新高一衔接班讲义(数学)[1](2020年整理).pptx
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
新高一数学衔接讲义讲义系列一(完整资料)
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（ ）
（A）１ （B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
②分母中有根式(如 )，或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．
化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)．
【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。
例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1．填空：
（1） （ ）；
（2） ；
(3) ．
（4）若 ，则 的值为________
（5）若 ，则 ______________
（6） ， ，则 ________________
（7）若 ，则 _______________
（8）若 ，则（ ）
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
例9.计算：（1） (2)
例10.设 ，求 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】：分式的化简
例11.化简 例12.化简
【典型例题—2】：分式的证明
新高一数学暑期衔接讲义第一讲数与式的运算(选上)(学生版)
第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们拥有实数的属性，能够进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】( a b c) 2a2b2c22ab 2bc2ca证明： (a b c) 2[( a b)c] 2(a b) 22(a b)c c 2a 22ab b 22ac2bc c2 a 2 b 2c22ab2bc2ca等式建立【例 1】计算：( x22x 1 )23解：原式 = [ x2(2x) 1 ]23( x 2 ) 2(2x) 2( 1)22x2 (2) x2x 2121( 2x)333x4 2 2x38 x2 2 2 x1339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 2】( a b)(a 2ab b 2 )a3 b 3(立方和公式)证明 : (a b)(a2ab b2 ) a 3 a 2b ab2 a 2b ab 2b3 a 3b3说明 :请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算：(a b)(a2ab b2 )解：原式 = [a(b)][ a2a(b)(b) 2 ]a3( b) 3 a 3b3我们获得：【公式 3】( a b)(a 2ab b 2 )a3b3(立方差公式)请同学察看立方和、立方差公式的差别与联系，公式1、 2、3 均称为乘法公式．【例 3】计算：（ 1）（ 3）(4)(16 4m m 2 ) （2） ( 11 1 m 211 2)mmn)(25mn4n5210( a 2)( a 2)( a 4 4216) （4） ( x 2 2 xy y 2 )( x 22)2axy y解：（ 1）原式 =（ 2）原式 = （ 3）原式 =（ 4）原式 =明：（ 1）在 行代数式的乘法、除法运算 ，要 察代数式的 构能否 足乘法公式的 构．（ 2） 了更好地使用乘法公式， 住 1、2、3、4、⋯、20 的平方数和 1、2、3、4、⋯、 10 的立方数，是特别有好 的．【例 4】已知 x23x1 0 ，求 x31 的 ．x 31解： x 23x1 0 x 0x3x原式 = ( x1)( x211 ) (x1)[( x 1 ) 2 3] 3(323) 18xx2x x明：本 若先从方程 x 23 x 1 0 中解出 x 的 后，再代入代数式求 ， 算 ． 本是依据条件式与求 式的 系，用整体代 的方法 算， 化了 算． 注意整体代 法．本 的解法，体 了“正 反”的解 策略，依据 求利用 知，是理智之 ．【例 5】已知 a b c0 ，求1 1 1 1 1 1 a(c) b(a) c() 的 ．bcab解：原式 =①②把②代入①得原式 =明：注意字母的整体代 技巧的 用． 引申：同学能够探究并 明：a 3b 3c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)二、根式式子a (a 0) 叫做二次根式，其性 以下：(1) ( a )2 a(a 0)(2) a 2 | a |(3)abab(a 0,b 0)(4)b b(a 0,b 0)aa【例 6】化简以下各式：(1) ( 3 2)2(3 1)2(2) (1 x)2(2 x) 2 ( x 1)解：(1) 原式 =(2)原式 =说明：请注意性质a2| a | 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论．【例 7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)33(2)11(3) 2xx38x2a b2解：(1)原式 =(2)原式 =(3)原式 =说明： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式 ( 如3(如)或被开方数有分母23x)．这时可将其化为a形式 (如x可化为x) ，转变为“分母中有根式”的状况．化简时，2b22要把分母中的根式化为有理式，采纳分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如3化为32 3(23)，此中23 与 2 3 叫做互为有理化因式)．