第一次数学危机-数学史话
三次数学危机及其影响
危机的解决
彻底解决这一危机是在19世纪， 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 19世纪 的扩张。直到人类认识了实数系， 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决， 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七 世纪。 世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派 内部提出的， 内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的， 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 无穷小量”说法的质疑引起的。
罗素悖论
年出版了《 的原理》 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 罗素在 年出版了 数学的原理 中提到著名的罗素悖论 罗素悖论， 数学基础产生了 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 因而震动了整个数学 个数学界 就是所说 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 第三次数学危机 数学危机。 的第三次数学危机。
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 理 罗素悖论的通俗化 发师悖论” 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称， 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 自己不给自己刮脸的人刮脸。 理发师是否给自己刮脸？ 问：理发师是否给自己刮脸？
罗素
最后，这些既属于自己而又不属于自己 这些既属于自己而又不属于自己 自己而又不属于 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， ，便成了集合论的矛盾， 起第三次数学危机 数学危机。 引发起第三次数学危机。
参考网址：香港皇家数学
数学人文精神论坛
维基百科
危机的实质： 危机的实质： 是无理 2 数，全体整数之构成的 是有理数系，有理数系 是有理数系， 需要扩充， 需要扩充，需要添加无 理数. 理数.
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0./悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)2#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得v yv x=(x+v x)n-x nv x=n#x n-1+n(n-1)2#x n-2#v x+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、F.第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.参考文献1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期/罗素悖论0影响最大.罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?回答试试看!若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0参考文献1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,82张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。
第3次课---数学史上的三次数学危机.
而且，随着时间的推移，研究范围的扩 大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无 穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由 此得到许多错误的结论。由于没有严格的极 限理论作为基础。数学家们在有限与无限之 间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
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因此，进入19世纪时，一方面微积分 取得的成就超出人们的预料，另一方面, 大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基 础，因此不能保证数学结论是正确无误的。
悖 论” 的消除
① 极限的“ ”定义
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定义：设函数 f (x) 在 x0的某去心领域有定
义，如果有一个确定的实数A, 0（无论多
么小的正数 ）。
都 （0 都能找到一个正数 ，依赖
于 ），使当 0 | x x0 | 时（满足不等式
| x x0 | 的所有不等于 x0 的 x ），有
黎曼（德，1826-1866）
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这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础 方面，还需要再前进一步：即需要 理解和阐明实数系的更深刻的性质。
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② 魏尔斯特拉斯的贡献
德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终于使 分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概 念中解放出来。他的成功产生了深远的影响， 主要表现在两方面，一方面是建立了实数系，
有公式 S(t)பைடு நூலகம் 1 gt，2 其中 g 是固定的重力加速度。我
2
们要求物体在 t0 的瞬时速度，先求
S t
。
S
S (t1)
S(t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上三次危机
数学史上三次危机对于数学仅限于学校里学的那点东西，薄如蝉翼，谈不上什么深刻理解，但也听说过数学史上有三次危机。
限于老郭水平不高，能力有限无法深入，蜻蜓点水的说一下。
第一次数学危机-无理数的发现勾股定理是咱们小伙伴们都熟悉的，a^2+b^2=c^2。
这个公式出来之后就用到了已知两条边长求解直角三角形第三条边的边长问题上。
很明显，开平方之后会出现根号2、根号3这种情况，这种不能完全开平方的数是无限不循环的小数，我们现在叫做无理数。
我们现在理解这些数当然是没问题的，不过在当时，这种数的出现，打破了毕达哥拉斯学派认为的世界的和谐性质。
