【电磁学】小论文——从微观到宏观描绘电场和磁场分布

从微观到宏观描绘电场和磁场分布

——用Mathematica模拟电场和磁场

黄申石PB10030013

（中国科学技术大学安徽合肥）

【摘要】电场线和磁感线可以形象地表达电场和磁场的分布，由于电场和磁场都符合场的叠加原理，通过了解带电场源的具体信息，就可以描绘出电场和磁场的分布。针对不同的带电场源，选用不同的方式进行计算机模拟场的分布，其效率是不同的。在使用计算机模拟场的分布时，通过对带电场源进行具体的分析，选择出最合适的途径进行模拟。

【关键词】电场分布、磁场分布、微观、宏观、模拟。

1 引言

在与电磁学相关的领域中，有许多问题涉及电场和磁场，甚至需要设计电场或者磁场。在没有信息时代到来之前，人们只能通过数学公式和大脑的想象得带电场和磁场的形状。如今，我们借助计算机强大的计算和绘图功能，根据场源的具体信息，通过合适的手段来模拟得到电场和磁场的分布。目前，一部分学者已经对一些简单的基本场源模型（如直线排列的点电荷系[1]，均匀带电圆盘[2]等）做了较深入的理论计算，却在计算机模拟图像方面为之甚少。因为计算机模拟图像时需要考虑到计算机软件和硬件的运算效率，只有找到合适的表达式才可以进行高效模拟。本文将介绍两种不同的计算机模拟思想。

2 描绘电场分布

2.1带电系统的电势分布和电场分布[3]

考虑真空中的点电荷q ，q 在空间中得位置矢量为'r ，空间中任一点P 的位置矢量为r

，q 在点P 产生的电势为

r -r q r U ,

041)(πε= （2.1.1）

其中11201085.8--⋅⨯≈m F ε

由于电势满足标量的叠加原理，可将一个点电荷的情况推广到带电系统的情况：

对N 个静止点电荷组成的系统有∑==N

i ,

r -r q r U 1041)( πε （2.1.2） 对长度为L 、线电荷密度为)(,r e λ的带电线有')

(41)(0dL

r -r r r U L ,,e ⎰=

λπε （2.1.3）

对面积为S 、面电荷密度为)(,r e σ的带电面有')

(41)(0dS

r -r r r U S ,,e ⎰⎰=

σπε （2.1.4） 对体积为V 、体电荷密度为)(,r e ρ的带电体有')

(41)(0

dV

r -r r r U V

,,e ⎰⎰⎰

=

ρπε （2.1.5） 由于空间中的电场函数)(r E 为电势函数)(r U

的负梯度函数，即

)ˆˆˆ(

z x

U

y y U x x U U E ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇= （2.1.6）

2.2 计算机模拟电场分布

利用2.1得出的公式，用数学软件Mathematic7.0计

算可以描绘出简单的点电荷系的电场线和等势面。

2.2.1 一个点电荷：

令 C e q 19

10

602.1-⨯== ，以点电荷所在的坐标

为原点。

通过软件模拟出的电场线呈射线状发散至无穷远，同时电场逐渐变小。由于在接近点电荷的地方，

电场线和等势面过于密集，软件无法很精确的进行作图，所以在模拟出的图像中会有一边空白。总体上

而言，通过软件模拟出的图像符合理论上的曲线图像，而基于这一点，我们可以认为所有带电体都是由这样的点电荷聚集而成，带电体产生的电场就是点电荷电场的叠加，这样，就可以通过计算机模拟一些更复杂的情况，实现从微观到宏观的分析。

2.2.2 两个点电荷：

由2.1的公式，可知两个点电荷的电势函数为

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+= r -r Qb r -r Qa r U ,,

041)(πε。其中Qa 、Qb 分别为两个电荷的带电量，

利用Mathematica7.0软件制作动画，更加形象地模拟两个点电荷形成的电场。用放大倍数d 观察，动态演示电场变化的过程。

（1）带电量Qb 变化过程：

（2）放大倍数d 变化过程

从软件模拟出结果看来，两个电荷对电场都有影响。当两个电荷带电量相同的时候，电场分布体现出了很好的对称性；当两个电荷的带电量不同时，电量较大的电荷对电场影响较大；当两个电荷带电量悬殊时，则带电量较小的电荷在空间中产生的电场可以忽略不计。从宏观的角度来看，两个电荷间的距离很小或者带电量比值很小的时候，得到的图像和“一个点电荷”的模型极为相似。从理论计算的角度也

可以说明，在两个点电荷间距很小时，电场中,a r 和,b r

近似相等，因此可把“两个点电荷”的模型近似看成

“一个点电荷”的模型，而电场强度和空间电势的大小取决于点电荷总带电量Q = Qa + Qb 的大小。

特别地，对于电偶极子的模型，Q = Qa + Qb = 0，我们是否可以认为空间中正负电荷产生的电场相互抵消了呢？从这种宏观的角度看，如果电偶极子的带电量较小，空间中的电场近似为零。由电偶极子在空间中的电场分布公式

r r

r p r p

E 5

0304)(34πεπε⋅+-

=，也可以看出在p

较小时，0≈E 。

不过，若需要精确计算电偶极子在空间中产生的电场，就不能停留在宏观的角度，需要在微观上进行精确的理论计算。

2.2.3 点电荷系：

点电荷系的电势和电场公式形式比较简单，我们试观察一般的点电荷系的电场分布。

2.2.4 线电荷：

由于线电荷在空间产生的电场具有对称性，因此，我们可以把关于线电荷周围电场分布的讨论限定在二维空间内。假设平面中一条长度为L 的均匀带电线电荷，两端坐标为)0,0(和),0(L ，在空间中产生的电势：

')(41)(,0dL

|r -r | r r U L ,e ⎰=

λπε

dl y

l x y x U L

e

⎰

+-=

2

2

)(41),(λπε

这个电势函数是积分形式，虽然计算机可以进行积分运算，但是计算积分的效率远远不如进行初等表达式的运算的效率。为了提升计算效率，所以我们需要对这个积分化简。

经化简得 L l e y x l x l L

y x U 02220

)))((2((log 4),(=+-+-=

πελ 输入化简后的函数，进行电场模拟，就可以得到线电荷产生的电场分布图像。由图像上可以观察到在线电荷的表面的电场线与电荷线垂直，并且可以看到，如果把视野放大，有限长线电荷的模型也将回归点电荷的模型。