(23)(23)【例 8】计算：(1) (ab 1)(1a b )( a b )2(2)a aa ab aab解：(1)原式 =(2)原式 =说明：有理数的的运算法例都合用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例 9】设 x2 3 , y 2 3 ，求 x 3y 3 的值．2 3 23解：原式 =说明 ：相关代数式的求值问题： (1) 先化简后求值； (2) 当直接代入运算较复杂时，可依据结论的构造特色，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式 A 的分子、 分母中起码有一个是分式时，A就叫做繁分式， 繁分式的化简常用以下两BB种方法： (1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质． 【例 10】化简xx1 xx解法一 ：原式 =解法一 ：原式 =1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质A Am进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．BB m【例 11】化简x 23x 96x x 1 x 2279x x 26 2x解：原式 =说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．练 习A 组1．二次根式a 2a 建立的条件是 ()A ． aB ． aC ． a 0D ． a 是随意实数2．若 x3 ，则 9 6xx 2 | x6 |的值是 ()A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算：4z)21 b) 2(1) ( x 3 y(2)(2a (a b)( a 2b)(3)(a b)(a2ab b 2) (ab)2(4) (a4b)( 1a 24b 2 ab)4．化简 ( 以下 a 的取值范围均使根式存心义4)：(1)8a 3(2)a1a(3)4ab(4)1 12a b ba232315．化简：(1)m 9m 10m m 2m 21(2)2x 2 yx y ( x y 0)325mx 2x 2 yB 组1 1 3x xy 3 y 1．若y2 ，则xyyxx的值为 ()：A ．33C ．5 55B ．3D ．532．计算：(1) (abc )( abc )(2) 11 1()233．设 x1 , y 1 ，求代数式 x 2xy y 2 的值．3 23 2x y4．当 3a 2ab20(a0,b 0) ，求a ba 2b 22bba的值．ab5．设 x 、 y 为实数，且 xy3 ，求 x yyx的值．xy6．已知a1x20,b1x19, c1x21 ，求代数式 a2b2c2ab bc ac 的值．2020207．设x51，求 x4x22x1的值．28．睁开(x2)49．计算(x 1)(x2)( x3)( x4)10．计算( x y z)(x y z)( x y z)( x y z)11．化简或计算：(1)(184113)3223 (2)222(25) 212 35(3)x x x y x xy y xy y2x x y y(4)(a b ab(a b a b a)ab b ab a)b ab第一讲习题答案A 组1． C2． A3． (1)x29 y216z26xy8xz 24 yz(2)3a25ab 3b24a 2b 1(3)3a2b3ab2(4)1 a316b344．2a2a a2( a b )2a b 12 5．m m 2 xyB 组1． D 2．a c b 2 ac ,3 2 2 33．13 36 4．3,25． 2 36．37．35 8．x48x324x232 x 169．x410x335x250 x2410．x4y4z42x2 y22x2 z2 2 y2 z211．3,4 3x ya ,y, b3。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
2019-2020人教B版数学必修1 初升高衔接课课件PPT
●知识点 2 一元二次方程 (1)定义：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
(2)判断依据：对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 ①当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根 x1,2＝－b± 2ba2－4ac； ②当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba； ③当 Δ<0 时，方程没有实数根．
●知识点 4 不等式 (1)解一元一次不等式(组)的注意事项． ①移项要变号． ②不等式两边同除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同除 一个负数，不等号方向改变. ③解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分 (也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较 小，大小小大中间找”．
【例 3】 已知 x1，x2 是方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根，求 (1)x1＋x2. (2)(2x1－1)(2x2－1)． (3)x21＋x22. (4)x11＋x12.
ห้องสมุดไป่ตู้
[解] 由根与系数的关系可知 x1＋x2＝2，x1x2＝－1， (1)x1＋x2＝2. (2)(2x1－1)(2x2－1) ＝4x1x2－2(x1＋x2)＋1 ＝－4－4＋1＝－7. (3)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋2＝6. (4)x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝－21＝－2.