他们认为宇宙万物都可以归结为整数或者是整数之比。
这就导致了一种认识上的“危机”，这个危机被称为第一次数学危机。
其实，这次“危机”（我并不认为这是什么危机）给几何的发展带来了一次推动。
因为，出现了无理数意味着，人类依靠直觉和经验建立的科学不一定是可靠的，而严格的推理证明才是靠得住的。
从那以后，希腊人开始重视演绎推理，并且建立了几何公理体系。
这就是危难之中的机遇，古希腊人抓住了这个机遇，创造了平面几何的第一次辉煌。
第二次数学危机-阿基里斯追不上乌龟“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个数学悖论故事是很有名的，其实我们现在的小伙伴都能知道，这是不可能发生的事，只要求一个极限，这个事就搞定了，跟本不存在追不上乌龟的事情。
然而在17世纪，微积分刚刚诞生那个时代，这个事还真是个大事。
当时包括牛顿、莱布尼茨等等大佬都没有找到解决这个问题的办法。
当时微积分刚刚初创，逻辑基础非常的不牢固。
很多基础问题，无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
那时候，这个问题争论的焦点就在于无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
第一次数学危机的内容
第一次数学危机的内容第一次数学危机：开启了数学危机的大门在数学史上，有一个重要的历史节点，被称为“第一次数学危机”。
这一事件不仅对数学领域产生了深远的影响，也为后来的数学发展奠定了基础。
本文将从多个角度探讨第一次数学危机的内容，以期带领读者更好地理解这一重要事件。
一、背景第一次数学危机发生在19世纪末20世纪初的数学界。
在那个时候，欧洲的数学家们正在为了解决一类特殊的数学问题而竭尽全力。
这个问题是人们关于无理数的猜想，即无理数是否能够通过有理数的四则运算得到。
而无理数在数学中有着重要的地位，它们既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数。
二、挑战对于这个问题，欧洲的数学家们陷入了一种无法解决的困境。
他们试图通过有理数的四则运算，以及根号的开方运算，来逼近或构造无理数。
然而，他们的努力始终没有取得重大突破。
这使得数学界一时间笼罩在一片迷雾之中。
一些人开始质疑数学是否存在根本性的问题，甚至有人怀疑数学的完备性。
三、突破然而，正当数学界陷入困境之时，一位名叫康托尔（Georg Cantor）的数学家站了出来。
他提出了一个革命性的思想，即集合论。
康托尔认为，数学中的所有对象都可以看作是集合，并通过集合的运算来进行研究。
他将无理数看作是一个特殊的集合，通过集合的运算，康托尔成功地解决了无理数的问题，从而打破了数学危机的僵局。
四、影响康托尔的集合论不仅为解决无理数问题提供了新的思路，也为数学的发展开辟了新的领域。
集合论成为数学的重要分支之一，对数学的基础理论产生了深远的影响。
康托尔还通过集合论的思想，提出了无穷的概念，引入了无穷集合的研究，进一步推动了数学的发展。
五、启示第一次数学危机的发生，让人们意识到数学并非一成不变的，它是不断发展的。
数学家们通过面对危机，寻找新的思路和方法，推动了数学的进步。
这给我们一个启示，即在面对问题和困境时，我们应该保持开放的心态，勇于尝试新的思路和方法，不断探索和创新。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
数学历史故事——第一次数学危机
数学历史故事——第一次数学危机1西方最早发展数学的是巴比伦人与埃及人，他们的数学都是因实际需要而产生的，而且都很初等。
直到希腊时代才有极大的转变，他们认为大自然的周而复始，其实是依循一定的模式井然有序的，若能了解其变化的原因，便能预测未来的变化，而这中间该掌握的工具便是数学。
于是无论在天文、光学或是音乐的研究，都带有浓厚的数学味道。
而现在，学生们在中小学阶段，除非跳级，否则至少要念十二年的数学。
老师及家长都普遍地认为数学很重要，事实上也是如此，学生则因为被熏陶得太久了，心中对数学重要性的认识毋庸置疑，他们知道，数学与生活是分不开的，与人类进步更是息息相关的。
学好了数学这门工具，对解释星球的运转、物体的运动及许多物理现象都是轻而易举的事情，并能带动科技的发展，促进人类文明的进步。
比如，数学上认为黄金长方形是一极美观的图形，不但在数学、艺术、建筑、自然界，甚至广告中，都能随时随地见到黄金长方形。
心理学家曾做过实验，证实黄金长方形是让人看起来最顺眼且最舒服的一种图形。
正因为如此，古希腊人便留意到建筑物的长与宽之比为黄金数，则是最协调的，如希腊雅典女神之神殿等。
除了在建筑上的影响，在艺术作品里，也常有黄金长方形出现。
达文西发现人体的高度与由脚底到肚脐的高度之比大约是黄金数，艺术家则认为，若人的肚脐为人体头至脚的黄金分割点，则这种体形是最优美的。
而在达文西的一幅未完成的作品中，也完全吻合黄金长方形。
数学的妙用还在于它为莎士比亚的新诗鉴定真伪。
上个世纪80年代，有一研究莎士比亚的美国学者，在英国牛津大学图书馆，找到一首很可能是莎士比亚的抒情诗。
如果能证明这首诗是莎士比亚的作品，将是17世纪以来，莎士比亚作品最重要的一次发现。
所以，许多专家学者利用数学中的数值分析、以及诗中出现的相异字和期望值之估计值对这首诗进行研究，有趣的是，统计学者也介入了这场纷争。
这并非统计学家第一次协助解决文学上的问题，而是由于统计分析是如此地具有说服力，因此往往能使一些文学上长期的争论，迅速地平息。
三次数学危机
数学史上的三次危机的产生与消除时间:2012-07-20 13:28来源:未知作者:admin 点击: 420 次摘要：在数学发展的过程中, 人的认识是不断深化的. 在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性。
当一种“反常”现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时，我们就说数学发生了危机。
在历史上，数学曾发生过三次危机，这三次危机，从产生到消除，经历的时间各不相同，都极大地推动了数学的发展，成为数学史上的佳话。
关键词：数学危机、无理数、微积分、集合论、分子集第一次数学危机——无理数的发现第一次数学危机产生于公元前五世纪。
那时，古希腊的毕达哥拉斯学派发现：正方形边与对角线是不可通约的，现在称之为“比达哥拉斯悖论”。
公元前五世纪,，古希腊毕达哥拉斯学派的门人希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边和斜边不可公度，即以直角边边长为单位, 度量其对角线长（设为x），其结果不能用整数的比表示。
因为由勾股定理得：x^2=2, 可以证明，对任何正整数p，q，( q，p) =1, 都有x≠q/p。
事实上，若x=q/p，则q^2/p^2=2, 即q^2=2p^2。
故设q为偶数，令q=2n( n∈Z+) ，则( 2n) ^2=2p^2,，所以p^2=2n^2，故p也为偶数，这与( p，q) =1矛盾。
第一次数学危机持续了两千多年。
十九世纪，数学家哈密顿(Hamilton) 、梅雷(Melay) 、戴德金(Dedekind) 、海涅(Heine) 、波雷尔(Borel) 、康托尔(Cantor) 和维尔斯特拉斯(Weietstrass) 等正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类———实数，并建立了完整的实数理论。
