品可获赠20元优惠券，请用一次函数表示购买商品原价x（元）与实际支付y（元）之间的关系。
-教学过程中，注重差异化教学，关注每一个学生的个体发展，提供不同层次的教学资源，使所有学生都能在原有基础上得到提高。
-创设互动、轻松的课堂氛围，鼓励学生敢于表达、勇于尝试，充分调动学生的积极性。
3.教学评价与反馈：
-采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组合作、测验成绩等，全面评估学生的学习效果。
-一次函数图像与解析式之间的关系理解，特别是斜率k和截距b对图像的影响。
-一次函数在实际问题中的应用，如何构建数学模型解决实际问题。
-一次函数与其他数学知识（如不等式、坐标系等）的综合运用。
人教版八年级数学下册第十九章《一次函数》同步教学设计
二、学情分析
八年级学生在学习了线性方程的基础上，已经具备了一定的逻辑推理和解决问题的能力。在此基础上，本章的一次函数学习将有助于学生进一步理解数学与现实生活的联系。学生在此阶段，对图像的观察和几何直观能力逐渐增强，但对函数概念的理解尚处于初级阶段，需要通过具体实例和实践活动来逐步引导。此外，学生在小组合作学习中，能够发挥团队协作精神，但在独立思考和问题解决方面仍有待提高。因此，在本章节的教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过自主探究和合作交流，逐步掌握一次函数的知识，提高数学素养。
（2）已知一次函数的解析式，分析其图像的性质，如斜率、截距等。
（3）运用一次函数解决实际问题，如计算物品价格、预测趋势等。
2.提高拓展题：
（1）在一次函数图像上，平移、伸缩等变换会对图像产生怎样的影响？请举例说明。
（2）已知两个一次函数的解析式，求它们的交点坐标。
（3）设计一个实际问题，运用一次函数建立数学模型并求解。
在教学过程中，教师应及时给予学生反馈，指导他们调整学习策略，提高学习效率。
6.结合课后作业，布置具有挑战性的实际问题，让学生在解决问题的过程中，进一步巩固所学知识，提高应用能力。
例如：让学生调查身边的物价变化情况，运用一次函数建立数学模型，预测未来的价格走势。
7.开展数学实践活动，让学生在实际操作中感受数学的魅力，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
人教版八年级数学下册第十九章《一次函数》同步教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的表示形式，并能够准确地识别一次函数的图像。
八年级下第19章一次函数全章教案_新人教版
八下人教版十九章一次函数教案第十九章一次函数单元备课一次函数单元名称单元教学目标单元知识结构教学重点：对于一次函数与正比例函数概念的理解．重点、难点教学难点：根据具体条件求一次函数与正比例函数的解析式课时划分第19章一次函数19.1变量19.1.1变量与函数授课时间：知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。
增强对变量的理解过程与方法：师生互动，讲练结合情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想重点：变量与常量难点：对变量的判断教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式教学设计：引入：信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，s.新课：问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x 张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。
记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。
指出上述问题中的变量和常量。
范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。
初中数学人教版八年级下册《第十九章 一次函数 19.2 一次函数》教案
《一次函数》教案【教学目标】1.知识与技能（1）结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。
（2）能根据一次函数的图象和表达式y =kx+b（k≠0）理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况. 从而理解一次函数的增减性；2.过程与方法使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观通过观察图象概括一次函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观。
【教学重点】一次函数的概念。
【教学难点】用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课的学习中，我们学习了正比例函数的相关知识，大家一起来回忆一下吧。
【过渡】正比例函数相对来说是比较基础的，今天我们就来学习另一种函数：一次函数。
一次函数的图象和性质有什么特点呢？今天我们就来探究一下。
二、新课教学1．一次函数【过渡】跟学习正比例函数一样，我们通过不同的问题来学习一次函数。
首先，我们来思考这样一个问题。
某登山队大本营所在地的气温为5ºC，海拔每升高1km气温下降6ºC，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是yºC，试用解析式表示y与x的关系。
【过渡】通过分析，我们知道，海拔每增加xkm，气温就下降6x℃，因此，我们得到解析式为：y=-6x+5【过渡】对于这个关系式，我们能够计算不同海拔下的温度，比如说，登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是y=-6×0.5+5=2℃。
【过渡】根据刚刚的问题，我们知道，这个解析式与正比例函数相比，多了一个常数项。
那么是不是所有的这类式子都有一样的特征呢？我们再来看几个问题。
课本P90思考内容。
【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？（学生回答）列表更清晰直观。
人教版数学八年级下册第19章一次函数(教案)
一、教学内容
本节课依据人教版数学八年级下册第19章“一次函数”进行设计。教学内容主要包括以下几部分：
1.一次函数的定义：介绍一次函数的概念，使学生理解一次函数的表达式y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的含义。
2.一次函数的图像：探讨一次函数的图像特点，包括直线、斜率和截距，以及图像与k、b的关系。
4.培养学生的几何直观能力：通过一次函数图像的绘制和分析，提高学生对几何图形的认识，培养几何直观素养。