●知识点 2 常用的乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式 (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)立方差公式 (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)； (4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (5)两数差立方公式 (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
高一新生数学知识点衔接ppt
高一新生数学知识点衔接ppt一、引言在学习数学的过程中，我们需要将各个年级的知识点进行有机的衔接，以保证学习的连贯性和有效性。
本PPT旨在帮助高一新生理清数学知识点的衔接关系，为学习提供有力的支持和指导。
二、数学知识点的衔接关系1. 数的性质与运算1.1 整数的四则运算高一的学习重点是复习并深化整数的四则运算，在此基础上，引入绝对值、逆元等概念。
1.2 有理数的加减运算通过对整数加减运算的巩固，引入分数的概念及其加减运算。
1.3 有理数的乘除运算在加减运算的基础上，继续学习有理数的乘除运算，简单的分数的乘除运算也要进行巩固。
1.4 有理数的混合运算在掌握加减乘除运算的基础上，进行有理数混合运算的综合应用。
2. 代数与函数2.1 代数式与方程式复习基础的代数式展开、合并等运算，并引入方程式的概念，初步学习解一元一次方程的方法。
2.2 二次根式与二次方程巩固平方根的概念和基本性质，学习二次方程的解法，进行方程应用问题的拓展。
2.3 函数及其表示引入函数的概念，学习函数的表示与性质，初步掌握一次函数与二次函数的图像变化规律。
3. 几何3.1 平面几何基础复习平面几何基础知识，包括点、线、面等基本概念，学习角的概念与性质。
3.2 三角形学习三角形的分类、性质与判定方法，深入理解三角形的周长、面积以及特殊性质。
3.3 直线与圆的性质学习直线与圆的性质，包括直线的垂直、平行关系，以及圆的切线、切点等相关概念。
3.4 空间几何初步了解三维空间中的点、直线、面的相关概念与性质。
4. 概率与统计4.1 事件与概率引入事件与概率的概念，学习基本的概率计算方法，包括排列与组合问题。
4.2 统计与统计图表学习收集、整理、描述数据的方法，初步了解统计图表的绘制与分析。
三、PPT设计要点1. 清晰的分段与层次结构通过对不同知识点的划分，使得PPT的结构清晰明了，方便学生阅读和学习。
2. 简洁而美观的页面设计注意页面排版整洁美观，避免过于冗杂的文字和图片，保证学生集中注意力。
新高一数学衔接讲义讲义系列一
1创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*第1讲 数与式教学目标1、理解并掌握乘法公式与因式分解2、理解并掌握二次根式的运算与化简3、理解并掌握繁分式的化简 重点、难点乘法公式与因式分解二次根式与分式考点及考试要求1、理解并掌握乘法公式与因式分解2、理解并掌握二次根式的运算与化简3、理解并掌握繁分式的化简教学内容知识框架⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧其它的因式分解方法十字相乘法分组分解法公式法分解因式分式根式乘法公式数与式数与式 知识点一：乘法公式 【内容概述】【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++（请同学证明） 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+-（请同学证明） 【典型例题—1】： 例1.计算： 22)312(+-x x 例2.计算：()222(42)a b a ab b +-+例3.计算(1)()2232(964)x y x xy y +-+ (2)()223(469)x x xy -++变式1：利用公式计算 （1） )916141(31212++⎪⎭⎫⎝⎛-m m m (2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1） 3327m n - （2）331278m n -（3）3125x - （4） 66m n -【典型例题—2】： 例4.计算：（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--例5.已知2310x x -+=，求331x x +的值．例6.已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．知识点二、根式 【内容概述】式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||a a =(3) (0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)b b a b a a=>≥ 【典型例题—1】：基本的化简、求值例7.化简下列各式：(1)22(32)(31)-+-(2) 22(1)(2) (1)x x x -+-≥4例8. 计算423+变式1:二次根式2a a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数变式2:若3x <，则296|6|x x x -+--的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９变式3：计算743+【说明】1、二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2、二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323+)，或被开方数有分母(如2x )．这时可将其化为a b形式(如2x可化为2x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323+化为3(23)(23)(23)-+-，其中23+与23-叫做互为有理化因式)．5【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
