线面角的三种求法
求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。
解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。
根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。
如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。
通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。
2.利用平行线与截线的交角性质。
当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。
根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。
思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。
通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。
如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。
通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。
2.利用投影线段的长度比例。
当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。
通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。
思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。
以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。
如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。
通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。
2.利用绕轴旋转。
第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】
线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。
3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。
【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=。
线面角的求法总结[学习]
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线面角的求法总结[学习]
一、定义
斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的
夹角。
一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。
二、求法
1.两斜线角度法
如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常
使用的求法。
4.斜线特点法
如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。
比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。
计算方式
如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]
三、总结
以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。
此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面
角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜
线面角。
高中数学立体几何线面角公式
高中数学立体几何线面角公式
高中数学中，有一些常见的立体几何线面角公式如下：
1. 平面与平面的夹角公式：若两个平面的法线向量分别为n1
和n2，则两个平面的夹角θ满足cosθ = |n1·n2|，其中·表示向
量的点积。
2. 直线与平面的夹角公式：若直线的方向向量为m，平面的
法线向量为n，则直线与平面的夹角θ满足cosθ = |m·n| / |m|，
其中·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
3. 直线与直线的夹角公式：若两条直线的方向向量分别为m1
和m2，则两条直线的夹角θ满足cosθ = |m1·m2| / (|m1|·|m2|)，其中·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这些公式可以帮助我们计算不同线面之间的夹角。
不过需要注意的是，这些公式只适用于非退化情况，即线面或线线之间不能有重合或平行的情况。
线线角-线面角的向量求法--
线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。
它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。
线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。
利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。
（2）转换为线线角的求法。
首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。
（3）空间坐标描述求解法。
空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
求线面角的三种方法