本节课将着重关注这些核心素养的培养，使学生能够在掌握一次函数知识的同时，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-一次函数的定义：重点讲解一次函数表达式y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的意义，使学生理解k、b分别代表斜率和截距。
五、教学反思
在这次一次函数的教学中，我注意到学生们对一次函数的定义和图像绘制掌握得相对较好，但在理解斜率和截距的实际意义以及一次函数在解决具体问题中的应用上，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要从以下几个方面进行改进和加强。
首先，针对斜率和截距的理解，我可以设计更多的直观演示和实际案例，让学生能够更直观地感受到斜率和截距在图像上的具体表现。比如，可以让学生们通过动手操作，改变斜率和截距的值，观察图像的变化，从而加深对这两个概念的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，其中k和b种数学模型。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设苹果的价格是每千克2元，那么购买x千克的苹果需要支付y元，可以表示为一次函数y=2x。这个案例展示了如何利用一次函数解决实际问题。
人教版八年级数学下册第19章一次函数(教案)
（4）一次函数与其他函数的关系：了解一次函数与正比例函数、反比例函数的联系与区别；
举例：对比y=kx和y=k/x的图像特点，阐述一次函数与正比例函数、反比例函数的关系。
2.教学难点
（1）一次函数图像的变换：理解平移、缩放等变换对一次函数图像的影响；
3.在探究一次函数性质的过程中，锻炼学生的数据分析、数学运算能力，提升数学核心素养；
4.深化学生对一次函数与其他函数关系的理解，培养他们数学知识的整合与应用能力，增强综合素质。
具体内容包括：
（1）让学生在实际问题中运用一次函数，学会从数学角度分析问题，提高数学抽象和逻辑推理能力；
（2）引导学生通过观察、分析一次函数图像，培养直观想象力和数学建模素养；
（4）一次函数与坐标轴的交点：求解一次函数与坐标轴的交点；
难点解析：学生可能在求解过程中忽视k=0的特殊情况，需要强调并举例说明；
举例：求解y=2x+1与x轴、y轴的交点，解释当k=0时，函数图像与y轴的交点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人同时出发，速度不同，但最终在某一点相遇的情况？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
另数模型。这说明我们在教授数学应用方面还需要加强。在接下来的教学中，我会着重培养同学们的数学建模能力，让他们学会从实际问题中抽象出数学模型，并用一次函数来解决。
此外，小组讨论环节也让我看到了同学们的积极参与和合作精神。他们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点和实例。这说明同学们已经能够将所学知识应用到实际情境中，这是值得鼓励的。但同时，我也注意到部分同学在讨论中较为被动，今后我会更加关注这部分同学，鼓励他们积极参与，提高他们的自信心。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数教学设计
6.反思总结：要求学生撰写学习心得，对自己在本节课的学习过程中的收获、困惑和感悟进行总结，以便教师了解学生的学习状况，为下一步教学提供参考。
7.预习任务：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解新课的知识点，为课堂学习做好准备。
2.提出问题：让学生思考，如何用数学模型来描述这些实例中的数量关系？从而引出一次函数的定义。
3.引导学生回顾已学的相关知识：线性方程、不等式等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.一次函数的定义：讲解一次函数的一般形式y=kx+b，解释k、b的含义，以及它们对函数图像的影响。
2.一次函数图像的绘制：介绍如何根据一次函数的解析式绘制其图像，讲解斜率k、截距b与图像的关系。
3.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享学习心得，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.针对不同学生的学习水平，设置难易适度的练习题，让每个学生都能得到锻炼。
3.及时反馈：教师对学生的练习情况进行反馈，指出错误，指导解题方法。
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结一次函数的定义、图像、性质和应用。
-对于优秀学生，提供拓展性的学习资源，激发他们的潜能，培养他们的创新能力。
5.教学反思：
-在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和策略，根据学生的反馈进行调整。
-教师应关注学生的学习需求，以提高教学效果，促进学生全面发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.从生活实例导入：以生活中的一次函数实例，如手机话费套餐、出租车计费等，引出一次函数的概念，让学生感受到数学与现实生活的紧密联系。
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目录第十九章一次函数19.1 函数/4719.1.1 变量与函数/47第1课时变量/47第2课时函数/4919.1.2 函数的图象/5119.2 一次函数/5419.2.1 正比例函数/5419.2.2 一次函数/56第1课时一次函数/56第2课时求一次函数的表达式/59 19.2.3 一次函数与方程、不等式/61 19.3 课题学习选择方案/63第十九章一次函数知识结构课题变量与函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)认识变量、常量.(2)学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.2.过程与方法(1)经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.(2)逐步感知变量间的关系.3.情感、态度与价值观(1)积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.(2)形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重难点重点:(1)认识变量、常量.(2)用式子表示变量间关系.难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学活动设计二次设计课堂导入情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.