初高中数学衔接班讲义
初高中数学衔接班讲义初高中衔接班数学讲义第1课时数与式(一)??a，a＞0，一、绝对值 |a|＝?0，a＝0，?－a，a＜0．?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．0 aO |aA x 图1－1(1) a 0 A |aO x绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．a bx B A |a－b| 图1－2(1)b ax A B|a－b|图1－2(2)例1 解方程：（1）|x－1|＝2．（2）|x－1|＋|x－3|＝4．练习 1．填空：(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________． 3．化简：|x－5|－|2x－13|(x＞5)．4．解方程：(1)|x－2|＝1； (2)|x＋2|＋|x－1|＝4； (3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．二、乘法公式(1)立方和公式： (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)立方差公式： (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca； (4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (5)两数差立方公式 (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3．1图1－1(2)初高中衔接班数学讲义例1 化简：(x－1)(x+1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．111例2 若x＋＝3，求x2＋2和x－的值．xxx例3 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ca＝4，求a2＋b2＋c2的值．练习11111． (1)a2－b2＝(b＋a)( )； (2)(4m＋ )2＝16m2＋4m＋( )；9423(3)(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋( )．12．(1)若x2＋mx＋k是一个完全平方式，则k等于 ( )2111(A)m2 (B)m2 (C)m2 (D)m2431622(2)不论a，b为何实数，a＋b－2a－4b＋8的值( ) (A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程a，a＞0，???a，a≥0，2．二次根式a2的意义 a2＝|a|＝?0，a＝0，也可以写成a2＝|a|＝?－a，a＜0．???－a，a＜0．例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b；(2)a2b(a≥0)；(3)4x6y(x＜0)．例2 计算：3÷(3－3)．2例3 试比较下列各组数的大小：(1)12－11和11－10；(2)和22－6．6＋41例 4 化简：(1)9－45；(2)x2＋2－2(0＜x＜1)．x练习2初高中衔接班数学讲义1－31．(1)＝________________；1＋3(2)若(5－x)(x－3)2＝(x－3)5－x，则x的取值范围是_______； (3)424－654＋396－2150＝______________；x＋1－x－1x＋1＋x－15(4)若x＝，则＋＝_________．2x＋1＋x－1x＋1－x－1xx＝成立的条件是( ) x?2x?2(A)x≠2 (B)x＞0 (C)x＞2 (D)0＜x＜2a2－1＋1－a23．若b＝，求a＋b的值．a＋14．比较大小：2－3 5－4(填“＞”，或“＜”)． 5．(1)(2＋3)18(2－3)19＝________；(2)若(1－a)2＋(1＋a)2＝2，则a满足的条件是____；1111(3)＋＋＋＝_______． 1＋22＋33＋44＋52．等式3初高中衔接班数学讲义第2课时数与式(二)一、分式5x＋4AB例1 若对于一切不为0且不为－2的实数x，＝＋，求常数A，B的值．x(x＋2)xx＋2例2 (1)试证：＝－(其中n是正整数)；n(n＋1)nn＋1111(2)计算：＋＋…＋；1×22×39×10(3)证明：对任意大于1的正整数n，有1111＋＋…＋＜；2×33×4n(n＋1)2c例3 设e＝，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．a练习1111．对任意的正整数n，＝ (－)．nn＋2n(n＋2)3a2－ab112．若a＝，b＝，则2＝_______．233a＋5ab－2b2x2＋3xy＋y2223．若x＋xy－2y＝0，xy≠0，则＝______．x2＋y2x－y4．正数x，y满足x2－y2＝2xy，求的值．x＋y5．计算：111111(1)＋＋…＋；(2)＋＋…＋．1×22×399×1001×32×49×11 6．试证：对任意的正整数n，有＋＋…＋＜．1×2×32×3×4n(n＋1)(n＋2)4二、分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法4初高中衔接班数学讲义例1 分解因式：(1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12； (3)x2－(a＋b)xy＋aby2； (4)xy－1＋x－y．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：(1)x3＋3x2＋3x＋9； (2)2x2＋xy－y2－4x＋5y－6．