无理数的一个完全令人满意的理论直到1872年才提出，当时戴德金（J．W．Dedekind1831-1916）出版了著名的论文《连续性与无理数》。
这里的技术细节与我们无关。
第一次数学危机
[注]：这是“反证法”的开始。
*
2）不可公度的线段 设正方形的边长为 ，对角线长为 ，如图：
d a
a
*
根据毕达哥拉斯定理， 。如果存在第三个线段长为 ，使得 和 都是 的整数倍，如 ， ，这里 ， 是整数.
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对 角线长度若记为 ，则 ，推出
1）一个不能表成整数比的数
*
下边证明，当 时， 不能表成整数比。
由此知 是偶数。由于偶数的平方是偶 数，奇数的平方是奇数，∴ 是偶数。
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。
*
ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形） 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：
*
*
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。 “万物皆数”学说产生了很大的影响。
如果不然，有两个正整数 和 使 （不妨设 是既约分数即 ）。两端 平方得 ，即 。
*
因 “既约”， 不能再是偶数，于是 是奇数。这样 的左端，因 是奇数而不能被4整除，右端却因 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设 是错误的。从而 不能表成两个整数的比。证毕。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
数学文化：第一次数学危机(毕达哥拉斯悖论)_生活中数学 -
数学文化：第一次数学危机（毕达哥拉斯悖论）_生活中数学 - 查字典数学网
数学在人的生活中处处可见，息息相关。
下面是查字典数学网为大家分享的第一次数学危机（毕达哥拉斯悖论），供大家参考！第一次数学危机(毕达哥拉斯悖论)古希腊毕达哥拉斯学派是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
毕达哥拉斯学派认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。
这个不可通约量的发现引发了“第一次数学危机”。
希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克索斯通过给比例下新定义的方法解决了。
以上是查字典数学网为大家分享的第一次数学危机（毕达哥拉斯悖论），希望能帮助大家！
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数学的三次危机
数学的三次危机在数学几千年的发展历程上，曾发生过三次动摇数学根基的危机，其中每一次都曾使得人们尤其是数学家怀疑数学的合理性，然而经过无数数学家的力挽狂澜，这三次危机不仅没有让数学失去其合理性，反而使其变得更加强大。
第一次数学危机“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。
所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。
然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理（也就是我国俗称的勾股定理）却恰恰成了其信仰的终结者。
毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯（Hippasu）对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。
他思考了一个问题：边长为1的正方形其对角线有多长呢？一番思索演算之后，他发现这一长度既不是整数，也不是分数，“万物皆数”的信仰就此崩塌。
相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里，真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸，可悲亦可叹！自被希伯斯发现之后，√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。
然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。
更为恼火的是，面对这一打击，人们手足无措，于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机，从而导致了西方数学史上一场浩大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机自微积分被发明之后，质疑之声就从未消停过。
相当长的时间内，数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的，但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。
这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击，英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。
如果这一危机无法解除，那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。
这也就是数学史上的第二次危机。
转机出现在柯西，魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后，这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础，从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠，危机便也解除。
第三次数学危机“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。
数学史话之第一次数学危机
数学史话之第一次数学危机在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线是多长？你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢，答案很简单--√2啊。
没错！但是如果在古希腊，如果这么回答，你可能这时候已经被干掉了。
这是为何呢？听科普君为你道来。
在古希腊，人们认为只有1、2、3、4......这些用来计数的整数才是数字，数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。
“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。