试题研究SHI TI Y ANJIU本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.例如图1，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE ．求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．A 1ABCDE C 1B 1A 1AB C D E C 1B 1FH 图1图2方法1直接作出线面角求解分析因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段A 1B 1的中点，所以本题比较容易作出线面角.解如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，DC 1，C 1F ．由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知，A 1B 1⊥C 1D ，A 1B 1⊥DF ．又C 1DDF =D ，所以A 1B 1⊥平面C 1DF ．而AB ∥A 1B 1，所以AB ⊥平面C 1DF ．又AB 平面ABC 1，故平面ABC 1⊥平面C 1DF ．过点D 作DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面ABC 1．连结AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角．由已知AB =2AA 1，不妨设AA 1=2，则AB =2，DF =2，DC 1=3，C 1F =5，AD =AA 21+A 1D 2=3，DH =DF ·DC 1C 1F=305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．方法2用等体积法求出点D 到面ABC 1的距离h ，h AD为所求线面角的正弦值分析如图3，连结C 1D ，BD ，即得四棱锥D -ABC 1．用等体积法，即V D -ABC 1=V C 1-DAB，容易求出点D 到平面ABC 1的距离h ．解如图3，连结C 1D ，BD.因为平面A 1B 1C 1⊥平面AB 1，C 1D ⊥A 1B 1，所以C 1D ⊥平面AB 1．不妨设AA 1=2，则AB =2，DC 1=3，AC 1=BC 1=6，AD =BD =3.易求S ΔA DB =2，S ΔABC 1=5．设D 在平面ABC 1内的射影为H ，DH =h ，连结AH ，则∠HAD 是AD 和面ABC 1所成的角.因为V D -A B C 1=V C 1-DA B，所以13×h ×S ΔA B C 1=13×C 1D ×S ΔABD ，h =305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．A 1AB C DE C 1B 1图3H ⊙潜江舒云水五胡十六国标志中国正式成为具有相似生活习惯和同一文化观念的多民族国家。
求线面角的方法 总结
求线面角的方法引言求线面角是我们在数学中经常遇到的一个问题，它涉及到线与平面的交角，有着广泛的应用。
在实际问题中，求解线面角可以帮助我们计算光线的入射角、判断两个对象的相对位置等等。
本文将总结几种常见的方法来求解线面角，并进一步思考其应用。
1. 通过向量求解线面角以平面上一条直线与平面的交角为例，我们可以通过向量的夹角来求解线面角。
使用向量可以简化计算过程，并得到准确的结果。
首先，我们可以得到直线与平面的法向量，记为n，直线的方向向量，记为d。
然后，我们可以通过向量的内积公式（?·?=|?|·|?|·cos?）求得两个向量的夹角，即线面角。
具体计算方法如下：1.使用直线上两点的坐标差来计算直线的方向向量d；2.使用法线方程或者其他方法计算平面的法向量n；3.计算向量d和向量n的夹角，即可得到线面角。
举个例子，假设我们要求解直线L与平面P的交角，直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，平面的法向量为(a, b, c)。
那么计算方法如下：1.方向向量d = (x2 - x1, y2 - y1)；2.计算法向量n = (a, b, c)；3.计算线面角的余弦值：cos? = d · n / (|d|·|n|)；4.求解弧度值：? = arccos(cos?)。
2. 利用平面方程求解线面角另一种常见的方法是利用平面的方程求解线面角。
通过平面的法向量和点到平面的距离，我们可以得到平面的方程，并利用方程求解线面角。
具体步骤如下：1.使用直线上两点的坐标差来计算直线的方向向量d；2.使用法线方程或者其他方法计算平面的法向量n；3.使用给定的点(x0, y0, z0)和法向量n计算平面的方程：ax + by + cz + d =0；4.通过点与平面的距离公式计算平面的距离：d = |ax0 + by0 + cz0 + d| /√(a^2 + b^2 + c^2)；5.计算线面角的余弦值：cos? = |d| / √(a^2 + b^2 + c^2)；6.求解弧度值：? = arccos(cos?)。
向量法求线面角公式
向量法求线面角公式
线面角是指由一条直线和一个平面所形成的角度。
通过向量法可以求出线面角的公式，具体如下：
假设直线的向量为 a，平面的法向量为 n，则线面角的大小可以通过向量点积计算：
cosθ = (a·n) / (|a||n|)
其中，|a|为向量 a 的模长，|n|为法向量 n 的模长，a·n 表示向量 a 和向量 n 的点积，θ 为线面角的大小。
通过反余弦函数可以求出线面角的弧度值，再将其转换为角度值即可得到最终的结果。
需要注意的是，在计算时需要确保直线和平面是在同一坐标系下表示的，且向量 a 与法向量 n 是互相垂直的。
空间几何--三种角
一、求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三计算）第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行线；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
第二步证明作出的角即为所求角。
第三步利用三角形边长关系计算出角。
（思路是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角）1、正方体ABCD—A1B1C1D1中， C1D和B1C所成角为；C1D 和B1D1所成角为。
2、二、线面角：技巧总结：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．1、（概念考察）若斜线段AB 是它在平面α内的射影长的2 倍，则AB与α所成的角为2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B 与平面A1B1CD 所成的角．4、在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D是PB的中点．(1)求证：AB⊥PB；(2)若AB=BC=PC，求直线AD与底面ABC所成角的正弦值.三、二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角。
αβlOAB1、如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ,B 的一点，PA=AC,求二面角P-BC-A.2、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2√6，则侧面与底面所成的二面角等于（ ）。
3、在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，（1）求 二面角D 1 –AB-D 的大小，（2）求 二面角A 1 –AB-D 的大小，PABC•O。
求线面角的正弦值的方法
求线面角的正弦值的方法
求线面角的正弦值方法：
一、概述
线面角是面试入型中常用的一种类型，其相关数学概念定义为：一个