3．关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)．例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2．练习1．多项式2x2－xy－15y2的一个因式为 ( )(A)2x－5y (B)x－3y (C)x＋3y (D)x－5y 2．分解因式：(1)x2＋6x＋8； (2)8a3－b3；(3)x2－2x－1； (4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)． 3．分解因式： (1)a3＋1；(2)4x4－13x2＋9； (3)b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (4)3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4．4．在实数范围内因式分解：(1)x2－5x＋3； (2)x2－22x－3； (3)3x2＋4xy－y2； (4)(x2－2x)2－7(x2－2x)＋12．5．△ABC三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判定△ABC的形状．6．分解因式：x2＋x－(a2－a)．5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初升高数学衔接讲义新高一数学衔接讲义一
（一）韦达定理（一元二次方程中根与系数的关系）
对于一元二次方程
2
ax
bx
c
0( a
0) ，如果方程有两个实数根
x1, x2 ，
那么
x1 x2
b , x1x2 c
a
a
说明： （ 1）定理成立的条件
例题 .若 x1 , x2 是方程
2
x
2x
0 （2）注意公式中 x1 x2
b 的负号与 b 的符号的区别 .
.
☆总结：高中阶段韦达定理相关知识点的常用等式变形：
（1）
（ 2）
（3）
（ 4）
（二）第一小单元重要知识点复习
1
2
1. （ 1）画出函数 y x 2 x 3 的图象 .
（ 2）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有三个实根，求 k 的值；
（ 3）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有四个实根，求 k 的取值范围；
（ 4）已知关于
x的不等式
2
x
2x
3＞ k 对于一切实数都成立，求
k 的取值范围 .
2. 利用学到的图象对称变换的方法，画下列函数的图象： （ 1） y x 2 ； （ 2） y x 2 .
4. 已知函数 y g ( x ) 图象关于点（ -3,-2 ）成中心对称，且 y
A(x1, y1)、 B( x2 , y2 ) 两点， 则 x1 x2
， y1 y2
g ( x) 的图象与函数 .
f (x)
1 2 交于 x3
5. 分解因式：
（1） x 2 (a 2)x 2a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）x2－2x－1； (2)1949x2－1999x+50=0
(3).x2－(4+ )x+3+ =0
(4).x2－2000x+1999=0
4.求函数 y=-3x2-6x+2 的顶点坐标，对称轴，最值 5.解不等式
（1） 4x2 12x 9 0
（2） x2 4x 4 0
（3） 3 5x 2x2 0
(a＞0)的根
2.(1)集合表示法：x| x a或x b,x| a x b等。
（2）区间表示法：设 a、b 是两个实数，且 a<b，则： {x | a x b} [a,b] 叫 区间；
{x | a x b} (a,b) 叫
区间； {x | a x b} [a,b) ，{x | a x b} (a,b] 都叫半开半
训练 4.已知二次不等式 ax2 bx c 0 的解集为{x | x 1 或x 1} ，求关于 x 的不等式
3
2
cx2 bx a 0
【过关检测】
1.多项式2x2 xy 15 y2 的一个因式为
（
）
（A） 2x 5y
（B） x 3y
（C） x 3y
（D） x 5y
2.分解因式 （1）x2＋6x＋8； 3.解 方 程 ： (1).x2－14x+13=0
（4） 2x2 x 1 0
6.函数 y x2 6x m 的值恒小于 0，那么实数 m 的值满足（ ）
A.m>9
9
B.m=
2
C.m<9
9
D.m>
2
7.如果关于 x 的不等式 5x2－a≤0 的正整数解是 1,2,3,4，那么实数 a 的取值范围是( )．
A．80≤a＜125
B．80＜a＜125
C．a＜80
D．a＞125
8.已知函数 y＝x2+2x－3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，
并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：
（1）x≤－2；
（2）x≤2；
（3）－3≤x≤－1；
9.已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是－21，－31，则不等式 x2－bx－a＜0 的解集是( )．
2 通过图象, 理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系
3 学会解一元二次不等式、学会不等式解集的表示方法
【知识要点】
1.二次函数与一元二次方程的性质如下表：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
训练 2.函数 y＝2x2＋4x－5 中，当－3≤x＜2 时，则 y 值的取值范围是
（A）－3≤y≤1
（B）－7≤y（）
例 3. 解不等式： x2 8x 12 0
1
1
学 海 无涯
训练 3.（2012.湖南）不等式 x2-5x+6≤0 的解集为
.