行驶时间为t 小时.1.请同学们根据题意填写下表:t/小时12345s/千米2.在以上这个过程中,变化的量是.不变的量是.3.试用含t的式子表示s.通过本节课的学习,相信大家一定能够解决这些问题.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成课本练习.合作探究探究内容设计:1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?教师:引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.学生:在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论.续表探索新知合作探究通过上述探究活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,那么数值始终不变的量称之为常量.教师指导1.归纳小结:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.2.方法规律:(1)变量和常量往往是相对的,相对于某个变化过程,在不同研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的.(2)常量、变量与字母的指数没有关系,如S=πr2中,不能说自变量是r2.当堂训练1.分别指出下列各式中的常量与变量.(1)圆的面积公式S=πr2;(2)正方形的周长:l=4a;(3)大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.2.写出下面问题的关系式,并指出常量和变量.如图,每个图中是由若干个盆花组成的图案,每条边(包括两个顶点)有n盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.板书设计变量1.什么是常量2.什么是变量3.常量与变量的区分教学反思课题变量与函数课时第2课时上课时间教学 1.知识与技能目标(1)经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.(2)进一步理解掌握确定函数关系式.(3)会确定自变量取值范围.2.过程与方法(1)经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力.(2)通过从图或表格中寻找两个变量间的关系,提高识图及读表能力,体会函数的不同表达方式.3.情感、态度与价值观(1)积极参与活动、提高学习兴趣.(2)形成合作交流意识及独立思考的习惯.教学重难点重点:1.进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.难点:认识函数、领会函数的意义.教学活动设计二次设计课堂导入如图,水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变化而变化;随着半径的确定而确定.在上述例子中,每个变化过程中的两个变最.当其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;当一个变量确定时,另一个变量也随着确定.你能举出一些类似的实例吗?从今天开始,我们就研究和此有关的问题——函数.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成课本练习合作探究我们来看下面的问题,通过观察、思考、讨论后回答:如图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?探索新知合作探究我们通过观察不难发现在上述问题的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.据此我们可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,…,同样地,在以上心电图问题中,时间x 是自变量,心脏部位的生物电流y是x的函数.教学活动设计二次设计课堂导入在太阳和月球引力的影响下,海水定时涨落的现象称为潮汐.如图是我国某港某天0时到24时的实时潮汐图.图中的平滑曲线,如实记录了当天每一时刻的潮位,揭示了这一天里潮位y(m)与时间t(h)之间的函数关系.本节课我们就研究函数图象.探索新知合作探究自学指导我们先来看这样一个问题:正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写表格:x0.51 1.52 2.53 3.5S独立思考一下,表示x与S的对应关系的点有多少个?如果全在坐标中指出的话是什么样子?可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看.得出结论:这样的点有无数多个,如果全描出来太麻烦,也不可能.我们只能描出其中一部分,然后想象出其他点的位置,用光滑曲线连接起来.这样我们就得到了一幅表示S与x关系的图.图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点(2,4)表示x=2时S=4.续表探索新知合作探究一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.函数图象可以通过数形结合来研究函数,给我们带来便利.合作探究探究一:如图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?教师引导学生从两个变量的对应关系上认识函数,体会函数意义;可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间;在某些时间段的变化趋势;认识图象的直观性及优缺点;总结变化规律…….学生在教师引导下,积极探寻,合作探究,归纳总结.探究二:如图反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y 表示小明离他家的距离.根据图象探究下列问题:(1)菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?(2)小明给菜地浇水用了多少时间?(3)菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间?(4)小明给玉米地锄草用了多长时间?(5)玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家平均速度是多少?教师引导学生分析图象、寻找图象信息,特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义.学生在教师引导下,积极思考、大胆参与、探求答案.探究三:我们通过以上两个活动已学会了如何观察分析图象信息,那么已知函数关系式,怎样画出函数图象呢?例:在下列式子中,对于x的每个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.请画出下列函数的图象.(1)y=x+0.5;(2)y=错误!未找到引用源。