但是到了公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒希帕索斯发现了一个令人震惊的现象：等腰直角三角形的三条边长不可能都是整数。
这跟人们之前坚信的理念完全是背道而驰的，人们的信仰开始发生了动摇。
泰勒斯古希腊数学、哲学的开山鼻祖在这里我们要简单说一下这个毕达哥拉斯，在西方人眼中，毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家、哲学家。
他除了钻研出了直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大。
他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。
甚至还抛弃了地心说、指出了当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。
毕达哥拉斯可谓是贡献巨大，但是很多人都不知道，实际上他还是个学派头目。
他所创立的毕达哥拉斯学派信仰颇高，他们认为数是真实物质对象的终极组成部分。
毕达哥拉斯他们甚至相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体。
万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。
毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积。
简单来说就是小学课本上的直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方。
实际上这个定理也并不是毕达哥拉斯首创的，古巴比伦人早就有所记载，而中国人则把它称为勾股定理或者“商高定理”。
有一次，希帕索斯打算用自己的行动证明老师的观点“任何数都可以用整数或整数的比来表示”。
于是他从老师最引以为傲的毕达哥拉斯定理入手。
假设有一个边长为1的正方形，那其对角线的长度通过定理应该可以很轻易地算出。
数学发展史上三次数学危机
数学发展史上三次数学危机第一次数学危机“无理数的产生”第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为 1 的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。
1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机“罗素悖论”到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。
但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。
第一次数学危机
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p 不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
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第一次数学危机-数学史话
>给大家出个题：边长为1的正方形的对角线是多长？你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢，答案很简单--√2啊。
没错！但是如果在古希腊，如果这么回答，你可能这时候已经被干掉了。
这是为何呢？听科普君为你道来。
在古希腊，人们认为只有1、2、3、4......这些用来计数的整数才是数字，数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。
“数即万物“，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。
但是到了公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒希帕索斯发现了一个令人震惊的现象：等腰直角三角形的三条边长不可能都是整数。
这跟人们之前坚信的理念完全是背道而驰的，人们的信仰开始发生了动摇。
泰勒斯古希腊数学、哲学的开山鼻祖
在这里我们要简单说一下这个毕达哥拉斯，在西方人眼中，毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家、哲学家。
他除了钻研出了直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大。
他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。
甚至还抛弃了地心说、指出了当时希腊人口中的“墨丘利“和“阿波罗“其实是同一颗行星，即水星。
毕达哥拉斯可谓是贡献巨大，但是很多人都不知道，实际上他还是个学派头目。
他所创立的毕达哥拉斯学派信仰颇高，他们认为数是真实物质对象的终极组成部分。
毕达哥拉斯
他们甚至相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体。
万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。
毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积。
简单来说就是小学课本上的直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方。
实际上这个定理也并不是毕达哥拉斯首创的，古巴比伦人早就有所记载，而中国人则把它称为勾股定理或者“商高定理“。
有一次，希帕索斯打算用自己的行动证明老师的观点“任何数都可以用整数或整数的比来表示“。
于是他从老师最引以为傲的毕达哥拉斯定理入手。
假设有一个边长为1的正方形，那其对角线的长度通过定理应该可以很轻易地算出。
可是希帕索斯怎么也没办法找到一个能用整数比表示出来，且平方后恰好等于2的数。
根据老师毕达哥拉斯的观点，这样的数字是不可能存在的。
可是边长为1的正方形的对角线又的的确确客观存在。
希帕索斯不敢对外宣称自己发现了一种奇怪的数，只好告知了毕达哥拉斯，由他定夺。
毕达哥拉斯第一时间下令封锁了消息，并警告希帕索斯不要再研究这个问题。
可是经过一段时间的挣扎，希帕索斯还是无法就这样视而不见，他最后还是将这个消息传了出去。
结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐。
于是派出其他的门徒去将其捉拿，并处以极刑——活埋。
希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡。
可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上，他们将希帕索斯五花大绑，溺入了冰冷的地中海之中。
人虽然杀死了，但是√2的问题还是没有解决啊。
这个√2在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机“。
而解决方法则是引进了“无理数“的概念。
这次事件让数学向前大大发展了一步。
希帕索斯为√2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。