例 4.设不等式ax2 bx 1 0 的解集为{x | 1 x 1}3 ，求 a b
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.13，12
D.－∞，13∪12，＋∞
【高考精典】
2
2
学海无 涯
(2011·广东)不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( )．
A.－12，1
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.－∞，－12∪(1，＋∞)
【家庭作业】 1.分解因式
（1） x2 5x 6
2.解不等式
（1） 3x2 7x 2 0
（2）x4 2x2 8 （2） 3x 2 2x2 .
（3） x2 2x 3 0 .
（4） (x 4)(x 1) 0
3.不等式 9x2＋6x＋1≤0 的解集是( )．
A.xx≠－31
B.－31
C.x－31
≤x≤
1 3
D．R
2
4.m 为 何值时，抛物线 y 2xm 4m3 x m 1的顶点在 x 轴下方（ ）
.
9.已知 x4 x3 x2 2 (x2 mx 1)(x2 nx 2)，那么m n 的值为（ ）
（A）1
（B） 2
（C） 1
（D） 2
第二讲《1.1.1 集合的含义与表示》
（要求：在课堂作业后，可以补充下面的习题：
3
3
学海无 涯
1.若 y= x2 2x 3 Z,且 xZ,求 y 所有可能的取值； x 1
A．－4≤a≤4
B．－4＜a＜4
C．a≥4 或 a≤－4
D．a＜－4 或 a＞4
7.已知函数 y＝x2+2x－3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，
并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：
(1)－3≤x≤0；
(2)-3≤x≤1；
(3)-3≤x≤2
8.不等式 ax2＋(ab＋1)x＋b＞0 的解集为{x|1＜x＜2}，则 a＋b＝
学海无涯
第一讲 一元二次不等式的解法
（要求：本次课在学生学有余力的情况下，教师可以补充以下内容：
1.
可以将解一元二次不等式与解分式不等式合起来讲，并补充根式不等式、高次不
等式、含一个绝对值符号的不等式的解法；
2.一定要讲授立方和、立方差的分解公式； 3.二次根式的化简。） 【学习目标】
1.复习因式分解（十字交差法，公式法）、解一元二次方程、画二次函数的图像
闭区间．实数集 R 用区间(, ) 表示，其中“∞”读“
”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”
读“正无穷大”.
【合作交流】
例 1.分解因式：（1）x2－3x＋2=
(2) x2 5x 3 =
训练 1.．分解因式：（1）x2＋4x－12= 例 2.作出二次函数（1） y (x 1)2
(2) x2 2x 1 （2） y x2 2x 3 的图像；
2.若 x3 3 是一个整数，且 x 是正整数，求所有符合要求的 x 的取值。） x3
【学习目标】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用；
A. m=5
B. m=－1
C. m=5,或 m=－1
D. m=1
5.在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)＜0 的实数 x 的取值范围为( )．
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
6.不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是( )．