向量与一个面相投影生成的夹角是指，将投影向量和原向量连线形成
的夹角，这种夹角称为线面角。
求线面角的正弦值是面试的重要内容，正确的求取正弦值可以使问题得以正确解答，本文给出了求线面角正
弦值的几种方法。
二、利用反余弦函数求正弦值
依据正弦定理可以得出：正弦值等于两个边长的比值。
而反余弦函数
的定义是：对于任意一个给定的非负实数y，存在唯一的x（0≤x≤π）
使得cos(x)=y。
所以利用反余弦函数可以求得线面角的正弦值。
具体的求解过程是：知道线面角的余弦值，然后予以反余弦函数进行计算，
即可求得正弦值。
三、直接求解
如果知道线面角的其他两个边长，则可以直接构造正弦定理进行正确
地求解线面角的正弦值。
计算时，先构造弧形角，然后根据此触发所
求数值把已知量代入式中，并将面积与弦长按比例计算关系简化数学
描述，最终即可求解，一般情况下计算公式如下：正弦值=两个边长的比值。
四、分析
正确地计算线面角的正弦值，是面试包括空间观念、几何形状和角的概念在内的数学题的关键。
本文提出了三种求取正弦值的方法，可以依据计算难易程度来选择合适的方法，从而更快求得正确的结果，正确的解答让面试变得容易了许多。
线面角向量法公式
线面角向量法公式线面角向量法公式，这可是高中数学里一个挺重要的知识点。
咱先来说说啥是线面角，简单讲，就是一条直线和一个平面形成的夹角。
那线面角向量法公式到底是啥呢？咱来一步步搞清楚。
假设平面的法向量是 n ，直线的方向向量是 m ，线面角是θ ，那这个公式就是sinθ = |cos<m, n>| 。
这公式看起来有点抽象，别急，咱来通过一个例子好好理解一下。
就说有一个正方体，边长都为 1 。
咱以其中一个顶点为原点，建立空间直角坐标系。
有一条棱 AB 在 x 轴上，另一条棱 AD 在 y 轴上，还有一条棱 AA1 在 z 轴上。
现在有一条直线AC1 ，它的方向向量咱可以算出来是（1，1，1）。
再看平面 ABCD 的法向量，因为这个平面和 z 轴垂直，所以法向量可以是（0，0，1）。
把这俩向量代入公式里，cos<（1，1，1），（0，0，1）> 就等于1 / √3 。
那sinθ 就等于1 / √3 ，θ 就能算出来啦。
记得我当年教学生这个知识点的时候，有个学生特别有意思。
那孩子平时数学成绩不算特别好，但是对线面角向量法公式特别感兴趣，课下还自己找了好多题来做。
有一次他兴冲冲地跑来找我，说：“老师，我用您教的这个公式，把这几道题都做出来啦！”我一看，还真做对了，那时候我心里别提多高兴了。
咱再深入说说这个公式的应用。
比如说在一些立体几何的证明题里，如果要求线面角的大小，用这个公式就能很快算出来，省了好多繁琐的步骤。
而且在解决实际问题的时候，像建筑设计、机械制造啥的，也能用到这个知识。
不过，同学们在使用这个公式的时候，可一定要注意向量的方向和夹角的范围。
有时候一个不小心，方向弄反了，或者夹角范围搞错了，答案可就不对啦。
我还碰到过有的同学，公式记住了，但是一做题就懵，不知道怎么找法向量和方向向量。
这就得靠多练习，多琢磨。
其实数学就是这样，得多动手，多思考，才能真正掌握。
总之，线面角向量法公式虽然有点小复杂，但只要用心学，多做题，肯定能拿下它。
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1
直接法
• 平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常 是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段 是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
2
四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
的角是这 • 条斜线和这个平面内的直线 • 所成的一切角中最小的角 • （常称为最小角定理）
6
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
• （1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, • ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上
的射影， • ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 • （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, • 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, • ∴面ABC⊥面SCM • 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC • ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 • ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 • sin ∠SCH=SH／SC • ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
sinθ=h／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
5
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
• 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射 影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，
θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角， 那么 cosθ=cosθ1·cosθ2 ，它揭示了斜线和平面所成
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂 线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的 平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
3
利用公式sinθ=h／ι
• 其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求 出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三 棱锥的体积自等来求垂线段的长。
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。
设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1 ∴1S／△3BBS1C△1·ABA1BC，1·h= 1／3 易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则