(x>0).总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤:第一步:列表.在自变量取值范围内选定一些值.通过函数关系式求出对应函数值列成表格.第二步:描点.在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数值为纵坐标,描出表中对应各点.续表探索新知合作探究第三步:连线.按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连接起来.教师指导1.归纳小结:函数的图象:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.2.方法规律:(1)函数图象上的点(x,y)与函数自变量x及对应函数值y的关系:函数图象上任意一点P(x,y)中的x和y的值满足函数关系式;满足函数关系式的x与y构成的点(x,y)必定在函数图象上; (2)判断点(x,y)是否在函数图象上的方法是:将点的坐标(x,y)代入函数关系式,即自变量等于横坐标x,函数值等于纵坐标y,如果满足函数关系式,则这个点就在函数图象上,否则这个点就不在函数图象上.当堂训练1.在下雨天放置一个无盖的容器,如果雨水均匀地落入容器,容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示,那么这个容器的形状可能是( )2.“珍重生命,注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:(1)小明家到学校的路程是多少米?(2)小明在书店停留了多少分钟?(3)本次上学途中,小明一共行驶了多少米?一共用了多少分钟?(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度.问:在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快,速度在安全限度内吗?板书设计函数的图象1.函数图象的意义2.函数图象的应用教学反思课题19.2.1 正比例函数课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)认识正比例函数的意义.(2)掌握正比例函数解析式的特点.(3)理解正比例函数图象性质及特点.(4)能利用所学知识解决相关实际问题.2.过程与方法通过现实生活中的具体事例引入正比例函数,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯,同时渗透热爱大自然和生活的教育.教学重难点重点:1.理解正比例函数意义及解析式特点.2.掌握正比例函数图象的性质特点.3.能根据要求完成转化,解决问题.难点:正比例函数图象性质特点的掌握.教学活动设计二次设计课堂导入1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(每月按30天计算).这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间可以用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习.探索自学指导合作探究1.有人发现,在20~25 ℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差.2.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.3.某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分钟的计时费(按0.01元/分钟收取).探索新知合作探究4.把一个长10 cm,宽5 cm的矩形的长减少x cm,宽不变,矩形面积y(cm2)随x的值而变化.这些问题的函数解析式分别为:(1)C=7t-35;(2)G=h-105;(3)y=0.01x+22;(4)y=-5x+50.它们的形式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数形式就可以写成:y=kx+b(k≠0).一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.合作探究探究一:画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.并比较两个函数图象,探究它们的联系及解释原因.通过探究,加深对一次函数与正比例函数关系的理解,认清一次函数图象特征与解析式联系规律.教师:引导学生从图象形状,倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解解析式中k,b在图象中的意义,体会数形结合在实际中的表现.结论:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.过(0,-1)点与(1,1)点画出直线y=2x-1.过(0,1)点与(1,0.5)点画出直线y=-0.5x+1.探究二:画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象.由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?通过探究,熟悉一次函数图象画法.经历观察发现图象的规律,并根据它归纳总结出关于数值大小的性质.体会数形结合的探究方法在数学中的重要性,进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系.续表探索新知合作探究教师指导1.归纳小结:一次函数和正比例函数的概念一次函数:一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量,y 是x的函数.特别地,当b=0时,y=kx(k为常数,且k≠0),y叫做x的正比例函数.由此可以看出,正比例函数是一种特殊的一次函数.2.方法规律:(1)如果一个函数是一次函数,则含有自变量x的式子是一次的,系数k不等于0,而b可以为任意实数.(2)自变量的取值范围是任意实数.(3)k≠0这个条件不可忽略.(4)正比例函数与一次函数之间的关系:①正比例函数是特殊的一次函数,即一次函数包含正比例函数.②一次函数不一定是正比例函数,在一次函数y=kx+b(k≠0)中,当b=0时,y是x的正比例函数;当b≠0时,y不是x的正比例函数.(5)直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的关系:当k1=k2,b1≠b2时,两直线平行;当k1≠k2时,两直线相交;当k1=k2,b1=b2时,两直线重合.当堂训练1.下列函数是一次函数的是( )(A)y=-8x (B)y=-错误!未找到引用源。